График уравнения с модулем: Графики функций с модулем

Простая физика — EASY-PHYSIC

Здравствуйте, уважаемые посетители! В этой статье мы попробуем подробно разобраться, как построить график функции, если эта функция содержит модуль. В статье разобраны различные примеры с пошаговым построением и подробным объяснением, как получен тот или иной график.

1. Начнем с построения графика

 

В «основе» его лежит график функции

и все мы знаем, как он выглядит:

Теперь построим график

Чтобы получить этот график, достаточно всего лишь сдвинуть полученный ранее график на три единицы вправо. Заметим, что, если бы в знаменателе дроби стояло бы выражение х+3, то мы сдвинули бы график влево:

Теперь необходимо умножить на два все ординаты, чтобы получить график функции

Наконец, сдвигаем график вверх на две единицы:

Последнее, что нам осталось сделать, это построить график данной функции, если она заключена под знак модуля. Для этого отражаем симметрично вверх всю часть графика, ординаты которой отрицательны (ту часть, что лежит ниже оси х):

2. Теперь построим график функции

Выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак в точке х=2/3. При х<2/3 функция запишется так:

При х>2/3 функция запишется так:

То есть точка х=2/3 делит нашу координатную плоскость на две области, в одной из которых (левее) мы строим функцию

 

а в другой (правее) — график функции

Строим:

3. Следующий график — также ломаная, но имеет две точки излома, так как содержит два выражения под знаками модуля:

Посмотрим, в каких точках подмодульные выражения меняют знак:

Расставим знаки для подмодульных выражений на координатной прямой:

Раскрываем модули на первом интервале:

На втором интервале:

На третьем интервале:

Таким образом, на интервале (-∞; 1.5] имеем график, записанный первым уравнением, на интервале [1.5; 2] — график, записанный вторым уравнением, и на интервале [2;∞) — график по третьему уравнению:

Строим:

4. Теперь можем построить  график, похожий на один из предыдущих, и все же отличающийся:

В основе опять знакомый нам график функции

но, если в знаменателе x стоит под знаком модуля,

то график имеет вид:

Теперь произведем сдвиг на три единицы,

 при этом сдвинутся обе части: правая — вправо, левая — влево (своеобразное зеркало : отходишь дальше — видно больше)

График этой функции, умноженной на два,

выглядит так:

Теперь можно поднять график по оси у:

и тогда он будет таким:

Наконец, строим окончательный вид графика, отражая все, что ниже оси абсцисс, вверх:

5.Очень интересно выглядит график функции

В точках 2 и (-2) знак подмодульного выражения меняет знак, поэтому функция состоит из трех кусков (точки 2 и (-2) выколоты). На участках  (-∞; -2) и (2; ∞) справедливо первое уравнение, а на участке (-2;2) — второе:

6. Две следующие функции отличаются знаком, и графики их выглядят по-разному:

7. Еще два похожих графика, вид которых меняется в зависимости от х в показателе степени:

Первый:

Второй:

 

8.Теперь построим график такой функции:

Здесь точкой перемены знака подмодульного выражения является х=4. Тогда на интервале (-∞; 4] функция выглядит так:

А на интервале [4; ∞)  так:

Точка вершины первой параболы (2;-12), она обращена вниз ветвями, точка вершины второй параболы (6, -20), ветви ее обращены вверх. В итоге имеем:

9. Построим график функции, которая, на первый взгляд, выглядит устрашающе:

Однако многочлен в числителе раскладывается на множители:

Точки перемен знака подмодульных выражений — 4 и (-2). Точки эти (они выколоты) разбивают числовую прямую на три интервала, на которых данная функция будет выглядеть:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

Строим:

Внесем небольшие изменения, добавив двойку в знаменатель исходной функции:

Тогда точки перемены знака остаются те же, но функция выглядит иначе на разных интервалах:

На первом интервале (-∞; -2):

На втором интервале (-2;4):

На третьем интервале (4;∞):

График изменится:

10. Наконец, последний график мы построим для функции

Начнем построение с «базовой» для этого графика функции

она выглядит так:

Далее добавим знак модуля под корень:

Теперь опустим этот график вниз на 4 единицы по оси у:

«Опрокинем» все, что ниже оси х, вверх,

и не забудем поделить все ординаты на 2:

Графики уравнений, содержащих знак модуля

Категория: Математика.

Цель:

• закрепить методы построения графика линейной функции,
• закрепить умение учащихся задавать уравнением функцию, заданную при помощи графика,
• познакомить учащихся с тем, каким образом влияет знак модуля на отображение графика линейной функции

Оборудование: презентация (приложение 1)

Ход урока №1

При решении многих математических задач необходимо быстро и точно строить графики любых функций, изучаемых в школьном курсе алгебры. Т.к. на уроке предстоит много построений, начинаем, вспоминая, как строить график линейной функции y = kx + b на основе анализа углового коэффициента и коэффициента смещения (слайд 2)

Сопоставляем уравнения и графики (слайд 3):

 

Построим в тетрадях в одной системе координат графики функций (y = —x; y = —x -4; y = -1/3 x – 2; y = 2x + 5; y = x + 1), проверяя себя при помощи слайда 4

Вспомним определение модуля числа x (слайд 5)

Рассматриваем, как можно построить график функции y = |x| на основании определения модуля, отбрасывая части прямых, не лежащих в полуплоскостях x < 0 и x> 0 (слайд 6)

Аналогично рассматриваем способ построения графика функции y = |x + 1| (слайд 7)

Сравнивая графики и уравнения функций (слайд 8-9),

делаем вывод о том, как можно построить график функции y = |x + a| — b смещением графика функции y = |x| (слайд 10-11)

Строим в тетрадях графики функций y = |x-3| + 3, y = |x – 3| — 2, y = |

x+2| — 5, y = |x + 3| + 2 и проверяем себя при помощи слайда 12

Далее учащиеся должны на основе рисунка, представленного на слайде 13, задать функцию уравнением:

При построении графиков очень важно научить ребят анализировать область определения и множество значений функции и “переносить” указанные множества на координатную плоскость.

Заполняем таблицу (слайд 12):

	D(y)	E (y)
y = |x|
y = |x – 3|
y = |x – 3| +2
y = — |x|
y = |x + 2| -5
y = — |x +2| -5

И рассматриваем, как множества значений можно определить на основе графиков (слайд 15)

Учащимся предлагается определить D (y) и E(y) по рисунку (слайд 16):

 

Ученики самостоятельно придумывают уравнение функции по заданным D(y) и E(y) (слайд 17):

Анализируя графики и уравнения (слайд 18), ученики делают вывод о том, как влияет знак минуса перед модульными скобками на график.

И самостоятельно задают уравнение по графикам, представленным на слайде 19.

Ход урока № 2

Устно проговариваем уравнения функций по графикам (слайд 20):

 

Аналогично схеме предыдущего урока (слайд 21-27) ученики знакомятся с тем, каким образом влияет коэффициент перед аргументом функции на график. В результате они должны научиться описывать уравнением следующие графики:

 

Для закрепления полученных знаний, в тетрадях в одной системе координат ребята строят следующие графики:

y = |0,5x| при -3 < x< 3;

y = 3 при -1 < x< 1;

y = -|x + 3| + 6 при -4 < x < -2;

y = -|x — 3| + 6 при 2 < x < 4;

y = |x + 3| + 4 при -4 < x < -2;

y = |x — 3| + 4 при 2

< x ? 4;

y = -|0,5x – 1,5| + 7 при -5 < x < -1;

y = -|0,5x + 1,5| + 7 при 1 < x < 5.

Проверяют себя по слайду 29:

Домашнее задание: придумать картину, состоящую из отрезков прямых, и описать ее при помощи уравнений функций.

Ход урока № 3

Построим графики функций y = |3x| — 3 и y = |3x – 3|. Как в каждом случае связаны y(x) и y(-x)?

Наличие условия y(x) = y(-x) означает симметрию относительно …?

Приведите примеры уравнений функции, графики которых будут симметричны относительно оси ординат

Если в модульные скобки заключается переменная y, то мы получаем условие |y| = |-y|. Какую симметрию задает это условие?

На слайде 34 последовательно рассматриваем цепочку построения графиков:

y = 3x – 3, |y| = 3x – 3, |y| = |3x| — 3, |y| = |3x – 3| путем преобразований симметрии.

Выводим и запоминаем три правила:

 

Распределите, к какому типу из трех (y = f(|x|, |y| = f(x), y = |f(x)|), можно отнести каждое уравнение:

|y| = 2 – x, y = |3x — 4|, |x| + |y| = 2, |y| = 3x – 4, y = |3|x| — 4|, y = |3x| — 4, |y| = |3|x| — 4|, |y| = |3x – 4|.

Проверяем себя (слайд 35)

Строим последовательную цепочку графиков (тонкими линиями в тетрадях):

1) y = 3x – 4,

y = |3x – 4|, y = |3|x| — 4|, |y| = |3|x| — 4|

2) y = 3x – 4, y = 3|x| — 4, y = |3|x| — 4|

Рассматриваем способ построения графика соответствия |x| + |y| = 2.

Самостоятельно строим график |x| — |y| = 2 и проверяем себя по слайду 39.

Домашнее задание: придумать пять уравнений соответствий с модулем, в которых встречаются все случаи, рассмотренные на уроке, и построить графики.

17.03.2008

функций абсолютного значения | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• График функции абсолютного значения.
• Найти точки пересечения функции абсолютного значения.

 

Расстояния в глубоком космосе можно измерять во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние с точки зрения абсолютных значений. (Источник: «s58y»/Flickr)

До 1920-х годов считалось, что так называемые спиральные туманности представляют собой облака пыли и газа в нашей собственной галактике, находящейся в нескольких десятках тысяч световых лет от нас. Затем астроном Эдвин Хаббл доказал, что эти объекты сами по себе являются галактиками на расстоянии в миллионы световых лет. Сегодня астрономы могут обнаруживать галактики, удаленные от нас на миллиарды световых лет. Расстояния во Вселенной можно измерить во всех направлениях. Таким образом, полезно рассматривать расстояние как функцию абсолютного значения. В этом разделе мы рассмотрим Функции абсолютного значения .

Понимание абсолютного значения

Напомним, что в своей основной форме [латекс]\displaystyle{f}\left({x}\right)={|x|}[/латекс] функция абсолютного значения является одной из наших инструментальные функции. Функция абсолютного значения обычно рассматривается как определение расстояния числа от нуля на числовой прямой. Алгебраически, независимо от входного значения, выходным является значение без учета знака.

A Общее примечание: Функция абсолютного значения

Функция абсолютного значения может быть определена как кусочная функция

[latex]f(x) =\begin{cases}x ,\ x \geq 0 \\ -x , x < 0\\ \end{cases} [/latex]

Пример: определение числа в пределах заданного расстояния

Опишите все значения [latex]x[/latex] в пределах или включая расстояние 4 от числа 5.

Показать решение

Попробуйте

Опишите все значения [latex]x[/latex] на расстоянии 3 от числа 2.

Показать решение

Пример: Сопротивление резистора

Электрические детали, такие как резисторы и конденсаторы, поставляются с заданными значениями рабочих параметров: сопротивления, емкости и т. д. Однако из-за неточности изготовления фактические значения этих параметров несколько отличаются от куска к кусочку, даже если они должны быть одинаковыми.

Лучшее, что могут сделать производители, — это попытаться гарантировать, что вариации останутся в пределах указанного диапазона, часто [латекс]\pm 1\%,\pm5\%,[/латекс] или [латекс]\displaystyle\pm10\% [/латекс].

Предположим, у нас есть резистор номиналом 680 Ом, [латекс]\pm 5\%[/латекс]. Используйте функцию абсолютного значения, чтобы выразить диапазон возможных значений фактического сопротивления.

Показать раствор

Попробуйте

Учащиеся, набравшие не более 20 баллов из 80, проходят тест. Запишите это как расстояние от 80, используя обозначение абсолютного значения.

Показать решение

Наиболее важной особенностью графика абсолютных значений является угловая точка, в которой график меняет направление. Эта точка показана на происхождение .

На приведенном ниже графике [латекс]у=2\влево|х — 3\вправо|+4[/латекс]. График [latex]y=|x|[/latex] был сдвинут вправо на 3 единицы, растянут по вертикали в 2 раза и сдвинут вверх на 4 единицы. Это означает, что угловая точка для этой преобразованной функции расположена в [латекс]\влево(3,4\вправо)[/латекс].

Пример: Написание уравнения для функции абсолютного значения

Напишите уравнение для функции, показанной ниже.

Показать решение

Вопросы и ответы

Если бы мы не могли наблюдать растяжение функции по графикам, могли бы мы определить его алгебраически?

Да. Если мы не можем определить растяжение на основе ширины графика, мы можем определить коэффициент растяжения, введя известную пару значений для [латекс]x[/латекс] и [латекс]f\left(x\ справа)[/латекс].

[латекс]f\left(x\right)=a|x — 3|-2[/latex]

Теперь подставим в точке (1, 2)

[латекс]\begin{array}{l}2=a|1 — 3|-2\hfill \\ 4=2a\hfill \\ a=2\hfill \end{array} [/latex]

Попробуйте

Напишите уравнение для функции абсолютного значения, которая сдвигается по горизонтали влево на 2 единицы, переворачивается по вертикали и сдвигается по вертикали вверх на 3 единицы.

Показать решение

Вопросы и ответы

Всегда ли графики функций абсолютного значения пересекают вертикальную ось? Горизонтальная ось?

Да, они всегда пересекают вертикальную ось. График функции абсолютного значения будет пересекать вертикальную ось, когда вход равен нулю.

Нет, они не всегда пересекают горизонтальную ось. График может пересекать или не пересекать горизонтальную ось в зависимости от того, как график был сдвинут и отражен. Функция абсолютного значения может пересекать горизонтальную ось в нуле, одной или двух точках.

(a) Функция абсолютного значения не пересекает горизонтальную ось. (b) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в одной точке. (c) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в двух точках.

Поиск точек пересечения функции абсолютного значения

Полезно знать, как решать задачи, связанные с функциями абсолютного значения . Например, нам может понадобиться идентифицировать числа или точки на линии, которые находятся на заданном расстоянии от заданной контрольной точки.

Как: Имея формулу для функции абсолютного значения, найдите точки пересечения ее графика по горизонтали.

1. Изолировать термин абсолютного значения.
2. Используйте [latex]|A|=B[/latex] для записи [latex]A=B[/latex] или [latex]\mathrm{-A}=B[/latex], предполагая, что [latex]B>0 [/латекс].
3. Найдите [латекс]х[/латекс].

Пример: поиск нулей функции абсолютного значения

Для функции [latex]f\left(x\right)=|4x+1|-7[/latex] найдите значения [latex]x[ /latex] такой, что [latex]\text{ }f\left(x\right)=0[/latex] .

Показать решение

Попробуйте

Для функции [латекс]f\влево(х\вправо)=|2x — 1|-3[/латекс] найдите значения [латекс]х[/латекс] такие, что [латекс] f\влево(х\вправо)=0[/латекс].

Показать решение

Поддержите!

У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

График функции абсолютного значения | МАТЕМАТИКА 1314: Колледж Алгебра |

Наиболее важной особенностью графика абсолютных значений является угловая точка, в которой график меняет направление. Эта точка показана в начале координат .

Рисунок 3

Рисунок 4 — график

y=2∣x−3∣+4y=2\left|x — 3\right|+4\\y=2∣x−3∣+4

. График

y=∣x∣y=|x|\\y=∣x∣

был сдвинут вправо на 3 единицы, растянут по вертикали в 2 раза и сдвинут вверх на 4 единицы. Это означает, что угловая точка для этой преобразованной функции расположена в точке

(3,4)\влево(3,4\вправо)\\(3,4)

.

Рис. 4

Пример 3. Написание уравнения для функции абсолютного значения

Напишите уравнение для функции, изображенной на рисунке 5.

Рисунок 5

Решение

Основная функция абсолютного значения изменяет направление в начале координат, поэтому этот график был сдвинут на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз по сравнению с базовой функцией набора инструментов.

Рисунок 6

Мы также замечаем, что график кажется вытянутым по вертикали, потому что ширина окончательного графика на горизонтальной линии не равна удвоенному расстоянию по вертикали от угла до этой линии, как это было бы для нерастянутая функция абсолютного значения. Вместо этого ширина равна 1-кратному вертикальному расстоянию. 9Рис. 7 −3)∣−2, рассматривая растяжение как горизонтальное сжатие.\begin{cases}f\left(x\right)=2\left|x — 3\right|-2,\qquad & \text{обработка растягивание как вертикальное растяжение, или}\qquad \\ f\left(x\right)=\left|2\left(x — 3\right)\right|-2,\qquad & \text{обработка растяжения как горизонтальное сжатие}.\qquad \end{cases}\\{f(x)=2∣x−3∣−2,f(x)=∣2(x−3)∣−2,​обрабатывая растяжение как вертикальное растяжение или рассмотрение растяжения как горизонтального сжатия.​

Вопросы и ответы

Если бы мы не могли наблюдать растяжение функции по графикам, могли бы мы определить его алгебраически?

Да. Если мы не можем определить растяжение на основе ширины графика, мы можем найти коэффициент растяжения, подставив известную пару значений для

xx\\x

и

f(x)f\left(x\ справа)\\f(x)

.

f(x)=a∣x−3∣−2f\left(x\right)=a|x — 3|-2\\f(x)=a∣x−3∣−2

Теперь подставляем в точку (1, 2)

{2=a∣1−3∣−24=2aa=2\begin{cases}2=a|1 — 3|-2\qquad \\ 4= 2a\qquad \\ a=2\qquad \end{cases}\\⎩

⎨

⎧​2=a∣1−3∣−24=2aa=2​

Попробуйте 3

Напишите уравнение для функции абсолютного значения, которая сдвигается по горизонтали влево на 2 единицы, переворачивается по вертикали и сдвигается по вертикали вверх на 3 единицы.

Решение

Вопросы и ответы

Всегда ли графики функций абсолютного значения пересекают вертикальную ось? Горизонтальная ось?

Да, они всегда пересекают вертикальную ось. График функции абсолютного значения будет пересекать вертикальную ось, когда вход равен нулю.

Нет, они не всегда пересекают горизонтальную ось. График может пересекать или не пересекать горизонтальную ось, в зависимости от того, как график был сдвинут и отражен. Функция абсолютного значения может пересекать горизонтальную ось в нуле, одной или двух точках.

Рис. 8. (a) Функция абсолютного значения не пересекает горизонтальную ось. (b) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в одной точке. (c) Функция абсолютного значения пересекает горизонтальную ось в двух точках.

Лицензии и атрибуты

Лицензионный контент CC, ранее опубликованный

• Precalculus. Автор : Джей Абрамсон и др. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions.

  No related posts.