Калькулятор интерполяции — Найти точку интерполяции
Онлайн-калькулятор интерполяции помогает найти интерполированные значения для точек данных на линии или кривой. Калькулятор отображает интерполированную точку на линии и показывает пошаговое решение с использованием формулы линейной интерполяции.
Просто прочтите контекст, чтобы получить общее представление о том, как выполнять интерполяцию, ее формулу и некоторые стандартные термины, которые помогают понять интерполяцию.
Что такое линейная интерполяция в математике?
интерполяция калькулятор – это метод создания новых точек данных в уже известном дискретном наборе точек данных. В этой математической процедуре некоторые исходные точки данных могут быть интерполированы для создания простой и новой функции, которая будет близка к исходным данным. Эта интеграция нового значения называется интерполяцией. Другими словами, мы также можем сказать, что линейный интерполянт – это прямая линия, которая существует между двумя распознанными координатными точками (x0, y0) и (x1, y1).
Вы можете легко найти значение интерполяции между двумя координатами на прямой с помощью калькулятор интерполяции.
Формула линейной интерполяции:
Формула линейной интерполяции:
$$ y = y1 + ((x – x1) / (x2 – x1)) * (y2 – y1) $$
В этом уравнении интерполяции:
- X = известное значение,
- y = неизвестное значение,
- x1 и y1 = координаты, которые ниже известного значения x
- x2 и y2 = координаты выше значения x.
Кроме того, интерполяция онлайн калькулятор уклона помогает найти точки уклона или уклона A (x1, y1) и B (y1, y2) в декартовой координатной плоскости.
Пример1:
Если заданными точками данных являются (2, 4) и (6, 8), как вы рассчитаете значение y, когда x = 2.
На первом этапе мы извлечем координаты заданных точек данных.
$$ x1 = 2 $$
$$ y1 = 4 $$
$$ x2 = 6 $$
$$ y2 = 8 $$
На втором этапе мы возьмем следующие уравнения, чтобы получить значения m, а затем y
- \ (m = y2 – y1 / x2 − x1 \) = уравнение 1
- \ (y = y1 + m * (x – x1) \) = уравнение 2
- Чтобы вычислить значение m, поместите значения в уравнение 1, \ (= m = 8−4 / 6−2 = 1 \)
- Теперь у нас есть значение m, поэтому мы воспользуемся уравнением 2, чтобы найти значение y.
2 \) в заданной строке, пока заданные данные«$$ x1 = 4, y1 = 6, x2 = 8, x3 = 12, y3 = 14 $$».
Решение:
Поскольку у нас есть линейное интерполяционное уравнение:
$$ y_2 = (x_2 – x_1) x (y_3- y_1) / (x_3 – x_1) + y_1 $$
Пошаговое решение для нахождения y2 будет таким, как если бы вышеприведенное уравнение было следующим:
$$ y_2 = (x_3 − x_2) x (y_3 − y_1) / (x_3 − x_2) + y_3 $$
$$ y_2 = (12−8) x (14−6) / (12−8) + 14 $$
$$ y_2 = (4) x (8) / (4) + 14 $$
$$ y_2 = (32) / (4) + 14 $$
$$ y_2 = 8 + 14 $$
$$ y_2 = 22 $$
Как работает калькулятор интерполяции линейной?
Вот как работает онлайн-калькулятор для вычисления линейных интерполированных значений.
Вход:
- Введите 5 различных точек данных, чтобы найти линейное интерполированное значение конкретной точки и выполнить интерполяцию.
- Нажмите кнопку “Рассчитать”
Выход:
Онлайн-калькулятор интерполяции предоставит вам следующие результаты:
- Новое интерполированное значение будет отображаться в той точке, где мы хотим провести интерполяцию.
- Этот интерполятор нанесет точку интерполяции на линию.
- Точки входных данных и формула линейной интерполяции
- Это даст вам подробное пошаговое решение для вычисленного интерполированного значения.
Часто задаваемые вопросы (FAQ):
Какой метод можно использовать в любом вопросе интерполяции?
Обычно мы используем метод интерполяции калькулятор полиномов. Причины использования полиномов:
- Их легко оценить
- Дифференциация и интеграция просты.
Это называется полиномиальной интерполяцией.
Когда следует использовать интерполяцию?
Как мы уже знаем, с помощью интерполяции мы можем найти неизвестные точки, поэтому ее можно использовать всякий раз, когда нам нужно предсказать неизвестные значения для любых данных географических точек. Это полезно для прогнозирования осадков, полученных в результате концентраций химических веществ, оценки уровней шума и т. Д.
Какой метод интерполяции лучший?
Интерполяция с обратным взвешиванием по расстоянию (IDW) считается одним из лучших методов для достижения лучших результатов, чем любой другой метод интерполяции калькулятор.
Кригинг – это точная интерполяция?
Методика интерполяция калькулятор обычно связана с точной интерполяцией. Все предсказания Кригинга могут постепенно меняться в космосе. Они будут меняться после того, как попадут в место, где были собраны данные. В этот момент происходит «скачок» прогноза к наиболее точному значению, которое было измерено первым. Однако для быстрых и точных прогнозов можно использовать интерполятор.
интерполяция онлайн калькулятор момент:
Благодаря калькулятор интерполяции линейной для поиска неизвестной точки данных для заданных координат и построения точки на графиках. Кроме того, этот инструмент показывает формулу, которая используется для выполнения требований, с пошаговыми расчетами для облегчения конечных пользователей в кратчайшие сроки. Он обеспечивает бесплатную поддержку в учебных и образовательных целях. Поэтому давайте интерполяция калькулятор найти ответ, поместив известную точку данных в этот интерполятор!
Other Languages: Linear Interpolation Calculator, Kalkulator Interpolasi, Interpolacja Kalkulator, Interpolation Rechner, Interpolasyon Hesaplama, 補間計算, Calculadora De Interpolação, Calcul Interpolation Linéaire, Interpolar Calculadora, Calcolo Interpolazione Lineare, Lineární Interpolace Výpočet, حاسبة الاستيفاء, Interpolointi Laskin.
соединяем точки так, чтобы было красиво / Хабр
Как построить график по n точкам? Самое простое — отметить их маркерами на координатной сетке. Однако для наглядности их хочется соединить, чтобы получить легко читаемую линию. Соединять точки проще всего отрезками прямых. Но график-ломаная читается довольно тяжело: взгляд цепляется за углы, а не скользит вдоль линии. Да и выглядят изломы не очень красиво. Получается, что кроме ломаных нужно уметь строить и кривые. Однако тут нужно быть осторожным, чтобы не получилось вот такого:Немного матчасти
Восстановление промежуточных значений функции, которая в данном случае задана таблично в виде точек P1 … Функции fi могут быть самыми разными, но чаще всего используют полиномы некоторой степени. В этом случае итоговая интерполирующая функция (кусочно заданная на промежутках, ограниченных точками Pi) называется сплайном.
В разных инструментах для построения графиков — редакторах и библиотеках — задача «красивой интерполяции» решена по-разному. В конце статьи будет небольшой обзор существующих вариантов. Почему в конце? Чтобы после ряда приведённых выкладок и размышлений можно было поугадывать, кто из «серьёзных ребят» какие методы использует.
Ставим опыты
Самый простой пример — линейная интерполяция, в которой используются полиномы первой степени, а в итоге получается ломаная, соединяющая заданные точки.
Давайте добавим немного конкретики. Вот набор точек (взяты почти с потолка):0 0 20 0 45 -47 53 335 57 26 62 387 74 104 89 0 95 100 100 0
Результат линейной интерполяции этих точек выглядит так:Однако, как отмечалось выше, иногда хочется получить в итоге гладкую кривую.
Что есть гладкость? Бытовой ответ: отсутствие острых углов. Математический: непрерывность производных. При этом в математике гладкость имеет порядок, равный номеру последней непрерывной производной, и область, на которой эта непрерывность сохраняется. То есть, если функция имеет гладкость порядка 1 на отрезке [a
У сплайна в контексте гладкости есть понятие дефекта. Дефект сплайна — это разность между его степенью и его гладкостью. Степень сплайна — это максимальная степень использованных в нём полиномов.
Важно отметить, что «опасными» точками у сплайна (в которых может нарушиться гладкость) являются как раз Pi, то есть точки сочленения сегментов, в которых происходит переход от одного полинома к другому. Все остальные точки «безопасны», ведь у полинома на области его определения нет проблем с непрерывностью производных.
Чтобы добиться гладкой интерполяции, нужно повысить степень полиномов и подобрать их коэффициенты так, чтобы в граничных точках сохранялась непрерывность производных.Традиционно для решения такой задачи используют полиномы третьей степени и добиваются непрерывности первой и второй производной. То, что получается, называют кубическим сплайном дефекта 1. Вот как он выглядит для наших данных:
Кривая, действительно, гладкая. Но если предположить, что это график некоторого процесса или явления, который нужно показать заинтересованному лицу, то такой метод, скорее всего, не подходит. Проблема в ложных экстремумах. Появились они из-за слишком сильного искривления, которое было призвано обеспечить гладкость интерполяционной функции. Но зрителю такое поведение совсем не кстати, ведь он оказывается обманут относительно пиковых значений функции. А ради наглядной визуализации этих значений, собственно, всё и затевалось.
Так что надо искать другие решения.Другое традиционное решение, кроме кубических сплайнов дефекта 1 — полиномы Лагранжа.
Это полиномы степени n – 1, принимающие заданные значения в заданных точках. То есть членения на сегменты здесь не происходит, вся последовательность описывается одним полиномом.
Но вот что получается:Гладкость, конечно, присутствует, но наглядность пострадала так сильно, что… пожалуй, стоит поискать другие методы. На некоторых наборах данных результат выходит нормальный, но в общем случае ошибка относительно линейной интерполяции (и, соответственно, ложные экстремумы) может получаться слишком большой — из-за того, что тут всего один полином на все сегменты.
В компьютерной графике очень широко применяются кривые Безье, представленные полиномами k-й степени.
Они не являются интерполирующими, так как из k + 1 точек, участвующих в построении, итоговая кривая проходит лишь через первую и последнюю. Остальные k – 1 точек играют роль своего рода «гравитационных центров», притягивающих к себе кривую.
Вот пример кубической кривой Безье:Как это можно использовать для интерполяции? На основе этих кривых тоже можно построить сплайн. То есть на каждом сегменте сплайна будет своя кривая Безье k-й степени (кстати, k = 1 даёт линейную интерполяцию). И вопрос только в том, какое k взять и как найти k – 1 промежуточную точку.
Здесь бесконечно много вариантов (поскольку k ничем не ограничено), однако мы рассмотрим классический: k = 3.
Чтобы итоговая кривая была гладкой, нужно добиться дефекта 1 для составляемого сплайна, то есть сохранения непрерывности первой и второй производных в точках сочленения сегментов (Pi), как это делается в классическом варианте кубического сплайна.
Вот что получится на нашем тестовом наборе:Стало лучше: ложные экстремумы всё ещё есть, но хотя бы не так сильно отличаются от реальных.
Думаем и экспериментируем
Можно попробовать ослабить условие гладкости: потребовать дефект 2, а не 1, то есть сохранить непрерывность одной только первой производной.
Достаточное условие достижения дефекта 2 в том, что промежуточные контрольные точки кубической кривой Безье, смежные с заданной точкой интерполируемой последовательности, лежат с этой точкой на одной прямой и на одинаковом расстоянии:В качестве прямых, на которых лежат точки Ci – 1(2), Pi и Ci(1), целесообразно взять касательные к графику интерполируемой функции в точках Pi. Это гарантирует отсутствие ложных экстремумов, так как кривая Безье оказывается ограниченной ломаной, построенной на её контрольных точках (если эта ломаная не имеет самопересечений).
Методом проб и ошибок эвристика для расчёта расстояния от точки интерполируемой последовательности до промежуточной контрольной получилась такой:
Эвристика 1
Первая и последняя промежуточные контрольные точки равны первой и последней точке графика соответственно (точки C1(1) и Cn – 1(2) совпадают с точками P1 и Pn соответственно).
В этом случае получается вот такая кривая:Как видно, ложных экстремумов уже нет. Однако если сравнивать с линейной интерполяцией, местами ошибка очень большая. Можно сделать её ещё меньше, но тут в ход пойдут ещё более хитрые эвристики.
К текущему варианту мы пришли, уменьшив гладкость на один порядок. Можно сделать это ещё раз: пусть сплайн будет иметь дефект 3. По факту, тем самым формально функция не будет гладкой вообще: даже первая производная может терпеть разрывы. Но если рвать её аккуратно, визуально ничего страшного не произойдёт.
Отказываемся от требования равенства расстояний от точки Pi до точек Ci – 1(2) и Ci(1), но при этом сохраняем их все лежащими на одной прямой:Эвристика для вычисления расстояний будет такой:
Эвристика 2Расчёт l1 и l2 такой же, как в «эвристике 1».
Результат получается такой:
При этом, однако, стоит ещё проверять, не совпали ли точки Pi и Pi + 1 по ординате, и, если совпали, полагать l1 = l2 = 0. Это защитит от «вспухания» графика на плоских отрезках (что тоже немаловажно с точки зрения правдивого отображения данных).В результате на шестом сегменте ошибка уменьшилась, а на седьмом — увеличилась: кривизна у Безье на нём оказалась больше, чем хотелось бы. Исправить ситуацию можно, принудительно уменьшив кривизну и тем самым «прижав» Безье ближе к отрезку прямой, которая соединяет граничные точки сегмента. Для этого используется следующая эвристика:
Эвристика 3Если абсцисса точки пересечения касательных в точках Pi(xi, yi) и Pi + 1(xi + 1, yi + 1) лежит в отрезке [xi; xi + 1], то l1 либо l2 полагаем равным нулю. В том случае, если касательная в точке Pi направлена вверх, нулю полагаем максимальное из l1 и l2, если вниз — минимальное.
Результат следующий: На этом было принято решение признать цель достигнутой.
Может быть, кому-то пригодится код.А как люди-то делают?
Обещанный обзор. Конечно, перед решением задачи мы посмотрели, кто чем может похвастаться, а уже потом начали разбираться, как сделать самим и по возможности лучше. Но вот как только сделали, не без удовольствия ещё раз прошлись по доступным инструментам и сравнили их результаты с плодами наших экспериментов. Итак, поехали.MS Excel
Это очень похоже на рассмотренный выше сплайн дефекта 1, основанный на кривых Безье. Правда, в отличие от него в чистом виде, тут всего два ложных экстремума — первый и второй сегменты (у нас было четыре). Видимо, к классическому поиску промежуточных контрольных точек тут добавляются ещё какие-то эвристики. Но ото всех ложных экстремумов они не спасли.
LibreOffice Calc
В настройках это названо кубическим сплайном. Очевидно, он тоже основан на Безье, и вот тут уже точная копия нашего результата: все четыре ложных экстремума на месте.
Есть там ещё один тип интерполяции, который мы тут не рассматривали: B-сплайн. Но для нашей задачи он явно не подходит, так как даёт вот такой результат 🙂
Highcharts, одна из самых популярных JS-библиотек для построения диаграмм
Тут налицо «метод касательных» в варианте равенства расстояний от точки интерполируемой последовательности до промежуточных контрольных. Ложных экстремумов нет, зато есть сравнительно большая ошибка относительно линейной интерполяции (седьмой сегмент).
amCharts, ещё одна популярная JS-библиотека
Картина очень похожа на экселевскую, те же два ложных экстремума в тех же местах.
Coreplot, самая популярная библиотека построения графиков для iOS и OS X
Есть ложные экстремумы и видно, что используется сплайн дефекта 1 на основе Безье.
Библиотека открытая, так что можно посмотреть в код и убедиться в этом.aChartEngine, вроде как самая популярная библиотека построения графиков для Android
Больше всего похоже на кривую Безье степени n – 1, хотя в самой библиотеке график называется «cubic line».
Странно! Как бы то ни было, тут не только присутствуют ложные экстремумы, но и в принципе не выполняются условия интерполяции.Вместо заключения
В конечном счёте получается, что из «больших ребят» лучше всех проблему решили Highcharts. Но метод, описанный в этой статье, обеспечивает ещё меньшую ошибку относительно линейной интерполяции.
Вообще, заняться этим пришлось по просьбе покупателей, которые зарепортили нам «острые углы» в качестве бага в нашем движке диаграмм. Будем рады, если описанный опыт кому-то пригодится.Калькулятор формулы уравнения линейной интерполяции
Инженерное дело — формула интерполяции
Чтобы интерполировать значение y 2 :
x 1 , x 3 , y 1 и y 3 необходимо ввести/скопировать из таблицы.
x 2 определяет точку для выполнения интерполяции.
y 2 — интерполированное значение и решение.х 1 у 1 x 2 y 2 x 9000 6 3 y 3 Ввод:
Решение:
y 2
= НЕ РАСЧЕТНО
Изменить уравнение или формулу
Выберите для решения другого неизвестноголинейная интерполяция
одиночный интерполяторбилинейная интерполяция
двойная интерполяцияЧто такое линейная интерполяция?
Линейная интерполяция — это математический метод, используемый для оценки неизвестного значения между двумя известными точками данных на прямой линии, при условии постоянной скорости изменения между точками и линейной функции, соединяющей их.
Аппроксимация кривой, с другой стороны, представляет собой более широкий процесс построения кривой или математической функции, которая наилучшим образом соответствует ряду точек данных. Например, линейную интерполяцию можно рассматривать как простую форму подбора кривой, когда кривая представляет собой прямую линию.
Почему это необходимо?
Линейная интерполяция и подгонка кривых необходимы, поскольку они обеспечивают эффективные способы оценки значений в наборе данных, когда точные данные недоступны, анализа тенденций данных и создания графических представлений данных. Эти методы имеют решающее значение для аппроксимации, анализа данных и визуализации.
Уравнение линейной интерполяции
Уравнение линейной интерполяции определяется как:
y = y1 + (x — x1) * ((y2 — y1) / (x2 — x1))
где (x1, y1) и (x2, y2) — известные точки данных, x — значение x неизвестной точки, а y — значение y неизвестной точки.
Как решить:
Чтобы найти y с помощью линейной интерполяции, выполните следующие действия:
- Определите две известные точки данных (x1, y1) и (x2, y2), окружающие значение x, для которых вы хотите оценить значение y.
- Подставить известные значения в уравнение линейной интерполяции.
- Решите для y.
Распространенные ошибки:
- Экстраполяция за пределы известных точек данных может привести к неточным оценкам.
- Использование линейной интерполяции для нелинейных наборов данных приводит к плохим приближениям.
- Непроверка допущений о постоянной скорости изменения и линейности.
- Использование только интерполяции при наличии более точных методов или данных.
- Неверная интерпретация результатов, например предположение, что интерполированное значение равно точному значению.
- Чувствительность к выбросам и экстремальным значениям в наборе данных.
Области применения:
- Компьютерная графика и обработка изображений
- Финансы (например, расчет процентных ставок)
- Инжиниринг (например, оценка температуры и давления)
- Географические информационные системы (ГИС) и картография
- Медицинская визуализация
- Разработка видеоигр
- Прогноз погоды
- Обработка аудиосигнала
- Компьютерное проектирование (САПР)
- Наука о данных и аналитика
Другие типы интерполяции:
- Полиномиальная интерполяция
- Сплайн-интерполяция (например, кубический и B-сплайн)
- Интерполяция Hermite
- Рациональная интерполяция
- Интерполяция ближайшего соседа
Калькулятор интерполяции — Примеры, онлайн-калькулятор интерполяции
Калькулятор интерполяции помогает вычислить интерполированное значение для заданных координат.
Интерполяция — это процесс поиска нового значения функции, когда мы уже знаем любые два значения.Что такое интерполяционный калькулятор?
Калькулятор интерполяции — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить интерполированное значение y для линейной функции, когда нам заданы определенные координаты. Формула линейной интерполяции используется для нахождения нового значения функции. Чтобы использовать калькулятор интерполяции введите значения в поля ввода.
Калькулятор интерполяции
ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значения не более двух цифр.
Как пользоваться калькулятором интерполяции?
Чтобы найти значение интерполяции с помощью онлайн-калькулятора интерполяции, следуйте инструкциям ниже:
- Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору интерполяции Cuemath.
- Шаг 2: Введите координаты в указанные поля ввода.
- Шаг 3: Нажмите «Рассчитать» , чтобы найти интерполированное значение для заданных координат.
- Шаг 4: Нажмите «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.
Как работает калькулятор интерполяции?
Когда мы хотим оценить значение функции между любыми двумя точками, мы используем метод интерполяции. Интерполяция – это метод, который используется для поиска нового значения между двумя точками на кривой заданной функции. Предположим, нам известны координаты двух точек (\(x_{1}\), \(y_{1}\)) и (\(x_{2}\), \(y_{2}\)). Мы также знаем точку, в которой должна быть выполнена интерполяция. Это обозначается х. Тогда формула для линейной интерполяции задается следующим образом:
Линейная интерполяция(y) = \(y_{1} + (x — x_{1})\frac{(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{1}}\ )
Здесь y — интерполированное значение. Мы можем подставить данные значения в вышеупомянутое уравнение, чтобы определить интерполированное значение y.
Линейная интерполяция используется для прогнозирования данных, предсказания фондового рынка и многих других научных приложений.
Линейная интерполяция — это метод подгонки кривой при работе с линейными полиномами. Его можно использовать для построения новых точек данных в пределах некоторых известных точек данных.Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.
Запись на бесплатный пробный урок
Решенные примеры на калькуляторе интерполяции
Пример 1:
Найдите интерполированное значение y при x = 2, если задано некоторое множество значений (-2, 3), (4, 6). Проверьте это с помощью онлайн-калькулятора интерполяции.
Решение:
Используя формулу интерполяции, \(y_{1} + (x — x_{1})\frac{(y_{2}-y_{1})}{x_{2}-x_{ 1}}\)
Дано: x = 2, x 1 = -2, y 1 = 3, x 2 = 4 , y 2 = 6
9000 2 у = 3 + (2 — (-2)) (6 — 3) / (4 — (-2))y = 3 + 4 × (-3 /-6)
y = 5
Пример 2:
Найдите интерполированное значение y при x = -3, если задан некоторый набор значений (5, 3,5), (10, 6).
2 \) в заданной строке, пока заданные данные
На основе этого и может быть построен график:
Это защитит от «вспухания» графика на плоских отрезках (что тоже немаловажно с точки зрения правдивого отображения данных).
Странно! Как бы то ни было, тут не только присутствуют ложные экстремумы, но и в принципе не выполняются условия интерполяции.
Интерполяция — это процесс поиска нового значения функции, когда мы уже знаем любые два значения.
Линейная интерполяция — это метод подгонки кривой при работе с линейными полиномами. Его можно использовать для построения новых точек данных в пределах некоторых известных точек данных.