Интеграл натурального логарифма равен: Интеграл натурального логарифма

Интегральный тест дает нам способ превратить вопрос о сходимости или расходимости бесконечного ряда в вопрос о сходимости или расходимости интеграла. Поскольку вопрос требует, чтобы мы использовали интегральный критерий суммы от 𝑛, равной единице, до ∞ натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛, мы установим наше значение 𝑘 равным единице. И наша функция 𝑓 от 𝑥 должна быть равна натуральному логарифму 𝑥, деленному на 𝑥. Теперь, чтобы использовать интегральный тест, нам нужно показать, что наша функция 𝑓 от 𝑥, равная натуральному логарифму 𝑥, деленному на 𝑥, является положительной, непрерывной и убывающей функцией для всех значений 𝑥, превышающих или равно единице.

Если бы мы попытались показать, что наша функция 𝑓 от 𝑥 положительна на этом интервале, мы сразу же столкнулись бы с проблемой. Мы видим, что когда 𝑥 равно единице, наша функция равна натуральному логарифму единицы, деленной на единицу. Однако натуральный логарифм единицы равен нулю. Итак, мы видим, что 𝑓 единицы равно нулю. Итак, наша функция 𝑓 от 𝑥 не положительна на этом интервале. Однако мы можем легко обойти это. Мы замечаем, что это также первый термин в нашем ряду. Если первый член в нашем ряду равен нулю, то мы можем просто взять его за пределы нашего ряда. Это не изменит значения нашей бесконечной суммы.

Другими словами, сумма от 𝑛, равная единице до ∞ натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛, равна сумме от 𝑛, равной двум, до ∞ натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛. Поэтому вместо этого мы попробуем использовать интегральный тест во второй серии. Мы установим наше значение 𝑘 равным двум. И мы оставляем нашу функцию 𝑓 от 𝑥 как натуральный логарифм 𝑥, деленный на 𝑥. Итак, давайте освободим немного места и обновим наш интегральный тест, чтобы наше значение 𝑘 было равно двум. Теперь нам нужно показать, что наша функция 𝑓 от 𝑥 положительна, непрерывна и убывает для всех значений 𝑥, больших или равных двум.

Итак, давайте начнем с того, что покажем, что наша функция 𝑓 от 𝑥 положительна на этом интервале. Если 𝑥 больше или равно двум, мы знаем, что натуральный логарифм 𝑥 положительный, а 𝑥 положительный. Это означает, что когда 𝑥 больше или равно двум, наша функция 𝑓 от 𝑥 является частным двух положительных чисел. Это означает, что наша функция 𝑓 от 𝑥 положительна, поскольку 𝑥 больше или равно двум. Теперь мы хотим проверить, что наша функция 𝑓 от 𝑥 непрерывна для значений 𝑥, больших или равных двум. Ну, мы знаем, что числитель, натуральный логарифм 𝑥, непрерывен, и знаменатель 𝑥 также непрерывен. Итак, 𝑓 из 𝑥 — это частное двух непрерывных функций. И мы знаем, что частное двух непрерывных функций будет непрерывным во всей области определения.

Итак, нам нужно проверить домен нашей функции 𝑓 из 𝑥. Мы не можем делить на ноль, поэтому мы знаем, что 𝑥 не может быть равно нулю. И мы не можем взять логарифм числа меньше или равного нулю. Таким образом, область определения нашей функции 𝑓 — это все значения 𝑥 больше нуля. В частности, это означает, что 𝑓 из 𝑥 непрерывно для значений 𝑥, больших или равных двум. Все, что нам нужно сейчас показать, это то, что наша функция 𝑓 от 𝑥 убывает для всех значений 𝑥, больших или равных двум. Мы сделаем это, найдя наклон нашей функции. Для этого начнем с рассмотрения нашей функции 𝑓 от 𝑥 как произведения двух функций. Это произведение натурального логарифма 𝑥 и единицы на 𝑥.

Затем мы можем дифференцировать это, используя правило произведения. Помните, правило произведения говорит нам, что производная от 𝑢 от 𝑥, умноженная на 𝑣 от 𝑥 по отношению к 𝑥, равна 𝑢 простому числу от 𝑥, умноженному на 𝑣 от 𝑥, плюс 𝑣 простому числу от 𝑥, умноженному на 𝑢 от 𝑥. Таким образом, мы можем найти выражение для 𝑓 простого числа 𝑥. Мы знаем, что производная натурального логарифма 𝑥 по 𝑥 равна единице над 𝑥. И мы знаем, что производная обратной функции по 𝑥 отрицательна, деленная на 𝑥 в квадрате. Используя это в правиле произведения, мы получаем 𝑓 простое число 𝑥 равно единице на 𝑥, умноженной на единицу на 𝑥 плюс отрицательная единица на 𝑥 в квадрате, умноженному на натуральный логарифм 𝑥. А затем мы упростим это выражение, чтобы получить единицу минус натуральный логарифм 𝑥, деленный на 𝑥 в квадрате.

Помните, что это представляет наклон нашей функции 𝑓 из 𝑥. И мы знаем, что наша функция будет уменьшаться, когда ее наклон отрицательный. Итак, чтобы найти значения 𝑥, при которых наша функция убывает, нам просто нужно найти значения 𝑥, при которых это выражение отрицательно. Мы видим, что знаменатель нашей функции равен 𝑥 в квадрате. Поскольку нас интересует только то, что 𝑥 больше или равно двум, мы можем видеть, что это значение всегда будет положительным. Таким образом, единственный способ сделать наш наклон отрицательным — это отрицательный числитель. Числитель отрицательный, когда единица минус натуральный логарифм 𝑥 меньше нуля или, наоборот, единица меньше натурального логарифма 𝑥.

И мы знаем, как это решить. Мы знаем, что когда 𝑥 равно 𝑒, натуральный логарифм 𝑥 будет равен единице. Мы также знаем, что функция натурального логарифма является возрастающей функцией. Поэтому, когда 𝑥 больше 𝑒, натуральный логарифм 𝑥 будет больше единицы. Итак, что же мы показали на самом деле? Мы показали, что наклон нашей функции 𝑓 от 𝑥 отрицателен, когда 𝑥 больше 𝑒. Это означает, что наша функция 𝑓 от 𝑥 убывает для всех значений 𝑥, больших или равных 𝑒. Но этого недостаточно, чтобы использовать наш интегральный тест в его нынешнем виде. Нам нужно, чтобы наша функция убывала для всех значений 𝑥, больших или равных двум.

Однако мы знаем, что наше значение 𝑒 приблизительно равно 2,7. Таким образом, мы фактически показали, что наша функция 𝑓 от 𝑥 убывает для всех значений 𝑥, больших или равных трем. Так что на самом деле мы могли бы попробовать использовать интегральный тест с нашим значением 𝑘, равным трем. И это все равно даст нам ответ на наш первоначальный вопрос. Помните, что сумма от 𝑛, равная единице до ∞ натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛, равна сумме от 𝑛, равной трем до ∞, натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛. Где мы добавляем первый и второй член нашей последовательности. Таким образом, сходимость или расхождение этих двух рядов будет одинаковым.

Итак, давайте на этот раз перепишем наш интегральный тест с 𝑘 равным трем. И мы сохраняем 𝑓 из 𝑥 как натуральный логарифм 𝑥, деленный на 𝑥. Ну, мы уже показали, что эта функция положительна для этих значений 𝑥. Мы уже показали, что она непрерывна для этих значений 𝑥. И мы уже показали, что она уменьшается для этих значений 𝑥. Итак, теперь, когда мы показали, что все наши предварительные условия для интегрального теста верны, давайте расчистим место и поработаем над применением интегрального теста.

Во-первых, нас может обеспокоить заключительная формулировка интегрального теста. Теперь у нас есть вывод о сходимости или расходимости суммы от 𝑛 равно трем к ∞ нашей последовательности 𝑎 𝑛. Что ж, в нашем случае наша последовательность 𝑎 𝑛 — это натуральный логарифм 𝑛, деленный на 𝑛. И мы знаем, что сумма от 𝑛 равна единице до ∞ натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛, равна первому члену плюс второму члену плюс сумма от 𝑛 равна трем до ∞ натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛. И натуральный логарифм от единицы, деленной на единицу, и натуральный логарифм от двух, деленной на два, являются константами. Итак, эти два ряда отличаются некоторой константой. На самом деле мы знаем, что они различаются на натуральный логарифм двух, деленный на два. Таким образом, это говорит нам о том, что сходимость или расхождение обоих этих двух рядов одинаковы.

Таким образом, это оправдывает использование нами интегрального критерия для определения сходимости или расхождения ряда, данного нам в вопросе. Теперь, чтобы использовать интегральный тест, нам нужно определить сходимость или расхождение интеграла от трех до ∞ натурального логарифма 𝑥, деленного на 𝑥 по отношению к 𝑥. Во-первых, мы уже показали, что наша подынтегральная функция, натуральный логарифм 𝑥, деленный на 𝑥, непрерывна на нашем интервале интегрирования. Он непрерывен для всех значений 𝑥, больших или равных трем.

Таким образом, единственная неправильная вещь в этом интеграле — это его верхний предел, равный ∞. Таким образом, используя наши правила для несобственных интегралов, мы можем записать этот интеграл как предел, когда 𝑡 приближается к ∞ интеграла от трех до 𝑡 натурального логарифма 𝑥, деленного на 𝑥 относительно 𝑥. И если этот предел сходится, мы говорим, что наш интеграл сходится. Однако если этот предел расходится, то мы говорим, что наш интеграл расходится. И стоит отметить, что теперь верхний предел нашего интеграла — это некоторое конечное положительное число 𝑡. Значит, наша подынтегральная функция непрерывна на всем интервале интегрирования. Таким образом, мы можем использовать любой из наших инструментов для вычисления этого интеграла.

Есть несколько способов вычислить этот интеграл. Проще всего заметить, что натуральный логарифм 𝑥 появляется в нашем подынтегральном выражении. И если мы продифференцируем это, мы получим единицу больше 𝑥. Таким образом, наше подынтегральное выражение представляет собой функцию, умноженную на ее производную. Это означает, что мы можем оценить это с помощью подстановки. Мы будем использовать замену 𝑢 равно натуральному логарифму 𝑥. Дифференцируя обе части по 𝑥, мы получаем d𝑢 на d𝑥 равно единице над 𝑥. И мы знаем, что d𝑢 на d𝑥 — это не дробь. Однако при интегрировании путем подстановки мы можем обращаться с ним как с дробью. Это дает нам эквивалентное утверждение d𝑢 равно единице над 𝑥 d𝑥.

Мы почти готовы применить нашу замену. Но помните, это определенный интеграл. Итак, нам нужно рассчитать новые пределы нашей интеграции. Начнем с нового нижнего предела нашего интеграла. Наш старый нижний предел был, когда 𝑥 равно трем. Итак, мы подставляем это в наше выражение для 𝑢, и мы получаем, что 𝑢 равно натуральному логарифму трех. И мы сделаем то же самое, чтобы найти новый верхний предел нашего интеграла. Получаем натуральный логарифм 𝑡. Итак, теперь мы готовы вычислить этот интеграл с помощью подстановки. Мы начнем с того, что перепишем пределы нашей интеграции. Мы получаем нижний предел — натуральный логарифм трех, а верхний предел — натуральный логарифм 𝑡.

Далее, помните, натуральный логарифм 𝑥 равен 𝑢. И мы знаем, что единица более 𝑥, умноженная на d𝑥, равна d𝑢. Таким образом, мы упростили это выражение, чтобы оно было пределом, когда 𝑡 приближается к ∞ интеграла от натурального логарифма трех до натурального логарифма 𝑡 от 𝑢 относительно 𝑢. И тогда мы можем просто вычислить этот интеграл, используя степенное правило для интегрирования. Когда 𝑡 приближается к ∞, мы получаем предел половины 𝑢 в квадрате, оцененный в пределах интегрирования, натурального логарифма трех и натурального логарифма 𝑡. И мы немного упростим это выражение. Мы возьмем постоянный множитель половины за пределы нашего предела.

Теперь мы просто оцениваем это в пределах интегрирования. Мы получаем половинный предел, когда 𝑡 приближается к ∞ натурального логарифма 𝑡 в квадрате минус натуральный логарифм трех в квадрате. И теперь мы можем просто оценить этот предел как есть. Мы видим, что 𝑡 приближается к ∞. Мы знаем, что натуральный логарифм трех в квадрате является константой. Оно не изменится при изменении значения 𝑡. Однако по мере того, как 𝑡 приближается к ∞, натуральный логарифм 𝑡 в квадрате неограниченно растет. И это на самом деле говорит нам, что весь наш предел неограниченно растет. Таким образом, наш предел дает нам ∞.

Итак, этот предел расходится. И помните, расхождение этого предела означает, что наш интеграл от трех до ∞ от натурального логарифма 𝑥, деленного на 𝑥 относительно 𝑥, также расходится. Итак, мы находимся во второй части нашего интегрального теста. Это означает, что мы знаем, что сумма от 𝑛 равно трем до ∞ числа 𝑎 𝑛 также расходится. И мы уже объяснили, что это эквивалентно утверждению, что ряд, данный нам в вопросе, расходится. Следовательно, с помощью интегрального теста мы смогли показать, что сумма от 𝑛, равной единице, до ∞ натурального логарифма 𝑛, деленного на 𝑛, расходится.