Отображения. Инъективные и сюръективные отображения
Если указан закон, сопоставляющий каждому элементу множества А единственный элемент множества В, то говорят, что имеется однозначное отображение АВ.
Отображение АВ называется инъективным, если разные элементы множестваA переходят в разные элементы множества B: если а в, то .
Отображение АВ называется сюръективным, если каждый элемент множества В имеет свой прообраз в множестве А.
Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно называется биективным.
1. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x2-1 (рис.3). Определить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным.
Область определения функции – R, область значений функции – [-1;+).
f – отображение.
Найдутся х1, х2R, такие что х1 х2, но: f(x1) = f(x2), например, пусть х1 = 1, х2 = -1, тогда f(x1) = 0 и f(x2) = 0, т.е. х1 х2, а f(x1) = f(x2). Таким образом, это неинъективное отображение.
Так как область значений функции [1;+ ) не совпадает сR, то отображение несюръективно.
2. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x4. Является ли отображение инъективным, сюръективным?
Поскольку х1=2R, х2 = -2R, f(2) = f(-2) = 16, т.е. х1 х2, а f(x1
) = f(x2), то отображение неинъективно.Для любого xR не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х4-16, поэтому отображение несюръективно.
3. Пусть отображение f: [0;+)[0;+) задано формулойf(x)=x2. Является ли оно инъективным, сюръективным?
Для любых х1, х2[0;+), х1х2, f(x1)=x12, f(x2)=x22, но f(x1) f(x2), т.е для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) — инъективное отображение.
Для каждого значения f(x)[0;+) найдётся х[0;+), поэтомуf(х) — сюръективное отображение.
из 1. и 2. следует, что отображение биективно.
Всякое подмножество Г декартова произведения АхА называется отношением на множестве А.
Отношение Г называют рефлексивным, если aГа для всех aA.
Отношение Г называют симметричным, если аГbbГа.
Отношение Г называют транзитивным, если аГb, bГааГс.
Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.
1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R, если D={(x;y)| sin x = sin y}.
D – рефлексивно, так как для любого R ()D, т.е. для любого xR имеем sin x = sin x.
D – симметрично, так как для любой пары (,)D имеем ()D, т.е. для любых R из (x,y)D следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x, следовательно, (y,x)D.
D – транзитивно, так как для любых а,b,cR из того что ()D и ()D следует, что ()D, т. е. если (x,y)D, то sinx=siny, если (y,z)D, то sin y = sin z, тогда sin x=sin z, следовательно, (x,z) D.
Из 1., 2., 3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел).
2. Упражнение. Выяснить, является ли отношением эквивалентности, если ху = {(x,y)| x = 3y}.
20. Отображения множеств
Пусть X и Y — два непустых множества.
Отображением f: X →Y (множества X во множество Y) называется тройка (
Если А X, то F(A) = {f(x) : x ϵ A} называется Образом подмножества А при отображении F. Прообразом подмножества В Y называется множество {xϵ X:f(x)ϵ B},которое будем обозначать F-1B. В частности, для В = {у} любой элемент из множества F-1B({Y}) называется Прообразому.
Пример. Пусть X = Y = {1,2,3}. Отображение F: X → Y задано следующим образом:
F(1)=1; F(2)=1; F(3)=2.
Тогда F(X) = {1,2}. У элемента 1 ϵ Y два прообраза — 1 и 2; у элемента 2ϵ У один прообраз — 3; у элемента 3 ϵ Y прообразов нет.
Отображение F: X → Y Называется Сюръективным (или Отображением «на»), если F(X) = Y, т. е. для каждого элемента из Y есть прообраз.
Отображение F: X→ Y Называется Инъективным (или Отображением «в»), Если из F(x) = f(x1) следует, что Х = X1, т. е. для каждого элемента Y имеется не более одного прообраза.
Отображение F: X → Y Называется Биективным (или Взаимно-однозначным), если это отображение одновременно и сюръективно, и инъективно, т. е. это отображение «на» и каждый элемент множества Y имеет ровно один прообраз. (Одно и то же правило соответствия может быть сюръективным, инъективным или биективным отображением в зависимости от исходных множеств X и У.)
Пример. Обозначим через R+ = {х ϵ R: х ≥ 0}. Рассмотрим следующие три отображения:
F: R→R+ ;g: R+ →R; h: R+ →R+ ;
Эти отображения зададим одной формулой: f(x) = x2; g(x) =x2; h(x) = x2. Они различны, так как различны исходные множества. При этом F является сюръективным, но не инъективным; G — инъективно, но не сюръективно; H — биективно.
Отображения вида F: X→X Называются Преобразованиями множества X.
Тождественным преобразованием данного множества X называется преобразование Ех
такое, что Ех (х) = х, Х ϵ X.Пусть F: X → Y и G: Y → Z – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение Gf: X → Z, определяемое следующим образом:
(gf)(x) = g(f(x)), x ϵX.
Заметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.
Пусть F: X → Y и G: Y →Х
Отображение G называется Обратным к отображению F (а отображение F обратным к G), если Fg = еу;gf = ех.
Если обратное отображение существует, то оно единственно. В самом деле, пусть F: X → Y — некоторое отображение множества X во множество Y и отображения G: Y → X и H: Y → X — отображения, обратные к
Тогда
(G(Fh))(Y) = (GЕу)(у) = G(у)
И ((Gf)H)(Y) = (ехH)(Y) = H(Y).
Имеем G(Fh) = (Gf)H. Отсюда получаем G(у) = H(Y),YϵY, т. е. отображения g и HСовпадают.
Обратное отображение обозначается F -1. Оно существует не всегда. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.
Теорема. Отображение F имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.
Доказательство. Пусть F: X → Y.
1. Необходимость: Итак, пусть существует обратное отображение F -1 = G: Y → X.
Рассмотрим любой У ϵ Y и Х = G(у). Тогда F(x) = f(g(y)) = у и Х – прообраз У при отображении F. Таким образом, любой У ϵ Y Имеет прообраз X, т. е. F Сюръективно.
Далее, если X, х1ϵ X, причем F(x) = F(Х1), то G(f(x)) = g(f(х1)). Следовательно, т. е.
Ех(X)=ех(х1),
Х = х1 и F инъективно. Отсюда F Биективно, и необходимость доказана.
2. Достаточность: Пусть F Биективно.
Определим отображение G: Y →Х следующим образом. Положим G(у) = х, если F(x) = у. В силу биективности F Отображение G определено на всем Y, и G = F
< Предыдущая | Следующая > |
---|
Инъективная функция — определение, формула, примеры
LearnPracticeDownload
Инъективная функция — это функция, связывающая элемент данного набора с отдельным элементом другого набора. Инъективную функцию также называют взаимно однозначной функцией. Существует множество примеров инъективных функций. Имя учащегося в классе и его порядковый номер, личность и его тень — все это примеры инъективной функции.
Давайте узнаем больше об определении, свойствах, примерах инъективных функций.
1. | Что такое инъективная функция? |
2. | Свойства инъективной функции |
3. | Примеры инъективной функции |
4. | Практические вопросы |
5. | Часто задаваемые вопросы по инъекционной функции |
Что такое инъективная функция?
В инъективной функции каждый элемент данного набора связан с отдельным элементом другого набора. Функция f : X → Y называется взаимно однозначной (или инъективной), если образы различных элементов X при f различны, т. е. для любых x1, x2 ∈ X существуют различные y1, y2 ∈ Y , такие что f(x1) = y1 и f(x2) = y2.
Инъективная функция может быть представлена в виде уравнения или набора элементов. Функция f(x) = x + 5 является взаимно однозначной функцией. Это можно понять, взяв первые пять натуральных чисел в качестве элементов области определения функции. Функция f = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)} — инъективная функция.
Следующие изображения в формате диаграммы Венна помогают легко найти и понять инъективную функцию. Мы можем заметить, что каждый элемент множества A отображается в уникальный элемент множества B. Далее, если какой-либо элемент множества B является образом более чем одного элемента множества A, то он не является взаимно-однозначным или инъективная функция.
Свойства инъективной функции
Ниже приведены несколько важных свойств инъективных функций.
- Область определения и область значений инъективной функции являются эквивалентными множествами.
- Множества, представляющие область определения и набор значений инъективной функции, имеют одинаковое кардинальное число.
- Инъективные функции, представленные в виде графика, всегда представляют собой прямую линию.
- Инъективная функция следует рефлексивному, симметричному и транзитивному свойству.
Связанные темы
Следующие темы помогают лучше понять инъективную функцию.
- Отношения и функции
- Функция идентификации
- Нулевая функция
- Четные и нечетные функции
- На работу
- Периодическая функция
- Сигнум Функция
- Непрерывная функция
Примеры инъективной функции
Пример 1: Покажите, что функция, связывающая имена 30 учеников класса с их соответствующими номерами в списках, является инъективной функцией.
Решение:
Учитывая, что домен представляет 30 учеников класса и имена этих 30 учеников. Диапазон представляет собой бросковые номера этих 30 студентов. Здесь никакие два студента не могут иметь одинаковый регистрационный номер. Следовательно, функция, связывающая имена студентов с их номерами по спискам, является взаимно однозначной или инъективной функцией.
Пример 2: Две функции f(x) = x + 1 и g(x) = 2x + 3 являются взаимно однозначными. Найдите gof(x), а также покажите, является ли эта функция инъективной функцией.
Решение:
заданными функциями являются f(x) = x + 1 и g(x) = 2x + 3. Нам нужно объединить эти две функции, чтобы найти gof(x).
g(f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) + 3 = 2x + 2 + 3 = 2x + 5
gof(x) = 2x + 5
Давайте теперь возьмите первые пять натуральных чисел в качестве области определения этой составной функции.
gof(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7
gof(2) = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9
gof(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11
gof(4) = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13
gof(5) = 2(5) + 5 = 10 + 5 = 15
gof(x) = {(1, 7), (2, 9), (3, 11), (4, 13) , (5, 15)}.
Здесь отдельный элемент в области определения функции имеет отдельный образ в диапазоне.
Следовательно, функция является инъективной.
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по инъективной функции
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы по инъекционной функции
Что такое инъективная функция?
Функция, в которой каждый элемент данного набора связан с отдельным элементом другого набора, называется инъективной функцией. Функция f : X → Y называется взаимно однозначной (или инъективной), если образы различных элементов X при f различны, т. е. для любых x1, x2 ∈ X существуют различные y1, y2 ∈ Y , такие что f(x1) = y1 и f(x2) = y2.
Как узнать, является ли функция инъективной функцией?
Функцию можно назвать инъективной, если каждый элемент множества связан с отдельным элементом другого множества. Элемент домена четко связан с различными элементами данного набора. Если это невозможно, то это не инъективная функция.
В чем разница между инъективной и сюръективной функциями?
Инъективная функция связывает каждый элемент данного набора с отдельным элементом другого набора и также называется взаимно однозначной функцией. Субъективная функция связывает каждый элемент в диапазоне с отдельным элементом в домене данного набора. Субъективную функцию также называют онтофункцией. Инъективная функция и субъективная функция могут появляться вместе, и такая функция называется биективной функцией.
Приведите несколько примеров инъективной функции из реальной жизни?
Ниже приведены несколько реальных примеров инъективной функции.
- Имя учащегося класса и регистрационный номер класса.
- Лицо и тень человека, для одного источника света.
- Путешественник и его забронированный билет для поездки на поезде из одного пункта назначения в другой.
Рабочие листы по математике и визуальный учебный план
Какое точное определение инъективной функции
спросил
Изменено 7 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 20 тысяч раз
$\begingroup$
Правильно ли я считаю, что функция инъективна, если некоторые элементы первого множества отображаются в некоторые элементы второго множества?
Возможно ли также, чтобы 4 элемента первого набора отображались на такой же элемент второго набора?
Это правильно?
Очень ценен простой ответ, уже достаточно запутанный 🙂
СПАСИБО
- функции
- определение
$\endgroup$
4
$\begingroup$
$f\colon X\to Y$ является инъективным тогда и только тогда, когда:
- $x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$ или
- Если $f(x)=f(y)\Стрелка вправо x=y$
Интуиция подсказывает, что вы можете иметь копию $X$ в $Y$, это означает, что для всех $x\in X$ существует $y\in Y$, для которых $f(x)=y$ и не являются другими $x’$ с тем же утверждением, $\these$ Y содержит копию множества X
Примечание
- Это работает для $X\to Y$, если мы хотим что-то похожее от $Y\to X$, это называется сюръективным.
- Возможно ли, что для некоторых $y\in Y, \не{\существует}x\in X$ таких $f(x)=y$
$\endgroup$
$\begingroup$
Инъективная функция (она же функция взаимно однозначного вывода) — это функция, для которой каждый элемент диапазона функции соответствует ровно одному элементу области определения.
Это означает, что он никогда не сопоставляет различные элементы своего домена с одним и тем же элементом своего кодового домена.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Функция $f:X\rightarrow Y$ является не инъективной, если существуют два различных элемента $a,b\in X$ с $f(a)=f(b)$.
Если это не так, то функция инъективна.
$\endgroup$
$\begingroup$
Инъективная функция — это отношение, удовлетворяющее условию $f(x) = f(y) \Rightarrow x=y$.