График lnx: ln график | график ln (x)

alexxlab / / Разное

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1Найти точное значениеsin(30)
2Найти точное значениеsin(45)
3Найти точное значениеsin(30 град. )
4Найти точное значениеsin(60 град. )
5Найти точное значениеtan(30 град. )
6Найти точное значениеarcsin(-1)
7Найти точное значениеsin(pi/6)
8
Найти точное значение		cos(pi/4)
9Найти точное значениеsin(45 град. )
10Найти точное значениеsin(pi/3)
11Найти точное значениеarctan(-1)
12Найти точное значениеcos(45 град. )
13Найти точное значениеcos(30 град. )
14Найти точное значениеtan(60)
15
Найти точное значение		csc(45 град. )
16Найти точное значениеtan(60 град. )
17Найти точное значениеsec(30 град. )
18Найти точное значениеcos(60 град. )
19Найти точное значениеcos(150)
20Найти точное значениеsin(60)
21Найти точное значениеcos(pi/2)
22Найти точное значениеtan(45 град. )
23Найти точное значениеarctan(- квадратный корень из 3)
24Найти точное значениеcsc(60 град. )
25Найти точное значениеsec(45 град. )
26Найти точное значениеcsc(30 град. )
27
Найти точное значение		sin(0)
28Найти точное значениеsin(120)
29Найти точное значениеcos(90)
30Преобразовать из радианов в градусыpi/3
31Найти точное значениеtan(30)
32Преобразовать из градусов в радианы45
33Найти точное значениеcos(45)
34Упростить
sin(theta)^2+cos(theta)^2
35Преобразовать из радианов в градусыpi/6
36Найти точное значениеcot(30 град. )
37Найти точное значениеarccos(-1)
38Найти точное значениеarctan(0)
39Найти точное значениеcot(60 град. )
40Преобразовать из градусов в радианы30
41Преобразовать из радианов в градусы(2pi)/3
42Найти точное значениеsin((5pi)/3)
43Найти точное значениеsin((3pi)/4)
44Найти точное значениеtan(pi/2)
45Найти точное значениеsin(300)
46Найти точное значениеcos(30)
47Найти точное значениеcos(60)
48Найти точное значениеcos(0)
49Найти точное значениеcos(135)
50Найти точное значениеcos((5pi)/3)
51Найти точное значениеcos(210)
52Найти точное значениеsec(60 град. )
53Найти точное значениеsin(300 град. )
54Преобразовать из градусов в радианы135
55Преобразовать из градусов в радианы150
56Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/6
57Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/3
58Преобразовать из градусов в радианы89 град.
59Преобразовать из градусов в радианы60
60Найти точное значениеsin(135 град. )
61Найти точное значениеsin(150)
62Найти точное значениеsin(240 град. )
63Найти точное значениеcot(45 град. )
64Преобразовать из радианов в градусы(5pi)/4
65Найти точное значениеsin(225)
66Найти точное значениеsin(240)
67Найти точное значениеcos(150 град. )
68Найти точное значениеtan(45)
69Вычислитьsin(30 град. )
70Найти точное значениеsec(0)
71Найти точное значениеcos((5pi)/6)
72Найти точное значениеcsc(30)
73Найти точное значениеarcsin(( квадратный корень из 2)/2)
74Найти точное значениеtan((5pi)/3)
75Найти точное значениеtan(0)
76Вычислитьsin(60 град. )
77Найти точное значениеarctan(-( квадратный корень из 3)/3)
78Преобразовать из радианов в градусы(3pi)/4
79Найти точное значениеsin((7pi)/4)
80Найти точное значениеarcsin(-1/2)
81Найти точное значениеsin((4pi)/3)
82Найти точное значениеcsc(45)
83Упроститьarctan( квадратный корень из 3)
84Найти точное значениеsin(135)
85Найти точное значениеsin(105)
86Найти точное значениеsin(150 град. )
87Найти точное значениеsin((2pi)/3)
88Найти точное значениеtan((2pi)/3)
89Преобразовать из радианов в градусыpi/4
90Найти точное значениеsin(pi/2)
91Найти точное значениеsec(45)
92Найти точное значениеcos((5pi)/4)
93Найти точное значениеcos((7pi)/6)
94Найти точное значениеarcsin(0)
95Найти точное значениеsin(120 град. )
96Найти точное значениеtan((7pi)/6)
97Найти точное значениеcos(270)
98Найти точное значениеsin((7pi)/6)
99Найти точное значениеarcsin(-( квадратный корень из 2)/2)
100Преобразовать из градусов в радианы88 град.

Натуральный логарифм, функция ln x

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм
– это функция   y = ln x, обратная к экспоненте, x = e y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е:   ln x = loge x.

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.

Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045…;
.

График натурального логарифма ln x


График функции y = ln x.

График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция xa с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

 
Область определения 0 < x + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает
Нули, y = 0 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0нет
+ ∞
– ∞

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента.

Если    ,   то   

Если    ,   то    .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z:
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И. Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45
19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Производная ln x (натуральный логарифм)

В этом уроке мы увидим, что является производной ln x. Мы знаем, что ln x — натуральная логарифмическая функция. Это означает, что «ln» — это не что иное, как «логарифм по основанию e». т. е. ln = logₑ. Мы можем найти производную от ln x двумя способами.

  • Используя первый принцип (определение производной)
  • С помощью неявного дифференцирования

Давайте посмотрим, что такое производная от ln x вместе с ее доказательством двумя методами и несколькими решенными примерами.

1. Какая производная от ln x?
2. Производное натурального бревна по первому принципу
3. Производная от ln x неявным дифференцированием
4. Часто задаваемые вопросы о производной ln x

Какая производная от ln x?

Производная от ln x равна 1/x. т. е. d/dx (ln x) = 1/x. Другими словами, производная натурального логарифма x равна 1/x. Но как это доказать? Прежде чем доказывать, что производная от ln x равна 1/x, давайте грубо докажем это, используя ее график. Для этого сначала построим график функции f(x) = ln x. Мы знаем, что производная функции в точке есть не что иное, как наклон касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Мы можем ясно видеть, что наклон касательной

  • при х = 1 равно 1
  • при x = 2 равно 1/2
  • при x = 3 равно 1/3 и так далее.

Таким образом, производная от ln x равна 1/x , что обозначается как d/dx (ln x) = 1/x (или) (ln x)’ = 1/x.

Первичные производные правила

Здесь приведены первичные производные правила.

  • d/dx (ln x) = 1/x (или)
  • (ln x)’ = 1/x

Докажем эту формулу различными способами.

Производная натурального бревна по первому принципу

Докажем, что производная натурального логарифма равна d/dx(ln x) = 1/x, используя первый принцип (определение производной).

Доказательство

Предположим, что f(x) = ln x. По первому принципу производная функции f(x) (обозначаемой через f'(x)) задается пределом,

f'(x) = limₕ→₀ [f(x + h) — f (x)] / h

Так как f(x) = ln x, то f(x + h) = ln (x + h).

Подставив эти значения в определение производной,

f'(x) = limₕ→₀ [ln (x + h) — ln x] / h лн (м/н). Применяя это, мы получаем

f'(x) = limₕ→₀ [ln [(x + h) / x]] / h

= lim ₕ→₀ [ln (1 + (h/x))] / h

Предположим, что h/x = t. Отсюда h = xt.

Также, когда h→0, h/x→0 и, следовательно, t→0.

Подставив эти значения в приведенный выше предел,

f'(x) = limₜ→₀ [ln (1 + t)] / (xt)

= limₜ→₀ 1/(xt) ln (1 + t)

По другому свойству логарифма m ln a = ln a m . Применяя это, мы получаем

f'(x) = limₜ→₀ ln (1 + t) 1/(xt)

. . Применяя это, мы получаем

f'(x) = limₜ→₀ ln [(1 + t) 1/t ] 1/x

Снова применяя ln a m = m ln a,

f'(x) = limₜ→₀ (1/x) ln [(1 + t) 1/t ]

Поскольку ‘x’ не зависит от переменной предела, мы можем записать (1/x) вне предела.

f'(x) = (1/x) limₜ→₀ ln [(1 + t) 1/t ] = (1/x) ln limₜ→₀ [(1 + t) 1/t ]

Используя одну из формул пределов, limₜ→₀ [(1 + t) 1/t ] = e. Следовательно,

f'(x) = (1/x) ln e = (1/x) (1) = 1/x.

Таким образом, мы доказали, что производная от ln x равна 1/x, используя определение производной.

Производная от ln x неявным дифференцированием

Докажем, что дифференцирование ln x дает d/dx(ln x) = 1/x, используя неявное дифференцирование.

Доказательство

Предположим, что y = ln x. Преобразовав это в экспоненциальную форму, мы получим e y = x. Теперь возьмем производную от обеих частей этого уравнения по x. Тогда мы получаем

d/dx (e y ) = d/dx (x)

Используя цепное правило,

e y dy/dx = 1

dy/dx = 1/e y

Но у нас есть e y = x. Следовательно,

dy/dx = 1/x

Таким образом, мы доказали, что производная от ln x равна 1/x, также используя неявное дифференцирование.

Важные замечания о производной от ln x:

Вот несколько важных замечаний о производной от ln x.

  • Производная от ln x равна 1/x.
  • Хотя и log x, и ln x являются логарифмами, их производные НЕ совпадают. то есть
    д/дх ( ln х) = 1/х
    d/dx (log x) = 1/(x ln 10)
  • Мы знаем, что область определения ln x равна x > 0 и, следовательно, d/dx (ln |x|) также = 1/x.
  • Производная ln(f(x)) по цепному правилу равна 1/(f(x)) · f'(x).

☛  Связанные темы:

Вот некоторые темы, которые могут вас заинтересовать при чтении о производной от ln x.

  • Калькулятор касательной
  • Склон
  • Производные формулы

Часто задаваемые вопросы о производной ln x

Что является производным натурального бревна?

Натуральный логарифм обозначается «ln». Это не что иное, как десятичный логарифм с основанием «е». Производная натурального логарифма x равна 1/x. т. е. d/dx (ln x) = 1/x.

Каков результат дифференциации ln x?

Дифференцирование ln x дает 1/x. Математически мы можем записать это как

  • d/dx (ln x) = 1/x
  • (1n х)’ = 1/х

Что такое производная 1/х?

Чтобы найти производную от 1/x, мы можем записать ее как 1/x = x -1 . Тогда по степенному правилу его производная равна -1x -2 (или) -1/x 2 .

Как доказать, что производная от ln x равна 1/x?

Мы можем доказать, что производная от ln x равна 1/x, либо используя определение производной (первый принцип), либо используя неявное дифференцирование. Для подробного доказательства нажмите на следующее:

  • Производная от ln x по первому принципу
  • Производная от ln x методом неявного дифференцирования

Какая формула нахождения производной ln x?

Формула нахождения производной от ln x: d/dx(ln x) = 1/x. Это означает, что производная от ln x равна 1/x.

Является ли производная от ln x такой же, как производная от log x?

Нет, производная от ln x НЕ совпадает с производной от log x. Производная от ln x равна 1/x, тогда как производная от log x равна 1/(x ln 10).

Какая производная от ln x/x?

Чтобы найти производную от ln x/x, воспользуемся правилом частных. Тогда мы получаем [x (1/x) — ln x (1)]/x 2 = [1 — ln x]/x 2 .

Что такое n

th Производная от ln x?

Первая производная от ln x равна 1/x. Вторая производная равна -1/x 2 . Его третья производная равна 2/x 3 . Если мы продолжим этот процесс, n th производная от ln x равна [(-1) n-1 (n-1)!]/x н .

В чем разница между производными от ln x и log x?

Распространенной ошибкой является предположение, что производная от ln x и производная от log x равны. Но дело в том, что их производные НЕ равны. У нас есть

  • d/dx (log x) = 1/(x ln 10)
  • d/dx (ln x) = 1/x

Как получить производную от ln 3x, используя производную от ln x?

По свойству логарифмов, ln 3x = ln 3 + ln x.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *