1 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(30) | |
2 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(45) | |
3 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
4 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
5 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
6 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(-1) | |
7 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(pi/6) | |
8 | cos(pi/4) | ||
9 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
10 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(pi/3) | |
11 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(-1) | |
12 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
13 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
14 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(60) | |
15 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
16 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
17 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
18 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
19 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(150) | |
20 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(60) | |
21 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(pi/2) | |
22 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
23 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(- ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 3) | |
24 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
25 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
26 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
27 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(0) | |
28 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(120) | |
29 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(90) | |
30 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | pi/3 | |
31 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(30) | |
32 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 45 | |
33 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(45) | |
34 | Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
35 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | pi/6 | |
36 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cot(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
37 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arccos(-1) | |
38 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(0) | |
39 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cot(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
40 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 30 | |
41 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (2pi)/3 | |
42 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((5pi)/3) | |
43 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((3pi)/4) | |
44 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(pi/2) | |
45 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(300) | |
46 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(30) | |
47 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(60) | |
48 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(0) | |
49 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(135) | |
50 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((5pi)/3) | |
51 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(210) | |
52 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
53 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(300 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
54 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 135 | |
55 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 150 | |
56 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (5pi)/6 | |
57 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (5pi)/3 | |
58 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 89 Π³ΡΠ°Π΄. | |
59 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 60 | |
60 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(135 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
61 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(150) | |
62 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(240 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
63 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cot(45 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
64 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (5pi)/4 | |
65 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(225) | |
66 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(240) | |
67 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(150 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
68 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(45) | |
69 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | sin(30 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
70 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(0) | |
71 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((5pi)/6) | |
72 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(30) | |
73 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 2)/2) | |
74 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan((5pi)/3) | |
75 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan(0) | |
76 | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ | sin(60 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
77 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arctan(-( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 3)/3) | |
78 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | (3pi)/4 | |
79 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((7pi)/4) | |
80 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(-1/2) | |
81 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((4pi)/3) | |
82 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | csc(45) | |
83 | Π£ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ | arctan( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 3) | |
84 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(135) | |
85 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(105) | |
86 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(150 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
87 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((2pi)/3) | |
88 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan((2pi)/3) | |
89 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½ΠΎΠ² Π² Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΡ | pi/4 | |
90 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(pi/2) | |
91 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sec(45) | |
92 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((5pi)/4) | |
93 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos((7pi)/6) | |
94 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(0) | |
95 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin(120 Π³ΡΠ°Π΄. ) | |
96 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | tan((7pi)/6) | |
97 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | cos(270) | |
98 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | sin((7pi)/6) | |
99 | ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ | arcsin(-( ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· 2)/2) | |
100 | ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ | 88 Π³ΡΠ°Π΄. |
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π», ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΄ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ln x ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ — ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = ln x , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ΅ , x = e y , ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΠ°ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ : ln x = log e x .
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄: (ln x)β² = 1/ x .
ΠΡΡ
ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ , ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ :
Π΅
β
2,718281828459045…
;
.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x .
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x ) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y = x .
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x . ΠΠ½ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ x β 0 ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( — β ).
ΠΡΠΈ x β + β ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( + β ). ΠΡΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ x Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ, Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ln x
ln 1 = 0
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ±ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ «ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ» .
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° .
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ .
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ln x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΎΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ x
:
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:
.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» > > >
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΌ :
.
ΠΡΠ°ΠΊ,
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z
:
.
ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ z ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ r ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Ο :
.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.
ΠΠ»ΠΈ
.
ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Ο
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ
,
Π³Π΄Π΅ n — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅,
ΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
n
.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ.
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΄
ΠΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°:
Π.Π. ΠΡΠΎΠ½ΡΡΠ΅ΠΉΠ½, Π.Π. Π‘Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅Π², Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ
ΡΡ Π²ΡΡΠ·ΠΎΠ², Β«ΠΠ°Π½ΡΒ», 2009.
Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ ΠΎ, ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°? ΠΠΎΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π°ΡΡ Π²Π°ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΎΠ΅.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ e ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΎΡΡ
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ e ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠΉ ΡΠΎΡΡ. ΠΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, e x ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΠ²ΡΠ·Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ: 3 Π³ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡΠΈ ΡΠΎΡΡΠ΅ 100% Π΅ΡΡΡ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ 1 Π³ΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΈ 300%, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ «ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ²».
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (50% Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 4 Π»Π΅Ρ), Π½ΠΎ Π»ΡΡΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ 100% Π΄Π»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° (ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ 100% Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 2 Π»Π΅Ρ). ΠΠ° ΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ 100% ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΊΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:
e x = e ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Ρ * Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = e 1.0 * Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = e Π²ΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ e x ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ:
- Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· x Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ 100%-Π³ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°).
- Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· 3 ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΡ Π² e 3 = 20.08 ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ «ΡΡΡΠΊΠΎΠ²ΠΈΠ½».
e x — ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ, Π΄ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΠΌΡ Π²ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΌ Π·Π° x ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ — ΡΡΠΎ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° e, ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΡΠ΄Π»ΠΈΠ²ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΡΠ°ΡΠΈ, ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΡΠ΄Π°Ρ ; ΠΏΠΎ Π»Π°ΡΡΠ½ΠΈ ΠΎΠ½ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ logarithmus naturali , ΠΎΡΡΡΠ΄Π° ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»Π°ΡΡ Π°Π±Π±ΡΠ΅Π²ΠΈΠ°ΡΡΡΠ° ln.
Π ΡΡΠΎ ΡΡΠ° ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ?
- e x ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΡ.
- ln(x) ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π²Π·ΡΡΡ ΡΠΎΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΡ ΠΎΠ΄ ΠΈ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
- e 3 ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ 20.08. Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² 20.08 ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΈ.
- ln(20.08) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ 3. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΡ Π² 20.08 ΡΠ°Π·, Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ 3 ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°).
ΠΡΡ Π΅ΡΡ ΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΠ΅? ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΡΡΠΈΡΡ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ.
ΠΡΠΎΡ Π½Π΅ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΡΡ
ΠΡ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ — ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π°. ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠΌ ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? Π Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅? ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ.
Π§Π΅ΠΌΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ln(1)? ΠΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΡΡΠΎΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π² 1 ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Ρ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΅ΡΡΡ?
ΠΠΎΠ»Ρ. ΠΡΠ»Ρ. ΠΠΈΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ. Π£ Π²Π°Ρ ΡΠΆΠ΅ ΡΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΆΠ΄Ρ. ΠΠ΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ 1 Π΄ΠΎΡΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ 1.
- ln(1) = 0
Π₯ΠΎΡΠΎΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΡΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ? Π§Π΅ΡΠ΅Π· ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ 1/2 ΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π°? ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠ΅ ln(2) ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΠΏΡΡΡ (Ρ.Π΅. ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΆΠ΄ΡΠΌ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ), ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0.693
ΠΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°? ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΌΡΡ Π½Π°Π·Π°Π΄ (Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΠΏΡΡΡ) Π½Π° 0.693 ΡΠ΅ΠΊΡΠ½Π΄Ρ, ΡΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π°. ΠΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈ Π±ΡΠ°ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΌΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠ΅ Π½Π° 1.09 ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡ Π½ΡΠ½Π΅ΡΠ½Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ°Π΄Π½ΠΎ, Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°? Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ «Π²ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ» ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΈΡ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ -3?
ΠΡΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ! ΠΠ΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ, Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ Π»ΠΈ? ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ (ΡΡΡ. .. ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ) Π½ΡΠ»Ρ, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ²Π°ΡΠ΅ΠΉ. Π ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π°.
- ln(ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) = Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ
«ΠΠ΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ» ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΏΡΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΌΠΎΡΠ°
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π·Π°ΠΉΠΌΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΎΡΡ? ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²Π·ΡΡΡ ln(4). ΠΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΉΠ΄ΡΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡΡΡΠΌ.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΡΡΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΎΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΠ΅Π΅ ln(2) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ) ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΠ΅Π΅ Π΅ΡΡ ln(2) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ):
- ΠΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π° 4Ρ ΡΠΎΡΡ = ln(4) = ΠΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π° ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΡΡΡ ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π΅ΡΡ ΡΠ°Π· ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΡΡΡ = ln(2) + ln(2)
ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΎΡΡΠ°, ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, 20, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ 10-ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ° Π² 4 ΡΠ°Π·Π°, ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π² 5 ΡΠ°Π·. ΠΠΈΠ±ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² 6.666 ΡΠ°Π·. ΠΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ A, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° B, Π΅ΡΡΡ log(A) + log(B). ΠΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ», Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΡΠ°.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ 30-ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΎΡΡ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡ ln(30) Π·Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΡΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡ ln(3) ΠΠ»Ρ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π΅ΡΡ ln(10) Π΄Π»Ρ ΡΠ΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ (ΠΈ ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ).
Π§ΡΠΎ Π½Π° ΡΡΡΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ? Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ln(5/3) ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°ΡΡΠΈ Π² 5 ΡΠ°Π·, ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 1/3 ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ?
ΠΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΡ Π² 5 ΡΠ°Π· Π΅ΡΡΡ ln(5). Π ΠΎΡΡ Π² 1/3 ΡΠ°Π·Π° Π·Π°ΠΉΠΌΡΡ -ln(3) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠ°ΠΊ,
- ln(5/3) = ln(5) β ln(3)
Π‘ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ: Π΄Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΡΡΠΈ Π² 5 ΡΠ°Π·, ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ «Π²Π΅ΡΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ» ΠΊ ΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΠΎΡΡΠ°Π½Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Ρ Π²Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ 5/3 ΡΠΎΡΡ. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ
- ln(a/b) = ln(a) β ln(b)
Π― Π½Π°Π΄Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ°Π½Π½Π°Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π²Π°Ρ ΡΠΌΡΡΠ»: ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠΎΡΡΠ° ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°, Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠΉΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ·Π½Π°ΡΡ ΠΈΡ .
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠ΅
ΠΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, — ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²Ρ, — ΡΡΠΎ Π²ΡΡ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΡ 100%-Π½ΡΠΉ, Π° ΡΡΠΎ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ 5%, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ?»
ΠΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. «ΠΡΠ΅ΠΌΡ», ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ln(), Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ Π₯ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ e x . ΠΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ 100% Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ, Π½ΠΎ ΠΌΡ Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ Π΄ΠΎΡΡΠΈΡΡ 30-ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°: Π±Π΅ΡΡΠΌ ln(30) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ 3.4 ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ:
- e x = ΡΠΎΡΡ
- e 3.4 = 30
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ «100%-Π½Π°Ρ Π΄ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 3.4 Π»Π΅Ρ Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΡΡ Π² 30 ΡΠ°Π·». ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
- e x = e ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°*Π²ΡΠ΅ΠΌΡ
- e 100% * 3.4 Π³ΠΎΠ΄Π° = 30
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ «ΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ» ΠΈ «Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ», Π»ΠΈΡΡ Π±Ρ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° * Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡΡΠ°Π²Π°Π»ΠΎΡΡ 3.4. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ 30-ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΎΡΡ — ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ΄ΡΡΡΡ ΠΆΠ΄Π°ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ΅ 5%?
- ln(30) = 3. 4
- ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° * Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = 3.4
- 0.05 * Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = 3.4
- Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = 3.4 / 0.05 = 68 Π»Π΅Ρ
Π― ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠ°ΠΊ: «ln(30) = 3.4, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΈ 100%-Π½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΉΠΌΡΡ 3.4 Π³ΠΎΠ΄Π°. ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΡΠ΄Π²ΠΎΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡΡΡ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅».
- 100% Π·Π° 3.4 Π³ΠΎΠ΄Π° = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 200% Π·Π° 1.7 Π³ΠΎΠ΄Π° = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 50% Π·Π° 6.8 Π³ΠΎΠ΄Π° = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 5% Π·Π° 68 Π³ΠΎΠ΄Π° = .05 * 68 = 3.4 .
ΠΠ΄ΠΎΡΠΎΠ²ΠΎ, ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°? ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Ρ Π»ΡΠ±ΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ. ΠΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄ΡΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ.
ΠΡΠΏΠ°Π΄Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ — ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠΌ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²Π°ΡΠΈ Π΄Π΅Π½ΡΠ³ΠΈ ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΠ»ΠΈΡΡ. Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΌΡ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ (Π΄Π°!), ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΡΡ.
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΡΡ Π²Π°ΡΠΈ Π΄Π΅Π½ΡΠ³ΠΈ ΠΏΡΠΈ 100% ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ΅, Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ?
ΠΠΏ-ΠΏΠ°. ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΠΌ, Π° ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΡ Π²Π΅Π΄ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡ ΠΎ Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ? ΠΠ΅ ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ Π»ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ? ΠΠ°, ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²ΠΎΠΊ Π²ΡΠΎΠ΄Π΅ 5%, 6% ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ 15%, ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΅ΠΆΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π½Π°ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊ ΡΡΠΎ Π³ΡΡΠ±Π°Ρ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ, ΠΌΠΌ, Π³ΡΡΠ±ΠΎ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΡ: ΠΠ°ΠΊ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ 100%-Π½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠ΅? ln(2) = 0.693. ΠΡΠΆΠ½ΠΎ 0.693 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Π»Π΅Ρ — Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΠΌ 100%.
Π’Π°ΠΊ, Π° ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° — Π½Π΅ 100%, Π° ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, 5% ΠΈΠ»ΠΈ 10%?
ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ! ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° * Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = 0.693, ΠΌΡ ΡΠ΄Π²ΠΎΠΈΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ:
- ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° * Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = 0.693
- Π²ΡΠ΅ΠΌΡ = 0.693 / ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΡ 10%-Π½ΡΠΉ, ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΉΠΌΡΡ 0.693 / 0.10 = 6.93 Π»Π΅Ρ Π½Π° ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π½Π° 100, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ «10», Π° Π½Π΅ «0. 10″:
- Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π° ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ = 69.3 / ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ°Ρ .
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ΄ ΡΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ΅ 5%, 69.3 / 5 = 13.86 Π»Π΅Ρ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ 69.3 — Π½Π΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, 72, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° 2, 3, 4, 6, 8 ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
- Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π° ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ = 72 / ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°
ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ . ΠΡΡ ΡΠΈΡΠΎ-ΠΊΡΡΡΠΎ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ln(3) ~ 109.8 ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ
- Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π° ΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ = 110 / ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°
Π§ΡΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ. «ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 72» ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ°ΠΌ, ΡΠΎΡΡΡ Π½Π°ΡΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΡΠ»ΡΡΡΡ Π±Π°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠΉ, ΠΈ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ.
Π§ΡΠΎ Π΄Π°Π»ΡΡΠ΅?
ΠΠ°Π΄Π΅ΡΡΡ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΡΠ» Π΄Π»Ρ Π²Π°Ρ ΡΠΌΡΡΠ» — ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΡΠ° Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΡΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠ΅. Π― Π΄ΡΠΌΠ°Ρ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ½ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ e — ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ° ΡΠΎΡΡΠ°, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ln ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΡΠ°.
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ ln(x), Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΠΉΡΠ΅ «Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°ΡΡΠΈ Π² Π₯ ΡΠ°Π·». Π ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΡ e ΠΈ ln Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΊΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ²Π΅ΠΆΠΈΠΉ Π°ΡΠΎΠΌΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ·Π΄ΡΡ .
ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ e
ΠΡΡΡΡΠ°Ρ Π²ΠΈΠΊΡΠΎΡΠΈΠ½Π°: ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ln(e)?
- ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΎΠ±ΠΎΡ ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ: ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ln(e) = 1.
- ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΠΈΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ: ln(e) ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°ΡΡΠΈ Π² «Π΅» ΡΠ°Π· (ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ 2.718). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ e ΡΠ°ΠΌΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡΠ° Π² 1 ΡΠ°Π·, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ln(e) = 1.
ΠΡΡΠ»ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΎ.
9 ΡΠ΅Π½ΡΡΠ±ΡΡ 2013
Π½Π΅ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ Π±Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΡ Π΅ = 2,718281828 . ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ . ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ l n , Π° Π½Π΅ log ; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 2,718281828 , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄: Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ — ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ e , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ x .
Π’Π°ΠΊ, ln(7,389…) = 2, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ e 2 =7,389… . ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° e = 1, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ e 1 =e , Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ e 0 = 1.
Π‘Π°ΠΌΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ = 2,7182818284… .
ΠΠ΅ΡΡΠΌΠ° ΡΠ°ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΈΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠΈΡΡΡΡ Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π²ΡΠ΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉΡΡ Π΄Π°ΡΠΎΠΉ. Π‘ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ 1828 β ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΡΠ²Π° Π’ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ!
ΠΠ° ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ = Ρ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° a ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = 1/x ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ a .
ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΡΡΠΊΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ Β«Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉΒ».
ΠΡΠ»ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ , ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°ΠΌ:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
ΠΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅:
ln (xy ) = ln (x ) + ln (y )
ln (Ρ /Ρ)= lnx — lny
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ e , Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΈ, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π² Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x . ΠΠ½ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ x β 0 ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( -β ).ΠΡΠΈ x β +β ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΏΠ»ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( + β ). ΠΡΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ x Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ x a Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ a Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠΈΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ». ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΅ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ , Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ½ΠΈ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ Π² Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ»ΠΈ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊ, ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ (a b *a c = a b+c). ΠΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π±ΡΠ» Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΄ΠΎΠΌ, Π° ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Π² VIII Π²Π΅ΠΊΠ΅, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π» ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»ΡΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²Π΅Π·Π΄Π΅, Π³Π΄Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ 10 Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ, ΠΌΡ Π²Π°ΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ. ΠΡΠΎΡΡΡΠΌ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΡΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠΎΠΌ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°: log a b=c, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ) «b» ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ «a» ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ «c», Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ «a», ΡΡΠΎΠ±Ρ Π² ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ «b». Π Π°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ , Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log 2 8. ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ? ΠΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ· 2 Π² ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ 8. ΠΡΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π² Π² ΡΠΌΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3! Π Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π΄Ρ 2 Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 3 Π΄Π°Π΅Ρ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 8.
Π Π°Π·Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΠ»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΡΡΠ° ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΡΡΡΠ°ΡΠ½Ρ, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ — ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΈΡ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ° ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
- ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ln a, Π³Π΄Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° (e = 2,7).
- ΠΠ΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ a, Π³Π΄Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 10.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a>1.
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΌ Π² ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ .
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»-ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΡΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° Π½ΠΎΠ»Ρ, Π° Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΡΡΡΡ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ Π΅ΠΌΠΊΠΈΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
- ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ «a» Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ 1, ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», Π²Π΅Π΄Ρ «1» ΠΈ «0» Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ;
- Π΅ΡΠ»ΠΈ Π° > 0, ΡΠΎ ΠΈ Π° b >0, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ «Ρ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ?
Π ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, Π΄Π°Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 10 Ρ = 100. ΠΡΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΄Π΅ΡΡΡΡ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ 100. ΠΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΆΠ΅, 10 2 =100.
Π ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ log 10 100 = 2. ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ»Ρ Π±Π΅Π·ΠΎΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ. ΠΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΠΎΠ½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ³Π°Π΄Π°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ ΡΠΌΠ° ΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ. ΠΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ΅, ΠΊΡΠΎ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π½ΠΈΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅ ΡΠΌΡΡΠ»ΠΈΡ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ . Π Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ a), Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΄ ΡΠΈΡΠ΅Π» — ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ c, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a. ΠΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΠ°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ (a c =b). ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ, ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ, ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΡ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ 10 ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 100, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Π΅ΠΊ. ΠΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠΉ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ Π³ΡΠΌΠ°Π½ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΉ!
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ — ΡΡΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, 3 4 =81 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° 81 ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 3, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ΠΌ (log 3 81 = 4). ΠΠ»Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅: 2 -5 = 1/32 Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ log 2 (1/32) = -5. ΠΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌΠ° «Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ». ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅, ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². Π ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΡΡ ΠΎΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠ°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°: log 2 (x-1) > 3 — ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ «Ρ » Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. Π ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π²Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΠΈ.
Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ (ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ — Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 2 x = β9) ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°ΡΡ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅, Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π° Π° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠΉ ΡΡΠ΄ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, Π΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΅ΡΡ Π·Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°Ρ , Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΅ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². Π‘ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ.
- ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: Π° logaB =B. ΠΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 0, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈ B Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ: d, s 1 ΠΈ s 2 > 0; Π°β 1. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ², Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡΡΡΡ log a s 1 = f 1 ΠΈ log a s 2 = f 2 , ΡΠΎΠ³Π΄Π° a f1 = s 1 , a f2 = s 2. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ), Π° Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ.
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
- Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄: log a q b n = n/q log a b.
ΠΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° «ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°». ΠΠ½Π° Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ, ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π΄Ρ Π²ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΡΡ Π½Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠ»Π°ΡΠ°Ρ . ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.
ΠΡΡΡΡ log a b = t, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ a t =b. ΠΡΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ m: a tn = b n ;
Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ a tn = (a q) nt/q = b n , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ log a q b n = (n*t)/t, ΡΠΎΠ³Π΄Π° log a q b n = n/q log a b. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²
Π‘Π°ΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΠΏΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² — ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ². ΠΠ½ΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΄Π°ΡΠΈ Π²ΡΡΡΠΏΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΡΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ.
Π ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡ Π΅ΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°. ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ. Π£ΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠΌΡΡ.
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΆΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΈΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ.
ΠΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ln100, ln1026. ΠΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ 10 Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 100 ΠΈ 1026 ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°.
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²: Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌ ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ .
- Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ , Π³Π΄Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° b Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. ΠΡΠ²Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΈ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠ½Π΅ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΠΠ
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° Π²ΡΡΡΠΏΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ , ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π² ΠΠΠ (Π³ΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠΏΡΡΠΊΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΠΊΠΎΠ»). ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠ°ΡΡΠΈ Π (ΡΠ°ΠΌΠ°Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΡΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½Π°), Π½ΠΎ ΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠΈ Π‘ (ΡΠ°ΠΌΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ). ΠΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΌΡ «ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ».
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ Π²Π·ΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΡΠΈΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² ΠΠΠ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°Π½ΠΎ log 2 (2x-1) = 4. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠ² log 2 (2x-1) = 2 2 , ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ 2x-1 = 2 4 , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 2x = 17; x = 8,5.
- ΠΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π»ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌ ΠΈ Π·Π°ΠΏΡΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ.
- ΠΡΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΡΠΎΠΈΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ x ΠΈ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 0 (Β«ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΒ» ΠΈ Β«Π±ΡΡΡΡΠΎΒ» ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ x ).
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ — ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ , Π³Π΄Π΅ e — ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°, ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ 2,718281 828 . ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln(x ), log e (x ) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ log(x ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ e ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΡΡΡ.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° x (Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ln(x) ) — ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ e , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ x . ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ln(7,389…) ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ e 2 =7,389… . ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° e (ln(e) ) ΡΠ°Π²Π΅Π½ 1, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ e 1 = e , Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ 1 (ln(1) ) ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ e 0 = 1.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° a ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = 1/x ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ a . ΠΡΠΎΡΡΠΎΡΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π»Π° ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ Β«Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉΒ». ΠΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° , ΠΎ ΡΡΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°ΠΌ:
ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ :
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ 1, Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ e , Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ . ΠΠ½ΠΈ ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΡ Π½Π°ΡΠΊ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΡΡΠΎΡΠΈΡ
ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π» ΠΠΈΠΊΠΎΠ»Π°Ρ ΠΠ΅ΡΠΊΠ°ΡΠΎΡ Π² ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Logarithmotechnia , ΠΎΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² 1668 Π³ΠΎΠ΄Ρ , Ρ ΠΎΡΡ ΡΡΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΠΆΠΎΠ½ Π‘ΠΏΠ°ΠΉΠ΄Π΅Π»Π» Π΅ΡΡ Π² 1619 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². Π Π°Π½Π΅Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ. ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ°, Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π° Π±ΡΠ» Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ.
ΠΠΎΠ½Π²Π΅Π½ΡΠΈΠΈ ΠΎΠ± ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Β«ln(x )Β», Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10 — ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Β«lg(x )Β», Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π΅ Β«logΒ».
ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΈΠ±Π΅ΡΠ½Π΅ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π°Π²ΡΠΎΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β«log(x )Β» Π΄Π»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 2, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡΠΌ ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ (ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ°) ΡΠ½ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.
Π‘ΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΎΡΠΈΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ) ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΡΡ, Π° ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: ln 2 ln 3 4x 5 = [ ln( 3 )] 2 .
ΠΠ½Π³Π»ΠΎ-Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°Π½ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Β«log(x )Β», Π»ΠΈΠ±ΠΎ Β«ln(x )Β» , Π° Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ 10 — Β«log 10 (x )Β».
ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΡ, Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΡΡΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΠΈΡΡΡ Β«ln(x )Β» (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ·ΡΠ΅Π΄ΠΊΠ° Β«log e (x )Β»), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ Β«log(x )Β» Ρ Π½ΠΈΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ log 10 (x ).
log e ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Β«Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΒ» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π°Π²ΡΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ b ΡΠ°Π²Π½ΠΎ e , ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ 1/x , Π° ΠΏΡΠΈ x = 1 ΡΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° 1. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ e Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ΄Π° Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° , ΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ .
ΠΠ°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΡΠΎ ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ² Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠ΅ΡΡΠΎ ΠΠ΅Π½Π³ΠΎΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΠΈΠΊΠΎΠ»Π°ΠΉ ΠΠ΅ΡΠΊΠ°ΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΠΈΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΠ»Π΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½ ΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π€ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ln(a ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° 1/x ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ a , Ρ. Π΅. ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» :
ΠΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, Π΄ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ:
ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ y = (x β1)/(x +1) ΠΈ x > 0.
ΠΠ»Ρ ln(x ), Π³Π΄Π΅ x > 1, ΡΠ΅ΠΌ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΊ 1, ΡΠ΅ΠΌ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. Π’ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π»ΠΈ:
ΠΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ Π΅ΡΡ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠ², Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ.
ΠΡΡΠΎΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ
ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ. ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΡΡΠ΄ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅.
ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΡΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°:
Π³Π΄Π΅ M ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π΅ 1 ΠΈ 4/s, ΠΈ
m Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ p Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅ΡΡΡ. (Π Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 8 Π΄Π»Ρ m Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ.) Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π° ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. (ΠΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ ln 2 ΠΈ ΠΏΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π²Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ Π΄ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ Π±ΡΡΡΡΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΡΠ΄ΠΎΠ².)
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠΎ-Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ) ΡΠ°Π²Π½Π° O(M (n ) ln n ). ΠΠ΄Π΅ΡΡ n — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½, Π° M (n ) — Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ n -Π·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ
Π₯ΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ , Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΡΠ½Π½ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅:
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ
ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π° Π΄ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° e x Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° x , ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΄ Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ x . ΠΡΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ½Π²Π΅ΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ². ΠΡΡΡ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΄Π²Π΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ: Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ x , Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ e x = 0, ΠΈ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ e 2Οi = 1 = e 0 . ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΡΠ»ΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΠΎ e z = e z +2nΟi Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ z ΠΈ ΡΠ΅Π»ΡΡ n .
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ Π½Π° Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ , ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌ — Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ½ Π½Π° Β«ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΡΠΉΒ» Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ 2Οi . ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° ΡΡΠ΅Π·Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ln i = 1/2 Οi ΠΈΠ»ΠΈ 5/2 Οi ΠΈΠ»ΠΈ β3/2 Οi , ΠΈ Ρ.Π΄., ΠΈ Ρ ΠΎΡΡ i 4 = 1, 4 log i ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ 2Οi , ΠΈΠ»ΠΈ 10Οi ΠΈΠ»ΠΈ β6 Οi , ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅
- ΠΠΆΠΎΠ½ ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ — ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ
- Mathematics for physical chemistry . — 3rd. — Academic Press, 2005. — P. 9. — ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9
- J J O»Connor and E F Robertson The number e . The MacTutor History of Mathematics archive (ΡΠ΅Π½ΡΡΠ±ΡΡ 2001). ΠΡΡ ΠΈΠ²ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ
- Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed . — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024
- Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials . ΠΡΡ ΠΈΠ²ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠ° 12 ΡΠ΅Π²ΡΠ°Π»Ρ 2012.
E Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ. Π Π°Π·Π±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π», ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΄ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ln x ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ — ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = ln x , ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ΅ , x = e y , ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΠ°ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ : ln x = log e x .
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄: (ln x)β² = 1/ x .
ΠΡΡ
ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ , ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ :
Π΅
β
2,718281828459045…
;
.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x .
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x ) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ y = x .
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x . ΠΠ½ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ x β 0 ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( — β ).
ΠΡΠΈ x β + β ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( + β ). ΠΡΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ x Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ x a Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ a ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ, Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ln x
ln 1 = 0
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ²
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ±ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ «ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ» .
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° .
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ .
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ln x
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΎΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ x
:
.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:
.
ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» > > >
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΌ :
.
ΠΡΠ°ΠΊ,
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z
:
.
ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ z ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ r ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Ο :
.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
.
ΠΠ»ΠΈ
.
ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Ο
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ
,
Π³Π΄Π΅ n — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅,
ΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
n
.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ.
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΄
ΠΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Π°Ρ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°:
Π.Π. ΠΡΠΎΠ½ΡΡΠ΅ΠΉΠ½, Π.Π. Π‘Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΄ΡΠ΅Π², Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ
ΡΡ Π²ΡΡΠ·ΠΎΠ², Β«ΠΠ°Π½ΡΒ», 2009.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ a (a>0, a Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ, ΡΡΠΎ a c = b: log a b = c β a c = b (a > 0, a β 1, b > 0)       
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ -2 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 4, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ -2 ΠΎΡ 4 ΡΠ°Π²Π΅Π½ 2.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎa log a b = b (a > 0, a β 1) (2)
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΠ΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ b>0, a>0 ΠΈ a β 1. ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ b, Π° ΠΎΡ a Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ «ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°» ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΠ.
ΠΠ²Π° ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° log
a
a = 1
(a > 0, a β 1)
(3)
log
a
1 = 0
(a > 0, a β 1)
(4)
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° a Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎlog a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0) (5)
Log
a
b
c
=
log
a
b β
log
a
c
(a > 0, a β 1, b > 0, c > 0)
(6)
Π₯ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΡ Π±Π΅Π·Π΄ΡΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ². ΠΡΠΈ ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ «ΡΠ»Π΅Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ» ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ, Π° ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ — ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ.
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ log a (f (x) g (x)) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ : ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ±Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x) ΠΈ g(x) ΠΎΠ±Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠΌΠΌΡ log a f (x) + log a g (x) , ΠΌΡ Π²ΡΠ½ΡΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f(x)>0 ΠΈ g(x)>0. ΠΠ°Π»ΠΈΡΠΎ ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ΅Π³ΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎ, Ρ. ΠΊ. ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (6).
Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°log a b p = p log a b (a > 0, a β 1, b > 0) (7)
Π Π²Π½ΠΎΠ²Ρ Ρ ΠΎΡΠ΅Π»ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΏΡΠΈΠ·Π²Π°ΡΡ ΠΊ Π°ΠΊΠΊΡΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
ΠΠ΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ f(Ρ ), ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ. ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ — ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ f(x)>0! ΠΡΠ½ΠΎΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΌΡ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ ΡΡΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΠΠ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΄ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 2, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡlog a b = log c b log c a (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0, c β 1) (8)
Π’ΠΎΡ ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΠΠ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ½ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1), ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π±Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a β 1, b > 0, b β 1) (9)
ΠΠ΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: lg2 + lg50.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. lg2 + lg50 = lg100 = 2. ΠΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² (5) ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅: lg125/lg5.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. ΠΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄Π° ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (8).
a log a b = b (a > 0, a β 1) |
log a a = 1 (a > 0, a β 1) |
log a 1 = 0 (a > 0, a β 1) |
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0) |
log a b c = log a b β log a c (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0) |
log a b p = p log a b (a > 0, a β 1, b > 0) |
log a b = log c b log c a (a > 0, a β 1, b > 0, c > 0, c β 1) |
log a b = 1 log b a (a > 0, a β 1, b > 0, b β 1) |
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΈΠ· Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Windows. Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠ° Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΡΡΠΊ ΡΠΏΡΡΡΠ°Π½Π° Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π² Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΠ‘ — ΡΠ°ΡΠΊΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π»ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠ΅ Β«ΠΡΡΠΊΒ», Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΊΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΠΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡΒ», ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» Β«Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅Β», Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Β«Π‘Π»ΡΠΆΠ΅Π±Π½ΡΠ΅Β» ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΡΠ΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ½ΠΊΡ Β«ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΒ». ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΌΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°ΡΡΡΡ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ Π·Π°ΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ — Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡ WIN + R, Π½Π°Π±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ calc (ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΉΠ»Π° ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°) ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡΡ Enter.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° Π² ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡ . ΠΠΎ ΡΠΌΠΎΠ»ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΎΠ½ ΠΎΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² Β«ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠΌΒ» Π²ΠΈΠ΄Π΅, Π° Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ΅Π½ Β«ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΠΉΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β« Β» (Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΠ‘). Π Π°ΡΠΊΡΠΎΠΉΡΠ΅ Π² ΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» Β«ΠΠΈΠ΄Β» ΠΈ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ.
ΠΠ²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ. ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°ΡΡΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ΅Π»ΠΊΠ°Ρ ΠΌΡΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΡΠ°Π½Π΅.
ΠΠ»ΠΈΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡ Ρ Π½Π°Π΄ΠΏΠΈΡΡΡ ln — ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π΅Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ e ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· -ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ ΠΏΠΎ Π°Π΄ΡΠ΅ΡΡ http://calc.org.ua . ΠΠ³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡ — Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄Π°, ΠΊΡΠ΄Π° Π²Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ. Π‘ΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΎΠΊ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ ΡΡ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ ln. Π‘ΠΊΡΠΈΠΏΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ²Π΅Ρ ΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ — ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠ΅Π»ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°, Π° Π½Π΅ .
Π’Π΅ΡΠΌΠΈΠ½ Β«Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Β» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΡΠ΅Π» ΠΎΡ Π΄Π²ΡΡ Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠ², ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Β«ΡΠΈΡΠ»ΠΎΒ», Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ — Β«ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β». ΠΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π°. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ΅, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ «e», ΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Β«Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΒ».
ΠΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ
- ΠΠΎΡΡΡΠΏ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅Ρ, Microsoft Office Excel ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ.
ΠΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅ΡΠ΅ -ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ — ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡΠΉ, ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°. ΠΠΎΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ²ΠΈΡΠ° Π²Π°ΠΌ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΡ, Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΠΏΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ° — Google. ΠΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΎΠΊ Π΄Π»Ρ Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π°Π±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π·Π°ΠΏΡΠΎΡΠ° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅. Π‘ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π° ΡΠΈΡΠ»Π° 457 ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ «e» Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ ln 457 — ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Google ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠ» Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ (6,12468339) Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±Π΅Π· Π½Π°ΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ ΠΎΡΠΏΡΠ°Π²ΠΊΠΈ Π·Π°ΠΏΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ²Π΅Ρ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ Π²ΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΎΡΠ΅ Microsoft Office Excel. ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π° Π² Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΌ ΡΠ΅Π³ΠΈΡΡΡΠ΅ — LN. ΠΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° — ΡΠ°ΠΊ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΎΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΉΠΊΠ°Ρ , ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«Π‘ΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅Β» ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π° Β«ΠΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡΒ» Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Π½Ρ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΆΠ°Π² ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡ Alt + 2. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ, ΠΈ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ ln. ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
ΠΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ΅
Π½Π΅ΡΠ΅Π΄ΠΊΠΎ Π±Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΡ Π΅ = 2,718281828 . ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ . ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ l n , Π° Π½Π΅ log ; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 2,718281828 , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΈΠ΄: Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ — ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ e , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ x .
Π’Π°ΠΊ, ln(7,389…) = 2, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ e 2 =7,389… . ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° e = 1, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ e 1 =e , Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ e 0 = 1.
Π‘Π°ΠΌΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ = 2,7182818284… .
ΠΠ΅ΡΡΠΌΠ° ΡΠ°ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΈΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠΈΡΡΡΡ Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π²ΡΠ΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉΡΡ Π΄Π°ΡΠΎΠΉ. Π‘ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ 1828 β ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ΄ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΡΠ²Π° Π’ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ!
ΠΠ° ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½ΡΡΠ½ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° (ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Ρ = Ρ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° a ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ y = 1/x ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ a .
ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΡΡΠΊΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ, ΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ Β«Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉΒ».
ΠΡΠ»ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ , ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°ΠΌ:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
ΠΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅:
ln (xy ) = ln (x ) + ln (y )
ln (Ρ /Ρ)= lnx — lny
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, Π° Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ e , Π½ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ, ΠΈ, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π² Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x . ΠΠ½ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈ x β 0 ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( -β ).ΠΡΠΈ x β +β ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ ΠΏΠ»ΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ( + β ). ΠΡΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ x Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠ±Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ x a Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ a Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°. ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΠ³ΡΡΠΈΡΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠΈΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ». ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΅ ΠΏΡΠΈΡΡΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Ρ ΠΈΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ , Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ². Π’Π°ΠΊ, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠ°Π΄Π° Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΠΎΠ°ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ½ΠΈ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ°ΡΡ Π² Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ»ΠΈ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊ, ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡΡ Π² ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° b ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π° ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b.
ΠΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ .
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ β ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΡ.
ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΠΊΡΠ΅
ΠΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ:
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌΠΈ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°:
ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
;
.
ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ x>0, xβ 1, y>0.
ΠΠΎΡΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ. ΠΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° β ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Β«10Β», ΠΈ Π½ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Β«Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΒ». ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° β ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Β«Π΅Β». ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎ Π½Π΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
- lg x β Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ;
- ln x β Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ln e = 1, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ lg 10=1.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ. ΠΡΠΈ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΌΡ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΅ΡΡΡ ΡΠΌΡΡΠ» Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Β«Π²ΡΡΡΠ½ΡΡΒ», ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ: y = ln x. ΠΠ°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ:
ΠΠΎΡΡΠ½ΠΈΠΌ, ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Ρ . ΠΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅: . ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΡ ΠΏΡΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ:
;
;
.
;
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ² β Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π½ΡΡΠΈΠ΅, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ½ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠ°Ρ ΠΈΡ Π² ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ² ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ:
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° (Ρ.Π΅. Π²ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π₯) β Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! Π ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°! Π ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Ρ =0. ΠΡΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ° .
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ.Π΅. Π²ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = ln x) β Π²ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ .
ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ logΠΠ·ΡΡΠ°Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ β ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π±Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ y
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡ Ρ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΡΠΈ Ρ
ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ log ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°ΠΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡΠΈΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π°:
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
Π³Π΄Π΅ Ρ β Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°).
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Ρ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ z:
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ (ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Β«ΡΒ» Ρ Π½Π°Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅):
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
.
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ z=e, ΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°:
.
ΠΠ°ΠΌ ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π»ΡΡΡΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π² Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°Ρ , ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 1 . ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ln x = 3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: Π΅ΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 2 . Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (5 + 3 * ln (x β 3)) = 3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°: Π΅ΡΠ»ΠΈ , ΡΠΎ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
.
ΠΡΠ΅ ΡΠ°Π· ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°:
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
.
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΈ Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 3. Π Π΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ: t = ln x. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:
.
ΠΠ΅ΡΠ΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ:
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
.
ΠΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
.
ΠΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΡ t = ln x, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
Π ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ. ΠΡΠΎ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π΄Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅ β Π·Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅ΠΌΠΏ ΡΠΎΡΡΠ° ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½.
Π ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½, Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΎ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π² ΠΏΠ°ΠΌΡΡΠΈ N ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡΡΡ Π±ΠΈΡΠΎΠ².
Π ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ°ΠΊΡΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ.
Π ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π°, Π³Π΄Π΅ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ. ΠΠ°ΡΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠΌΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π¦ΠΈΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π΅ β ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
Π Ρ ΠΈΠΌΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΠ΅ΡΠ½ΡΡΠ°, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠΊΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ-Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ².
ΠΠΎΡΠ°Π·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΌΡΠ·ΡΠΊΠ΅, Ρ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΠΊΡΠ°Π²Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ.
ΠΠ°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y=ln x Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ (ΡΡΡ. 3 ΠΈΠ· 3)
ΠΡΠΎΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆ ΠΊ Π³ΡΠ°ΡΡ log 2 ( x ), Π½ΠΎ ΠΎΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡ Π±ΠΎΠΊΠΎΠΌ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ «+
3» Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ
log, ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½ΠΈ Π²Π²Π΅ΡΡ
, Π½ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ
ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ. ΠΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ? ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅
ΠΎΡΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°, Π³Π»ΡΠ΄Ρ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ
(1, 0)
(Β«Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠΉΒ», ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ Π°ΠΊΠΊΡΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ). ΠΡΡΠ½Π°Π» Π±ΡΠ΄Π΅Ρ
Π±ΡΡΡ 0
ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ, Ρ
+ 3 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ
+ 3 ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 1?
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ
= 2. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅
Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° (1,
0) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡ
Π΄ΠΎ ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΆΡΡΠ½Π°Π» Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ
Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π½ΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅, ΡΠΎ Ρ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ x + 3 > 0, ΡΡΠΎ
Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ ΠΌΠ½Π΅, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° x Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 3. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π° y = ΠΆΡΡΠ½Π°Π» 2 ( x ) ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π· Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π΅ y -ΠΎΡΠΈ Π΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎ x — ΠΎΡΡ, Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΎΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ x Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π° (Π³Π΄Π΅ x Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ 3), Π― Π²ΡΡΠ°Π²Π»Ρ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ x . = 3: Π’Π°ΠΊΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠΎΡΠΈΡ, ΠΊΡΠ΄Π° Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠ΄ΡΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Β«Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ°Β», ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Β«Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ°Β». ΠΠ½Π΅ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡΡ ΡΡΠΎ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ, ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΡΡΠΎ Ρ Π·Π½Π°Ρ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΊΠΎΡΡ ΠΏΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ΅, Π― ΡΠΈΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ: 2 0 = 1, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ log 2 (1)
= 0; Ρ
+ 3 = 1 Π΄Π»Ρ x = 2: (2, 0) ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ, ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Ρ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Β Β ΠΠ²ΡΠΎΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΠ»ΠΈΠ·Π°Π±Π΅Ρ Π‘ΡΠ°ΠΏΠ΅Π»Ρ 2002-2011 ΠΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²Π° Π·Π°ΡΠΈΡΠ΅Π½Ρ 2 1 = 0,5, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ log 2 (0,5)
= 1; ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Ρ Π½Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π» ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ·Π°Π΄Π°ΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΡΡΡ ΠΊ Π³ -Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅; ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π° Ρ ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ Π»Π΅Π½ΠΈΠ². ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π» Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΡΡΠΈΠ» Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ (ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ), ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ. ΠΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, Π½Π° ΠΌΠΎΠΉ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄, Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ. ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎ Π² ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ, Π²ΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ « x + 3″ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΊΡΡΠ³Π»ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π°Ρ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ « log 2 ( x ) + 3″, ΠΈ Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ; Π²ΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π°Ρ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π΄ΡΠΌΠ°ΡΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠ½ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ, ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΌ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Π΅ΡΡ ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΅Π²Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ «Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ» ΡΠ°ΠΌ ΡΠ»Π΅Π²Π°, Π±Π΅ΡΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π²ΠΈΡΠΈΡ Π² ΠΊΠΎΡΠΌΠΎΡΠ΅. ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΡΠΈΠ±Π°Π΅ΡΡΡ? ΠΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΠΈΠ½Π°, ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅. ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠΈΡΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΠ΅: ΠΎΠ½ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅Ρ x Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅Ρ Π³ -Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΈΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Ρ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅Ρ Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡΡΡ ΠΊ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΡ ΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ°), ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Π» ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» «ΠΠ¨ΠΠΠΠ» Π΄Π»Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°, ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Π» ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x Π² ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΌ ΡΠΏΠΈΡΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ» Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ y -Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ, , ΠΈ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°ΠΉΡΠ΅ , ΠΎΠ½ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΊΠ·Π΅ΠΌΠΏΠ»ΡΡ Β«ΡΡΡΠ΄Π΅Π½Ρ ΡΠΌΠ½ΡΠΉ, ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π³Π»ΡΠΏΡΠΉΒ». ΠΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΠΉΡΠ΅, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΠΎΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρ! ΠΠ»Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΡ: Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ, Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ Π΄Π½ΠΎΠΌ, ΠΎΠ½ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ:
Β Β
| Β |
|
12.5 — ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΡ
12.5 — ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΡ12.5 — ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΡ
Π ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 6.1 ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π»ΠΈ ΠΎ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ , Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Ρ . ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π», Π²Ρ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π·Π°Ρ ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π».Π Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 6.1 , Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ . Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ. Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ . ΠΡ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠΎΡΠΈΠ²ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1: ΠΡΡΡΡ t ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΠΏΡΡΡΡ i ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΎΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Ρ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-ΡΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΏΠΈ. ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ΅, Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ±ΡΠ°Π½Ρ Π΄Π»Ρ t ΠΈ i . (ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ» Π²Π·ΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΉ Π² ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ 2 ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ 3.)
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ i ΠΈ t .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ i ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² t . ΠΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²ΡΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°, ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΏΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ln ( i ) Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ t . ΠΡΠΎΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°. ΠΈ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ y ΠΈ x . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠ° Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y Β =Β ΠΌ x Β +Β b , Π³Π΄Π΅ m ΠΈ b Π΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΎΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ. Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠ² ΠΌΡ Π²Π΅ΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ»ΡΠΊ lnΒ ( i ) Π΄Π»Ρ y ΠΈ Ρ Π΄Π»Ρ Ρ .
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ m ΠΈ b , ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» 6.2. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ:
( Ρ = 2,00, Ρ = 0,94) Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ( Ρ = 8,00, ΠΈ = -1,05).ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, y Β =Β ΠΌ x Β +Β b , Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
0,94 = 2 ΠΌ + Π± .ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, y Β =Β ΠΌ x Β +Β b , Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
β1,05 = 8 ΠΌ + Π± .ΠΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ,
Β Β 0,94 = 2Β ΠΌ + Π±ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ m ΠΈ b . ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΈΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ b ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ:
β1,05 = 8 ΠΌ + Π±
β1,99 = 6 ΠΌ ΠΌ = β0,33ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌ Π², ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, 0,94 = 2 ΠΌ + Π± , ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π°Π΅Ρ 0,94 = (2) (-0,33) + b , ΡΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ b = 1,6. ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
y = β0,33 x + 1,6.Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ y Π½Π° ln( i ) ΠΈ x Π½Π° t :
lnΒ ( i ) = β0,33Β t + 1,6.ΠΠ½ΡΠΈΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
i = e β0,33 t + 1,6 ,ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,
i = 5 e β0,33 t .
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΊ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° , Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = Π° Π΅ Β Π± Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ lnΒ ( y ) Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ x . |
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2: ΠΡΠΈΠ²Π°Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ y = x Β 2 , Β y = x Β 3 ΠΈΠ»ΠΈ y = x Β 4 . ΠΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Ρ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅.
ΠΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ln ( y ) Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ln ( x ), ΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ x Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ.
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΊ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° , ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = a x Β b β ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ ln ( y ) ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ln ( x ). |
ΠΠΎΠ»ΡΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ²Π°Ρ Π±ΡΠΌΠ°Π³Π°
ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΊΠ°Π»Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡΠΌΠ°Π³Π΅. ΠΡΠΎ Π½Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»Π°, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ ΠΎΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ. ΠΠΈΠΆΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΊΠ°Π»Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ. Π§ΠΈΡΠ»Π° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΈΡΡ Π±Ρ Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. Π±ΡΠΌΠ°Π³Π°. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ x Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡΠΌΠ°Π³Π΅, Π° Π½Π΅ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ log ( x ) Π½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡΠΌΠ°Π³Π΅. ΠΡ ΠΈΠ·Π±Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ΅. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΏΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅. ΠΠΎΠ»Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ. ΠΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° 10 Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΌ .
ΠΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ²:
ΠΏΠΎΠ»ΡΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ , ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»Ρ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅. Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»Ρ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΠΊΠ΅
ΠΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ²ΠΊΠΈ β ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ. ΠΡΡΠ³Π°Ρ ΡΠ΅Π»Ρ β Π±ΡΡΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ. Π·Π°ΠΊΠΎΠ½. ΠΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ, ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ln ( y ) ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ln ( x ) Π²ΡΠ·Π²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ = Π° Ρ Β Π± ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ. Π ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΒ ( y ) ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ x Π²ΡΠ·Π²Π°Π»ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ = Π° Π΅ Β Π± Ρ ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ· ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅:
|
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Q ΠΏΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ T ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°
Q = a T b .ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ a ΠΈ b . ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 6.2.
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠΈΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Q = a T b . ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ a ΠΈ b :
ΠΠΎΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ: ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ lnΒ ( ΠΈ ). ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ b :. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ b β ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Β«Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Β» ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° b Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ lnΒ ( a ) = 0,7120, Π° Π°Π½ΡΠΈΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ a = 2,04. ΠΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ a ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ Π²Π°ΡΠΎΠΌΒ», Ρ ΠΎΡΡ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² T = 1, Π° Π½Π΅ T = 0. (ΠΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ 0 Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠ°Π»Π΅.)
ΠΡΠ°ΠΊ, Π΄ΠΎ 3 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². ΠΈΠ½ΠΆΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ,
Q = 2,04 t 0,558 .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ P ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
P = a e b t .ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ a ΠΈ b . ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 6.2.
ΠΠΎΠ·ΡΠΌΠΈΡΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅ ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ P = a e Β b t . ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π° ΠΈ Π± :
ΠΠΎΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ: ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ lnΒ ( a ). ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ b :. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ b β ΡΡΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Β«Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Β» ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° b Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π°Π΅Ρ lnΒ ( a ) = 4,377, Π° Π°Π½ΡΠΈΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ a = 79,6. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° a β ΡΡΠΎ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ y Β». ΠΡΠ°ΠΊ, Π΄ΠΎ 3 ΡΠΈΠ³. ΠΈΠ½ΠΆΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ,
P = 79,6 e β0,461 t .
Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Π½Π΅ΡΠ° ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ |
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π² Π²Π΅Π±-ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ΅, Π²Ρ Π½Π΅ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅
ΠΠ³Π»Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ΅ ΡΠ»Π΅Π²Π°.
Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ Π·Π΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ.
ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ β ΠΡΠΈΡΡΠ° ΠΠΈΠ½Π³ ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
ΠΠΎΡΠΏΡΠΈΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ
Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Ρ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ. ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΆΡΡΠ½Π°Π»Π°, 9x=y\quad\text{ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅ΡΡΡ}\quad\log_e{(y)}=x???
Π Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π·ΠΈΠ² Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ???y=x???, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ???x???- ΠΈ ???y???- Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. 9ΡΡ??? ΠΈ ???x=\log_3{y}??? ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ, ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ Π½Π°Π΄ ???y=x???.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠΌΠ½Ρ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΈΡ Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ°Π³ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅. .
ΠΠ°ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ΠΈ, ΠΎΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Ρ.
Π΄.)ΠΡΠΎΠΉΡΠΈ ΠΊΡΡΡ
Π₯ΠΎΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ·Π½Π°ΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΠ± ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ 2? Π£ ΠΌΠ΅Π½Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΊΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ. π
Π£ΡΠΈΡΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅
ΠΠΎΡΠ°Π³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9y???, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ???x=1???.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ΅Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°Π½Π΅ΡΡΠΈ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π‘ ???5??? ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ.
Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Ρ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π·ΠΈΠ² Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ y=x.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ???y=\log_3{x}??? Π΄Π°Π½ΠΎ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ???y=-\log_3{(x-1)}???.
ΠΠ±Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π½Π° ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ΅ ???y=\log_3{x}??? ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ???y=-\log_3{(x-1)}??? ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΏΠ΅Π» ΠΏΠ°ΡΡ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΉ. ΠΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π·Π±ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅.
[1] Β ???y=\log_3{x}???
[2] Β ???y=\log_3{(x-1)}???
[3] Β ???y=-\log_3{(x-1)}???
ΠΠ°ΠΌ Π΄Π°Π»ΠΈ Π³ΡΠ°Ρ [1] ???y=\log_3{x}???.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ???x??? Π² ???x-1???, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½Π΅ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Ρ Π² ΡΡΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π² ???y=\log_3{(x-1)}???. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ [2] ???y=\log_3{(x-1)}??? Π½Π° ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ???-1??? ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ???y=\log_3{(x-1)}??? ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ???-1???, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ ???y???.
ΠΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΡΠΎΠ³, ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΈ Ρ ???y=\log_3{x}??? ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π³ΡΠ°Ρ, ΠΈ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π° ΡΠ°Π·,
[1] Β ???y=\log_3{x}???
[2] Β ???y=\log_3{(x-1)}???
[3] Β ???y=-\log_3{(x-1)}???
, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ???y=-\log_3{(x-1)}???.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡ ΠΊΡΡΡΡ ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° 2
ΠΠ°ΡΠ°ΡΡ
ΠΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈΠΡΠΈΡΡΠ° ΠΠΈΠ½Π³