Непосредственное интегрирование (интегрирование по таблице и с использованием простейших свойств).
Высшая математика » Неопределённые интегралы » Непосредственное интегрирование.
В этой теме мы подробно поговорим о свойствах неопределённого интеграла и о нахождении самих интегралов с помощью упомянутых свойств. Также поработаем с таблицей неопределенных интегралов. Материал, изложенный здесь, есть продолжение темы «Неопределённый интеграл. Начало». Честно говоря, в контрольных работах редко встречаются интегралы, которые можно взять с использованием типичных таблиц и(или) простейших свойств. Эти свойства можно сравнить с азбукой, знание и разумение которой необходимы для понимания механизма решения интегралов в иных темах. Часто интегрирование с использованием таблиц интегралов и свойств неопределённого интеграла именуют непосредственным интегрированием.
Итак, начнём с таблицы неопределённых интегралов. В ней указаны восемнадцать формул, которых, в принципе, должно хватить для интегралов стандартного университетского курса.
Само применение таблицы интегралов основано на свойстве, которое часто именуют инвариантностью неопределённого интеграла. В несколько упрощённой форме это свойство можно сформулировать так:
Пусть $\int f(x)dx=F(x)+C$ и $u=\varphi (x)$ – некоторая функция, имеющая непрерывную производную на соответствующем промежутке. Тогда $\int f(u)du=F(u)+C$.
Грубо говоря, это свойство означает следующее: в формулах таблицы интегралов вместо буквы, обозначающей переменную, может располагаться функция, – формула останется верной. Проиллюстрируем работу с таблицей интегралов на примерах.
Пример №1
Найти $\int \cos 2t \; d(2t)$.
2}+C$.
Возможно, к этому моменту у читателя может возникнуть пару вопросов, посему постараюсь их предугадать и сразу дать ответы.
Вопрос №1
Минутку. Почему вы используете прямые скобки для обозначения подстановки? Наш преподаватель использует фигурные скобки $\{ \}$.
Ответ
И это совершенно нормально. Разные авторы используют разные обозначения, – кому что больше нравится. Главное, чтобы эти обозначения были понятными читателю.
Вопрос №2
В предыдущей теме вы говорили, что операция интегрирования есть обратная к операции нахождения производных, т.е. дифференцирования. Я открыл справочник Бронштейна, но таблица производных на странице 226 гораздо скромнее, чем таблица интегралов в том же справочнике: всего 32 формулы. А в таблице интегралов более пятисот формул!
Ответ
Да, этот вопрос действительно крайне важен. Более того, даже 500 формул – не столь значительное количество для интегральных таблиц.
\frac{1}{3} dx$ потребуется применение нового метода – подстановок Чебышева.
Ну и напоследок: для нахождения производной функции $y=\sin x\cdot\frac{1}{x}$ вновь применима формула $(u\cdot v)’=u’\cdot v+u\cdot v’$, в которую вместо $u$ и $v$ подставим соответственно $\sin x$ и $\frac{1}{x}$. А вот $\int \sin x\cdot\frac{1}{x} dx$ не берётся. Точнее, не выражается через конечное число элементарных функций.
Подведём итоги: там, где для нахождения производной понадобилась одна формула, для интеграла потребовались четыре (и это не предел), – причем в последнем случае интеграл находиться отказался вообще. Изменили функцию – понадобился новый метод интегрирования. Вот отсюда и имеем многостраничные таблицы в справочниках. Отсутствие общего метода (пригодного для решения «вручную») приводит к изобилию частных методик, которые применимы лишь для интегрирования своего, крайне ограниченного класса функций (в дальнейших темах мы займёмся этими методами подробно).
Вопрос №3
Но если этих свойств так много, как же мне научиться брать интегралы? С производными было полегче!
Ответ
Для человека пока существует лишь один способ: решить как можно больше примеров на применение различных методик интегрирования, чтобы при появлении нового неопределённого интеграла можно было подобрать для него метод решения, основываясь на своём опыте. Понимаю, что ответ не слишком обнадёживает, но иного нет.
Свойство №1
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. $\left(\int f(x) dx\right)’=f(x)$.
Это свойство вполне естественно, ибо интеграл и производная – взаимно обратные операции. Примеры:
$$\left(\int \sin 3x dx\right)’=\sin{3x};\; \left(\int\left(3x^2+\frac{4}{\arccos x}\right) dx\right)’=3x^2+\frac{4}{\arccos x}.
2xdx=\tg x-x+C$.
Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия
Онлайн-занятия по высшей математике
Неопределенные интегралы — Задача 1
Одним из полезных свойств неопределенных интегралов является правило постоянного кратного числа. Это правило означает, что вы можете вытащить константы из интеграла, что может упростить задачу. Например, интеграл от 2x + 4 равен 2, умноженному на интеграл от x + 2. Однако важно, чтобы из интеграла вытягивались только константы, а не переменные.
Другим свойством является степенное правило первообразных (помните, что взятие интеграла от чего-либо равнозначно антидифференцированию). Правило мощности утверждает, что первообразная a x n равно x n+1 /n + c, где c — некоторая константа.
неопределенный интеграл первообразная антидифференциация дифференцирование
Давайте решим некоторые неопределенные интегралы.
Сначала нам понадобятся два свойства. Это свойство; постоянное множественное правило.
Если вы интегрируете константу, умноженную на некоторую функцию, вы можете извлечь константу из интеграла, это действительно полезно. Мы используем это в этих примерах. Второе правило силы антипроизводных. Когда вы интегрируете x в n, антипроизводные равны 1 на n плюс 1, x на n плюс 1 плюс c. Поэтому мы используем оба из них.
Давайте рассмотрим эту проблему. Там сказано провести антидифференцировку. Это хорошо, потому что напоминает нам, что решение неопределенных интегралов означает антидифференцирование; находим первообразные этой функции. Проверьте, дифференцируя свой ответ. Это то, что студенты не делают достаточно. Вы всегда должны проверять свой ответ, когда вы не уверены в том, что вы придумали. Поэтому я хочу попытаться выработать у вас привычку делать это самостоятельно.
Итак, прежде всего, давайте воспользуемся возможностью применить к этому интегралу правило постоянного кратного.
3 — константа, так что я могу ее вытащить. Это делает интеграл похожим на это; х до 4-го dx. Таким образом, это 3-кратный интеграл от x до 4-го dx. Этот интеграл можно решить по этой формуле. Таким образом, n равно 4, поэтому у меня будет 1 на 4 плюс 1; 1 на 5. Итак, 3 раза 1 на 5 умножить на 5, плюс назовем это c1.
Теперь я собираюсь распределить 3 по этим терминам. Я получаю 3/5x до 5 плюс 3 раза c1. Обычно в конце вы просто конвертируете это в новую константу и называете ее c. 3 раза c1 — это просто произвольная константа, поэтому вы можете просто назвать ее c. Думайте об этом как о переименовании константы. Переименование 3 раза с1, просто с. Итак, это мой набор первообразных. 3/5x до 5 плюс c.
Теперь я хочу проверить дифференцированием. Итак, я собираюсь дифференцировать это, и, надеюсь, я получу это снова. Так позволь мне сделать это здесь. Производная по x от 3/5 x до пятой плюс c. Таким образом, я получаю 3/5 времени, а производная от x до 5-го числа равна 5x до четвертого.
Производная части плюс с равна 0. Теперь 3/5 умножить на 5 равно 3. Таким образом, я получаю 3x в 4-м. Это та функция, с которой я начал. Так что это правильно. Это проверяет.
Давайте рассмотрим другой пример. При интеграле от 12 по х до 5-го. Теперь я хочу переписать это в форме, которая позволит мне использовать правило мощности. Когда у вас есть степень x в знаменателе, вы все равно можете использовать правило мощности. Это то же самое, что 12 умножить на x до -5 dx. К этой функции будет применяться правило мощности.
Во-первых, я хочу убрать 12, используя константное правило. Итак, 12-кратный интеграл от x к -5 dx. Правило степени говорит, что это будет х к -5. Я всегда добавляю 1. Может быть, мне стоит это написать. X к -5 плюс 1 сверх -5 плюс 1 плюс, я назову это с1.
Теперь -5 плюс 1 равно -4. Таким образом, это 12 умножить на х на -4 на -14 плюс с1. Затем я могу распределить 12. Таким образом, 12, деленное на -4, даст мне -3x к -4 плюс 12c1. Тогда я могу переименовать это просто c.
Я также мог бы написать это как -3 над x до 4-го. Итак, это мой набор первообразов; -3 над x до 4-го плюс c.
Теперь я должен проверить это дифференцированием. Я начну с него в этой форме, поскольку, когда я дифференцирую, я также использую степенное правило для производных. Таким образом, производная от -3х до -4 плюс с в -3 раза больше производной от х до -4. Это -4x к, помните, что правило мощности уменьшается, поэтому от -4 до -5. Тогда производная плюс с, 0. -3 умножить на -4 будет 12. Таким образом, я получаю 12x на -5. Давай просто проверим. С этого я и начал, от 12x до -5. Так что это правильно. Это означает, что это мой правильный ответ. Это мои первообразные от 12 по х до 5-го числа.
Математика, математика и статистика — набор академических навыков
Интеграция (экономика)
ContentsToggle Главное меню 1 Интеграция 2 Неопределенная интеграция 3 Определенная интеграция 4 Правила нахождения неопределенного интеграла 4.1 Правило констант4.2 Правило степени 4.
3 Правило мультипликативной константы 4.4 Правило суммы или разности 4.5 Функция функции Правило 4.6 Экспоненциальная функция 5 Нахождение определенного интеграла 6 Применение интегрирования в экономике 6.1 Вывод функции общего дохода из функции предельного дохода 7 Внешние ресурсы
Интеграция
Интеграция — процесс, противоположный дифференциации.
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл функции $f(x)$ по $x$ обозначается: \[\int f(x) \mathrm{d} x.\] внутри интеграла $f(x)$ известен как подынтегральная функция . Мы можем найти неопределенный интеграл функции, используя правила нахождения неопределенного интеграла. Важно отметить, что неопределенный интеграл функции является самой функцией. Обозначим эту функцию через $F(x)$, поэтому можно написать \[\int f(x) \mathrm{d} x = F(x) + C\], где $C$ называется константой интегрирования, а возникает из постоянного правила дифференцирования (подробнее о том, почему это необходимо, см.
{\large{b} }=F(b)-F(a).\], где $F(x)$ — неопределенный интеграл от $f(x)$.
Примечание : При вычислении определенных интегралов нет необходимости включать постоянную интегрирования $C$, которая возникает при неопределенном интегрировании.
Правила нахождения неопределенного интеграла
Поскольку интегрирование — это процесс, противоположный дифференцированию, правила интегрирования — это правила дифференцирования в обратном порядке.
Постоянное правило
См. постоянное правило дифференцирования. \[\инт а\; \mathrm{d} x=ax+C\], где $a$ — 9{~\frac{1}{4}~}+C \end{align}
Правило мультипликативной константы
См. степенное правило дифференцирования.
\[\int af(x) \mathrm{d} x= a\int f(x) \mathrm{d} x=aF(x)+C\], где $a$ — ненулевая константа.
На словах это означает, что мы можем вывести мультипликативные константы (в данном случае $a$) за пределы интеграла. Затем мы интегрируем функцию $f(x)$, умножаем результат на мультипликативную константу и прибавляем константу интегрирования.