I комплексные числа: Теория — Комплексные числа

3.$

Ответ: $i.$

Найти действительные решения следующего уравнения:

1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$

Ответ: $x=1/3; y=1/4.$

Решить следующие системы линейных уравнений:

1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$

$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$

Ответ: $z_1=1; z_2=i.$

1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$

$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$

Ответ: $z_1=2+i; z_2=2-i.$

Функция КОМПЛЕКСН

Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование

комплексного в Microsoft Excel.

Описание

Преобразует коэффициенты при вещественной и мнимой частях комплексного числа в комплексное число в форме x + yi или x + yj.

Синтаксис

КОМПЛЕКСН(действительная_часть;мнимая_часть;[мнимая_единица])

Аргументы функции КОМПЛЕКСН описаны ниже.

Действительная_часть — обязательный аргумент. Действительная часть комплексного числа.
Мнимая_часть — обязательный аргумент. Мнимая часть комплексного числа.
org/ListItem»>
Мнимая_единица — необязательный аргумент. Обозначение мнимой единицы в комплексном числе. Если аргумент «мнимая_единица» опущен, используется суффикс «i».

Примечание: Все функции с комплексными числами принимают суффиксы «i» и «j», но не «I» и «J». Использование верхнего регистра результатов в #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!. Для всех функций, которые принимают два или более сложных числа, требуется, чтобы все суффиксы совпадали.

Замечания

Если real_num не является числом, то #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если i_num не является числом, то #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Если суффикс не является ни «i», ни «j», то #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=КОМПЛЕКСН(3;4)	Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 3 и 4 соответственно	3+4i
=КОМПЛЕКСН(3;4;»j»)	Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 3 и 4 соответственно и мнимой единицей j	3+4j
=КОМПЛЕКСН(0;1)	Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 0 и 1 соответственно	i
=КОМПЛЕКСН(1;0)	Комплексное число с действительным и мнимым коэффициентами 1 и 0 соответственно	1

2.

3 — Комплексные числа 2.3 — Комплексные числа

Мнимое число, я

Квадрат недействительного числа может быть отрицательным. Это, однако, оставляет определенные уравнения (например, x

2 +1=0) без реального решения. Мы, математики, не любим вещи, чтобы не иметь ответа. Так, мы придумали воображаемое число i такое, что i ² = -1. Что составляет i = sqrt (-1).

Важно помнить, что i — мнимое число. Никогда не будет реальный номер квадрат которого отрицателен. Поскольку мы рисуем уравнения в реальном мире, решения, включающие i на графике не появится.

Комплексные числа

Каждое комплексное число можно записать как «a + b i », где а и b — действительные числа. Если b=0, то это обычное действительное число. Если а=0 и b<>0, то это мнимое число. Когда они вместе, вы получите комплексное число.

Однако важно помнить, что каждое действительное число и каждое мнимое число также комплексное число.

Это вернется в игру в главе о полиномах, когда они сформулируйте теорему о комплексных числах. Это неверно только для комплексных чисел, содержащих 9.0007 и , это верно и для всех реалов.

Равенство комплексных чисел

Если два комплексных числа равны, то действительная часть левой части должна равняться действительной составляющая правой части и мнимая составляющая левой части должны быть равны мнимая часть правой части.

Полномочия

i никогда не следует записывать в степени, отличной от 1.

0	1	2	3
i ⁰ = 1	я ¹ = я	я ² = -1	я ³ = — я
i ⁴ = 1	я ⁵ = я	я ⁶ = -1	и ⁷ = — я
и ⁸ = 1	я ⁹ = я	я ¹⁰ = -1	я ¹¹ = — я

Этот шаблон повторяется. Чтобы упростить i в любой степени, просто разделите показатель степени на 4 и посмотрите на остаток. Остаток будет равен 0, 1, 2 или 3, и это будет соответствовать 1, i , -1 и -i соответственно. Заголовки столбцов — это остаток от деления на 4.

Быстрый способ деления показателя степени на четыре состоит в том, чтобы разделить последние две цифры показателя степени на четыре. Остаток будет таким же.

Комплексные конъюгаты

Рассмотрим квадрат комплексного числа

(a+b i ) ² = a ² + 2ab i + b ² i ² = (a

20005 2

) + 2аб и

Обратите внимание, что когда вы возводите в квадрат комплексное число, включающее и , вы получаете другое комплексное число. с участием и .

Однако теперь рассмотрим этот продукт

(a+b i )(a-b i ) = a ² — b ² i ² = a ² + b 2

5

(a+b i ) и (a-b i ) называются комплексно-сопряженными числами, а их произведение является действительным числом. Заметь знак меняется только на мнимой составляющей. Не проходите и не меняйте знаки на действительной составляющей только мнимая составляющая.

Чтобы удалить мнимую часть комплексного числа, умножьте на его комплекс сопряженный.

Так происходит деление комплексных чисел. Числитель и знаменатель умножить на комплексное сопряжение знаменателя.

График комплексных чисел

Для построения графика комплексного числа действительный компонент — это координата x, а мнимый компонент — это координата y.

Что такое комплексные числа? | Живая наука

Живая наука поддерживается своей аудиторией. Когда вы покупаете по ссылкам на нашем сайте, мы можем получать партнерскую комиссию. Вот почему вы можете доверять нам.

В этом комплексном числе 3 — действительное число, а 5i — мнимое.

Комплексные числа — это числа, состоящие из двух частей — действительного числа и мнимого числа. Комплексные числа являются строительными блоками более сложной математики, такой как алгебра. Их можно применять ко многим аспектам реальной жизни, особенно в электронике и электромагнетизме.

Стандартный формат комплексных чисел: a + bi , где сначала действительное число, а в конце мнимое. Поскольку любая часть может быть равна 0, технически любое действительное или мнимое число можно считать комплексным числом. Сложный не значит сложный; это означает, что два типа чисел объединяются, образуя комплекс, например, жилой комплекс — группу зданий, соединенных вместе.

Действительные числа — это осязаемые значения, которые можно нанести на горизонтальную числовую линию, например, дроби, целые числа или любое исчисляемое число, которое вы можете придумать. Мнимые числа — это абстрактные понятия, которые используются, когда вам нужен квадратный корень из отрицательного числа.

Сложение и умножение комплексных чисел

Поскольку комплексное число является двучленом — числовым выражением с двумя членами — арифметические действия обычно выполняются так же, как и для любого двучлена, путем объединения одинаковых членов и упрощения. Например:

(3 + 2i) + (4 — 4i)

(3 + 4) = 7

(2i — 4i) = -2i

4 7 .

Для умножения вы используете метод FOIL для полиномиального умножения: умножьте первое, умножьте внешнее, умножьте внутреннее, умножьте последнее, а затем сложите. Например:

(3 — 2i)(5 + 3i) =

(3)(5) + (3)(3i) + (-2i)(5) + (-2i)(3i) =

15 + 9i + -10i + -6i ² =

15 — i — 6(-1) =

21 — i

Причина, по которой i2 упрощается до (-1), заключается в том, что i является квадратным корнем из -1.

Деление комплексных чисел

Деление, однако, усложняется и требует использования сопряженных чисел. Комплексно-сопряженные числа — это пары комплексных чисел с разными знаками, например (а + би) и (а — би) . Умножение комплексно-сопряженных чисел приводит к сокращению среднего члена. Например:

(a + bi)(a — bi) = a ² — abi + abi — (bi) ²

Это упрощает до a ² — b ² (i ²) = a ² — b ² (-1)

Конечный результат: a ² + b ²

При делении комплексных чисел определите сопряженное знаменателя и умножьте числитель и знаменатель на сопряженное. Например,

(5 + 2i) ÷ (7 + 4i)

Сопряжение 7 + 4i равно 7 — 4i. Итак, умножаем числитель и знаменатель на сопряженное:

(5 + 2i)(7 – 4i) ÷ (7 + 4i)(7 – 4i) =

(35 + 14i – 20i – 8i ² ) ÷ (49 – 28i + 28i – 16i ² ) =

(35 — 6i + 8) ÷ (49 + 16) =

(43 — 6i) ÷ 65

Абсолютное значение комплексных чисел

Абсолютным значением числа считается его расстояние от нуля на числовая строка. Поскольку комплексные числа включают в себя мнимые числа, их нельзя изобразить на прямой с действительными числами. Однако они могут быть измерены от нуля на плоскости комплексных чисел, которая включает ось x (для действительного числа) и ось y (для мнимого числа).

Использование комплексных чисел

Комплексные числа можно использовать для решения квадратичных уравнений для нулей. Квадратичная формула решает ax2 + bx + c = 0 для значений x. Если формула содержит отрицательный квадратный корень, для упрощения нуля можно использовать комплексные числа.