Интегрирование функций: Калькулятор Интегралов • По шагам!

Итак, в отличие от любого другого интеграла, который мы сделали до этого момента, в интеграле есть только одна функция и нет полинома перед логарифмом.

Первый выбор многих здесь — попытаться вписать это в шаблон сверху и сделать следующие выборы для \ (u \) и \ (dv \).

Однако это приводит к реальной проблеме, поскольку это означает, что \ (v \) должно быть,

Другими словами, нам нужно знать ответ заранее, чтобы решить проблему. Так что этот выбор просто не сработает.

Следовательно, если логарифм не принадлежит \ (dv \), он должен принадлежать \ (u \). Итак, давайте использовать следующие варианты вместо

Тогда интеграл равен

Итак, в двух предыдущих примерах мы видели случаи, которые не совсем вписывались в какой-либо воспринимаемый шаблон, который мы могли бы получить из первых двух примеров. Это всегда то, к чему мы должны обращать внимание при интеграции по частям.

Давайте взглянем на другой пример, который также иллюстрирует другой метод интеграции, который иногда возникает из-за проблем интеграции по частям.

Хорошо, до сих пор мы всегда выбирали \ (u \) таким образом, чтобы при дифференцировании эта часть уходила или, по крайней мере, превращалась в интеграл в форму, которая упростила бы работу с . В этом случае, какую бы часть мы ни делали \ (u \), она никогда не уйдет в процессе дифференцирования.

Не имеет большого значения, какой мы выбираем \ (u \), поэтому мы выберем следующий способ.\ theta} \ sin \ theta} \ right) + c \]

Обратите внимание, что после деления на два мы добавляем постоянную интегрирования в этой точке.

Эту идею интегрирования до тех пор, пока вы не получите одинаковый интеграл по обе стороны от знака равенства, а затем простое решение для интеграла, неплохо запомнить. Это не так уж и часто, но когда это происходит, это может быть единственный способ на самом деле выполнить интеграл.

Также обратите внимание, что это на самом деле просто алгебра, по общему признанию, сделанная таким образом, что вы, возможно, не привыкли к этому, но на самом деле это просто алгебра.

На данном этапе вашей математической карьеры каждый может решить,

Мы все еще решаем «уравнение». Единственное отличие состоит в том, что вместо решения для \ (x \) в мы решаем для интеграла, и вместо хорошей константы «3» в приведенной выше задаче алгебры мы получили функцию «беспорядка».

У нас есть еще один пример. Как мы увидим, некоторые проблемы могут потребовать от нас выполнять интеграцию по частям много раз, и существует короткий метод, который позволит нам быстро и легко выполнять несколько приложений интеграции по частям.{\ frac {x} {2}}} \, dx}} \] Показать решение

Мы начинаем с выбора \ (u \) и \ (dv \), как всегда. Однако вместо того, чтобы вычислять \ (du \) и \ (v \), мы помещаем их в следующую таблицу. Затем мы дифференцируем столбец, соответствующий \ (u \), пока не дойдем до нуля. В столбце, соответствующем \ (dv \), мы интегрируем один раз для каждой записи в первом столбце. Существует также третий столбец, который мы немного объясним, и он всегда начинается со знака «+», а затем чередуются знаки, как показано.{\ frac {x} {2}}} + c \ end {align *} \]

Мы получили интеграл. Это намного проще, чем записывать все различные \ (u \) и \ (dv \), которые нам пришлось бы делать в противном случае.

Итак, в этом разделе мы увидели, как выполнять интеграцию по частям. На более поздних уроках математики это, вероятно, будет одним из наиболее частых методов интеграции, с которыми вы столкнетесь.

Важно не зацикливаться на шаблонах, которые, как вам кажется, вы уже видели.В большинстве случаев любой шаблон, который, как вы думаете, вы видели, может (и будет) нарушен в какой-то момент времени. Будь осторожен!

Интегрируйте функцию с программой «Пошаговое решение математических задач»

Это руководство начинается с обсуждения первообразных, математических объектов. которые тесно связаны с производными финансовыми инструментами. После введения интеграла через проблема площади, интеграл и первообразная связаны соотношением удивительная теорема, называемая фундаментальной теоремой исчисления.После устанавливая некоторые методы вычисления интегралов, мы показываем важные интерпретировать интеграл как предел некоторой суммы и продемонстрировать разнообразие приложений интеграла к проблемам бизнеса и экономики, геометрия и наука.

Первообразные

Три примера проблем, возникающих в различных контекстах: следующее: найти функцию затрат C (x), если известны предельные затраты C ‘(x); найти популяция P (t) биологической колонии, если скорость P ‘(r), с которой популяция меняется, как известно; найти смещение s (t) объекта при время t, если известна скорость v (t) = s ‘(r).
Обратите внимание, что все эти задачи имеют один и тот же базовый формат: найти f (x), учитывая f ‘(х). Все подобные проблемы решаются антидифференцировкой. Элементарный Пример из бизнеса — это случай производителя, который определяет это в течение начальный период производства. предельные издержки производства линейно возрастают и задается формулой C ‘(x) = 2x. Постараемся найти соответствующую функцию стоимости C (x), для которого C ‘(x) = 2x. Хотя у нас нет аналитических методик для найдя такое C (x), должно быть ясно, что функция стоимости C (x) = x ² даст нам известные предельные издержки C ‘(x) = 2x.Но другие функции затрат будут тоже работать. Например,

и фактически для любого числа a,

Таким образом, любая функция стоимости вида C (x) = x ² + a даст желаемый предельный доход C ‘(x) = 2x; требуется больше информации, чтобы определить конкретное значение для. Мы вернемся к этому чуть позже. Процесс, который мы теперь рассмотрение называется антидифференцировкой. В общих условиях это может быть формулируется следующим образом:

Определение
Для данной функции f (x) функция g такая, что

называется первообразной f.Процесс поиска такой функции g есть называется антидифференцировкой. Некоторые математики предпочитают называть этот процесс неопределенная интеграция или просто интеграция по причинам, которые станут очевидно в последующих разделах.

В нашем вводном примере каждая из функций затрат x ² , x ² + 1, а x ² + 10 является первообразной f (x) = 2x; кроме того, C (x) = x ² + a является первообразной f (x) = 2x для любого выбора a. В В общем, если g (x) является первообразной f (x), то же самое и g (x) + a для любого номер а, начиная с

Можно доказать следующий, даже более сильный результат:

Если g является любой первообразной от f, то каждая другая первообразная должна иметь форма g (x) + a для некоторого числа a.
Таким образом, мы можем рассматривать g (x) + a как наиболее общую первообразную f. Следовательно, самая общая первообразная от f — не отдельная функция, а скорее класс функций g (x) + a, которые зависят от a.

Немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) ввел обозначение

(читается как «первообразная от f» или «неопределенный интеграл от f») представляют собой наиболее общую первообразную f. Таким образом, если g — любая первообразная f, то для любого числа a.

Вкратце:

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Число a, возникающее при антидифференцировании, часто называют «произвольным». постоянный «. (По причинам, которые станут очевидными позже, его также называют «константа интегрирования»). В наших примерах мы использовали букву a для обозначают эту константу, но на практике обычно используется c.(Мы использовали букву a вместо c для нашей первоначальной иллюстрации, включающей стоимость, поскольку c использовался для обозначения стоимости. ) Следующий пример дает нам представление о значение этой произвольной константы.

Пример 4

Предположим, что на начальных этапах производства предельные затраты до произвести товар стоит C ‘(x) = 2x доллара за единицу. На этот раз предположим, что производитель также знает, что фиксированная стоимость производства C (0) составляет 500 долларов.Находить соответствующая функция стоимости C (x).

Мы уже видели, что любая функция затрат для этих предельных затрат должна иметь форма C (x) = x ² + a для некоторой постоянной a. С

С (0) = 500 = 0 ² + а = а,

мы имеем a = 500. Таким образом, функция стоимости определяется как C (x) = x ² + 500

Из этого примера мы видим, что произвольная константа c является фиксированной стоимостью производство. Зная только предельную стоимость, мы не можем сказать, что это за фиксированная стоимость. является; фиксированная стоимость — дополнительная информация. Каждая из функций стоимости что соответствует предельным затратам C ‘(x) = 2x, будет иметь вид

C (x) = x ² + (фиксированная стоимость).

Следующие два результата очень полезны при оценке первообразных. Здесь n обозначает действительное число, а c — постоянная интегрирования.

Обратите внимание, что Правило (2) выполняется для n! = — 1, а Правило (3) распространяется на случай, когда n = -1. Для проверки правила (2) воспользуемся определением (1) следующим образом:

Чтобы проверить Правило (3), вспомните, что

Пример 5 Используйте правило (2) для оценки каждого первообразного:

Решения:

методов интеграции | Безграничное исчисление

Основные принципы интеграции

Интегрирование — это процесс поиска области, ограниченной функцией; этот процесс использует несколько важных свойств.

Цели обучения

Применение основных принципов интеграции к интегральным задачам

Основные выводы

Ключевые моменты

• Термин интеграл может также относиться к понятию антипроизводной, функции [латекс] F [/ латекс], производной которой является заданная функция [латекс] f [/ латекс]. b \! f (x) \, dx [/ latex] неофициально определяется как область области на плоскости [latex] xy [/ latex], ограниченная графиком [latex] f [/ latex], [latex] ] x [/ latex] -ось, а вертикальные линии [latex] x = a [/ latex] и [latex] x = b [/ latex], так что область над [latex] x [/ latex] -осью прибавляет к общей сумме, а то, что ниже оси [latex] x [/ latex], вычитает из общей суммы.Термин интеграл может также относиться к понятию антипроизводной, функции [латекс] F [/ латекс], производной которой является заданная функция [латекс] f [/ латекс].

  Определенный интеграл : Определенный интеграл функции может быть представлен в виде области со знаком области, ограниченной ее графиком.

  Более строго, как только антипроизводная [латекс] F [/ латекс] [латекса] f [/ латекса] известна для непрерывной действительной функции [латекс] f [/ латекс], определенной на закрытом интервале [латекс] ] [a, b] [/ latex], определенный интеграл [latex] f [/ latex] по этому интервалу равен

  [латекс] \ displaystyle {\ int_a ^ b \! f (x) \, dx = F (b) — F (a)} [/ латекс]

  Если [latex] F [/ latex] является одним из антипроизводных [latex] f [/ latex], тогда все другие антипроизводные будут иметь форму [latex] F (x) + C [/ latex] для некоторых константа [латекс] C [/ латекс]. a f (x) \, dx} [/ latex]

  Интеграция заменой

  Обращая цепное правило, мы получаем метод, называемый интегрированием путем подстановки.Учитывая две функции [latex] f (x) [/ latex] и [latex] g (x) [/ latex], мы можем использовать следующий идентификатор:

  [латекс] \ Displaystyle {\ int [е ‘(г (х)) \ cdot g’ (х)] \; \ mathrm d x = f (g (x)) + C} [/ латекс]

  или в терминах «фиктивной переменной» [latex] u = g (x) [/ latex]:

  [латекс] \ displaystyle {\ int f ‘(u) \; \ mathrm d u = f (u) + C} [/ латекс]

  Если мы собираемся использовать интегрирование подстановкой для вычисления определенного интеграла, мы должны соответственно изменить верхнюю и нижнюю границы интегрирования.

  Интеграция по частям

  Интеграция по частям — это способ интеграции сложных функций путем разделения их на отдельные части и их индивидуальной интеграции.

  Цели обучения

  Решите интегралы путем интегрирования по частям

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Интегрирование по частям — это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.
  • Теорема выражается как [латекс] \ int u (x) v ‘(x) \, dx = u (x) v (x) — \ int u’ (x) v (x) \, dx [/ latex ].
  • Интегрирование по частям можно интерпретировать не только математически, но и графически.

  Ключевые термины

  • интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются
  • производная : мера того, как функция изменяется при изменении ее входных данных

  Введение

  В исчислении интегрирование по частям — это теорема, которая связывает интеграл от произведения функций с интегралом от их производной и антипроизводной.Он часто используется для нахождения антипроизводной произведения функций в идеально более простую антипроизводную. Правило можно вывести в одну строку, просто интегрировав правило дифференциации продукта.

  Теорема интегрирования по частям

  Возьмем функции [латекс] u = u (x) [/ latex] и [latex] v = v (x) [/ latex]. Взяв их производные, мы останемся с [латексом] du = u ‘(x) [/ latex] и [latex] dxdv = v ‘(x) dx [/ latex]. Теперь давайте посмотрим на принцип интеграции по частям:

  [латекс] \ displaystyle {\ int u (x) v ‘(x) \, dx = u (x) v (x) — \ int u’ (x) v (x) \ dx} [/ латекс]

  или, более компактно,

  [латекс] \ displaystyle {\ int u \, dv = uv- \ int v \, du} [/ латекс]

  Проба

  Предположим, что [latex] u (x) [/ latex] и [latex] v (x) [/ latex] — две непрерывно дифференцируемые функции.{i = 2} [/ латекс]. Предполагая, что кривая гладкая в пределах окрестности, это обобщается до неопределенных интегралов [latex] \ int xdy + \ int y dx = xy [/ latex], которые можно преобразовать в форму теоремы: [latex] \ int xdy = xy — \ int y dx [/ латекс].

  Пример

  Чтобы вычислить [латекс] I = \ int x \ cos (x) \, dx [/ latex], пусть:

  [латекс] u = x \\ \ поэтому du = dx [/ latex]

  и

  [латекс] dv = \ cos (x) \, dx \\ \ поэтому v = \ int \ cos (x) \, dx = \ sin x [/ latex]

  , затем:

  [латекс] \ begin {align} \ int x \ cos (x) \, dx & = \ int u \, dv \\ & = uv — \ int v \, du \\ & = x \ sin (x) — \ int \ sin (x) \, dx \\ & = x \ sin (x) + \ cos (x) + C \ end {align} [/ latex]

  Тригонометрические интегралы

  Тригонометрические интегралы — это особый набор функций, используемых для упрощения сложных математических выражений с целью их вычисления.

  Цели обучения

  Решите основные тригонометрические интегралы

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Некоторые выражения для тригонометрических интегралов находятся с использованием свойств тригонометрических функций.
  • Некоторые выражения были получены с использованием таких методов, как интегрирование по частям.
  • Нет гарантии, что тригонометрический интеграл имеет аналитическое выражение.

  Ключевые термины

  • тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ детская кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]
  • интеграл : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются

  Тригонометрические интегралы

  Тригонометрические интегралы — это семейство интегралов, которые включают тригонометрические функции ([latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]). Ниже приводится список интегралов от тригонометрических функций. Некоторые из них были вычислены с использованием свойств тригонометрических функций, в то время как другие использовали такие методы, как интегрирование по частям.

  Обычно, если функция [latex] \ sin (x) [/ latex] является любой тригонометрической функцией, а [latex] \ cos (x) [/ latex] является ее производной, то

  [латекс] \ displaystyle {\ int a \ cos nx \; \ mathrm {d} x = \ frac {a} {n} \ sin nx + C} [/ latex]

  Во всех формулах константа [latex] a [/ latex] считается ненулевой, а [latex] C [/ latex] обозначает константу интегрирования.2 x = \ frac {1} {2} (1 — \ sin 2x) [/ latex] и [латекс] \ sin x \ cos x = \ frac {1} {2} \ sin 2x [/ latex].

Тригонометрическая замена

Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений и упростить интегрирование.

Цели обучения

Используйте тригонометрическую замену для решения интеграла

Основные выводы

Ключевые моменты

• Если подынтегральное выражение содержит [latex] a ^ 2 — x ^ 2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sin (\ theta) [/ latex]. 2 [/ latex], пусть [latex] x = a \ sec (\ theta) [/ latex].

Ключевые термины

• тригонометрический : относящийся к функциям, используемым в тригонометрии: [latex] \ sin [/ latex], [latex] \ cos [/ latex], [latex] \ tan [/ latex], [latex] \ csc [ / латекс], [латекс] \ детская кроватка [/ латекс], [латекс] \ сек [/ латекс]

Тригонометрические функции могут быть заменены другими выражениями, чтобы изменить форму подынтегральных выражений. Можно использовать тригонометрические тождества для упрощения некоторых интегралов, содержащих радикальные выражения (или выражения, содержащие корни [latex] n [/ latex] th).2 (\ theta)}} \\ & = \ int \ frac {d \ theta} {a} \\ & = \ frac {\ theta} {a} + C \\ & = \ frac {1} {a} \ arctan \ left (\ frac {x} {a} \ right) + C \ end {align} [/ latex]

Метод частичных дробей

Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции.

Цели обучения

Использовать частичное дробное разложение для интегрирования рациональных функций

Основные выводы

Ключевые моменты

• Любую рациональную функцию действительной переменной можно записать как сумму многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена. 2 + 1 [/ латекс]

Разложение на частичные дроби обеспечивает подход к интеграции общей рациональной функции. Любую рациональную функцию действительной переменной можно записать как сумму многочлена и конечного числа рациональных дробей, знаменателем которых является степень неприводимого многочлена, а числитель имеет степень ниже, чем степень этого неприводимого многочлена. Вот несколько общих примеров.

Многочлен 1-й степени в знаменателе

Замена [latex] u = ax + b [/ latex], [latex] du = a \, dx [/ latex] уменьшает интеграл [latex] \ int {1 \ over ax + b} \, dx [/ латекс] к:

[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int {du \ over u} \\ & = {1 \ over a } \ ln \ left | u \ right | + C \\ & = {1 \ over a} \ ln \ left | ax + b \ right | + C \ end {align} [/ latex]

Повторяющийся многочлен 1-й степени в знаменателе

Та же самая замена уменьшает такие интегралы, как [latex] \ int {1 \ over (ax + b) ^ 8} \, dx [/ latex], до

[латекс] \ begin {align} \ int {1 \ over u ^ 8} \, {du \ over a} & = {1 \ over a} \ int u ^ {- 8} \, du \\ & = {1 \ over a} \ cdot {u ^ {- 7} \ over (-7)} + C \\ & = {-1 \ over 7au ^ 7} + C \\ & = {-1 \ over 7a ( ах + b) ^ 7} + C \ end {align} [/ latex]

Неприводимый многочлен 2-й степени в знаменателе

Далее мы рассматриваем такие интегралы, как

[латекс] \ displaystyle {\ int {x + 6 \ over x ^ 2-8x + 25} \, dx} [/ latex]

Самый быстрый способ увидеть, что знаменатель, [латекс] x ^ 2 — 8x + 25 [/ latex], несократим, — это заметить, что его дискриминант отрицательный. 2-8x + 25) + {10 \ over 3} \ arctan \ left ({x-4 \ over 3} \ right) + C} [/ latex]

Интеграция с использованием таблиц и компьютеров

Для интегрирования обычно используются таблицы известных интегралов или компьютерных программ.

Цели обучения

Определить, какие интегралы следует решать с помощью таблиц или компьютеров в силу их сложности

Основные выводы

Ключевые моменты

• В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования более простых составляющих функций, интегрирование — нет.
• В книгах с интегральными таблицами можно найти компиляцию списка интегралов и методов интегрального исчисления.
• Существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.

Ключевые термины

• интегральный : также иногда называют первообразным; предел сумм, вычисленных в процессе, в котором область определения функции делится на небольшие подмножества, а возможное номинальное значение функции на каждом подмножестве умножается на меру этого подмножества, после чего все эти продукты суммируются

Интегрирование — основная операция в интегральном исчислении. В то время как дифференцирование имеет простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых компонентных функций, интегрирование этого не делает, поэтому часто полезны таблицы известных интегралов. Нам также, возможно, придется прибегнуть к компьютерам для выполнения интеграла.

Интеграция с использованием таблиц

Сборник списка интегралов и методов интегрального исчисления был опубликован немецким математиком Мейером Хиршем еще в 1810 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Давидом де Биренс де Хааном.Новое издание вышло в 1862 году. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика. Вот несколько примеров интегралов в этих таблицах для логарифмических функций:

[латекс] \ int \ ln ax \; dx = x \ ln ax — x [/ латекс]

[латекс] \ displaystyle {\ int \ ln (ax + b) \; dx = \ frac {(ax + b) \ ln (ax + b) — ax} {a}} [/ латекс]

[латекс] \ int (\ ln x) ^ 2 \; dx = x (\ ln x) ^ 2 — 2x \ ln x + 2x [/ латекс]

[латекс] \ Displaystyle {\ int (\ пер х) ^ п \; dx = x \ sum ^ {n} _ {k = 0} (- 1) ^ {n-k} \ frac {n!} {k! } (\ ln x) ^ k} [/ латекс]

[латекс] \ Displaystyle {\ int \ frac {dx} {\ ln x} = \ ln \ left | \ ln x \ right | + \ ln x + \ sum ^ \ infty_ {k = 2} \ frac {(\ ln x) ^ k} {k \ cdot k! }} [/ latex]

[латекс] \ Displaystyle {\ int \ frac {dx} {(\ ln x) ^ n} = — \ frac {x} {(n-1) (\ ln x) ^ {n-1}} + \ frac {1} {n-1} \ int \ frac {dx} {(\ ln x) ^ {n-1}} \ qquad \ mbox {(для} n \ neq 1 \ mbox {)}} [/ латекс ]

Вы, конечно, видите, что эти интегралы сложно сделать просто «вручную». ”

Интеграция с использованием компьютеров

Компьютеры могут использоваться для интеграции двумя основными способами. Во-первых, численные методы с использованием компьютеров могут быть полезны при вычислении определенного интеграла. Есть много методов и алгоритмов. Мы вкратце узнаем о численном интегрировании в другом атоме. Во-вторых, существует несколько коммерческих программ, таких как Mathematica или Matlab, которые могут выполнять символьную интеграцию.

Интеграция : Численное интегрирование заключается в нахождении численных приближений для значения [латекс] S [/ латекс].{b} f (x) \, dx = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + 2f (x_3) + \ ldots + 2f (x_N) + f (x_ {N + 1) }))[/латекс].

Ключевые термины

• трапеция : (выпуклый) четырехугольник с двумя (несмежными) параллельными сторонами

Численное интегрирование, в некоторых случаях также известное как числовая квадратура, требует значения определенного интеграла. Популярные методы используют одну из формул Ньютона – Котеса (например, правило средней точки или правило Симпсона) или квадратуру Гаусса. Эти методы основаны на стратегии «разделяй и властвуй», при которой интеграл относительно большого множества разбивается на интегралы меньшего множества. В более высоких измерениях, где эти методы становятся непомерно дорогими с точки зрения вычислительных затрат, можно использовать другие методы, такие как метод Монте-Карло. Здесь мы изучим очень простой метод аппроксимации, называемый правилом трапеции.{b} f (x) \, dx \ приблизительно (b-a) \ frac {f (a) + f (b)} {2}} [/ latex]

Правило трапеции имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрированы по их периодам.

Аппроксимация линейными функциями : Функция [латекс] f (x) [/ latex] (синим цветом) аппроксимируется линейной функцией (красным цветом).

Числовая реализация правила трапеции

Для домена, дискретизированного на [латекс] N [/ латекс] равномерно разнесенные панели или [латекс] N + 1 [/ латекс] точки сетки [латекс] (1, 2, \ cdots, N + 1) [/ latex] , где шаг сетки равен [latex] h = \ frac {(ba)} {N} [/ latex], аппроксимация интеграла принимает следующий вид:

[латекс] \ begin {align} \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, dx & \ приблизительно \ frac {h} {2} \ sum_ {k = 1} ^ {N} \ left ( f (x_ {k + 1}) + f (x_ {k}) \ right) {} \\ & = \ frac {ba} {2N} (f (x_1) + 2f (x_2) + \ cdots + 2f ( x_N) + f (x_ {N + 1})) \ end {align} [/ latex]

Хотя в этом методе также может использоваться неоднородная сетка, в этом примере для аппроксимации использовалась равномерная сетка. bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex].bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex], в котором берется ограничение в одной или другой (а иногда и в обеих) конечных точках.

Ключевые термины

• подынтегральное выражение : функция, которая должна быть интегрирована
• определенный интеграл : интеграл функции между верхней и нижней границей

Несоответствующий интеграл — это предел определенного интеграла, когда конечная точка интервала (ов) интегрирования приближается либо к заданному действительному числу, либо к [latex] \ infty [/ latex] или [latex] — \ infty [/ latex] или , в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам. bf (x) \, \ mathrm {d} x [/ latex]

, в котором устанавливается ограничение на одной или другой конечной точке (а иногда и на обеих).

Несобственный интеграл второго рода : Несобственный интеграл Римана второго рода. Интеграл может не существовать из-за вертикальной асимптоты функции.

Интегралы также являются неправильными, если подынтегральное выражение не определено во внутренней точке области интегрирования или в нескольких таких точках. Часто необходимо использовать несобственные интегралы, чтобы вычислить значение интегралов, которые могут не существовать в обычном смысле (например, интеграл Римана) из-за сингулярности функции или бесконечной конечной точки области интегрирования. .2} \, \ mathrm {d} x \\ & = \ lim_ {b \ to \ infty} \ left (- \ frac {1} {b} + \ frac {1} {1} \ right) \\ & = 1 \ end {align} [/ latex]

Пример 2

Узкое определение интеграла Римана также не распространяется на функцию [latex] \ frac {1} {\ sqrt {x}} [/ latex] на интервале [latex] [0, 1] [/ latex]. +} (2 \ sqrt {1} -2 \ sqrt {a}) \\ & = 2 \ end {align} [/ latex]

Численное интегрирование

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла.б \! f (x) \, dx [/ латекс].

Ключевые термины

• трапециевидный : в форме трапеции или с несколькими гранями, имеющими одну пару параллельных сторон
• первообразная : неопределенный интеграл

Численное интегрирование представляет собой широкое семейство алгоритмов для вычисления числового значения определенного интеграла, и, в более широком смысле, этот термин также иногда используется для описания численного решения дифференциальных уравнений. 2) [/ latex], первообразная которого (функция ошибки, умноженная на константу) не может быть записана в элементарной форме.

Методы одномерных интегралов

Большой класс квадратурных правил может быть получен путем построения интерполирующих функций, которые легко интегрировать.б е (х) \, дх \ приблизительно (б-а) \, е \ влево (\ гидроразрыв {а + б} {2} \ вправо)} [/ латекс]

Правило прямоугольника : Иллюстрация правила прямоугольника.

Интерполирующая функция может быть аффинной функцией (полиномом степени 1), проходящей через точки [latex] (a, f (a)) [/ latex] и [latex] (b, f (b)) [/ латекс]. Это называется правилом трапеции.

Линия трапеции : Иллюстрация линейки трапеции.

Для любого из этих правил мы можем сделать более точное приближение, разбив интервал [latex] [a, b] [/ latex] на некоторое количество [latex] n [/ latex] подинтервалов, вычислив приближение для каждый подынтервал, затем складываются все результаты.{n-1} \ left (f \ left (a + k \ frac {b-a} {n} \ right) \ right) + {f (b) \ over 2} \ right)} [/ латекс]

, где подынтервалы имеют вид [latex] [kh, (k + 1) h] [/ latex], где [latex] h = \ frac {(ba)} {n} [/ latex] и [latex] k = 0, 1, 2, \ cdots, n − 1 [/ latex].

Функция интеграции с Excel

Мы демонстрируем, как интегрировать определяемую пользователем функцию VBA с QUADF . Вы можете определять свои собственные функции VBA в Excel, что очень удобно, когда ваше интегрируемое выражение сложно определить с помощью стандартных формул.Вычислим интеграл

∫12log (x + p) ⋅dx, где p — постоянный параметр.

VBA поддерживается только в ExceLab 7.0. ExceLab 365, основанный на кроссплатформенной технологии Office JS, несовместим с VBA

Решение

1. Откройте Excel и запустите редактор VBA, нажав Alt + F11

2. Вставьте модуль из вкладки «Вставить», затем запрограммируйте следующую функцию:

3. Сохраните книгу с расширением xlsm (макрос включен) и закройте редактор VBA
4. В Sheet1 определите формулу подынтегральной функции, как показано в A11 .Передаем переменную интегрирования и любые другие параметры ожидает функция VBA.

⇒

Имя вашей функции VBA должно иметь префикс «vb», чтобы его можно было использовать с решателями ExceLab.

X1 — это просто фиктивная переменная для подынтегральной функции. Его значение игнорируется.

: интеграция с Wolfram | Alpha

Что такое интегралы?

Интеграция — важный инструмент в исчислении, который может дать первообразную или представить площадь под кривой.

Неопределенный интеграл от, обозначенный, определяется как первообразная от. Другими словами, производная от is. Поскольку производная константы равна 0, неопределенные интегралы определяются только с точностью до произвольной константы.Например, так как производная от. Определенный интеграл от до, обозначенный, определяется как область со знаком между и осью, от до.

Оба типа интегралов связаны основной теоремой исчисления. Это означает, что если непрерывен на и является его непрерывным неопределенным интегралом, то. Это означает . Иногда требуется приближение к определенному интегралу. Обычный способ сделать это — разместить под кривой тонкие прямоугольники и сложить области со знаком.Wolfram | Alpha может решать широкий спектр интегралов.

Как Wolfram | Alpha вычисляет интегралы

Wolfram | Alpha вычисляет интегралы иначе, чем люди. Он вызывает функцию Integrate системы Mathematica, которая представляет собой огромное количество математических и вычислительных исследований. Integrate не выполняет интегралы, как это делают люди. Вместо этого он использует мощные общие алгоритмы, которые часто включают очень сложную математику. Есть несколько подходов, которые используются чаще всего. Один из них включает разработку общей формы интеграла, затем дифференцирование этой формы и решение уравнений для сопоставления неопределенных символьных параметров.Даже для довольно простых подынтегральных выражений уравнения, сгенерированные таким образом, могут быть очень сложными, и для их решения требуются сильные алгебраические вычислительные возможности Mathematica. Другой подход, который Mathematica использует при вычислении интегралов, состоит в том, чтобы преобразовать их в обобщенные гипергеометрические функции, а затем использовать наборы соотношений об этих очень общих математических функциях.

Хотя эти мощные алгоритмы дают Wolfram | Alpha возможность очень быстро вычислять интегралы и обрабатывать широкий спектр специальных функций, понимание того, как будет интегрироваться человек, также важно.В результате в Wolfram | Alpha также есть алгоритмы для пошаговой интеграции. В них используются совершенно разные методы интеграции, имитирующие подход человека к интегралу. Это включает интегрирование путем подстановки, интегрирование по частям, тригонометрическую замену и интегрирование по частичным дробям.

(scipy.integrate) — Справочное руководство SciPy v1.6.3

Интеграция набора обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), заданного начальные условия — еще один полезный пример.{2}} \ Gamma \ left (\ frac {2} {3} \ right)} \) и \ (\ left. \ Frac {dw} {dz} \ right | _ {z = 0} = — \ frac {1} {\ sqrt [3] {3} \ Gamma \ left (\ frac {1} {3} \ right)}. \) Известно, что решение этого дифференциального уравнения с этими граничными условиями является функция Эйри

Сначала преобразуйте это ОДУ в стандартную форму, задав \ (\ mathbf {y} = \ left [\ frac {dw} {dz}, w \ right] \) и \ (t = z \). Таким образом, дифференциальное уравнение принимает вид

\ [\ begin {split} \ frac {d \ mathbf {y}} {dt} = \ left [\ begin {array} {c} ty_ {1} \\ y_ {0} \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {cc} 0 & t \\ 1 & 0 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {c} y_ {0} \\ y_ {1} \ конец {массив} \ right] = \ left [\ begin {array} {cc} 0 & t \\ 1 & 0 \ end {array} \ right] \ mathbf {y}.{t} \ mathbf {A} \ left (\ tau \ right) d \ tau \ right) \ mathbf {y} \ left (0 \ right), \]

Однако в этом случае \ (\ mathbf { A} \ left (t \ right) \) и его интеграл не коммутируют.

Это дифференциальное уравнение можно решить с помощью функции resolve_ivp . Требуется производная, fprime , временной интервал [t_start, t_end] и вектор начальных условий, y0 , в качестве входных аргументов и возвращает объект, чье поле y представляет собой массив с последовательными значениями решения как столбцы.Поэтому начальные условия приведены в первом выходном столбце.

Как видно, resolve_ivp определяет свои временные шаги автоматически, если нет указано иное. Чтобы сравнить решение resolve_ivp с решением airy вектор времени, созданный функцией resolve_ivp , передается в функцию airy .

Решение resolve_ivp со стандартными параметрами показывает большое отклонение к воздушной функции.Чтобы минимизировать это отклонение, относительные и абсолютные допуски могут быть использованы.

Чтобы указать определенные пользователем моменты времени для решения resolve_ivp , resolve_ivp предлагает две возможности, которые также можно использовать дополнительно. Проходя t_eval опция вызова функции resolve_ivp возвращает решения этих временных точек из t_eval на выходе.

Если матрица якобиана функции известна, ее можно передать в resolve_ivp для достижения лучших результатов.Однако имейте в виду, что метод интеграции по умолчанию RK45 не поддерживает матрицы Якоби, поэтому другой метод интегрирования имеет быть выбранным. Одним из методов интегрирования, поддерживающих матрицу Якоби, является метод для например, метод Radau из следующего примера.

Решение системы с ленточной матрицей Якоби

odeint можно сказать, что якобиан состоит из полос . Для большого система дифференциальных уравнений, которые, как известно, являются жесткими, это может значительно улучшить производительность.2 — (f + k) v \\ \ end {split} \ end {split} \]

где \ (D_u \) и \ (D_v \) — коэффициенты диффузии компоненты \ (u \) и \ (v \), соответственно, и \ (f \) и \ (k \) являются константами. (Для получения дополнительной информации о системе см. http://groups.csail.mit.edu/mac/projects/amorphous/GrayScott/)

Предположим, что граничные условия Неймана (т. Е. «Отсутствие потока»):

\ [\ frac {\ partial u} {\ partial x} (0, t) = 0, \ quad \ frac {\ partial v} {\ partial x} (0, t) = 0, \ quad \ frac {\ partial u} {\ partial x} (L, t) = 0, \ quad \ frac {\ partial v} {\ partial x} (L, t) = 0 \]

Чтобы применить метод линий, мы дискретизируем переменную \ (x \), определяя равномерно распределенная сетка \ (N \) точек \ (\ left \ {x_0, x_1, \ ldots, x_ {N-1} \ right \} \), с \ (x_0 = 0 \) и \ (x_ {N-1} = L \).2 — (f + k) v_ {N-1} \ end {split} \ end {split} \]

Наша полная система обыкновенных дифференциальных уравнений \ (2N \) имеет вид (1) для \ (k = 1, 2, \ ldots, N-2 \) вместе с (2) и (3).

Теперь мы можем приступить к реализации этой системы в коде. Мы должны объединить \ (\ {u_k \} \) и \ (\ {v_k \} \) в один вектор длины \ (2N \). Два очевидных варианта: \ (\ {u_0, u_1, \ ldots, u_ {N-1}, v_0, v_1, \ ldots, v_ {N-1} \} \) а также \ (\ {u_0, v_0, u_1, v_1, \ ldots, u_ {N-1}, v_ {N-1} \} \). Математически это не имеет значения, но выбор влияет на то, как эффективно odeint может решить систему.Причина в том, как порядок влияет на структуру ненулевых элементов матрицы Якоби.

Когда переменные заказаны как \ (\ {u_0, u_1, \ ldots, u_ {N-1}, v_0, v_1, \ ldots, v_ {N-1} \} \), образец ненулевых элементов матрицы Якоби

\ [\ begin {split} \ begin {smallmatrix} * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * \\ * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 &) & * & * \\ \ end {smallmatrix} \ end {split} \]

Якобианский паттерн с перемежающимися переменными поскольку \ (\ {u_0, v_0, u_1, v_1, \ ldots, u_ {N-1}, v_ {N-1} \} \) равно

\ [\ begin {split} \ begin {smallmatrix} * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & * & * & * \\ \ end {smallmatrix} \ end {split} \]

В обоих случаях нетривиальных диагоналей всего пять, но когда переменные чередуются, пропускная способность намного меньше. То есть главная диагональ и сразу две диагонали вверху и два сразу под главной диагональю — ненулевые диагонали. Это важно, т.к. входы mu и ml из или — это верхняя и нижняя полосы пропускания Матрица Якоби. Когда переменные чередуются, mu и ml равны 2. Когда переменные сложены с \ (\ {v_k \} \) после \ (\ {u_k \} \), верхний а нижняя полоса пропускания равна \ (N \).

Приняв это решение, мы можем написать функцию, которая реализует систему дифференциальных уравнений.

Сначала мы определяем функции для источника и реакции условия системы:

 def G (u, v, f, k):
    вернуть f * (1 - u) - u * v ** 2

def H (u, v, f, k):
    возврат - (f + k) * v + u * v ** 2
 

Затем мы определяем функцию, которая вычисляет правую часть системы дифференциальных уравнений:

 def grayscott1d (y, t, f, k, Du, Dv, dx):
    "" "
    Дифференциальные уравнения для одномерных уравнений Грея-Скотта. 

    ОДУ выводятся методом линий."" "
    # Векторы u и v чередуются по y. Мы определяем
    # видов u и v при разрезании y.
    u = y [:: 2]
    v = y [1 :: 2]

    # dydt - возвращаемое значение этой функции.
    dydt = np.empty_like (y)

    # Так же, как u и v - это виды чередующихся векторов
    # в y, dudt и dvdt - это представления чередующегося вывода
    # векторов в dydt.
    dudt = dydt [:: 2]
    dvdt = dydt [1 :: 2]

    # Вычислить du / dt и dv / dt. Конечные и внутренние точки
    # обрабатываются отдельно.dudt [0] = G (u [0], v [0], f, k) + Du * (-2,0 * u [0] + 2,0 * u [1]) / dx ** 2
    dudt [1: -1] = G (u [1: -1], v [1: -1], f, k) + Du * np.diff (u, 2) / dx ** 2
    dudt [-1] = G (u [-1], v [-1], f, k) + Du * (- 2,0 * u [-1] + 2,0 * u [-2]) / dx ** 2
    dvdt [0] = H (u [0], v [0], f, k) + Dv * (-2,0 * v [0] + 2,0 * v [1]) / dx ** 2
    dvdt [1: -1] = H (u [1: -1], v [1: -1], f, k) + Dv * np.diff (v, 2) / dx ** 2
    dvdt [-1] = H (u [-1], v [-1], f, k) + Dv * (-2,0 * v [-1] + 2,0 * v [-2]) / dx ** 2

    вернуть дыдт
 

Мы не будем реализовывать функцию для вычисления якобиана, но расскажем указывает на , что матрица Якоби полосатая. Это позволяет основному решатель (LSODA), чтобы избежать вычисления значений, которые, как ему известно, равны нулю. Для большого системы, это значительно улучшает производительность, как показано на после сеанса ipython.

Сначала мы определяем необходимые входы:

 В [31]: y0 = np.random.randn (5000)

В [32]: t = np.linspace (0, 50, 11)

В [33]: f = 0,024

В [34]: k = 0,055

В [35]: Du = 0,01

В [36]: Dv = 0,005

В [37]: dx = 0,025
 

Время вычисления без использования полосовой структуры матрицы Якоби:

 В [38]:% timeit sola = odeint (grayscott1d, y0, t, args = (f, k, Du, Dv, dx))
1 петля, лучше 3:25.2 с на петлю
 

Теперь установите ml = 2 и mu = 2 , так что odeint знает, что матрица Якоби полосатая:

 В [39]:% timeit solb = odeint (grayscott1d, y0, t, args = (f, k, Du, Dv, dx), ml = 2, mu = 2)
10 циклов, лучшее из 3: 191 мс на цикл
 

Это намного быстрее!

Давайте удостоверимся, что они вычислили один и тот же результат:

 В [41]: np.
No related posts.
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя * 
Email * 
Сайт