Геометрическая прогрессия — определение и формулы
Геометрическая прогрессия – важное понятие в алгебре и в математике вообще, объясняется впервые в 9 классе. Обычно применяется при решении текстовых задач, связанных с экономикой или теорией вероятности, но может использоваться самостоятельно для усвоения понятия геометрической прогрессии. Арифметическую прогрессию мы изучали в предыдущих темах. Сейчас рассмотрим геометрическую прогрессию – дадим ей определение, рассмотрим основные формулы геометрической прогрессии и ее характеристики, разберем несколько примеров.
Содержание
Определение геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, то есть
Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается обычно буквой .
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию , достаточно знать ее первый член и знаменатель . Например, условиями и можно задать геометрическую прогрессию: .
Монотонная последовательность
Если знаменатель геометрической прогрессии больше нуля , , то прогрессия называется монотонной последовательностью. Например, если прогрессия задана , тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, … есть монотонно убывающая последовательность.
Если прогрессия с параметрами , при образует последовательность 4, -12, 36, -108 … . Такая прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.
Если , то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Свойство геометрической прогрессии
Характеристической свойство геометрической прогрессии – последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, то есть , где .
Формулы геометрической прогрессии
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Формула для определения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: , где .
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии
Для определения суммы n первых членов геометрической прогрессии используется формула:
Если в эту формулу вместо подставить выражение по формуле для определения n-го члена геометрической прогрессии, то мы получим вот такой вариант формулы:
Произведение равноотстоящих членов геометрической прогрессии
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что
, то есть произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Примеры на геометрическую прогрессию с решениями
Пример 1
В геометрической прогрессии , , найти и .
Решение: чтобы найти определяется по формуле: , подставляя в нее данные примера, получим:
.
Сумму восьми первых членов геометрической прогрессии находим по формуле
:
Ответ: 13122 и 19680.
Пример 2
Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвертого 30. Найти сумму первых десяти членов.
Решение: чтобы найти сумму первых десяти членов прогрессии нам нужно знать ее первый член и знаменатель. Для нахождения их составим систему уравнений.
Разделив почленно второе уравнение системы на первое уравнение системы, получим . Подставляя найденное значение . Подставляя найденное значение в первое уравнение, находим .
По формуле
находим:
Ответ: 3069
Пример 3
Найдите четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что первое больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.
Решение:
По условию задачи имеем и .
Составим систему:
Разделим почленно второе уравнение системы на первое уравнение, получим , откуда , .
Если , то , , , .
Если , то , , , .
Ответ: 54, 18, 6 и 2 или 27, -9, 3, -1.
Практическая бесконечность / Статьи — Математическая составляющая
Приложения: мир вокруг нас
Математика: геометрическая прогрессия
«Растёт в геометрической прогрессии» — это выражение часто можно услышать от телеведущих и экспертов, его можно встретить на страницах газет, в книгах по естествознанию, в условиях экзаменационных задач. А что оно означает?
Последовательность чисел $\{b_1, b_2, b_3, …\}$, в которой каждое число $b_n$ переходит в соседа справа $b_{n+1}$ по правилу $b_{n+1}=b_n q$, называется геометрической прогрессией. Прогрессия определяется двумя параметрами: числом $b_1$, которое называется первым членом геометрической прогрессии, и постоянной $q$ — её знаменателем. {n-1}$, а не по цепочке последовательных вычислений $b_2=b_1q$, $b_3=b_2q$, …, $b_n=b_{n-1}q$. Прогрессия называется возрастающей, если $q>1$; убывающей, если $0<q<1$.
Познакомимся с примерами, в которых происходящее можно описать в терминах геометрической прогрессии, и посмотрим, насколько быстро может расти возрастающая геометрическая прогрессия, и, соответственно, быстра ли в своём убывании прогрессия убывающая.
I. В самой популярной из легенд о происхождении шахмат рассказывается, что некогда в Древней Индии мудрец по имени Сесса придумал правила новой игры и преподнёс игру в дар царю Шераму.
Царь был очарован и предложил создателю игры самому выбрать награду. Тот попросил у царя немного зерна: на первую клетку доски положить 1 пшеничное зерно, на вторую — 2, на третью — 4 и т. д. — на каждую следующую клетку надо положить вдвое больше зёрен, чем на предшествующую. Возникает геометрическая прогрессия, в которой $b_1=1$, $q=2$. «Скромная» просьба оказалась невыполнимой, понадобился бы урожай, собираемый на всей Земле за тысячи лет.
II. Невообразимый рост геометрической прогрессии можно ощутить и просто складывая обычный лист бумаги. После первого складывания пополам толщина бумаги увеличится вдвое, после второго — вчетверо, и очень скоро практические возможности будут исчерпаны. А если допустить, что удалось сложить лист 42 раза, то оказалось бы, что «толщина» конструкции больше, чем расстояние от Земли до Луны.
III. Примеры, иллюстрирующие свойства убывающей прогрессии, впечатляют не меньше. Изготовим цепочку из шестерёнок, зацепленных последовательно одна за другую так, чтобы каждая следующая вращалась в 5 раз медленнее предыдущей. Таким образом, угловые скорости шестерёнок образуют геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен $1/5$.
Предположим, что цепочка достаточно длинная. t$, которые называются экспоненциальными. Отсюда и родственный термин — экспоненциальный рост.
В Европе в круг математических знаний легенда о происхождении шахмат попала в XVII веке, когда Джон Валлис (математик, криптограф и один из основателей Лондонского Королевского общества) опубликовал перевод сочинения арабского историка ас‐Сафада (XIV век).
В последующие века история про Сессу и Шерама распространилась по всей Европе; например, великий Леонард Эйлер в книге «Элементы алгебры» приводит задачу о практической оценке необходимого количества зёрен.
Ещё один интересный пример растущей геометрической прогрессии — последовательность частот нот равномерно темперированного строя (см. «Музыкальный строй»). Здесь знаменатель прогрессии $q=\sqrt[12]{2}≈ 1{,}06$ близок к 1, но клавиш достаточно много — в клавиатуре стандартного рояля их 88. И за эти 88 шагов пробегается интервал, охватывающий более 7 октав ($88{=}7{\cdot }12{+}4$) и представляющий почти весь диапазон звуков, комфортных для человеческого уха.
С числом 88 читатель может встретиться в этой книге и в сюжете «Созвездия»: именно на такое число созвездий астрономы поделили звёздное небо.
Геометрическая прогрессия — определение, примеры и вопросы
A Геометрическая прогрессия (Г.П.) — это последовательность, в которой каждый член получается путем умножения или деления предыдущего члена на фиксированное число или постоянное отношение(r) .
2, 4, 8, 16, 32, 64, … здесь первый член равен 2, а знаменатель равен 2. Мы можем получить последовательные члены, умножив число на 2. Таким образом, следующим членом после 64 будет 128.
Мы можем использовать это понятие, чтобы получить произвольный член, конечную или бесконечную сумму ряда, и применять их в различных контекстах, включая некоторые сложные проблемы.
ИсторияГлиняная табличка раннего династического периода в Месопотамии , MS 3047, содержит геометрическую прогрессию с основанием 3 и множителем 1/2. Было высказано предположение, что это шумерский из города Шуруппак.
Это единственная известная запись геометрической прогрессии до времен вавилонской математики .
Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 (Источник)Согласно Боэция (510), арифметические и геометрические последовательности были известны ранним греческим писателям.
Бесконечная серия возникла в Индии к 14-му веку. Явная формула суммы бесконечного ( Anantya ) геометрического ряда дается Nilkantha в его Aryabhatyabhasya около 15 th -16 th век .
Геометрическая последовательностьПоследовательность называется геометрической прогрессией или G.P . если 9{п – 1}\).
Здесь
a — первый член
r — знаменатель
n — номер члена. 2\) 9n – 1)}{(r – 1)} \mbox{ (когда r>1) } \)
Среднее геометрическое любых двух чисел x и y (где ‘x ‘ — первый член, а y — последний) можно получить по формуле
G.M. = \(\sqrt{xy}\)
Это обобщенная формула для Г.М.
Сумма бесконечной геометрической прогрессииСуществует еще один тип геометрического ряда, бесконечный геометрический ряд . Бесконечный геометрический ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической последовательности и может быть задан формулой 9{\frac{1}{2}}\) = 3 = RHS
Отсюда доказано.
Часто задаваемые вопросыЧто понимается под геометрической прогрессией?
Геометрическая прогрессия — это ряд чисел, в котором каждое число умножается или делится на фиксированное число, чтобы получить следующее, например, 1, 3, 9, 27, 81…
Почему геометрическая прогрессия называется так?
Выражение «геометрическая прогрессия» происходит от «среднего геометрического» (евклидово понятие) отрезков длины a и b: это длина стороны c квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника сторон а и б.
Как узнать, является ли последовательность арифметической или геометрической?
В последовательности есть закономерность. Если последовательность имеет общую разность, то она арифметическая. Если у него есть общее отношение, то оно геометрическое.
Каково среднее геометрическое 2 и 32?
Среднее геометрическое дается формулой \(\sqrt{ab}\)
Следовательно, Г.М. = \(\sqrt{2*32}\) = 8.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ определение | Кембриджский словарь английского языка
Переводы геометрической прогрессии
на китайском (традиционном)
幾何 數 : : 從 第一 項 開始 , 以後 一 項 都 是 前 一 項 乘上 一 個 數 數 如 2, 6, 18…
См. Подробнее
на китайском (упрощенном)
几何 级 数 : 从 项 开始 , 以后 毎 一 项 都 是 它 一 项 乘上 一 固定 数 数 , 2, 6, 18…
Увидеть больше
Нужен переводчик?
Получите быстрый бесплатный перевод!
Как произносится геометрическая прогрессия ?
Обзор
геомагнитный полюс
геометрический
геометрическое альбедо БЕТА
среднее геометрическое БЕТА
геометрическая прогрессия
геометрически
геометрия
геоморфный
геоморфологический БЕТА
Проверьте свой словарный запас с помощью наших веселых викторин по картинкам
- {{randomImageQuizHook. copyright1}}
- {{randomImageQuizHook.copyright2}}
Авторы изображений
Попробуйте пройти викторину прямо сейчас
Слово дня
раздать что-нибудь
Великобритания
Ваш браузер не поддерживает аудио HTML5
/dəʊl/
НАС
Ваш браузер не поддерживает аудио HTML5
/ doʊl /
дать что-то, обычно деньги, нескольким людям
Об этом
Блог
У кота есть твой язык? (Как мы говорим, часть 2)