ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I.  ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ§ 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента§ 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  Геометрическое изображение функции двух переменных§ 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6.  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9.  Формула Чебышева§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии
Видеоурок: Применение интегралов в физике и математике
Лекция: Примеры применения интеграла в физике и геометрии
Процесс нахождение первообразной называется интегрированием.
Как и производная, интегралы используются и в физике, и в геометрии, а также в других областях знаний.
Сегодня же мы рассмотрим, каким образом используется интегрирование в физике и геометрии.
Итак, начнем сначала. Мы помним, что скорость – это первая производная перемещения. Но так как мы знаем, что интегрирование и нахождение производной – это два взаимообратных процесса, то мы можем предполагать, что, если для нахождения скорости, нужно было найти производную от перемещения, то для нахождения перемещения по скорости, необходимо произвести интегрирование заданной функции.
Отсюда можно сделать вывод, что перемещение за ограниченный интервал времени – это определенный интеграл скорости по времени:
Пример: Итак, предположим, что некоторое тело двигается со скоростью, заданной функцией:
V(t) = t2 +1.
По условию задачи мы должны определить путь, который пройдет тело за промежуток времени [0;1].
Итак, найдем определенный интеграл данной функции:
Это означает, что за данный промежуток времени, тело прошло 1,3(3) м.
Точно так же можно найти скорость по заданной функции ускорения.
Еще одной физической величиной, которая находится с помощью интегрирования, является работа.
Для нахождения работы необходимо найти определенный интеграл функции силы по перемещению:
Пример: Предположим, что к некоторому телу для его передвижения прикладывают силу, которая изменяется по закону F(x) = x +3. Необходимо найти работу, которую при этом совершает сила для перемещения тела с 1 м до 2 м.
Для нахождения работы следует найти определенный интеграл заданной функции по известным пределам интегрирования:
Это значит, что для передвижения тела потребовалось совершить работу, равную 4,5 Дж энергии.
Кроме рассматриваемых задач, интегрирование в физике используется для нахождения работы по мощности, массы по плотности, заряда по силе тока, количества теплоты по известной теплоемкости, а также многое другое.
Что же касается геометрии, то геометрическим смыслом интегрирования считается нахождение площади фигуры под графиком.
Итак, чтобы найти площадь фигуры, которая ограничена с двух сторон пределами интегрирования и с одной стороны графиком функции, то необходимо найти интеграл данной функции:
Пример: Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 4х – х2 на пределах рассмотрения х = 0, х = 4.
Итак, найдем интеграл данной функции в заданных пределах и построим полученный график:
- Вконтакте
- Сайт
Определенный интеграл по частям, Правило LIATE, Решенные примеры, Свойства
0
Сохранить
Скачать публикацию в формате PDF Определенный интеграл по частям является частным случаем определенного интеграла.
Правило LIATE играет важную роль при решении интегрирования по частям в определенном интегрировании. В этой статье мы узнаем об определенном интеграле по частям, о том, как решать с помощью правила LIATE, решенных примерах, свойствах и приложениях определенных интегралов по частям.
Интеграция — это метод объединения частей в единое целое. Находим функцию, дифференциал которой известен, и переходим к нахождению ее интегралов.
Определенное интегрирование по частям
Метод определения интегралов называется интегрированием. По частям применяются определенные интегралы, где определены пределы, и неопределенные интегралы, когда границы подынтегральной функции не определены. Определенное интегрирование по частям аналогично интегрированию по частям неопределенных интегралов. Определенное интегрирование по частям используется, когда функция является произведением двух членов независимой переменной. Один термин называется u, а другой термин называется v. Термины u и v определяются правилом LIATE.
Функция, которую мы должны интегрировать, должна быть непрерывной между диапазонами, то есть не должно быть пробелов, провалов или вертикальных асимптот, где функция стремится вверх/вниз к бесконечности.
Обозначение интеграла, как показано ниже:
Как решить определенное интегрирование по частям
Следующие шаги используются в определенном интегрировании по частям
- Выберите u и v по правилу LIATE, описанному ниже Дифференциал u: u’
- Найдите интеграл от v: ∫v dx.
- Поместите u, u’ и ∫v dx в: u∫v dx −∫u’ (∫v dx) dx.
- Упрости и реши.
Правило LIATE
Правило LIATE выглядит следующим образом
Было предложено эмпирическое правило, состоящее в выборе в качестве u функции, которая идет первой в следующем списке:
- L – логарифмические функции: \({ln (x),log _{b}(x) }\) и т. д.
- I – обратные тригонометрические функции (включая гиперболические аналоги): arctg(x), arcsec(x), arsinh(x) и т.
bf\left (т\право)дт\) 9af\left(x\right)dx=0,\ if\ f\ is\ an\ нечетная\ функция\ i.e\ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\end{matrix }\)
bf\left (т\право)дт\) 9af\left(x\right)dx=0,\ if\ f\ is\ an\ нечетная\ функция\ i.e\ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\end{matrix }\)Применение определенных интегралов по частям
Применение определенных интегралов по частям:
- Интегрирование по частям часто используется в гармоническом анализе, особенно в анализе Фурье. Он используется для представления тех быстро осциллирующих интегралов с достаточно гладкими подынтегральными выражениями, которые быстро затухают. Наиболее распространенным примером этого является его использование для демонстрации того, что затухание преобразования Фурье функции зависит от гладкости этой функции.
- Одно из применений интегрирования по частям в теории операторов состоит в том, что оно показывает, что −∆ (где ∆ — оператор Лапласа) является положительным оператором в L. Если функция f гладкая и имеет компактный носитель, мы используем интегрирование по частям.
- Определенные интегралы по частям используется для вывода уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении.
Решенные примеры определенного интеграла по частям
Теперь давайте посмотрим на некоторые решенные примеры определенного интегрирования по частям.
92+1}{4}=2.097\end{matrix}\)Надеюсь, что эта статья об определении интеграла по частям была информативной. Попрактикуйтесь в том же в нашем бесплатном приложении Testbook. Скачать сейчас!
Определенный интеграл по частям Часто задаваемые вопросы
В.1 Как найти определенный интеграл по частям?
Ответ 1 Следующие шаги используются в Определенном интегрировании по частям
Выберите u и v по правилу LIATE, описанному ниже
Найдите дифференциал u: u’ \)v дх.
Поместите u, u’ и ∫v dx в: u\(\int\)v dx −\(\int\)u’ (\(\int\)v dx) dx.
Упрости и реши.
Q.2 Является ли интегрирование по частям таким же, как замена U?
Ответ 2 Нет, интегрирование по частям и подстановка u — это два разных способа решения интегралов без необходимости.
Замена U ограничена функциями под знаком интеграла при умножении на их производные.
В.3 Как получить V от DV?
Ответ 3 Интегрируя dv, мы получаем V.
Q.4 Почему мы используем интегрирование по частям?
Ответ 4 Определенное интегрирование по частям используется, когда функция является произведением двух членов независимой переменной. Один термин называется u, а другой термин называется v. Термины u и v определяются правилом LIATE.
В.5 Что такое интеграция Sinx?
Ответ 5 Интеграл от sin x равен -cos x + C. Математически он записывается как \(\int\)sin x dx = -cos x + C.
Скачать публикацию в формате PDFИнтеграл (определенный) — веб-формулы
Определим определенный интеграл функции f(x) по x от a до b как
где F(x) — антипроизводная функции f(x).
Мы называем a и b нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. Интегрируемая функция f(x) называется интегрантом.
Обратите внимание, что константы интегрирования не записываются в определенных интегралах, так как в них они всегда сокращаются:
Определение определенного интеграла с использованием сумм Римана:
Дана функция f(x), непрерывная на интервале [a,b], разделим интервал на n подинтервалов одинаковой ширины ∆x и из каждого интервала выберем точку . Тогда определенный интеграл f(x) от a до b равен
Свойства определенного интеграла:
1. Мы можем поменять местами пределы любого определенного интеграла; все, что нам нужно сделать, это поставить знак минус перед интегралом, когда мы это сделаем.
2. Если верхний и нижний пределы одинаковы, то работы нет, интеграл равен нулю.
3. , где c — любое число. Итак, как и в случае с пределами, производными и неопределенными интегралами, мы можем вынести за скобки константу.
4. Мы можем разложить определенные интегралы на сумму или разность.
5. где c — любое число. Это свойство важнее, чем мы могли бы подумать вначале. Одно из основных применений этого свойства — сообщить нам, как мы можем интегрировать функцию по соседним интервалам [a, c] и [c, b]. Однако обратите внимание, что c не обязательно должно быть между a и b.
6. Смысл этого свойства в том, чтобы заметить, что пока функция и пределы одинаковы, переменная интегрирования, которую мы используем в определенном интеграле, не повлияет на ответ.
7. c — любое число.
8. Если f(x) ≥ 0 и a ≤ x ≤ b, то
9. Если f(x) ≥ g(x) и a ≤ x ≤ b, то
10. Если m ≤ f(x) ≤ M для a ≤ x ≤ b, тогда
11.
Пример 1: вычислить
Решение: Использование интегрирования по частям с:
что приводит к
Пример 2. Учитывая, что , и определить значение .
Этот пример в основном является примером свойства 5, хотя в решении также есть пара применений свойства 1.
Нам нужно выяснить, как правильно разбить интеграл, используя свойство 5, чтобы мы могли использовать данные фрагменты информации. Прежде всего отметим, что существует интеграл, который имеет «-5» в одном из пределов. Это не нижний предел, но мы можем использовать свойство 1, чтобы исправить это в конечном итоге. Другой предел равен 100, так что это число с, которое мы будем использовать в свойстве 5.
Мы сможем получить значение первого интеграла, но второго пока нет в списке известных интегралов. Тем не менее, у нас есть второй предел, который имеет ограничение в 100. Другим пределом для этого второго интеграла является -10, и в этом применении свойства 5 он будет равен c. совпадают с известными интегралами. После этого мы можем подставить известные интегралы.
Пример 3: Оценка
Решение: В этом случае интеграл можно найти, потому что две точки разрыва t = ± 1/2 находятся вне интервала интегрирования. Подстановка и преобразованные пределы в этом случае:
Интеграл тогда:
Пример 4: Используйте определение предела определенного интеграла для оценки .