Курс высшей математики, Т.1
Курс высшей математики, Т.1
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮГЛАВА I. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 1. Величина и ее измерение. 2. Число.  3. Величины постоянные и переменные. 4. Промежуток. 5. Понятие о функции. 6. Аналитический способ задания функциональной зависимости. 7. Неявные функции. 8. Табличный способ. 9. Графический способ изображения чисел. 10. Координаты. 11. График и уравнение кривой. 12. Линейная функция. 13. Приращение. Основное свойство линейной функции. 14. График равномерного движения. 15. Эмпирические формулы. 16. Парабола второй степени. 17. Парабола третьей степени. 18. Закон обратной пропорциональности. 19. Степенная функция. 20. Обратные функции. 21. Многозначность функции. 22. Показательная и логарифмическая функции. 23. Тригонометрические функции. 24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции. § 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 25. Упорядоченное переменное. 26. Величины бесконечно малые. 27. Предел переменной величины. 28. Основные теоремы. 29. Величины бесконечно большие.  30. Монотонные переменные. 31. Признак Коши существования предела. 32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью. 33. Примеры. 34. Непрерывность функции. 35. Свойства непрерывных функций. 36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин. 37. Примеры. 38. Число е. 39. Недоказанные предложения. 40. Вещественные числа. 41. Действия над вещественными числами. 42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела. 43. Свойства непрерывных функций. 44. Непрерывность элементарных функций. ГЛАВА II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 45. Понятие о производной. 46. Геометрическое значение производной. 47. Производные простейших функций. 48. Производные сложных и обратных функций. 49. Таблица производных и примеры. 50. Понятие о дифференциале. 52. Оценка погрешностей. § 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 53.  Производные высших порядков.54. Механическое значение второй производной. 55. Дифференциалы высших порядков. 56. Разности функций. § 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ 57. Признаки возрастания и убывания функций. 58. Максимумы и минимумы функций. 59. Построение графиков. 60. Наибольшее и наименьшее значения функций. 61. Теорема Ферма. 62. Теорема Ролля. 63. Формула Лагранжа. 64. Формула Коши. 65. Раскрытие неопределенностей. 66. Различные виды неопределенностей. § 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных. 69. Производные сложных и неявных функций. § 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ 70. Дифференциал дуги. 71. Выпуклость, вогнутость и кривизна. 72. Асимптоты. 73. Построение графиков. 74. Параметрическое задание кривой. 75. Уравнение Ван-дер-Ваальса. 76. Особые точки кривых. 77.  Элементы кривой.78. Цепная линия. 79. Циклоида. 80. Эпициклоиды и гипоциклоиды. 81. Развертка круга. 82. Кривые в полярных координатах. 83. Спирали. 85. Овалы Кассини и лемниската. ГЛАВА III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 86. Понятие о неопределенном интеграле. 87. Определенный интеграл как предел суммы. 88. Связь определенного и неопределенного интегралов. 89. Свойства неопределенного интеграла. 90. Таблица простейших интегралов. 91. Правило интегрирования по частям. 92. Правило замены переменных. Примеры. 93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка. § 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 95. Теорема о среднем. 96. Существование первообразной функции. 97. Разрыв подынтегральной функции. 98. Бесконечные пределы. 99. Замена переменной под знаком определенного интеграла. 100. Интегрирование по частям. § 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 101.  Вычисление площадей.102. Площадь сектора. 103. Длина дуги. 104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям. 105. Объем тела вращения. 106. Поверхность тела вращения. 107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина. 108. Приближенное вычисление определенных интегралов; формулы прямоугольников и трапеций. 109. Формула касательных и формула Понселе. 110. Формула Симпсона. 111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом. 112. Графические способы. 113. Площади быстро колеблющихся кривых. § 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ 115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм. 116. Интегрируемые функции. 117. Свойства интегрируемых функций. ГЛАВА IV. РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 118. Понятие о бесконечном ряде. 119. Основные свойства бесконечных рядов. 120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 121. Признаки Коши и Даламбера.  122. Интегральный признак сходимости Коши. 123. Знакопеременные ряды. 124. Абсолютно сходящиеся ряды. 125. Общий признак сходимости. § 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 126. Формула Тейлора. 127. Различные виды формулы Тейлора. 128. Ряды Тейлора и Маклорена. 129. Разложение exp(x). 130. Разложение sin x и cos x. 131. Бином Ньютона. 132. Разложение log(1+x). 133. Разложение arctg x. 134. Приближенные формулы. 136. Раскрытие неопределенностей. § 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ 137. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 138. Умножение абсолютно сходящихся рядов. 139. Признак Куммера. 140. Признак Гаусса. 141. Гипергеометрический ряд. 142. Двойные ряды. 143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды. 144. Равномерно сходящиеся последовательности функций. 145. Свойства равномерно сходящихся последовательностей. 146. Свойства равномерно сходящихся рядов.  147. Признаки равномерной сходимости. 148. Степенные ряды. Радиус сходимости. 149. Вторая теорема Абеля. 150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. ГЛАВА V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ 152. О предельном переходе. 153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка. 154. Однородные функции. 155. Частные производные высших порядков. 156. Дифференциалы высших порядков. 157. Неявные функции. 158. Пример. 159. Существование неявных функций. 160. Кривые в пространстве и поверхности. § 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимых переменных. 162. Необходимые условия максимума и минимума функции. 163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных. 164. Примеры. 165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов функции.  166. Наибольшее и наименьшее значения функции. 167. Относительные максимумы и минимумы. 168. Дополнительные замечания. 169. Примеры. ГЛАВА VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 171. Сложение и вычитание комплексных чисел. 172. Умножение комплексных чисел. 173. Деление комплексных чисел. 174. Возвышение в степень. 175. Извлечение корня. 176. Показательная функция. 177. Тригонометрические и гиперболические функции. 178. Цепная линия. 179. Логарифмирование. 180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы. 181. Примеры. 182. Кривые в комплексной форме. 183. Представление гармонического колебания в комплексной форме. § 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ 185. Разложение многочлена на множители. 186. Кратные корни. 187. Правило Горнера. 188. Общий наибольший делитель. 189. Вещественные многочлены. 190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами.  191. Уравнение третьей степени. 192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме. 193. Способ итерации. 194. Способ Ньютона. 195. Способ простого интерполирования. § 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ 196. Разложение рациональной дроби на простейшие. 197. Интегрирование рациональной дроби. 198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы. 199. Интегралы вида… 200. Интегралы вида… 201. Интегралы вида… |
Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.
Определение 3.6 Гиперболическим синусом называется функция
Гиперболическим косинусом называется функция
Гиперболическим тангенсом называется функция
Гиперболическим котангенсом называется функция
Рис.
3.26.Графики гиперболических функций
Функции , и — нечётные; функция — чётная. Области определения гиперболических функций таковы:
области значений — следующие:
Упражнение 3.1 Докажите сделанные утверждения о том, какой вид имеют области значений гиперболических функций.
Замечание 3.2 В англоязычной литературе используется обозначение вместо , вместо , вместо , вместо .
Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций.
Например, имеют место формулы:
и многие другие формулы, аналогичные известным формулам тригонометрии.
Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.
Подобно тому, как равенство выражает тот факт, что точка координатной плоскости с координатами , при изменении параметра движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением (и называемой тригонометрическим кругом), равенство говорит о том, что точка с координатами , движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением . Отсюда и происходит название: гиперболические функции.
Функции , непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции , называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается .
Имеем: , . Функция, обратная к функции , называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается . Итак, , .
Рис.3.27.Графики функций и
Функция , хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах и и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая . Она определена на и принимает значения в множестве .
Рис.3.28.График функции
Функция не является монотонной на всей своей области определения.
Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось , при этом функция принимает все значения из . Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая . Она непрерывна на своей области определения и принимает значения на .
Возможен вариант: вместо ограничения на можно рассмотреть ограничение функции на , а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают , однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь ). Итак, и .
Рис.3.29.Графики функций и
Замечание 3.
3 В англоязычной литературе используется обозначение вместо , вместо , вместо , вместо .
Упражнение 3.3 Докажите, пользуясь определением гиперболических функций, что ареа-функции выражаются через логарифмическую функцию следующим образом:
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
гиперболических функций | математика | Британика
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Всемирная история
- Этот день в истории
- Викторины
- Подкасты
- Словарь
- Биографии
- Резюме
- Популярные вопросы
- Обзор недели
- Инфографика
- Демистификация
- Списки
- #WTFact
- Товарищи
- Галереи изображений
- Прожектор
- Форум
- Один хороший факт
- Развлечения и поп-культура
- География и путешествия
- Здоровье и медицина
- Образ жизни и социальные вопросы
- Литература
- Философия и религия
- Политика, право и правительство
- Наука
- Спорт и отдых
- Технология
- Изобразительное искусство
- Всемирная история
- Britannica объясняет
В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
- Britannica Classics
Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica. - #WTFact Видео
В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти. - На этот раз в истории
В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории. - Demystified Videos
В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
- Студенческий портал
Britannica — лучший ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д. - Портал COVID-19
Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня. - 100 женщин
Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю. - Britannica Beyond
Мы создали новое место, где вопросы находятся в центре обучения. Вперед, продолжать. Просить. Мы не будем возражать. - Спасение Земли
Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать! - SpaceNext50
Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы изучаем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!
Содержание
- Введение
Краткие факты
- Факты и сопутствующий контент
Викторины
- Числа и математика
гиперболических функций
гиперболических функций Гиперболические функции sinh, cosh, tanh, csch, sech, coth (гиперболический синус, гиперболический косинус и т.
д.) имеют много общего.
свойства с соответствующими циклическими функциями. Гиперболические функции возникают во многих задачах математики.
и математическая физика, в которой возникают интегралы с участием (тогда как круговые функции включают
).
Например, гиперболический синус возникает в гравитационный потенциал цилиндра и расчет Предел Роша. Функция гиперболического косинуса представляет собой форму висячего троса (так называемая цепная связь). Гиперболический Тангенс возникает при вычислении магнитного момента и скорости специальная теория относительности. Все трое появляются в Метрика Шварцшильда с использованием внешних изотропных координат Крускала в общая теория относительности. Гиперболический секущий возникает в профиле ламинара. струя. Гиперболический котангенс возникает в функции Ланжевена для магнитной поляризации.
Гиперболические функции определяются формулой
| (1) | |||
| (2) | |||
| (3) | |||
| (4) | |||
| (5) | |||
| (6) |
Для чисто воображаемых аргументов
| (7) |
| (8) |
Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, аномальным тригонометрическим тождествам.
(что можно вывести с помощью правила Осборна), например | (9) | |||
| (10) | |||
| (11) |
См. также Beyer (1987, стр. 168). Некоторые формулы половинного угла
| (12) | |||
| (13) |
Некоторые формулы двойного угла
| (14) | |||
| (15) |
Идентичности для сложных аргументов включают
| (16) | |||
| (17) |
Абсолютные квадраты для сложных аргументов
| (18) | |||
| (19) |
Интегралы с гиперболическими функциями включают
| (20) | |||
| (21) |
Если , то
| (22) | |||
| (23) |
Позволять , и и
| (24) | |||
| (25) | |||
| (26) | |||
| (27) |
См.
