Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Π§Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 9 класс.

Π§Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ. Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1. ЀункцияназываСтсячСтной (Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ), Ссли вмСстС с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ –х Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚
ΠΈ выполняСтся равСнство

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° числовой прямой (числа Ρ… ΠΈ –х ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚
). НапримСр, функция
Π½Π΅ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния
Π½Π΅ симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Ѐункция
чСтная, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ.

Ѐункция
нСчСтная, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
ΠΈ
.

Ѐункция
Π½Π΅ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ хотя
ΠΈ симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, равСнства (11.1) Π½Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ. НапримСр,.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠžΡƒ , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°

Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ссли
ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°
Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ.

ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ чСтности ΠΈΠ»ΠΈ нСчСтности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ утвСрТдСния.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. Π°) Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… (Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция чСтная (нСчСтная).

Π±) ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… (Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ…) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция чСтная.

Π²) ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция нСчСтная.

Π³) Если f – чСтная функция Π½Π° мноТСствСΠ₯ , Π° функцияg ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° мноТСствС
, Ρ‚ΠΎ функция
– чСтная.

Π΄) Если f – нСчСтная функция Π½Π° мноТСствСΠ₯ , Π° функцияg ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½Π° мноТСствС
ΠΈ чСтная (нСчСтная), Ρ‚ΠΎ функция
– чСтная (нСчСтная).

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ . Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π±) ΠΈ Π³).

Π±) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ
ΠΈ
– Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, поэтому. Аналогично рассматриваСтся случай Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
ΠΈ
.

Π³) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f – чСтная функция. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ утвСрТдСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2. Π›ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ
, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π° мноТСствСΠ₯ , симмСтричном ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ . Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

.

Ѐункция
– чСтная, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
, Π° функция
– нСчСтная, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,
, Π³Π΄Π΅
– чСтная, Π°
– нСчСтная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Ѐункция
называСтсяпСриодичСской , Ссли сущСствуСт число
, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ любом
числа
ΠΈ
Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ области опрСдСлСния
ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ равСнства

Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ число T называСтсяпСриодом Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.

Из опрСдСлСния 1 слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли

Π’ – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
, Ρ‚ΠΎ ΠΈ число –В Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
(Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π’ Π½Π° –В равСнство сохраняСтся). Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СслиВ – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈf , Ρ‚ΠΎ ΠΈ
, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ².

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3. НаимСньший ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся ССосновным ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3. ЕслиВ – основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈf , Ρ‚ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ Π΅ΠΌΡƒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ . ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈf (>0), Π½Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉΠ’ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ²Π½Π°Π’ с остатком, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ
, Π³Π΄Π΅
. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈf

, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ
, Π° это ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ’ – основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈf . Из ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ противорСчия слСдуСт ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСскими. Основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄
ΠΈ
Ρ€Π°Π²Π΅Π½
,
ΠΈ
. НайдСм ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ
β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

(Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ
.

ΠΈΠ»ΠΈΠΈΠ»ΠΈΠΈΠ»ΠΈ
.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ T , опрСдСляСмоС ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ равСнства, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ зависит ΠΎΡ‚Ρ… , Ρ‚. Π΅. являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ… , Π° Π½Π΅ постоянным числом. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ опрСдСляСтся ΠΈΠ· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ равСнства:
. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠ² бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ
наимСньший ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ получаСтся ΠΏΡ€ΠΈ
:
. Π­Ρ‚ΠΎ – основной ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТной пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся функция Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли T

– Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ
ΠΈ
ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡ… ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡ… . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ

ΠΏΡ€ΠΈ любом Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ числС T . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, любоС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ числоT являСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅. Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основного ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρƒ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ числомоТно ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌn сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 4. Если функцияf Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π½Π° мноТСствСΠ₯ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π’ , Π° функцияg Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Π½Π° мноТСствС
, Ρ‚ΠΎ слоТная функция
Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π’ .

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ . ИмССм, поэтому

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

НапримСр, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ cos x ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄
, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄
.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ пСриодичСскими, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΠ½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ .

Π’ июлС 2020 Π³ΠΎΠ΄Π° NASA запускаСт ΡΠΊΡΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° ΠœΠ°Ρ€Ρ. ΠšΠΎΡΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ доставит Π½Π° ΠœΠ°Ρ€Ρ элСктронный Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ с ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ всСх зарСгистрированных участников экспСдиции.


Если этот пост Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» Π²Π°ΡˆΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ просто понравился Π²Π°ΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ссылкой Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ со своими Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ Π² ΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСтях.

Один ΠΈΠ· этих Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ΄Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΠ΄ вашСй Π²Π΅Π±-станицы, ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚Π΅Π³Π°ΠΌΠΈ

ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ сразу послС Ρ‚Π΅Π³Π° . По ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρƒ MathJax подгруТаСтся быстрСС ΠΈ мСньшС Ρ‚ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠ·ΠΈΡ‚ страницу. Π—Π°Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ автоматичСски отслСТиваСт ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ°Π΅Ρ‚ свСТиС вСрсии MathJax. Если Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ΄, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ пСриодичСски ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒ. Если Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ΄, Ρ‚ΠΎ страницы Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅, Π·Π°Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ постоянно ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° обновлСниями MathJax.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ MathJax ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго Π² Blogger ΠΈΠ»ΠΈ WordPress: Π² ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ управлСния сайтом Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ для вставки стороннСго ΠΊΠΎΠ΄Π° JavaScript, скопируйтС Π² Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ ΠΊΠΎΠ΄Π° Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ, прСдставлСнного Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈ размСститС Π²ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ шаблона (кстати, это вовсС Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ скрипт MathJax загруТаСтся асинхронно). Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ всС. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ синтаксис Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ MathML, LaTeX ΠΈ ASCIIMathML, ΠΈ Π²Ρ‹ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ Π²ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ матСматичСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π° Π²Π΅Π±-страницы своСго сайта.

ΠžΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Π½ΡƒΠ½ Нового Года… морозная ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ΄Π° ΠΈ снСТинки Π½Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ стСклС… ВсС это ΠΏΠΎΠ±ΡƒΠ΄ΠΈΠ»ΠΎ мСня вновь Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ о… Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Π°Ρ…, ΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ± этом Π’ΠΎΠ»ΡŒΡ„Ρ€Π°ΠΌ ΠΠ»ΡŒΡ„Π°. По этому ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ интСрСсная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… структур. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»ΠΎΠ².


Π€Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ наглядно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ (ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ), ΠΊΠ°ΠΊ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ (имСя Π²Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС, мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ), Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ сама исходная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, это самоподобная структура, рассматривая Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±Π΅Π· увСличСния. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π² случаС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ гСомСтричСской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ (Π½Π΅ Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Π°), ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ρ‡Π΅ΠΌ сама исходная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°. НапримСр, ΠΏΡ€ΠΈ достаточно большом ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ эллипса выглядит, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой. Π‘ Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ происходит: ΠΏΡ€ΠΈ любом ΠΈΡ… ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ снова ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, которая с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ снова ΠΈ снова.

Π‘Π΅Π½ΡƒΠ° ΠœΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡŒΠ±Ρ€ΠΎΡ‚ (Benoit Mandelbrot), основополоТник Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ ΠΎ Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Π°Ρ…, Π² своСй ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π€Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Ρ‹ ΠΈ искусство Π²ΠΎ имя Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ написал: Β«Π€Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Ρ‹ β€” это гСомСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ стСпСни слоТны Π² своих дСталях, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² своСй ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ссли Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° Π΄ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅, ΠΈΠ»ΠΈ Π² точности, ΠΈΠ»ΠΈ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, с нСбольшой Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉΒ».

Нули Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Нулём Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ… , ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ функция обращаСтся Π² 0, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ f(x)=0.

Нули – это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с осью ΠžΡ….

Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Ѐункция называСтся Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли для любого Ρ… ΠΈΠ· области опрСдСлСния выполняСтся равСнство f(-x) = f(x)

ЧСтная функция симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠžΡƒ

ΠΠ΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Ѐункция называСтся Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли для любого Ρ… ΠΈΠ· области опрСдСлСния выполняСтся равСнство f(-x) = -f(x).

НСчСтная функция симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
Ѐункция которая Π½Π΅ являСтся Π½ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ,Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ называСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°.

ВозрастаниС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Ѐункция f(x) называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, Ссли Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° соотвСтствуСт большСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚. Π΅. x 2 >x 1 β†’ f(x 2)>f(x 1)

Π£Π±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Ѐункция f(x) называСтся ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ, Ссли Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° соотвСтствуСт мСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚.Π΅. x 2 >x 1 β†’ f(x 2)
ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°ΠΌΠΈ монотонности . Ѐункция f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 3 ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° монотонности:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Находят ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ монотонности с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ сСрвиса Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ… 0 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ локального максимума, Ссли для любого Ρ… ΠΈΠ· окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Ρ… 0 выполняСтся нСравСнство: f(x 0) > f(x)

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ… 0 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ локального ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Ссли для любого Ρ… ΠΈΠ· окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ… 0 выполняСтся нСравСнство: f(x 0)
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ локального максимума ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ локального ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ локального экстрСмума.

x 1 , x 2 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ локального экстрСмума.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Ѐункция f(x) называСтся ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ, с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π’ , Ссли для любого Ρ… выполняСтся равСнство f(x+T) = f(x) .

ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ знакопостоянства
ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°ΠΌΠΈ знакопостоянства.

f(x)>0 ΠΏΡ€ΠΈ x∈(x 1 , x 2)βˆͺ(x 2 , +∞), f(x)

ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
Ѐункция f(x) называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 0 , Ссли ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x β†’ x 0 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚.Π΅. .

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΎ условиС нСпрСрывности Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

x 0 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°.

1. Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ D(y).
2. Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
3. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
4. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
5. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ монотонности ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
6. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ выпуклости ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
7. Найти асимптоты Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
8. По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ исслСдования ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ: y = x 3 – 3x
8) По Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ исслСдования построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ЧСтная функция.

Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ называСтся функция, Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ мСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° x .

x выполняСтся равСнство f (–x ) = f (x ). Π—Π½Π°ΠΊ x Π½Π΅ влияСт Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ y .

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (рис.1).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

y = cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

ПояснСниС:
Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = x 2 ΠΈΠ»ΠΈ y = –x 2 .
ΠŸΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ x функция ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ. Π—Π½Π°ΠΊ x Π½Π΅ влияСт Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ y . Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΎ чСтная функция.

НСчСтная функция.

НСчСтной называСтся функция, Π·Π½Π°ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ мСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° x .

Говоря ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, для любого значСния x выполняСтся равСнство f (–x ) = –f (x ).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (рис.2).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

y = sin x

y = x 3

y = –x 3

ПояснСниС:

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y = –x 3 .
ВсС значСния Ρƒ Π² Π½Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ x влияСт Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊ y . Если нСзависимая пСрСмСнная – ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΠΈ функция ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, Ссли нСзависимая пСрСмСнная – ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ ΠΈ функция ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ: f (–x ) = –f (x ).
Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΎ нСчСтная функция.

Бвойства Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π§ΠΠΠ˜Π•:

НС всС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π•ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π΄Π°Ρ†ΠΈΠΈ. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, функция корня Ρƒ = βˆšΡ… Π½Π΅ относится Π½ΠΈ ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΈ ΠΊ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ функциям (рис.3). ΠŸΡ€ΠΈ пСрСчислСнии свойств ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ слСдуСт Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ описаниС: Π½ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Π°, Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Π°.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Как Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ – это ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… процСссов с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ эти процСссы, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ пСриодичСскими функциями . Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ это Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² Ρ‡ΡŒΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнты, ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числовыми ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°ΠΌΠΈ.

    β€” (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌ.) Ѐункция Ρƒ = f (x) называСтся Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ мСняСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° нСзависимоС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ измСняСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ссли f (x) = f (x). Если ΠΆΠ΅ f (x) = f (x), Ρ‚ΠΎ функция f (x) называСтся Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ. НапримСр, Ρƒ = cosx, Ρƒ = x2… …

    F(x) = x ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x2 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x3 … ВикипСдия

    Ѐункция, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π°Ρ равСнству f (x) = f (x). Π‘ΠΌ. Π§Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ … Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ совСтская энциклопСдия

    F(x) = x ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x2 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x3 … ВикипСдия

    F(x) = x ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x2 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x3 … ВикипСдия

    F(x) = x ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x2 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x3 … ВикипСдия

    F(x) = x ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x2 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. f(x) = x3 … ВикипСдия

    Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π²Π²Π΅Π΄Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ французским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π­. ΠœΠ°Ρ‚ΡŒΠ΅ (E. Mathieu) Π² 1868 ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΈ эллиптичСской ΠΌΠ΅ΠΌΠ±Ρ€Π°Π½Ρ‹. М. Ρ„. ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ распространСния элСктромагнитных Π²ΠΎΠ»Π½ Π² эллиптичСском Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π΅ … Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ совСтская энциклопСдия

    Запрос Β«sinΒ» пСрСнаправляСтся сюда; см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния. Запрос Β«secΒ» пСрСнаправляСтся сюда; см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния. Запрос «Бинус» пСрСнаправляСтся сюда; см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния … ВикипСдия

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π². ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π². ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
  

ГусСв Π’. А., ΠœΠΎΡ€Π΄ΠΊΠΎΠ²ΠΈΡ‡ А. Π“. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π‘ΠΏΡ€Π°Π². ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹: Кн. для учащихся.β€” М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 1988.β€” 416 с.

Π’ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ основных Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… курсов Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Книга ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² систСматизации ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅.



ОглавлСниС

Π‘Π›ΠžΠ’Πž К УЧАЩИМБЯ
ГЛАВА I. Π§Π˜Π‘Π›Π
Β§ 1. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
2. АрифмСтичСскиС дСйствия Π½Π°Π΄ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.
3. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ с остатком.
4. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ дСлимости.
5. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
6. Наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
7. НаимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
8. Π£ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ² Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅.
Β§ 2. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
10. РавСнство Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. ОсновноС свойство Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
11. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ.
12. АрифмСтичСскиС дСйствия Π½Π°Π΄ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ дробями.
13. ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
14. АрифмСтичСскиС дСйствия Π½Π°Π΄ дСсятичными дробями.
15. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹.
16. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.
17. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ бСсконСчной дСсятичной пСриодичСской Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.
18. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Π°Ρ прямая.
19. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
Β§ 3. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
21. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Числовая прямая.
22 ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… числовых мноТСств.
23. Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
25. ЧисловыС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.
26. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
27. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой.
28. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° дСйствий Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.
29. Бвойства арифмСтичСских дСйствий Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.
30. ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ.
31. ЦСлая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа. Дробная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ числа.
32. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
33. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
34. Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
35. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСского корня.
36. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
37. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
38. Бвойства стСпСнСй с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
39. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния чисСл. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
40. ДСсятичныС приблиТСния Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΏΠΎ нСдостатку ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΡƒ.
41. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.
42. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ стСпСни с ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.
43. Бвойства стСпСнСй с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
Β§ 4. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа
45. АрифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ комплСксными числами.
46. АлгСбраичСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа.
47. 3.
112. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x-m)+n
113. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
114. Бпособы построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
115. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(kx).
116. Π‘ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠ΅ ΠΈ растяТСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
117. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ гармоничСского колСбания
ГЛАВА IV. ВРАНБЦЕНДЕНВНЫЕ Π’Π«Π ΠΠ–Π•ΠΠ˜Π―
Β§ 12. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°
119. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ основанию.
120. Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².
121. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
122. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
123. ДСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ. Π₯арактСристика ΠΈ мантисса дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
Β§ 13. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… использованиС для прСобразования тригономСтричСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
125. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
126. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния.
127. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
128. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.
129. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни.
130. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ суммы тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
131. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² сумму.
132. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ выраТСния a cos t + b sin t ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ A sin (t + a).
133. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, содСрТащих ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
ГЛАВА V. Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π― И Π‘Π˜Π‘Π’Π•ΠœΠ« Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π™
Β§ 14. УравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
135. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
136. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
137. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
138. НСполныС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
139. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°.
140. БистСмы ΠΈ совокупности ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
141. УравнСния, содСрТащиС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ модуля.
142. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ слСдствия уравнСния. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
143. УравнСния с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.
144. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния уравнСния.
145. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
146. РСшСниС уравнСния p(x) = 0 ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ разлоТСния Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
147. РСшСниС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ввСдСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
148. Π‘ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
149. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ составлСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
150. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
151. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
152. ЛогарифмичСскиС уравнСния.
153. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ-логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
154. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС уравнСния.
155. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
156. Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ подстановка (для тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ).
157. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ввСдСния Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° (для тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ).
158. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
159. УравнСния с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ.
Β§ 15. УравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ
161. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ уравнСния с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
162. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.
Β§ 16. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
164. РСшСниС систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ подстановки.
165. РСшСниС систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ слоТСния.
167. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
168. ИсслСдованиС систСмы Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
169. РСшСниС систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ умноТСния ΠΈ дСлСния.
170. БистСмы ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
171. БистСмы тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
172. БистСмы Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с трСмя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
173. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ составлСния систСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π“Π»Π°Π²Π° VI. НЕРАВЕНБВВА
Β§ 17. РСшСниС нСравСнств с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
175. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
176. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
177. БистСмы нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
178. Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нСравСнств с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
179. Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
180. НСравСнства Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
181. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСравСнств Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни.
182. НСравСнства с модулями.
183. РСшСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ².
184. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
185. ЛогарифмичСскиС нСравСнства.
186. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
187. РСшСниС тригономСтричСских нСравСнств.
188. НСравСнства ΠΈ систСмы нСравСнств с двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.
Β§ 18. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСравСнств
190. БинтСтичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° нСравСнств.
191. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСравСнств ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ.
192. ИспользованиС нСравСнств ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ГЛАВА VII. Π­Π›Π•ΠœΠ•ΠΠ’Π« ΠœΠΠ’Π•ΠœΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠžΠ“Πž ΠΠΠΠ›Π˜Π—Π
Β§ 19. ЧисловыС ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
194. Бпособы задания ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
195. ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
196. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСской прогрСссии.
197. Бвойства арифмСтичСской прогрСссии
198. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ гСомСтричСской прогрСссии.
199. Бвойства гСомСтричСской прогрСссии.
200. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
201. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ.
202. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° бСсконСчной гСомСтричСской прогрСссии ΠΏΡ€ΠΈ |q| Β§ 20. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
204. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…->ΠΎΠΎ.
205. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. НСпрСрывныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
206. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота.
207. ВычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
Β§ 21. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈ Π΅Π΅ примСнСния
209. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
210. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ диффСрСнцирования. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….
211. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ суммы, произвСдСния, частного.
212. БлоТная функция ΠΈ Π΅Π΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
213. ЀизичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
214. Вторая производная ΠΈ Π΅Π΅ физичСский смысл.
215. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
216. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
217. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° экстрСмум.
218. ΠžΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.
219. ΠžΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСго значСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.
220. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° отысканиС Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.
221. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° тоТдСств.
222. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° нСравСнств.
223. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ схСма построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Β§ 22. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Π°Ρ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
225. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ….
226. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ….
227. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π».
228. Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°β€”Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π°).
229. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΠΎΠ².
230. ИспользованиС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° для вычислСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ плоских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.
Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―. ГЛАВА I. Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π€Π˜Π“Π£Π Π« НА ΠŸΠ›ΠžΠ‘ΠšΠžΠ‘Π’Π˜
2. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ.
3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Аксиомы. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹.
Β§ 2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… гСомСтричСских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
5. Π›ΡƒΡ‡.
6. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΡ€ΡƒΠ³.
7. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.
8. Π£Π³ΠΎΠ». Градусная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡƒΠ³Π»Π°.
9. Π‘ΠΌΠ΅ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.
10. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ вписанныС ΡƒΠ³Π»Ρ‹.
11. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС.
12. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямых.
13. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ прямыС.
14. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΊ окруТности.
15. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
16. РавСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
17. Π Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.
18. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
19. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.
20. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, вписанныС Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ описанныС ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Β§ 3. ГСомСтричСскиС построСния Π½Π° плоскости
22. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° построСниС.
23. ГСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° плоскости.
Β§ 4. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ
25. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ.
26. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. Π ΠΎΠΌΠ±. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.
27. ВрапСция.
Β§ 5. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ
29. Π’Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
30. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
31. Π”Π»ΠΈΠ½Π° окруТности.
Β§ 6. РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
33. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сторонами ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅.
34. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов.
35. РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
Β§ 7. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ плоских Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
37. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
38. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.
39. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.
ГЛАВА II. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ ΠΈ плоскости Π² пространствС
Β§ 9. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй
42. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΈ плоскости.
43. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости.
Β§ 10. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй
45. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΈ наклонная ΠΊ плоскости.
46. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоскостСй.
ГЛАВА III. ВЕЛА Π’ ΠŸΠ ΠžΠ‘Π’Π ΠΠΠ‘Π’Π’Π•
Β§ 11. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ
48. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.
49. ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄. ΠšΡƒΠ±.
50. ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°.
51. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.
Β§ 12. Π’Π΅Π»Π° вращСния
53. ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ.
54. Π¨Π°Ρ€.
Β§ 13. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ пространствСнных Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π½Π° плоскости
56. ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
57. ГСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² пространствС.
Β§ 14. ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅Π»
59. ОбъСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
60. ОбъСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΈ конуса.
61. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° объСмов Ρ‚Π΅Π» вращСния.
Β§ 15. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхностСй Ρ‚Π΅Π»
63. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности.
64. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхностСй Ρ‚Π΅Π» вращСния.
ГЛАВА IV. Π”Π•ΠšΠΠ Π’ΠžΠ’Π« ΠšΠžΠžΠ Π”Π˜ΠΠΠ’Π«
Β§ 16. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° плоскости ΠΈ Π² пространствС
66. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ сСрСдины ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
Β§ 17. УравнСния Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π½Π° плоскости
68. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… окруТностСй.
69. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой.
70. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΈ окруТности.
Β§ 18. УравнСния Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π² пространствС
72. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ сфСры.
73. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС сфСры ΠΈ плоскости.
74. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… сфСр.
ГЛАВА V. Π Π•ΠžΠ‘Π ΠΠ—ΠžΠ’ΠΠΠ˜Π― Π€Π˜Π“Π£Π 
76. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ двиТСния.
Β§ 20. ПодобиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
78. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.
ГЛАВА VI. Π’Π•ΠšΠ’ΠžΠ Π«
80. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
81. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
Β§ 22. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
83. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число. ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.
84. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².
ΠŸΠ Π˜Π›ΠžΠ–Π•ΠΠ˜Π―
Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―

2.9 Π§Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ОглавлСниС

Π§Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Ѐункция $y=f(x)$, опрСдСлСнная Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ $(-a,a)$, называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ , Ссли ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° любого значСния $x$ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ этому ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ мСняСтся, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

\[
f(-x)=f(x)\qquad\text{для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ }x\text{ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅}(- Π°, Π°).
\]

Рис. 1: Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси $y$

 

Если функция чСтная, Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси $y$ . {2}$ ΠΈ $y=\cos x$ (см. рис. 2). 9{2}$ (c) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $y=\cos x $ Рис. 2 $x$ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… этому ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρƒ, мСняСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ (Π° Π½Π΅ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ
\[
f(-x)=-f(x)\qquad\text{для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ }x\text {Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅}(-Π°,Π°).
\]

Если функция нСчСтная, Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 9{3}$ (Π±) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $y=1/x $ (c) Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ $y=\sin x $

Рисунок 4

  • Если нСчСтная функция $f$ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ $x=0$, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΌ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:
    \[
    f(0)=0.
    \] [ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $f(0)=b$. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $(0,b)$ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ $f$, Π° $f$ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Π°, $(0,-b)$ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ $f$. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ $ b=0$, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ $f$ присвоила Π±Ρ‹ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… значСния $\pm b$ $x=0$, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.] 9{2}=Π³(Ρ…).
    \]

    (c) Π­Ρ‚Π° функция Π½Π΅ являСтся Π½ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ
    \[
    h(-x)=1+\sin(-x)=1-\sin x\neq\begin{cases}
    1+\sin x=g (x)\\
    -(1+\sin x)=-g(x)
    \end{case}
    \]

    ΠžΠ±Π·ΠΎΡ€ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ см. Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 3.3.

    Mathwords: чСтная функция

    Mathwords: чСтная функция
    индСкс: Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ
    индСкс: ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ области

    ЧСтная функция

    Ѐункция с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ симмСтричСн с ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси Y.

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *

    Β© 2015 - 2019 ΠœΡƒΠ½ΠΈΡ†ΠΈΠΏΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°Π·Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‡Ρ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ «Валовская срСдняя школа»

    ΠšΠ°Ρ€Ρ‚Π° сайта