Икс первое икс второе равно: Формула икс 1 2. Квадратные уравнения

Способы решения квадратных уравнений | Творческие проекты и работы учащихся

Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения (Приложение 1).

Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно остановимся на каждом из них.

1 способ: разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х2 + 10х — 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х — 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что число 2 и — 12 являются корнями уравнения х2 + 10х — 24 = 0.

2 способ: метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х — 7 = 0

,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 — 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3 способ: решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 — 4ac,

2ax + b = ± √ b2 — 4ac,

2ax = — b ± √ b2 — 4ac,

Примеры. Сколько корней имеет уравнение?

а) 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 — 4ac = 72 — 4 • 4 • 3 = 49 — 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 — 4ac >0 , уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х2 — 4х + 1 = 0,

а = 4, b = — 4, с = 1, D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 • 4 • 1= 16 — 16 = 0,

D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение

ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 — 4ac = 32 — 4 • 2 • 4 = 9 — 32 = — 13 ,

D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac < 0,

уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

4 способ: решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = — p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например, x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 иx2 = 1, так какq = 2 > 0 иp = — 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = — 7 иx2 = — 1, так какq = 7 > 0 иp= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Пример: x2 + 4x – 5 = 0; x1 = — 5 иx2 = 1, так какq= — 5 < 0 иp = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 иx2 = — 1, так какq = — 9 < 0 иp = — 8 < 0.

5 способ: решение уравнений способом «переброски»( Приложение 2).

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни

у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6 способ: свойства коэффициентов квадратного уравнения (

Приложение 2)

А.Пусть дано квадратное уравнение

ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1

х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = — b/a,

x1x2 = 1• c/a.

По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

x1 + x2 = — а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = — 1• ( — c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

Примеры.

1) Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

2)Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней.

Пример.

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7± 8,

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

7 способ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Все данные вводим в программу« Advanced Grapher» и получаем ответы [13].

Искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с=0, и проходит через точки А (0;1) и С (0; ) на оси ординат. [5, c.34]

Возможны следующие случаи:

• прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
• прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
• прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4.

Ответ: х1 = — 1; х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8 способ:: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Найти корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). [5, c.34]

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD.

Итак: 1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Пример. Решим уравнение х2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

9 способ: решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990) [ 3, c.83] .

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение

z2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корниz1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

(рис.12)

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z2 — 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение

z2 — 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z1 = 4 иz2 = 0,5.

3) Для уравнения

z2 — 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откудаz1 = 5t1 = 3,0 иz2 = 5t2 = 22,0.

10 способ: геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.

Примеры.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т. е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя

х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у — 16 = 0.

Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6у = 16,

или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаему2 — 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3)2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = — 2.

Заключение

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Здесь мы остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое.

Но это вопросы уже следующих работ. В результате изучения новых способов решения квадратных уравнений мы получили возможность решать уравнения не только по формуле, но и более интересными способами. Решили множество уравнений, изучили программу «Advanced Grapher». Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи.

Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. Данная исследовательская работа может быть использована учителями математики на уроках и элективных курсах по математике при изучении темы «Квадратные уравнения» (Приложения 1-3), учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений. Любой учащийся, используя эту исследовательскую работу, может самостоятельно изучить данную тему (Приложения 1-2).

Литература

1. Алимов, Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. / Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. — М., Просвещение, 1981.
2. Арутюнян, Е.Б.Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.
3. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.
4. Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.
5. Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.
6. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.
7. Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.
8. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение,
9. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.
10. Энциклопедический словарь юного математика. – 2-е издание, испр. и доп. – М.:Педагогика, 1989.
11. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика.- М.: Аванта+, 1999.
12. Ресурсы сети Интернет.
13. Программы «Advanced Grapher» и «Открытая математика».

Перейти к разделу: 3. Что необходимо знать для решения квадратных уравнений?

Сколько существует способов решения квадратного уравнения?

Сколько существует способов решения квадратного уравнения? Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи до окончания вуза.         В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида аx² + bx + c = 0, где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0. Если в квадратном уравнении аx² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Способы решения неполных квадратных уравнений: Если c = 0, то уравнение примет вид ax² + bx = 0. x(ax + b) = 0 , x = 0 или ax + b = 0, x = -b : a. Если b = 0, то уравнение примет вид ax² + c = 0, x² = -c / a, x₁ͅͅͅ͵₂ = ± Если b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид ax² = 0, x = 0 Остановимся на рассмотрении способов решения полных квадратных уравнений. Первый способ известен из курса алгебры 7 класса — решение квадратного уравнения по формуле: ах²+ bх + с = 0, а ≠ 0, Х 1,2 = ,где х₁ и х₂-корни уравнения. 2 способ. Разложение левой части на множители. х2 — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 — 2х — 8 = х2 — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4). (х + 2)(х -4)=0. Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4. Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х2 — 2х — 8 = 0. 3 способ. Решение квадратных уравнений по теореме Виета. Вспомним формулировку теоремы Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения х2+ рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, x1, x2 таковы, что х1 + х₂ = — р, х1 · х2 = q, то х1 и х2 – корни уравнения х2+ рх + q = 0. 4 способ. Метод выделения полного квадрата. Поясним этот метод на примере. Решим уравнение х2 + 6х – 40 = 0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде: х2 + 6х = х2 + 2· х ·3. В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как х2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3)2 . Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 40 = 0, прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х2 + 6х – 40 = х2 + 2х ·3 + 9 – 9 – 40 = (х + 3)2 – 49. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 –49 = 0, т.е. (х + 3)2 = 49. Следовательно, х + 3 = 7, х1= 4, или х +3 = -7 , х2 = -10. 5 Способ. Способ переброски коэффициентов. Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а2 х2 + а bх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х =y/a; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = и х2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Например, решим уравнение 2х2-9x+9 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 9y +18 = 0. Согласно теореме Виета = > => Ответ: 1,5; 3. 6 способ: графический. Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = — px — q. Построим графики зависимости у = х2 и у = — px — q. График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи: — прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; — прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение; — прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. 7 способ: геометрический. Опять же обратимся к примеру: решить уравнение у2+ 6у – 16 = 0. y 3 Преобразуем уравнение: у2 + 6у = 16 y у² 3у 3 3у 9 Уравнение у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 равносильно исходному. у²+ 6у + 9 = 16 + 9,у²+6у+9=25.На геометрическом языке площадь квадрата со стороной , равной 5, равна сумме площадей его частей, т. е. у²+3у+3у+9.Откуда после примения формулы сокращенного умножения и получаем, что( у + 3)² = 25, у+3=±5 у1 = 2, у2 = – 8. Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений , например, при решении задач нередко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Три закона Кеплера

В начале 1600-х годов Иоганн Кеплер предложил три закона движения планет. Кеплер смог обобщить тщательно собранные данные своего наставника Тихо Браге тремя утверждениями, описывающими движение планет в солнечной системе с центром в центре Солнца. Попытки Кеплера объяснить основные причины таких движений больше не принимаются; тем не менее, сами фактические законы по-прежнему считаются точным описанием движения любой планеты и любого спутника.

Три закона движения планет Кеплера можно описать следующим образом:

• Путь планет вокруг Солнца имеет эллиптическую форму, при этом центр Солнца находится в одном фокусе. (Закон эллипсов)
• Воображаемая линия, проведенная от центра Солнца к центру планеты, заметает равные площади за равные промежутки времени. (Закон равных площадей)
• Отношение квадратов периодов любых двух планет равно отношению кубов их средних расстояний от Солнца. (Закон Гармоний)

Закон эллипсов

Первый закон Кеплера, иногда называемый законом эллипсов, объясняет, что планеты вращаются вокруг Солнца по траектории, описываемой как эллипс. Эллипс можно легко построить с помощью карандаша, двух кнопок, веревки, листа бумаги и куска картона. Прикрепите лист бумаги к картону двумя кнопками. Затем завяжите нить в петлю и оберните петлю вокруг двух кнопок. Возьмите карандаш и тяните за нитку, пока карандаш и две кнопки не образуют треугольник (см. рисунок справа). Затем начните обводить путь карандашом, плотно обмотав нитку вокруг кнопок. В результате получится эллипс. Эллипс — это особая кривая, в которой сумма расстояний от каждой точки кривой до двух других точек является постоянной величиной. Две другие точки (обозначенные здесь положениями галса) известны как 9-я точка.0018 фокусов эллипса. Чем ближе друг к другу эти точки, тем больше эллипс напоминает форму круга. На самом деле круг — это частный случай эллипса, в котором два фокуса находятся в одном месте. Первый закон Кеплера довольно прост: все планеты вращаются вокруг Солнца по траектории, напоминающей эллипс, причем Солнце находится в одном из фокусов этого эллипса.

Закон равных площадей

Второй закон Кеплера, иногда называемый законом равных площадей, описывает скорость, с которой любая планета будет двигаться по орбите вокруг Солнца. Скорость, с которой любая планета движется в космосе, постоянно меняется. Планета движется быстрее всего, когда она находится ближе всего к Солнцу, и медленнее всего, когда она дальше всего от него. Однако если воображаемую линию провести от центра планеты к центру Солнца, то эта линия охватит ту же площадь за равные промежутки времени. Например, если воображаемую линию провести от земли к солнцу, то площадь, заметаемая этой линией за каждый 31-дневный месяц, будет одинаковой. Это изображено на диаграмме ниже. Как видно на диаграмме, области, образованные, когда Земля находится ближе всего к Солнцу, можно аппроксимировать широким, но коротким треугольником; тогда как области, образованные, когда Земля находится дальше всего от Солнца, можно приблизительно представить в виде узкого, но длинного треугольника. Эти области имеют одинаковый размер. С с основанием этих треугольников являются самыми короткими, когда Земля находится дальше всего от Солнца, Земля должна двигаться медленнее, чтобы эта воображаемая площадь была того же размера, что и когда Земля находится ближе всего к Солнцу.

 

Закон гармоний

Третий закон Кеплера, иногда называемый законом гармоний , сравнивает период обращения и радиус орбиты планеты с таковыми у других планет. В отличие от первого и второго законов Кеплера, описывающих характеристики движения одной планеты, третий закон сравнивает характеристики движения разных планет. Проводится сравнение, заключающееся в том, что отношение квадратов периодов к кубам их средних расстояний от Солнца одинаково для каждой из планет. В качестве иллюстрации рассмотрим период обращения и среднее расстояние от Солнца (радиус орбиты) для Земли и Марса, как указано в таблице ниже.

Планета	Период (с)	Среднее Расстояние (м)	T 2 /R 3 (s 2 /m 3 )
Земля	3,156 x 10 7 с	1,4957 x 10 11	2,977 x 10 -19
Марс	5,93 x 10 7 с	2,278 x 10 11	2,975 x 10 -19

 

Обратите внимание, что соотношение T ² /R ³ для Земли такое же, как и для Марса. На самом деле, если такое же отношение T ² /R ³ вычислить для других планет, можно обнаружить, что это отношение является почти одинаковым значением для всех планет (см. таблицу ниже). Удивительно, но на каждой планете один и тот же T ^{2 9Соотношение 0079/R 3 .}

Планета	Период (год)	Среднее Расстояние (а.е.)	T 2 /R 3 (год 2 /au 3 )
Меркурий	0,241	0,39	0,98
Венера	. 615	0,72	1.01
Земля	1,00	1,00	1,00
Марс	1,88	1,52	1.01
Юпитер	11,8	5,20	0,99
Сатурн	29,5	9,54	1,00
Уран	84,0	19.18	1,00
Нептун	165	30. 06	1,00
Плутон	248	39,44	1,00

( ПРИМЕЧАНИЕ : Значение среднего расстояния дается в астрономических единицах, где 1 а. 1 земной год — это время, необходимое Земле для обращения вокруг Солнца — 3,156 х 10 ⁷ секунд. )

 

Третий закон Кеплера точно описывает период и расстояние обращения планеты вокруг Солнца. Кроме того, тот же закон, который описывает отношение T ² /R ³ для орбит планет вокруг Солнца, также точно описывает отношение T ² /R ³ для любого спутника (будь то луна или человек). спутник) о любой планете. В этом Т 9 есть что-то гораздо более глубокое.0078 2 /R ³ отношение — то, что должно относиться к основным фундаментальным принципам движения. В следующей части Урока 4 эти принципы будут исследованы по мере того, как мы будем проводить связь между принципами кругового движения, обсуждавшимися в Уроке 1, и движением спутника.

Как Ньютон расширил свое понятие гравитации, чтобы объяснить движение планет?

Сравнение Ньютоном ускорения Луны с ускорением объектов на Земле позволило ему установить, что Луна удерживается на круговой орбите силой тяжести — силой, которая находится в обратной зависимости от расстояния между центрами двух объектов. . Установление гравитации как причины орбиты Луны не обязательно означает, что гравитация является причиной орбит планеты. Как же тогда Ньютон представил достоверные доказательства того, что сила гравитации соответствует требованию центростремительной силы для эллиптического движения планет?

Напомним, что ранее в Уроке 3 Иоганн Кеплер предложил три закона движения планет. Его закон гармонии предполагал, что отношение квадрата периода обращения ( T ² ) к среднему радиусу обращения в кубе ( R ³ ) равно одному и тому же значению k для всех планет, обращающихся по орбите. солнце. Известные данные для вращающихся планет предполагают следующее среднее соотношение:

к = 2,97 х 10 ^-19  с ² /м ³  = (T ² )/(R ³ )

Ньютон смог объединить закон всемирного тяготения с принципами кругового движения, чтобы показать, что если сила тяжести обеспечивает центростремительную силу для почти круговых орбит планет, то значение 2,97 x 10 ^-19  с ² /m ³ можно было предсказать для T ² /R ³ соотношение. Вот рассуждения Ньютона:

Рассмотрим планету с массой M _{планету} , совершающую почти круговое движение вокруг Солнца с массой M _Солнце . Суммарная центростремительная сила, действующая на эту вращающуюся вокруг планеты, определяется соотношением

F _нетто  = (M _{планета}  * v ² ) / R

Эта результирующая центростремительная сила является результатом гравитационной силы, которая притягивает планету к Солнцу, и может быть представлена ​​как

F _грав  = (G* M _{планета} * M _Солнце ) / R ²

Поскольку F _grav  = F _net , приведенные выше выражения для центростремительной силы и силы тяжести равны. Таким образом,

(M _{планета}  * v ² ) / R = (G* M _{планета}  * M _Солнце  ) / R ²

Так как скорость объекта на почти круговой орбите может быть аппроксимирована как v = (2*pi*R) / T,

v ²  = (4 * pi ²  * R ² ) / T ²

Подстановка выражения для v ²  в приведенное выше уравнение дает

(M _{планета}  * 4 * pi ²  * R ² ) / (R • T ² ) = (G* M _{планета} * M _Солнце ) / R ²

Путем перекрестного умножения и упрощения уравнение можно преобразовать в

T ²  / R ³  = (M _{планета}  * 4 * пи ² ) / (G* M _{планета}  * M _Солнце  )

Затем массу планеты можно вычесть из числителя и знаменателя правой части уравнения, что даст

T ² / R ³ = (4 * пи ² ) / (G * M _Солнце )

Правая часть приведенного выше уравнения будет одинаковой для каждой планеты независимо от массы планеты. Следовательно, разумно, что отношение T ² /R ³ будет одинаковым для всех планет, если сила, которая удерживает планеты на их орбитах, является силой гравитации. Универсальный закон всемирного тяготения Ньютона предсказывает результаты, которые согласуются с известными планетарными данными и обеспечивают теоретическое объяснение закона гармонии Кеплера.

 

Расследуй!

Ученые знают о планетах гораздо больше, чем во времена Кеплера. Используйте виджет The Planets , чтобы узнать, что известно о различных планетах.

 

Проверьте свое понимание

1. Наше понимание эллиптического движения планет вокруг Солнца продолжалось несколько лет и включало вклад многих ученых.

а. Какому ученому приписывают сбор данных, необходимых для поддержки эллиптического движения планеты?

б. Какому ученому приписывают долгую и сложную задачу анализа данных?

в. Какому ученому приписывают точное объяснение данных?

 

2. Галилею часто приписывают раннее открытие четырех из множества спутников Юпитера. Луны, вращающиеся вокруг Юпитера, следуют тем же законам движения, что и планеты, вращающиеся вокруг Солнца. Один из спутников называется Ио — его расстояние от центра Юпитера составляет 4,2 единиц и обращается вокруг Юпитера за 1,8 земных дня. Другая луна называется Ганимед; это 10,7 единицы от центра Юпитера. Сделайте предсказание периода Ганимеда, используя закон гармоний Кеплера.

 

3. Предположим, открыта маленькая планета, которая находится в 14 раз дальше от Солнца, чем Земля от Солнца (1,5 x 10 ¹¹ м). Используйте закон гармоний Кеплера, чтобы предсказать период обращения такой планеты. ДАННО: Т ² /R ³ = 2,97 x 10 ^-19 с ² /м ³

 

4. Среднее орбитальное расстояние Марса в 1,52 раза больше среднего орбитального расстояния Земли. Зная, что Земля совершает оборот вокруг Солнца примерно за 365 дней, используйте закон гармоний Кеплера, чтобы предсказать время обращения Марса вокруг Солнца.

 

Данные о радиусе и периоде обращения четырех крупнейших спутников Юпитера приведены в таблице ниже. Масса планеты Юпитер 1,9.х 10 ²⁷ кг. Основывайте свои ответы на следующие пять вопросов на этой информации.

Луна Юпитера	Период(ы)	Радиус (м)	Т 2 /Р 3
Ио	1,53 x 10 5	4,2 x 10 8	а.
Европа	3,07 x 10 5	6,7 x 10 8	б.
Ганимед	6,18 x 10 5	1,1 x 10 9	в.
Каллисто	1,44 x 10 6	1,9 х 10 9	д.

5. Определите отношение T ² /R ³ (последний столбец) для спутников Юпитера.

 

6. Какую закономерность вы наблюдаете в последнем столбце данных? Какой закон Кеплера это подтверждает?

 

7. Используйте графические возможности калькулятора TI для построения графика T ² в сравнении с R ³ (T ² следует отложить по вертикальной оси) и определить уравнение прямой. Запишите уравнение в форме пересечения наклона ниже.

См. график ниже.

 

8. Как отношение T ² /R ³ для Юпитера (как показано в последнем столбце таблицы данных) соотносится с отношением T ² /R ³ , найденным в № 7 (т.е. , наклон линии)?

 

9. Как соотношение T ² /R 3 для Юпитера (как показано в последнем столбце таблицы данных) соотносится с отношением T ² /R ³ , полученным с использованием следующего уравнение? (G=6,67×10 ^-11 Н*м ² /кг ² и M _Юпитер = 1,9 x 10 ²⁷ кг)

T ² / Р ³ = (4 * Пи ² ) / (Г * М _Юпитер )

 

 

 

 

График для вопроса № 6

Вернуться к вопросу № 6

Следующий раздел:

Люди Икс: Первый класс (2011) — IMDb

• Актеры и съемочная группа
• Отзывы пользователей0003

  Оригинальное название: X: Первый класс 0003

  705K

  ВАШ РЕЙТИНГ

  ПОПУЛЯРНОСТЬ

  Играть трейлер2
  :
  44

  36 Видео

  99+ Фото

  ActionSci-Fi

  В 1960-х сверхсильные люди Чарльз Ксавьер и Эрик Леншерр работают вместе, чтобы найти себе подобных, но мстительная погоня Эрика за амбициозным мутантом, который губит его жизненные причины a sch. .. Читать всеВ 19В 60-е сверхсильные люди Чарльз Ксавьер и Эрик Леншерр работают вместе, чтобы найти таких же, как они, но мстительная погоня Эрика за амбициозным мутантом, который разрушил его жизнь, приводит к расколу между ними. найти других, подобных им, но мстительная погоня Эрика за амбициозным мутантом, разрушившим его жизнь, вызывает раскол, разделяющий их.

  • Режиссер
    • Мэтью Вон
  • Сценаристы
    • Эшли Миллер
    • Зак Стенц
    • Джейн Голдман
  • Звезды
    • Джеймс МакЭвой
    • Майкл Фассбендер
    • Дженнифер Лоу rence
• См. производство, кассовые сборы и информацию о компании

РЕЙТИНГ IMDb

7,7/ 10

705K

ВАШ РЕЙТИНГ

ПОПУЛЯРНОСТЬ

• Режиссер
  • Мэтью Вон
• Сценаристы
  • Эшли Миллер
  • Зак Стенц
  • Джейн Голдман
• Старз
  • Джеймс МакЭвой
  • Майкл Фассбендер
  • Дженнифер Лоуренс
  9 0008
• 840Отзывы пользователей
• 528Критические отзывы
• 65Metascore
• Смотрите больше на IMDbPro
• Награды
  • 21 победа и 39 номинаций

Видео36

Трейлер 2:44

Смотреть Люди Икс: Первый класс — Трейлер #2

Трейлер 1:49

Смотреть Люди Икс: Первый класс: Трейлер #1

Клип 3:52

Смотреть Почему Дензел Вашингтон был бы идеальным Магнето Знакомьтесь Мутанты

Клип 1:51

Смотреть Что, если бы Билл Мюррей и Леонардо ДиКаприо были Людьми Икс?

Клип 1:52

Смотреть лучшие сцены Людей Икс по версии актеров «Темного Феникса»

Клип 3:35

Смотреть Почему «Темный Феникс» доказывает, что Людям Икс нужен космос

Клип 5:31

Смотреть ‘Glass Cast Connections: В поисках потерянной нити Split’ в ‘Unbreakable’

Clip 3:03

Смотреть, что мы знаем о ‘X-Men: Dark Phoenix’ . . Пока

Клип 1:02

Смотреть «Встреча с Хэнком»

Клип 1:06

Смотреть «Волшебный трюк»

Клип 1:03

Смотреть «Мистика»

Фото359

Лучшие актеры

Джеймс МакЭвой
• Чарльз Ксавьер (30 лет)
Майкл Фассбендер
• Эрик Леншерр
Дженнифер Лоуренс
• Рэйвен…
Кевин Бейкон
90 898 Себастьян Шоу
Лоуренс Белчер
• Чарльз Ксавьер (12 лет)
Билл Милнер
• Молодой Эрик
Роуз Бирн
• Мойра МакТаггерт
Бет Годдард
• Миссис Ксавье
Морган Лили
• Молодой Рэйвен (10 лет)
Оливер Платт
• Человек в черном костюме
Алекс Гонсалес
• Янос В поисках
• (как Алекс Гонсалес)
• …
Джейсон Флеминг
• Азазель
Зои Кравиц
• Энджел Сальвадор
Дженьюари Джонс
• Эмма Фрост
Николас Холт
9059 6 Калеб Лэндри Джонс
• Кэссиди…
Эди Гатеги
• Дарвин…
Кори Джонсон
• Главный надзиратель
• Директор 9 0909
• Мэтью Вон
• Писатели
  • Эшли Миллер
  • Зак Стенц
  • Джейн Голдман
• Весь актерский состав и съемочная группа
• Производство, кассовые сборы и многое другое на IMDbPro

Больше похоже на это

Люди Икс: Дни минувшего будущего

Люди Икс: Апокалипсис

X2: Люди Икс Юнайтед

Люди Икс

Люди Икс: Последняя битва

Люди Икс: Начало: Росомаха

Росомаха

905 96 Люди Икс: Темный Феникс

Логан

Человек-Паук 2

Новый Человек-Паук

Дэдпул 2

Сюжетная линия

Знаете ли вы

• Цитаты

  Эрик Леншерр: Извините, я Я Эрик Леншерр.

  Профессор Чарльз Ксавьер: Чарльз Ксавьер.

  Логан: Иди на хуй.

• Connections

  Отредактировано в 5 Second Movies: X-Men: First Class (2011)

Отзывы пользователей840

10

Умный, увлекательный, забавный и стильный. Чего еще можно хотеть?

Я люблю Людей Икс, я не буду ходить вокруг да около. Мутантов, героев и антигероев так много, что можно отнести хоть к одному из них. У франшизы были свои взлеты и падения. Первые два фильма сделали жанр супергероев таким, каким он является сегодня. Потрясающие декорации, захватывающие дух спецэффекты и групповая динамика, которые были блестяще закреплены во втором фильме. Третий вышел на золотую середину, где зрелище затмило повествование, но все же было веселой поездкой, а последнее название Xmen Origins: Wolverine было единственным промахом в серии. Люди Икс первого класса действительно очень хороши. Ему удается не отставать от первых двух, сохраняя при этом оригинальность.

Режиссура великолепна, Вон явно умеет выбирать ракурсы и удерживать аудиторию в напряжении, в то время как история меняется и меняется. Внешний вид фильма современный, но в нем все еще есть 60-е и почти ретро. Спецэффекты очень хороши, хотя и не совсем так, как в «Людях Икс: Последняя битва». Энергия быстра и безжалостна, а последовательность действий органично сочетается с последовательностями диалогов.

Актерская игра очень хороша, хотя Патрика Стюарта и Иэна Маккеллена определенно не хватает, МакЭвой и Фассбендер отлично справляются со своей работой и действительно соответствуют персонажам, которых вы уже знаете и любите. Эмма Фрост и Себастьян Шоу восхитительно злобны, а Мойра Мактаггарт прекрасно представлена. Моя единственная оговорка по поводу игры в фильме касается Мистик, которая, как мне кажется, была не совсем права, ее мотивы в фильме не кажутся полностью преемственными с остальными фильмами.

Продолжение уже запланировано, и я буду с нетерпением его ждать. Возвращение Шторма в серию было бы личным событием для меня, но не обязательно. Я очень рекомендую этот фильм всем, кто смотрел оригинальные фильмы, и даже новичкам.

Добавлю одну вещь, которую я заметил после просмотра оригинальной трилогии: в 1980 году Чарльз ходит, но, согласно Первому классу, он теряет эту способность в 60-х…

полезно•107

65

• mad_mandonna
• 1 июня 2011 г.

Лучшие подборки

Войдите, чтобы оценить и просмотреть список для персональных рекомендаций

Войдите в систему

• Какие персонажи были адаптированы из комиксов Marvel о Людях Икс?

• О чем фильм «Икс: Первый класс»?

• Росомаха в этом фильме?

Подробнее

• Дата выпуска
  • 3 июня 2011 г. (США)
• Страны происхождения
  • США
  • Великобритания
• Официальные сайты
  • Официальный Facebook
  • Официальный сайт
  9 0008
• Языки
  • Английский
  • Немецкий
  • Французский
  • Испанский
  • Русский
• Также известен как
  • Люди Икс Происхождение: Магнето
• Места съемок
  • Дом Энглфилд, Тил, Рединг, Беркшир, Англия, Великобритания (школа Ксавьера)
• Компании-производители
  • Twentieth Century Fox
  • Marvel Entertainment
  • Dune Entertainment
• См. другие кредиты компаний на IMDbPro

900 17 Кассовые сборы

• Бюджет
  • 160 000 000 долларов США (приблизительно)
• Валовой доход США и Канада
  • 146 408 305
• Выходные дни США и Канада
  • 55 101 604
  • 5 июня 2011 г.
• Сборы по всему миру
  • $352 616 690

См. подробную информацию о кассовых сборах на IMDbPro

Технические характеристики

• Время работы

  2 часа 11 минут

• Цвет
• Звуковой микс
  • Dolby
  • SDDS
  • Datasat
  • Dolby Объемный звук 7.

    No related posts.