Математика — 9
3-4 | Функция y = x3 и ее график |
Функция y = x3 определена при всех значениях x . Функция
принимает отрицательное значение при отрицательном
значении x (куб отрицательного числа — отрицательное
число), положительное значение при положительном
значении x (куб положительного числа положительное
число). При x=0, y= 0. То есть, областью определения и
множеством значений функции y = x3 являются все действительные
числа.
Графиком функции y = x3 называется кубическая парабола.
График функции проходит через начало координат и расположен в I и III четвертях.
Если значение x заменить его противоположным значением –х , тогда
функция будет принимать противоположное значение:
к. y = x3, то (-x)3 = -x3 = — y. Значит, каждой точке (x; y) графика функции соответствует
точка (–x; –y), симметричная относительно начала координат на
данном графике. Таким образом, график функции y= x3 симметричен относительно
начала координат.Обучающие задания
- a) Какие из точек A(-2; 8), B(2; 8), C(- 1
2 ; — 1
8 ), D(-3; -27) расположены на графике функции, являющейся кубической параболой?
b) Сколько точек находится на кубической параболе с ординатами 8; -1?
c)При каком значении m кубическая парабола проходит через точку N( m; -8)? - a) При каком значении аргумента значение функции y = x3 равно 6?
b) Постройте график функции y = x3. Найдите приблизительное значение абсциссы точки, ордината которой равна 6.
c) Сравните полученные результаты предыдущих пунктов. - Постройте в одной координатной плоскости графики функций y = x3 и y = 2 — x, отметьте их точки пересечения.
- На рисунке изображены графики функций y = x3,
y = (x + 3)3, y = (x – 2)3 – 1
Определите, какой график соответствует какой функции. - Точка N(–1; 1) находится на графике функции y = x3 + n. Какие из точек A(1; 3), B(0; 0), C(–2; –8), D(–2; –6) тоже находятся на графике этой функции?
- Найдите объем куба, длина ребра которого 4 см.
а) Чему равен объем куба, если длину ребра увеличить в 2 раза?
Уравнение касательной к графику функции. Как его найти?
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
В чем заключается геометрический смысл производной
Одну из главных ролей в записи касательной к графику играет производная, поэтому определим ее геометрический смысл.
Пусть задана произвольная функция y = f(x).
На графике этой функции возьмем точку А с координатами . А теперь выберем точку B с координатами недалеко от точки А.
Проведем через точки A и B прямую.
Угол наклона прямой к оси абсцисс обозначим буквой .
Проведем через точку А прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку B — прямую, параллельную оси ординат. Пусть эти две прямые пересекутся в точке C.
Тогда катет , а катет .
Если взять отношения этих значений , то получим отношение противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике ABC, что равно .
Если уменьшать расстояние между точками A и B, то будут уменьшаться длины отрезков и и в какой-то момент точка В совпадет с точкой A, а отношение станет равно производной функции y = f(x) в точке .
Тут может возникнуть вопрос: при чем здесь геометрический смысл производной, если мы начали с касательной?
Касательная — это прямая. Вспомним уравнение прямой: y = kx + b, где k — это коэффициент наклона прямой, и он равен тангенсу угла между прямой и осью абсцисс. А теперь совмещаем все данные и делаем вывод, что .
Это очень важный для нас вывод, попробуем применить его на практике, а именно на задачах формата профильного ЕГЭ по математике.
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Решение задач
Задача 1
К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой .
Нужно найти угловой коэффициент касательной к графику данной функции.
Из теории выше мы узнали, как найти угловой коэффициент касательной — он равен тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке. Значит, через целочисленные точки на прямой построим прямоугольный треугольник и найдем отношение противолежащего катета к прилежащему — получится .
Ответ: 3.
Задача 2
К графику функции y = f(x) проведена касательная в точке с абсциссой . Определите угловой коэффициент касательной в точке .
Действуйте по уже известным правилам. Получился ответ 0,25? А вот и нет! В данном случае нужно обратить внимание на убывание графика касательной. Видите, она слева направо идет вниз? Значит, к ответу нужно добавить минус и записать его — получится −0,25.
Ответ: −0,25.
Будьте внимательны
Не позвольте маленькому минусу лишить вас дополнительных баллов на экзамене или контрольной. 😩
Задача 3
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 36.
Надеюсь, вы не подумали, что мы будем изображать прямую y = 36 и искать касательные, параллельные ей. 🤯 Достаточно будет рассуждений. Прямая y = 36 — горизонтальная прямая с k = 0, а значит, и у касательных к графику k = 0 или тангенс угла наклона касательной к графику функции также будет равен нулю, что может быть только в точках экстремума функции или, проще говоря, в «бугорках» функции.
В ответе просили указать количество таких точек, значит, ответ — 5.
Ответ: 5.
Задача 4
Прямая y = 4x + 13 параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
Если прямая параллельна касательной к графику функции, то у них будут равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой y = 4x + 13 равен 4, а угловой коэффициент касательной к графику функции равен производной от этой функции, то есть 2x − 3. Приравняем полученные значения и найдем x:
2x − 3 = 4;
x = 3,5.
Ответ: 3,5 — абсцисса точки касания.
Как составить уравнение касательной к графику функции
Но как поступать, если нужно составить уравнение касательной к графику функции?
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке находится по формуле .
Для упрощения понимания этой формулы запишем алгоритм составления уравнения касательной к кривой y = f(x) в точке :
Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим в y = f(x) и посчитаем.
Продифференцируем функцию y = f(x).
- Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим в и посчитаем.
Составим уравнение касательной и приведем его к виду y = kx + b.
Задача 5
Запишите уравнение касательной к параболе в точке .
Воспользуемся алгоритмом выше:
Вычислим значение функции в точке касания, для этого подставим в и посчитаем: .
Продифференцируем функцию: .
Вычислим значение функции в точке касания: .
Все найденные значения подставим в уравнение касательной: .
Ответ: уравнение касательной y = −2x + 24.
По условию задачи нас не просили, но мы можем изобразить график квадратичной функции и касательную к параболе для проверки. Если получилась лишь одна точка касания с правильными координатами, значит, наши расчеты были верны!
Некоторые темы математики, как клубок ниток, содержат в себе понятия и правила из других тем. Не понимая прошлые темы, не удастся разобраться и в новой.
На каждом уроке курсов обучения математике в онлайн-школе Skysmart мы актуализируем уже имеющиеся знания, поэтому не разобраться не получится. Приходите на бесплатный вводный урок за подробным разбором сильных и слабых сторон и конкретными рекомендациями, как улучшить оценки и подготовиться к экзаменам!
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Кристина Тоскина
К предыдущей статье
Коллинеарность векторов
К следующей статье
100.7K
Все формулы приведения
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | ||
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
| 1 | Оценка с использованием заданного значения | квадратный корень из 50 | |
| 2 | Оценка с использованием заданного значения | квадратный корень из 45 | |
| 3 | Оценка | 5+5 | |
| 4 | Оценить | 7*7 | |
| 5 | Найти простую факторизацию | 24 | |
| 6 | Преобразование в смешанный номер | 52/6 | |
| 7 | Преобразование в смешанный номер | 93/8 | |
| 8 | Преобразование в смешанный номер | 34/5 | |
| 9 | График | у=х+1 | |
| 10 | Оценить, используя заданное значение | квадратный корень из 128 | |
| 11 | Найдите площадь поверхности | сфера (3) | |
| 12 | Оценить | 54-6÷2+6 | |
| 13 | График | г=-2x | |
| 14 | Оценить | 8*8 | |
| 15 | Преобразование в десятичное число | 5/9 | |
| 16 | Оценка с использованием заданного значения | квадратный корень из 180 | |
| 17 | График | у=2 | |
| 18 | Преобразование в смешанный номер | 7/8 | |
| 19 | Оценить | 9*9 | |
| 20 | Решите для C | С=5/9*(Ф-32) | |
| 21 | Упростить | 1/3+1 1/12 | |
| 22 | График | у=х+4 | |
| 23 | График | г=-3 | |
| 24 | График | х+у=3 | |
| 25 | График | х=5 | |
| 26 | Оценить | 6*6 | |
| 27 | Оценка | 2*2 | |
| 28 | Оценить | 4*4 | |
| 29 | Оценить | 1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6) | |
| 30 | Оценить | 1/3+13/12 | |
| 31 | Оценить | 5*5 | |
| 32 | Решить для d | 2д=5в(о)-вр | |
| 33 | Преобразование в смешанный номер | 3/7 | |
| 34 | График | г=-2 | |
| 35 | Найдите склон | у=6 | |
| 36 | Преобразование в проценты | 9 | |
| 37 | График | у=2х+2 | 92+5х+6=0|
| 41 | Преобразование в смешанный номер | 1/6 | |
| 42 | Преобразование в десятичное число | 9% | |
| 43 | Найти n | 12н-24=14н+28 | |
| 44 | Оценить | 16*4 | |
| 45 | Упростить | кубический корень из 125 | |
| 46 | Преобразование в упрощенную дробь | 43% | |
| 47 | График | х=1 | |
| 48 | График | у=6 | |
| 49 | График | г=-7 | |
| 50 | График | у=4х+2 | |
| 51 | Найдите склон | у=7 | |
| 52 | График | у=3х+4 | |
| 53 | График | у=х+5 | |
| 54 | График | 92-9=0||
| 58 | Оценка с использованием заданного значения | квадратный корень из 192 | |
| 59 | Оценка с использованием заданного значения | квадратный корень из 25/36 | |
| 60 | Найти простую факторизацию | 14 | |
| 61 | Преобразование в смешанный номер | 7/10 | |
| 62 | Решите для | (-5а)/2=75 | |
| 63 | Упростить | х | |
| 64 | Оценить | 6*4 | |
| 65 | Оценить | 6+6 | |
| 66 | Оценить | -3-5 | |
| 67 | Оценить | -2-2 | |
| 68 | Упростить | квадратный корень из 1 | |
| 69 | Упростить | квадратный корень из 4 | |
| 70 | Найди обратное | 1/3 | |
| 71 | Преобразование в смешанный номер | 20. |