Интеграл определенный и неопределенный: Первообразная. Неопределённый и определённый интегралы

Неопределенный и определенный интеграл Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Функция называетсяпервообразной функцией для функции на промежутке, если в каждой точке этого промежутка.

Пример. А) является первообразной для, т.к.. Б)является первообразной для, т.к..

Если для функции существует первообразная, то она не является единственной. Например, функции,и вообще( некоторая произвольная постоянная) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если и первообразные для функции на некотором промежутке, то найдется такое число, что будет справедливо равенство:.

Из данной теоремы следует, что, если  первообразная для функции, то выражение вида, где произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Совокупность всех первообразных функции на промежуткеназываетсянеопределенным интегралом от функции и обозначается, где знак интеграла,  подынтегральная функция,  подынтегральное выражение,  некоторая первообразная для , произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Данная операция является обратной для операции дифференцирования.

Правила интегрирования неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Таблица простейших интегралов

Основные методы интегрирования неопределенного интеграла:

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с использованием основных правил и таблицы простейших интегралов.

Пример. Найти .

Пример. Найти .

2. Метод замены переменной (метод подстановки). Данный метод основан на следующей теореме: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , а  множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда если , то получаем

   или .

Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную: . Тогда , , т.е. .

Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.

Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).

Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда если вместо аргумента подынтегральной функции и первообразной

подставить выражение , то это приведет к появлению дополнительного множителя перед первообразной: , где и  некоторые числа, .

Алгоритм метода:

1. Делаем замену.

2. Дифференцируем замену .

3. Под знаком интеграла переходим к новой переменной.

4. Находим табличный интеграл.

5. Возвращаемся к старой переменной.

Пример. Найти .

3. Метод интегрирования по частям. Метод основан на теореме: Пусть функции и определены и дифференцируемы на промежутке , и функция

   имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция также имеет первообразную на промежутке , причем справедлива формула. Учитывая, что, получим.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:

1) при отыскании из выражения для ;

2) при отыскании интеграла от .

Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.

Замечание. За нужно брать то, что после дифференцирования упрощается.

Пример. Найти .

Пример. Найти .

определение, история развития, применение интегралов на практике

Содержание:

• Историческая справка
• Применение интегралов на практике

Имеется несколько типов интегралов: неопределенный и определенный интегралы, интеграл Римана и Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега и Лебега-Стилтьеса, интеграл Даниэля. По области интегрирования интегралы подразделяются на кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.

Историческая справка

Интегрирование берет свое начало ещё в древнем Египте примерно с 1800 года до н. э., о чем свидетельствует Московский математический папирус (или математический папирус Голенищева). Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур — метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. — ок. 355 г. до н.э.) — древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах древнегреческого математика, физика и инженера Архимеда (287 до н.э. — 212 до н.э.) для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Аналогичные методы были разработаны в Китае в третьем веке нашей эры китайским математиком Лю Хуэйем (ок. 220 — ок. 280), который с их помощью находил площадь круга. Для нахождения объёма шара этот метод использовали китайский математик, астроном, механик, писатель Цзу Чунчжи (429 — 500) вместе со своим сыном, также математиком и астрономом, правителем области и государственным казначеем, Цзу Гэном.

Далее большой шаг вперед в развитии интегрального исчисления был предпринят в 11 веке в Ираке арабским ученым-универсалом, математиком, механиком, физиком и астрономом Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам аль-Басри (965-1039) (или Ибн ал-Хайсамом, в Европе известном как Alhazen), который в своей работе «Об измерении параболического тела» приводит формулы для суммы последовательных квадратов, кубов и четвёртых степеней, и ряд других формул для сумм рядов.

{a} \sqrt{x} d x$

Используя математическую индукцию, он смог обобщить свои результаты для интегралов от многочленов до четвёртой степени. Таким образом, он был близок к поиску общей формулы для интегралов от полиномов не выше четвёртой степени.

Следующий значительный толчок в исчислении интегралов состоялся лишь в 16 веке в работах итальянского математика Бонавентура Франческо Кавальери (1598 — 1647), в которых описывался предложенный им метод неделимых, а также в работах французского математика Пьера де Ферма (1601 — 1665). Этими учеными были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшее развитие связано с деятельностью английского математика, физика и богослова Исаака Барроу (1630 — 1677) и итальянского математика и физика, ученика Галилея Эванджелиста Торричелли (1608 — 1647), которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

За время становления интегрального исчисления менялось и обозначение интеграла. Английский физик, механик, математик и астроном Исаак Ньютон (1643 — 1727) использовал, правда не во всех своих работах, в качестве символа интегрирования значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, а также вертикальную черту над функцией, но эти обозначения не получили широкого распространения. {\prime}(x) d x=f(x) d x$ . Обратная задача, состоящая в определении функции $F(x)$ по ее известным производной $f(x)$ или дифференциалу $f(x) d x$, представляет собой основную задачу интегрального исчисления.

Читать дальше: неопределенный интеграл и понятие первообразной.

• Интеграл от константы (числа)
• Интеграл от котангенса
• Интеграл от натурального логарифма
• Интеграл от суммы
• Интеграл от разности функций
• Интеграл от степенной функции
• Интеграл от корня
• Интеграл от обратной функции
• Интеграл от показательной функции
• Интеграл от экспоненциальной функции
• Интеграл от синуса
• Интеграл от косинуса
• Интеграл от тангенса
• Неопределенный интеграл. Понятие первообразной
• Метод неопределенных коэффициентов
• Интегрирование правильных рациональных дробей
• Интегралы вида
• Интегралы вида
• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Свойства неопределенного интеграла
• Таблица интегралов, таблица неопределенных интегралов
• Методы решения неопределенных интегралов
• Метод непосредственного интегрирования
• Интегрирование внесением под дифференциал
• Интегрирование заменой переменной
• Метод интегрирования по частям
• Простейшие дроби

Модуль 18 — Первообразные как неопределенные интегралы и дифференциальные уравнения

На этом уроке исследуется взаимосвязь между первообразными и неопределенными интегралами, а также обсуждаются семейства кривых.

---

Математика может быть изучена с помощью TI-89, как показано в Модуле 2 и Модуле 10. При индуктивном обучении возникает чувство сопричастности и интереса. Просмотрите процесс открытия-обучения, который был описан в Модуле 2 и Модуле 10 и показан ниже.

• Изучите несколько связанных примеров
• Опишите устно закономерность результатов
• Предсказать результат
• Подтвердить прогноз
• Расширить типы исследуемых примеров
• Обобщить

Определение неопределенных интегралов

Напомним, что первообразной функции f называется функция F , производная которой равна .

Основная теорема устанавливает связь между первообразной F и функцией f .

, где F’ ( x ) = f ( x ) и a — любая константа.

Модифицированное обозначение используется для обозначения производных f . Новое обозначение называется неопределенным интегралом, а первообразные f записываются как

Определенные и неопределенные интегралы В неопределенном интеграле нет пределов интегрирования. Определенный интеграл представляет собой число, когда нижняя и верхняя границы равны константам . Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, производные которых равны f . Разность между любыми двумя функциями в семействе есть константа.

Использование интегрального ключа

Интегральный ключ, который используется для нахождения определенных интегралов, также может быть использован для нахождения неопределенных интегралов, просто опуская пределы интегрирования.

Неопределенный интегральный синтаксис Синтаксис для нахождения неопределенного интеграла: .

Изучение

Изучите первообразную каждой из следующих функций, имеющих форму x ⁿ , и найдите закономерность, которая приведет вас к общему правилу нахождения .

• Оценивать
• Оценивать
• Оценивать

Обратите внимание, что произвольная константа C не является частью результата, выдаваемого TI-89.

ti.com/images/online_courses/t3/calculus/images/pd/TechTipsBackground.gif»> Добавление константы в синтаксис неопределенного интеграла Синтаксис добавления константы c к неопределенному интегралу следующий:

Описание шаблона и предсказание

18.1.1 Опишите закономерность, которую вы обнаружили при вычислении вышеприведенных неопределенных интегралов, и используйте ее для предсказания .
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

18.1.2 Подтвердите свой прогноз на своем ТИ-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Расширение примеров

Расширьте исследование примеров, предсказав следующие неопределенные интегралы.

• Оценивать
• Оценивать

18. 1.3 Подтвердите свои прогнозы, введя интегралы на TI-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Обобщение шаблона

18.1.4 Предскажите общее правило для и подтвердите это, введя интеграл на вашем TI-89.
Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Проверка неопределенных интегралов

Потому что вы можете проверить результат каждого неопределенного интеграла, найдя производную результата. Например, можно проверить, взяв производную от результата: . Поскольку результатом дифференцирования является исходная функция, интегрирование подтверждается.

Обобщенное правило

Обобщенная версия этого правила , куда и C — константа. Напомним, что производная константы равна 0, поэтому для любой константы C .

Иллюстрирующий

Неопределенный интеграл можно проиллюстрировать путем построения графика семейства кривых , которые представлены для разных значений C . Например, соответствует . Сдача C принимают значения -240, -200, -160, -120, -80, -40, 0, 40, 80, семейство кривых показано ниже в виде [0, 50] x [-50, 100 ] окно, где конкретная кривая, связанная с C = 0, темнее.

Каждую кривую в семействе можно получить, выбрав другое значение C и вертикально сдвинув кривую, соответствующую C = 0.

Разница между неопределенными и определенными интегралами

Мини-видеолекция по интеграции

В этом видео объясняются различия и сходства между неопределенностью и определенной интеграцией.

Стенограмма видео

[Музыка]

Связанные уроки по IntMath

Эта мини-видео-лекция объясняет процессы на этих двух страницах:

2. Антипроизводные и неопределенный интеграл

… и …

4. Определенный интеграл

В чем разница между неопределенными и определенными интегралами?

Неопределенный интеграл

Для неопределенного интеграла здесь нет верхнего и нижнего пределов интеграла, и мы получим ответ, в котором все еще есть x, а также будет K плюс K .