- Si(x)
- Интегральный синус от
- Ci(x)
- Интегральный косинус от x
- Shi(x)
- Интегральный гиперболический синус от x
- Chi(x)
- Интегральный гиперболический косинус от x
- Действительные числа
- вводить в виде 7.
3- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- 15/7
- — дробь
3Другие функции:
- asec(x)
- Функция — арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция — арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция — секанс от x
- csc(x)
- Функция — косеканс от x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция — гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция — гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция — гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- pi
- Число «Пи», которое примерно равно ~3.
- e
- Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности — знак для бесконечности
Решение линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных / Хабр
Здравствуйте, уважаемые читатели! Продолжаю серию дилетантских статей о математике.- Первая часть
- Вторая часть
А именно, давайте-ка для разминки решим следующее линейной уравнение: «Чего сложного?» — спросите вы. Действительно, лишь одно уравнение и целых четыре неизвестных. Следовательно, три переменных есть свободные, а последняя зависит от оных. Так давайте выразим скорее! Например, через переменную , тогда множество решений следующее: где — множество любых действительных чисел.
Что же, решение действительно оказалось слишком тривиальным. Тогда будем нашу задачу усложнять и делать её более интересной.
Вспомним про линейные уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями, которые, собственно, являются разновидностью диофантовых уравнений. Конкретно — наложим на наше уравнение соответствующие ограничение на целочисленность коэффициентов и корней. Коэффициенты при неизвестных у нас и так целые (), а вот сами неизвестные необходимо ограничить следующим:
Теперь решение, полученное в начале статьи, «не проканает», так как мы рискуем получить как рациональное (дробное) число. Так как же решить это уравнение исключительно в целых числах?
Заинтересовавшихся решением данной задачи прошу под кат.
А мы с вами продолжаем. Попробуем произвести некоторые элементарные преобразования искомого уравнения:
Давайте и мы с вами её бахнем:
Опа, мы с вами достигли интересного результата! Коэффициент при у нас сейчас равен единице, а это значит, что мы с вами можем выразить эту неизвестную через остальные неизвестные в этом уравнении без всяких делений (чем грешили в самом начале статьи). Сделаем это:
Обращу внимание, что это говорит нам о том, что какие бы не были (в рамках диофантовых уравнений), всё равно останется целым числом, и это прекрасно.Вспоминая, что справедливо говорить, что . А подставив заместо полученный выше результат получим:
Тогда в голову приходит гениальная идея: так давайте же объявим как свободные переменные, а будем выражать через них! На самом деле, мы уже это сделали. Осталось только записать ответ в систему решений:
Попробуем найти частное решение исходного уравнения, положив, к примеру, что :
Подставим в исходное уравнение:
Тождественно, круто! Давайте попробуем ещё разок на другом примере?
Тут мы видим отрицательный коэффициент, он может доставить нам изрядных проблем, так что давайте от греха избавимся от него заменой , тогда уравнение будет следующим:
Как мы помним, наша задача сделать такие преобразования, чтобы в нашем уравнении оказалась неизвестная с единичным коэффициентом при ней (чтобы затем выразить её через остальные без любого деления). Для этого мы должны снова что-нибудь взять «за скобку», самое быстрое — это брать коэффициенты из уравнения которые самые близкие к единице. Однако нужно понимать, что за скобку можно взять только лишь то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене).
Таким образом, осталось ответить на вопрос — а любое ли подобное уравнение можно так решить? Ответ: нет, если уравнение в принципе нерешаемо. Такое возникает в тех случаях, если свободный член не делится нацело на НОД всех коэффициентов при неизвестных. Иными словами, имея уравнение:
ДоказательствоДоказательство в рамках этой статьи не рассматривается, так как это повод для отдельной статьи. Увидеть его вы можете, например, в чудесной книге В. Серпинского «О решении уравнений в целых числах» в §2.
Резюмируя вышесказанное, выпишем алгоритм действий для решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных:
- Проверяем, а решаемо ли уравнение вообще (вышеописанным свойством ). Если ответ положительный — переходим к следующему пункту.
- Для ускорения процесса поделим все коэффициенты (включая свободный член) на их .
- Избавляемся от отрицательных коэффициентов в уравнении заменой
- Проводим серию замен (разваливая некоторые члены уравнения на суммы и объединяя их в скобки) таким образом, чтобы в конце концов один из членов уравнения был с единичным коэффициентов, и мы смогли вывести его без какого либо деления. Помня при этом, что за скобку можно взять только то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Наконец, объявляем все переменные, через которые выражена оная, как свободные.
- Выводим остальные переменные через вышевыведенную (выводим из всех наших замен), не забывая также про обратные замены.
- Объединяем все в единую систему решений.
Наконец, объявляем все переменные, через которые выражена оная, как свободные.С вами был Петр,
спасибо за внимание.
Утверждения 1 и 2 верны для всех допустимых значений 4. Такие утверждения называются тождествами. Обратите внимание, что нельзя присваивать x в утверждении 2 значение 0.
Утверждения 3 и 4 верны для некоторых, но не для всех значений x.
Утверждение 3 верно, только если равно 8. Утверждение 4 верно, только если x равно -3 или 6. Такие утверждения называются уравнениями.
Утверждения 5 и 6 неверны ни для какого значения x и называются ложными утверждениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество всех чисел, удовлетворяющих уравнению, называется множеством решений уравнения. Элементы в наборе решений называются корнями уравнения
Чтобы проверить, является ли значение переменной корнем уравнения, подставьте значение переменной в уравнение, чтобы увидеть, соответствует ли значение правой части уравнения уравнение равно значению левой части уравнения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение называется линейным, если все переменные в уравнении имеют показатели степени, равные 1, и если ни один член уравнения не имеет более одной переменной в качестве множителя. 92+x-6 не является линейным уравнением.
Уравнение 1x+xy = 9 не является линейным уравнением относительно x и y.
В этой главе рассматриваются линейные уравнения с одной переменной
Эквивалентные уравнения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два уравнения называются эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.
Уравнения 5x + 7 = 2 и x = -1 эквивалентны. Два уравнения имеют одинаковый набор решений {-1}.
Наборы решений некоторых уравнений очевидны при рассмотрении. Множество решений уравнения x + 4 = 10 равно {6}, так как 6 — единственное число, которое при добавлении к 4 равно 10. Множество решений уравнения 5x — 2 = 3(x + 4) не равно так очевидно.
Чтобы решить уравнение, то есть найти множество его решений, можно применить две теоремы, чтобы получить эквивалентное уравнение, решение которого очевидно.
ТЕОРЕМА 1 Если P, Q и T — многочлены от одной и той же переменной и P = Q — уравнение, то P — Q и P + T = Q + T эквивалентны.
Теорема 1 утверждает, что для заданного уравнения P = Q мы можем добавить любой многочлен T от той же переменной, что и P и Q, к обеим частям уравнения, получив таким образом эквивалентное уравнение P + T = Q + T.
Два уравнения 4x -1 = 3x +5 и 4x — 1 + (1 — 3x) = 3x + 5 + (1 — 3x), которые упрощаются до x = 6, эквивалентны. Их набор решений равен {6}.
ТЕОРЕМА 2
Два уравнения x = 2 и 5(x) = 5(2), то есть 5x = 10, эквивалентны. Их набор решений равен {2}.
Когда обе части уравнения умножаются на константу, отличную от нуля, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению. Однако, когда обе части уравнения умножаются на выражение, включающее переменную, полученное уравнение может быть не эквивалентно исходному уравнению. 92 = 25 равно {-5,5}.
Примечание Множество решений линейного уравнения с одной переменной содержит ровно один элемент.
Решение уравнений
Имея линейное уравнение с одной переменной, мы можем использовать одну или обе предыдущие теоремы, чтобы составить эквивалентное уравнение вида 1x = a, множество решений которого равно {a}.
Когда коэффициент переменной в уравнении не равен 1, как в случае b/cx = d, эквивалентное уравнение вида 1x = a может быть получено путем умножения обеих частей уравнения на мультипликативную обратную (обратную) коэффициент x в исходном уравнении.
Мультипликативное значение, обратное b/c, равно c/b, поскольку b/c*c/b = 1.
Таким образом, если коэффициент переменной имеет форму b/c, умножьте обе части уравнения на c / б.
ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 14x = -21.
Решение Коэффициент x равен 14
Мультипликативное значение, обратное 14, равно 1/14.
Умножьте обе части уравнения на 1/14.
1/14(14x) = 1/14(-21) 1*x = -(21/14) x=-(3/2)
Набор решений: {-(3/2)}.
Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
ПРИМЕР Найдите множество решений уравнения x/-4 = 12.
Решение Член x/-4 = -(1/4) х.
Коэффициент x равен -1/4.
Мультипликативное значение, обратное -(1/4), есть -(4/1).
Умножить обе части уравнения на -(4/1)
-(4/1)(x/-4) = -(4/1)(12)
1*x = -48
х = -48
Набор решений {-48}.
Примечание Поскольку x означает 1x, мы опускаем 1. 0026
Мультипликативное число, обратное 5/7, равно 7. /5.
Умножьте обе части уравнения на 7/5.
7/5*5/7x = 7/5(15)
Следовательно, x = 7/5*15/1 = 21
Набор решений равен {21}
90 002 ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 1,3x = -39.
Решение Когда коэффициент переменной представлен в десятичной форме, будет проще заменить его на обыкновенную дробь:
1,3x = -39 эквивалентно 13/10x = -39
Умножьте обе стороны уравнения на 10/13
10/13*13/10x = 10/13(-39)
Отсюда x = 10/13 * -39/1 = -((10*39)/13) = -30
Набор решений {-30}
Давайте посмотрим, как наш математический калькулятор решает это и подобные уравнения.
Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения -((7x)/8) = 35/36.
Решение Коэффициент x равен -(7/8).
Мультипликатив, обратный -(7/8), равен -(8/7)
Умножьте обе части уравнения на -(8/7)
-(8/7)(-(7/8)x ) = -(8/7)(35/36)
Следовательно, x = -((8*35)/(7*36)) = -(10/9)
Набор решений {10/9} .
Если уравнение содержит более одного члена, содержащего переменную в качестве фактора, объедините члены, используя распределительный закон умножения.
ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 3x+4x-2x = 8,
Решение
3x+4x-2x = 8
(3+4+2)x = 8
9 0002 5x = 8Следовательно, x = 8/5
Набор решений {8/5} .
Если некоторые члены уравнения содержат дроби, для упрощения объединения одинаковых членов составьте эквивалентное уравнение, содержащее только целые числа.
Чтобы выполнить это. умножьте обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
Помните, что умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля, дает эквивалентное уравнение. 92 * 3 = 12
Умножьте обе части уравнения на 12/1:
12/1(3/4x-1/3x) = 12/1(5)
12/1(3/4x) + 12/1(-(1/3)x) = 60
9x-4x = 60
x = 12
Набор решений равен {12}.
ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения
8/9x — 1/6x — 3/4x = 1/8
Проверьте ответ.
Решение Сначала найдите НОК 9,6,4 и 8, 92 = 72
Умножьте обе части уравнения на 72/1:
72/1(8/9x-1/6x-3/4x) = 72/1(1/8)
72/1(8 /9x)+72/1(-(1/6)x)+72/1(-(3/4)x) = 9
64x-12x-54x = 9
(64-1 2-54)х = 9
-2x = 9
x = -9/2
Чтобы проверить ответ, подставьте -9/2 вместо x в каждой части исходного уравнения отдельно: 9000 3
Набор решений {-9 /2}.
Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
ПРИМЕР Перечислите элементы множества
Решение Рассмотрите утверждение
2 х + 3х — 5х = 0
(2 + 3 — 5)х = 0
0x = 0
Поскольку 0x = 0 верно для любого действительного значения x, мы имеем
ПРИМЕР Перечислите элементы множества
Решение Рассмотрим утверждение
10x-8x-2x = 4
(10-8-2)x = 4
0x = 4
Так как 0x = 4 неверно для любого действительного значения x, мы имеем
Иногда обе части уравнения содержат члены, которые имеют переменную в качестве фактора, а также члены, которые не имеют переменной в качестве фактора.
Чтобы найти набор решений уравнения, составьте эквивалентное уравнение, в котором все члены с переменной в качестве множителя находятся на одной стороне уравнения. Члены, не имеющие переменной в качестве фактора, должны появиться на другой стороне.
Эквивалентное уравнение можно составить, добавив отрицательные (аддитивные обратные) члены к обеим частям уравнения.
Рассмотрим уравнение 8x-5 = 6x+7
Добавьте (+5) к обеим частям: 8x-5+5 = 6x+7+5
8x+0 = 6x+12
8x = 6x +12
Добавьте (-6x) к обеим сторонам: 8x+(-6x) = 6x+12+(-6x)
2x = 12 9000 3
x = 6
Набор решений {6}.
Примечание. Важно понимать разницу между двумя уравнениями
3x = 15 и 3+x = 15
В 3x = 15 3 — это коэффициент при x; таким образом, чтобы найти x, умножьте обе части уравнения на (1/3).
1/3(3x) — 1/3(15)
x = 5
Набор решений {5}.
В 3+x = 15 3 – это термин; таким образом, чтобы решить для x, добавьте (-3) к обеим частям уравнения.
3+x+(-3) = 15+(-3)
x = 12
Набор решений равен {12}.
ПРИМЕР Решите уравнение 2x-x-3 = 10+7x-4
Решение Добавьте (+3-7x) к обеим частям уравнения.
2x-x-3+(+3-7x)-10+7x-4+(+3-7x)
2x-x-3+3-7x = 10+7x-4+3-7 х
-6x = 9
x = -(9/6) = -(3/2)
Множество решений равно {-3/2}.
Примечание Если уравнение содержит смешанные числа, замените смешанные числа неправильными дробями.
ПРИМЕР Решите уравнение 31/2x-22/3x-7 = x/6+12/3.
Решение Сначала замените смешанные числа неправильными дробями
7/2x-8/3x-7 = x/6+5/3
Умножьте обе части уравнения на наименьшее общее кратное 2, 3, 6 и 3, что равно 6.
6/1(7/2x-8/3x-7) = 6/1(x/6+5/3)
6/1(7/2x)+6 /1(-8/3x)+6/1(-7) = 6/1(x/6)+6/1(5/3)
21x-16x-42 = x+10
Добавить (+ 42-х) к обеим частям уравнения.
21x-16x-42+42-x = x+10+42-x
4x = 52
x = 13
Набор решений {13}.
Давайте посмотрим, как наш калькулятор линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.
Решить похожую задачуВведите свою задачу
Целочисленный калькулятор упрощения
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jpg»/>
Часть II
:: Sxeco ::. 
03.2002 
Я не нашел математического задания, которое не смог бы выполнить через Алгебратор. Это просто потрясающе. Самое приятное то, что программное обеспечение дает вам пошаговое объяснение того, как сделать это самостоятельно. Таким образом, вы на самом деле узнаете, как решить эту проблему самостоятельно. Разве это не круто? 905:00
Он охватывает все, что вам нужно знать о внешнем сходстве, в простой и всеобъемлющей форме. алгебра никогда не была легкой для меня, но это программное обеспечение сделало ее очень легкой для изучения. Логичный и пошаговый метод решения проблем действительно является преимуществом, и вскоре вы обнаружите, что вам нравится решать проблемы. 905:00
Это действительно отличная математическая программа. Я помню, как решал задачи с вычитанием дробей, линейными уравнениями и линейными неравенствами. Я просто набирал домашнее задание, нажимал «Решить» — и пошагово решал домашнее задание по алгебре. Очень рекомендую программу. 905:00