Инъекция, сюръекция, биекция : Чулан (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
| Millerrussia |
| ||
07/02/14 |
| ||
| |||
;| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
А так — снесуть.| Millerrussia |
| ||
07/02/14 |
| ||
| |||
| provincialka |
| |||
18/01/13 Казань |
| |||
| ||||
;| Millerrussia |
| ||
07/02/14 |
| ||
| |||
;| ewert |
| |||
11/05/08 |
| |||
| ||||
| bot |
| |||
21/12/05 |
| |||
| ||||
От этого многое зависит — ответ на любой из трёх вопросов может быть положительным или отрицательным.| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 7 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
1.
10.2 Функции и отображенияПонятие функции является одним из основных в математике. В математическом анализе под функцией чаще всего понимается «числовая» функция, отображающая одно числовое множество в другое. Здесь мы будем рассматривать, прежде всего, функцию, отображающую одно конечное множество объектов в другое конечное множество.
Определение. Пусть А и В конечные множества.
Функцией называется функциональное соответствие.
Если функция устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция имеет тип АВ.
Обозначается : АВ.
Таким образом, функция – специальный тип отношения из А в В.
Каждому элементу а из области
определения функция
ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается
(а) = b.
Элемент а – аргумент функции, элемент b – значение функции на а.
Отображением А в В называется всюду определённая функция : АВ.
Образом отображения А в В называется множество (А) всех значений (а), которое оно принимает при всевозможных аА. Образ является подмножеством множества В.
Отображением А на В называется всюду определённое и при этом сюръективное функциональное соответствие
: АВ.
К специальным отображениям часто относятся понятия оператора и функционала.
Оператор – отображение одного множества на другое, каждое из которых наделено некоторой структурой.
Функционал – отображение произвольного
множества Х в множество комплексных
или действительных чисел.
Отображением типа АА часто называют преобразованием множества А.
Функции и g равны, если:
Таким образом, функции могут быть строго одинаковыми только тогда, когда их области определения и значений совпадают (A1=A, и B1=B) .
Если fA =A, то функция называется тотальной, а если – частичной.
Таблица 1.
Соответствие | Обязательное свойство | ||
функцио- нальное | всюду определённое | сюръек- тивное | |
Функция | + | – | – |
Отображение А в В | + | + | – |
Отображение А на В | + | + | + |
Функция называется функцией n аргументов или n—местной функцией.
В этом случае принято считать,
что функция имеет n аргументов: ,
где .
Пусть дано соответствие . Тогда соответствие называется обратным к G (обозначается G -1), если Н таково, что (b, a)H тогда и только тогда, когда
(а, b)G.
Если соответствие, обратное к функции : АВ, является функциональным, то оно называется функцией, обратной
к (обозначается f-1).
Для функции : АВ обратная функция существует только тогда, когда является взаимно однозначным соответствием между своими областями определения и значений.
Пусть : АВ.
1, Функция называется инъективной, или инъекцией, если
из в А следует, что в В, т. е., если и .
Иными словами, инъекция переводит
различные элементы области А в
различные элементы области В.
Её
часто называют взаимно однозначным отображением А в В.
По другому: функция : АВ называется инъективной, или инъекцией, если каждый элемент bB имеет хотя бы один прообраз аА либо вообще не имеет прообраза. Можно видеть, что условие для любого bB или |A||B| определяет инъекцию.
Пример 1. Пусть A={1, 2, 3}; . Функция : АВ инъективна, если .
2. Функция называется сюръективной, или сюръекцией, если её образ совпадает со всей областью В, т. е. для каждого bB существует хотя бы один элемент аА такой, что (а)=b. Сюръекции часто обозначаются так и называется отображением А на (все) В.
Т. е. .
Иначе: функция : АВ называется сюръективной или сюръекцией,
если любой элемент bB есть образ по крайней мере одного аА.
Условие для любого bB или |x||y|
характеризует сюръекцию.
Пример 2. Пусть A={1, 2, 3,4}; . Функция : АВ сюръективна, если . Та же функция Ψ:{1, 2, 3} с условием
(1)= (3)=y1 ; (2)= (4)=y3 не является сюръективной.
2. Функция называется биективной, или биекцией, если она является одновременно инъекцией и сюръекцией. Иными словами, биективное отображение взаимно однозначно и является отображением на ( ).
Для биективной функции для любого bB или |x|=|y|.
Пример 3: Пусть A={1, 2, 3}; .
Функция : АВ биективна, если
Биективная функция определяет взаимно
однозначноесоответствие между
множествами А и В.
Схематически различные виды отношений изображены на рис.8.
Р ис.8.
Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то А называется эквивалентным множеству В. Установление взаимно однозначного соответствия между множествами играет важную роль. Так, определение числа элементов конечного множества Х, т. е. установление равенства |x|=n при некотором n, фактически сводится к отыскиванию некоторого взаимно однозначного соответствия между множествами Х и N={1, 2, 3, …, n}. Множества, равномощные N, называются счётными.
Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. эквивалентные множества являются равномощными.
Пример 4. Биекцией между множеством натуральных чисел N={0, 1, 2, …} и множеством целых чисел
Z{0, ±1, ±2, …} является функция : NZ, для которой
Таким образом, обратная функция существует для биекции
П
ример
5.
На рис.9 графически показаны функции
:
fi:[0, 1][0, 1], i{1, 2, 3, 4}.
Функция f1 сюръективна, но не инъективна;
Функция f2 инъективна, но не сюръективна;
Функция f3 биективна, а функция f4 не инъективна и не сюръективна
Пример 2. Рассмотрим три функции
fi:: RR, i=1, 2, 3:
1. функция f1(x)= ex инъективна, но не сюръективна;
2. функция f2(x)= xsinx сюръективна, но не инъективна;
3. функция f3(x)= 2x-1 биективна.
Пример 6. Среди функций из Z
в Z отображение биективно; отображение инъективно, но не сюръективно, а
отображение не инъективно и не сюръективно (почему?).
Биекция, инъекция и сюръекция | Brilliant Math & Science Wiki
Патрик Корн, Анант Джаядев, Кристофер Уильямс, и
способствовал
Содержимое
- Определение функции
- инъективный
- Сюръективный
- Биективный
Функция \(f \colon X\to Y\) — это правило, по которому каждому элементу \( x\in X,\) соответствует элемент \( f(x) \in Y.\) Элемент \ (f(x)\) иногда называют образом \(x,\), а подмножество \(Y\), состоящее из образов элементов из \(X\), называют образом \(f.
\) то есть
\[\text{image}(f) = \{ y \in Y : y = f(x) \text{ для некоторого } x \in X\}.\]
Пусть \(f \colon X \to Y\) — функция. Тогда \(f\) является инъективным , если различные элементы \(X\) отображаются в различные элементы \(Y.\)
То есть, если \(x_1\) и \(x_2\) находятся в \(X\) так, что \(x_1 \ne x_2\), то \(f(x_1) \ne f(x_2)\).
Это равносильно тому, что если \(f(x_1) = f(x_2)\), то \(x_1 = x_2\).
Синоним слова «инъективный» — «один к одному».
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = 2n\), является инъективной: если \( 2x_1=2x_2,\) обе части делятся на \ ( 2 \) дает \(x_1=x_2.\)
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = \big\lfloor \frac n2 \big\rfloor\), не является инъективной; например, \(f(2) = f(3) = 1\), но \( 2 \ne 3.\)
Функция \( f\colon \{ \text{Немецкие футболисты, одетые для финала ЧМ-2014}\} \to {\mathbb N} \), определяемая выражением \(f(A) = \text{номер футболки } А\) инъективен; никаким двум игрокам не разрешалось носить один и тот же номер.
Существование инъективной функции дает информацию об относительных размерах ее области определения и диапазона:
Если \( X \) и \( Y \) конечные множества и \( f\colon X\to Y \) инъективны, то \( |X| \le |Y|.\)
\[х\] \[г\] \[г\] Ничего из вышеперечисленного
9{-1} (1). \)
Пусть \(f \colon X\to Y\) будет функцией. Тогда \(f\) является сюръективным , если каждый элемент \(Y\) является образом хотя бы одного элемента \(X.\). То есть \( \text{image}(f) = Y. \)
Символически,
\[\для всех y \in Y, \существует x \in X \text{ такое, что } f(x) = y.\]
Синоним слова «сюръективный» — «на».
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \(f(n) = 2n\), не является сюръективной: не существует целого числа \(n\) такого, что \( f(n)=3,\), так как \( 2n=3\) не имеет решений в \( \mathbb Z.
\) Таким образом, \( 3\) не находится в образе \( f.\)
Функция \( f\colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z}\), определяемая выражением \( f(n) = \big\lfloor \frac n2 \big\rfloor\), является сюръективной. Для любого целого числа \( m,\) обратите внимание, что \( f(2m) = \big\lfloor \frac{2m}2 \big\rfloor = m,\), поэтому \( m \) находится в образе \( f.\) Таким образом, образ \(f\) равен \(\mathbb Z.\)
Функция \(f \colon \{\text{сенаторов США}\} \to \{\text{штаты США}\}\), определяемая выражением \(f(A) = \text{состояние, которое} A \ text{представляет}\) сюръективен; в каждом штате есть хотя бы один сенатор.
\) Таким образом, \( 3\) не находится в образе \( f.\)Существование сюръективной функции дает информацию об относительных размерах ее области определения и диапазона:
Если \(X\) и \(Y\) конечные множества и \(f\colon X\to Y\) сюръективно, то \( |X| \ge |Y|.\)
Пусть \( E = \{1, 2, 3, 4\} \) и \(F = \{1, 2\}.\) Тогда каково число онто-функций из \( E \) в \( F?\)
Функция биективна для двух множеств, если каждому элементу одного множества соответствует только один элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствует только один элемент первого множества.
Это означает, что все элементы спарены и спарены один раз.
Пусть \(f \colon X \to Y \) будет функцией. Тогда \(f\) биективно , если оно инъективно и сюръективно; то есть каждый элемент \( y \in Y\) является образом ровно одного элемента \( x \in X.\)
Функция \( f \ двоеточие {\ mathbb R} \to {\ mathbb R} \), определяемая выражением \( f (x) = 2x \), является биекцией.
Функция \( f \colon {\mathbb Z} \to {\mathbb Z} \), определяемая выражением \( f(n) = \begin{cases} n+1 &\text{if } n \text{, нечетное} \\ n-1&\text{если } n \text{ четное}\end{cases}\) является биекцией. 9\text{th} \text{ месяц}\) является биекцией.
Обратите внимание, что приведенные выше обсуждения подразумевают следующий факт (примеры см. Вики биективных функций):
Если \(X\) и \(Y\) конечные множества и \(f\двоеточие X\к Y\) взаимно однозначно, то \( |X| = |Y|.\)
Следующая альтернативная характеристика биекций часто полезна в доказательствах:
Предположим, что \( X \) непусто.
Тогда \( f \colon X \to Y \) является биекцией тогда и только тогда, когда существует функция \( g\colon Y \to X \) такая, что \( g \circ f \) является тождеством на \( X \) и \( f\circ g\) является тождеством на \( Y;\), то есть \(g\big(f(x)\big)=x\) и \( f\big(g (y)\big)=y \) для всех \(x\in X, y \in Y.\). Когда это происходит, функция \( g \) называется 92.\) Почему бы и нет?\(\большой)\)Процитировать как: Биекция, инъекция и сюръекция. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/bijection-injection-and-surjection/
Инъективный, Сюръективный и Биективный
«Инъективный, Сюръективный и Биективный» говорит нам о том, как ведет себя функция.
Функция — это способ сопоставления элементов набора «A» — набора «B»:
Давайте посмотрим на это более внимательно:
A Общая функция указывает от каждого члена «A» к члену «B».
Это никогда не имеет одного «А», указывающего на несколько «В», поэтому один ко многим не подходит в функции (так что-то вроде «f (x) = 7 или 9″ не допускается)
Но более одного «А» может указывать на один и тот же «В» ( «многие к одному» допустимо )
Инъективный означает, что у нас не будет двух или более «А», указывающих на одну и ту же «В».
Таким образом, «многие к одному» НЕ подходит для (что подходит для общей функции).
Так как это тоже функция один-ко-многим не подходит
Но у нас может быть «В» без соответствующего «А»
Инъективный также называется » Один-к-одному »
Surjective означает, что у каждого «B» есть по крайней мере одно , соответствующее «A» (возможно, более одного).
Не будет пропущена буква «В».
Bijective означает одновременно и Injective, и Surjective.
Думайте об этом как об «идеальном сочетании» между наборами: у каждого есть партнер, и никто не остается в стороне.
Таким образом, существует идеальное » однозначное соответствие » между членами наборов.
(но не путайте это с термином «один к одному», используемым для обозначения инъективного).
Биективные функции имеют обратную !
Если каждое «А» идет к уникальному «Б», и каждому «Б» соответствует «А», то мы можем двигаться вперед и назад, не сбиваясь с пути.
Дополнительные сведения см. в разделе Обратные функции.
На графике
Итак, давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, что происходит.
Когда A и B являются подмножествами действительных чисел, мы можем изобразить взаимосвязь.
Пусть у нас есть A по оси x и B по оси y, и посмотрите на наш первый пример:
Это не функция , потому что у нас есть A со многими Б . Это все равно, что сказать f(x) = 2 или 4
. Это не проходит «Тест вертикальной линии» и, следовательно, не является функцией.
Но это все еще действительные отношения, так что не сердитесь на это.
Теперь общая функция может быть такой:
A Общая функция
МОЖЕТ (возможно) иметь B со многими A . Например, синус, косинус и т.д. Совершенно допустимые функции.
Но Инъективная функция » является более строгим и выглядит так:
«Инъективный» (один к одному)
На самом деле мы можем провести «Тест горизонтальной линии»:
Чтобы быть Инъективным , Горизонтальная линия никогда не должна пересекают кривую в 2 или более точках. тест вертикальной линии это функция
Формальные определения
Хорошо, ждите более подробной информации обо всем этом:
Инъективная
Функция f является инъективной тогда и только тогда, когда , х = у .
Пример: f ( x ) = x+5 из множества действительных чисел to является инъективной функцией.
Верно ли, что всякий раз, когда f(x) = f(y) , x = y ?
Представьте, что x=3, тогда:
- f(x) = 8
Теперь я говорю, что f(y) = 8, каково значение y? Их может быть только 3, поэтому x=y
Пример: f ( x ) = x 2 из множества действительных чисел в не является инъективной функцией из-за такого рода вещей:
- f ( 2 ) = 4 и
- ф ( -2 ) = 4
Это противоречит определению f(x) = f(y) , x = y , потому что f(2) = f(-2), но 2 ≠ -2
Другими словами, есть два значения A , которые указывают на одно B .
НО если бы мы сделали его из набора натуральных числа к, то это инъективно, потому что:
- f ( 2 ) = 4
- f(-2) отсутствует, потому что -2 не является натуральным номер
Так что домен и кодовый домен каждого набора важны!
Surjective (также называется «на»)
A Function F (от Set A до B ) — IF IF IF IF IF IF IF IF 9013IER IF 9013IVE и 9013VE IF 9013IVE.
y в B , существует хотя бы один x в A такой, что f x 3 ) = y , другими словами f сюръективно
если и только если f(A) = B .
Проще говоря: в каждом B есть A.
Пример: Функция f ( x ) = 2x чисел к множеству неотрицательных четных чисел является сюръективной функцией.
НО ф ( х ) = 2х из набора натуральных числа не являются сюръективными , потому что, например, ни один член in не может быть сопоставлен с 3 с помощью этой функции.
Биективное
Функция f (от множества A до B ) является биективной , если для каждого 6 y 9013 0137 , ровно один x в A Такой, что F ( x ) = Y
IS 92 F IS .