Геометрическая прогрессия как решать: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Геометрическая прогрессия | Онлайн калькулятор

Все калькуляторы

/

Учеба и наука

/

Математика

/   Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии — постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности. b_n=b₁ q^(n-1)

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель — положительный, но находится между 0 и 1 (0 , тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k , тогда прогрессия

становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.

Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:

• Формула первого члена геометрической прогрессии;

• Формула n члена геометрической прогрессии;

• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;

• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• Формула знаменателя геометрической прогрессии.

Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.

Select rating12345

Рейтинг: 3 (Голосов 310)

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Прогрессия в геометрических задачах

Репетиторы ❯ Математика ❯ Прогрессия в геометрических задачах

Автор: Ольга Л. , онлайн репетитор по математике

●

30.11.2011

●

Раздел: Математика

Задачи по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в большинстве своем являются достаточно простыми. Для их решения используется всего лишь четыре формулы – это формулы нахождения n-ого члена прогрессии и формулы вычисления суммы n первых членов прогрессии. Однако сложность состоит в том, как и где увидеть в задаче прогрессию и правильно определить и записать необходимые формулы. Достаточно часто задачи на прогрессию встречаются и в геометрии, но суть их решения остается той же – записать нужную формулу и решить ее. Приведенные ниже примеры продемонстрируют вам это.

Пример 1.

Длины сторон AB, BC, AC треугольника ABC образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти во сколько раз высота треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC, больше радиуса, вписанной в этот треугольник окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник ABC и проведем в нем высоту AH = h (рис. 1).

Зная, что стороны AB, BC, AC треугольника ABC образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, введем следующие обозначения. Пусть AB = a, тогда BC = a + d, а AC = a + 2d. Здесь d – это разность арифметической прогрессии. Теперь запишем формулы для вычисления площади треугольника.

Итак, во-первых, S_ABC можно вычислить с помощью высоты, проведенной из вершины A к стороне BC. Имеем:

S_ABC = 1/2 AH · BC = 1/2 · h · (a + d).

Во-вторых, площадь треугольника можно вычислить с помощью полупериметра и радиуса вписанной в этот треугольник окружности:

S_ABC = p · r = (AB + BC + CA)/2 · r = (a + a + d + a + 2d)/2 · r = (3a + 3d) · r = = 3(a + d)/2 · r.

Полученные для площади треугольника ABC выражения можно приравнять. Будем иметь:

½ · h · (a + d) = 3(a + d)/2 · r.

Левую и правую части полученного уравнения можно сократить на (a + d) ≠ 0.

1/2 h = 3/2 r. Выразим h:

h = 3 r.

Таким образом, мы получили, что высота треугольника в три раза больше радиуса вписанной в этот треугольник окружности.

Ответ: 3.

Пример 2.

В окружность радиусом √3 вписан правильный треугольник, в треугольник вписана окружность, в окружность снова вписан правильный треугольник и т.д. Найти сумму периметров всех треугольников.

Решение.

1) Так как радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, то радиус окружности, описанной коло треугольника A₁A₂A₃ (R₁ = √3) в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника B₁B₂B₃ (R₂ = R

1/2). Он же, в свою очередь, в два раза больше радиуса окружности, описанной около треугольника C₁C₂C₃ (R₃ = R₂/2 = R₁/4) и т. д. (R_n = R₁/2^{n — 1}) (рис. 2).

2) Выразим стороны правильных треугольников через радиусы описанных около них окружностей по формуле a₃ = R√3. Тогда имеем:

A₁A₂ = R₁√3;

B₁B₂ = R₂√3 = R₁√3/2;

C₁C₂ = R₃√3 = R₁√3/4 и т. д.

Периметры соответствующих треугольников равны:

P_A1A2A3 = 3R₁√3;

P_B1B2B3 = 3R₁√3/2;

P_C1C2C3 = 3R₁√3/4 и т. д.

Сумма периметров треугольников (3R

1√3 + 3R₁√3/2 + 3R₁√3/4 + …) представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/2 и первым членом a₁ = 3R₁√3 = 3 · √3 · √3 = 9.

С помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии S = a₁/(1 – q) находим, что

P_A1A2A3 + P_B1B2B3 + P_C1C2C3 + … = 9/(1 – 1/2) = 18.

Ответ: 18.

К большинству задач по геометрии, а уж тем более к тем из них, в которых необходимо побороться с прогрессией, многие ученики – пользователи нашего сайта – относятся в лучшем случае настороженно. Но когда с помощью наших онлайн репетиторов ученики вдруг начинают понимать ход решения задачи и видеть, какие правила и формулы можно и нужно применять в той или иной ситуации, их чувство самооценки растет и заставляет стремиться к новым свершениям.

Самое главное в решении задач – это научиться не просто, отрешенно вчитываться в текст, а быть настроенным на получение конечного результата. Только тогда решение любой задачи станет приятным и легким делом, не будет ставить в тупик, а будет давать пищу для воображения и ума.

Решение задач – это по-настоящему творческий процесс, и Вы почувствуете это, занимаясь с нами.  

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи по геометрии?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Остались вопросы?

Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя.

Задать вопрос

Математика

Курсы по математике 10 класс

Математика

Курсы по математике 9 класс

Математика

Математика 11 класс

Математика

Курсы по геометрии 7 класс

Математика

Курсы по алгебре 7 класс

Математика

Алгебра 8 класс

Математика

Курсы по геометрии 8 класс

Французский язык

Курсы французского языка для начинающих

Геометрическая прогрессия – примеры задач с решениями

1. Охарактеризуйте геометрическую прогрессию:

Решение:
Прогрессия (a _n ) _{^∞ n=1} называется геометрической тогда и только тогда, когда существует такое q є R действительное число; q ≠ 1, то для каждого n є N стоит _n+1 = _n .q. Число q называется коэффициентом геометрической прогрессии.

Свойства:
а) а _п = а ₁ .q ^n-1
b) a _r = a _s .q ^r-s
c)
d) Стабильный инкремент:
e) Стабильный декремент:
e) Стабильный декремент:
f) Сумма:
f) Сумма:
д < 1

---

2.Определить первые 6 членов геометрической прогрессии, если ₃ = 8 и ₇ = 128.

Решение:

---

3. Если к 2, 16 и 58 прибавить число, получится первые 3 члена геометрической прогрессии. Найдите число и перечислите первые 6 членов прогрессии.

Решение:

---

4. Вставьте 4 числа между корнями уравнения x ² -66x +128 = 0 так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию.

Решение:

---

5.Назовите первые 6 членов геометрической прогрессии, которые удовлетворяют следующим условиям:

Решение:

---

6.Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна S = 78 см ² . Стороны прямоугольного параллелепипеда составляют геометрическую прогрессию. Сумма длин сторон, пересекающихся в одном из ребер, равна 13 см. Определить объем прямоугольного параллелепипеда.

Решение:

Длина сторон: a = 1 см, b = 3 см, c = 9 см.
Объем равен V = a.b.c
V = 1,3,9 см ³
V = 27 см ³

---

7. Наездник хочет купить лошадь за 10 000 долларов. Он заключил сделку с продавцом, чтобы заплатить за гвозди в подковах. Он заплатил 1 цент за первый гвоздь, 2 цента за второй гвоздь, 4 цента за третий гвоздь и так далее. Каждая подкова скреплена 5 гвоздями. Он сделал хорошую сделку?

Получение:

Всадник перебил цену лошади на 485,75 долларов.

---

8.Рабочий согласился работать на следующих условиях: его зарплата за первый день работы будет 1 доллар, за второй день работы 2 доллара, за третий день работы 4 доллара и так далее. Как долго он должен работать, чтобы заработать 4095 долларов?

Решение:

Рабочий должен отработать 12 дней.

---

9.Какие должны быть банковские проценты, чтобы увеличить депозит от 10000$ до 25000$ за 5 лет?

Решение:

Проценты должны быть 20%.

---

10.Какова сумма следующей бесконечной геометрической прогрессии?

Решение:

Сумма членов прогрессии равна 3/2.

---

11. Решить в действительных числах:

Решение:

---

12. Решить в действительных числах:

Решение:

Как найти значение n в геометрической прогрессии

КАК НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ N В ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Как найти значение N в геометрической прогрессии?

В этом разделе мы узнаем, как найти значение n в геометрической прогрессии.

Пример 1 :

Если геометрические последовательности

162, 54, 18,…….. и 2/81, 2/27, 2/9, ……. …

имеют равные n ^th членов, найдите значение n.

Решение:

Найдем n ^-й -й член заданных последовательностей один за другим.

162, 54, 18,………

a = 162 r = 54/162 ==> r = 1/3

t _n = a r ^(n-1)

  = 1 62 (1/3) ^(n-1)

  =  162 (3 ^-1 ) ^(n-1)

  =  162 (3
0) -n —- (1) 

2/81, 2/27, 2/9, . …..

а  =  2/81, r  =  (2/27) / (2/ 81)

р = (2/27) ⋅ (81/2)

r = 3

t _n = a r ^(n-1)

  =  (2/81) ⋅ (3) ^(n-1)   9 ——0 (3)

t _n   =  t _n 

162 (3 ^-n+1 )  =  (2/81) x 3 ^n-1

/(181 -09/081 -09/082 ⋅ n + 1 )  =  3 ^n-1

(81 ⋅ 81)(3 ^{-n + 1} )  =  3 ^n-1

(3⁴ x 90 1⁴)(3⁴ x 90 1⁴)(3⁴ x 90 1⁴)(3⁴ x 90 1⁴) )  =  3 ^n-1

(3⁸)(3 ^{-n + 1} ) = 3 ^{N -1}

3 ^{-N + 9} = 3 ^{N -1}

-N + 9 = N -1

2n = 10

n = 5

Следовательно, 5 -й члены последовательности равны.

Найдите первые три члена геометрической прогрессии, зная сумму трех членов обыкновенное соотношение и термины.

Решение :

Пусть первые три члена равны a/r, a, ar

Сумма трех членов = 39/10

Произведение трех членов = 1 a r  =  39/10   —— (1)

(a/r) ⋅ a ⋅ ar r = 1

a ³   =  1 ³

1  a  = 0 0 3 из a в первом уравнении получаем

(1/r) + 1 + 1 r = 39/10

 (1 + r + r²)/r = 39/10

10(1 + r + r²)  =  39 r

10r² + 10r — 39r + 10  =  0

10 r² — 29 r + 10  =  0

(2r — 5)(5r — 900)  = 0 3 0 3

2r — 5 = 0

2r = 5

r = 5/2

Если a = 1 и r = 5/2

а/r = 1/(5/2)

а/2 /5

а = 1

ар = 1(5/2)

ар = 5/2

5r — 2 = 0

5r = 2

r = 2/5

Если a = 1 и r = 2/5

а/р = 1/(2/5)

а/р = 5/2

а = 1

а/р = 1(2/5)

а/р = 2/5

Следовательно, три члена

2/5, 1, 5/2 или 5/2, 1, 2/5.

No related posts.