Квадратные и линейные уравнения примеры: Уравнения. Линейные, квадратные уравнения

Линейные и квадратные уравнения. | Образовательная социальная сеть

проверочный тест по теме: «Решение линейных уравнений»                 Вариант 1.

1. -6х – 4 = -9х + 11

       1) 3      2) 12         3) 5           4) 1

2. 6 – 5х = 2х +5

       1) 8      2) 7           3)         4)

3. 10(х – 9) = 7

       1) 9,7    2) 0,87      3)         4) -0,97

4. 5(2х + 4) = 6х – 10   Ответ: ______
5. 7(-3 + х) – 2х = -6    Ответ: ______
6. 2(х — 3) — 5 = 4х        Ответ: ______
7. -5 (7 – х) + 2х = -7   Ответ: ______
8.                    Ответ: ______ 
9.      Ответ: ______
10. 9 + 3(1 – 2х) = 6х – 4     Ответ: ______
11.      Ответ: ______
12.                        Ответ: ______   
13.      Ответ: ______

14) 3 – 3(х + 2) = 5 — 5х                     Ответ: ______ 

 15) 1 + 8х +3(5 – х) = -4х – 2           Ответ: ______   

16) -10х – 6(-1 + 6х) = -6х – 4          Ответ: ______

Проверочный тест по теме: «Решение линейных уравнений»                     Вариант 2.

1. 10х + 4 = 7х + 19

      1) 1          2) -5          3) 12       4) 5

2.  9 – 6х = 8х + 7

     1)         2)           3) 1          4) — 5  

3. 5(х + 2) = 1

     1) 1,8        2)        3) -4        4) -1,8

4. 7(2х + 3) = 12х + 11        Ответ: ______
5. 7(-4 + х) + 3х = 4            Ответ: ______
6. 2(х + 7) – 9 = -2х             Ответ: ______
7. -3 (5 – х) = 11 + 2х          Ответ: ______ 
8.                       Ответ: ______
9.              Ответ: ______
10.          Ответ: ______       
11.         Ответ: ______
12.                             Ответ: ______
13.    Ответ: _____     
14. -3 + 4( х – 1) = 5 – 2х                 Ответ: _____ 
15. 2х – 3 + 2(х — 1) = 3х – 11          Ответ: _____
16. 9х – 7(-10 — 3х) = х — 17             Ответ: ______ 

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение линейных  уравнений».

Вариант 1.

1) 3

2)

3)  1

4) – 7, 5

5) 3

6) – 5,5

7) 4

8) – 0,6

9) — 7

10) 1,75

11) – 1,5

12)

13) 7

14) 4

15) – 2

16) 0,25

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение линейных уравнений».

Вариант 2.

1) 4

2) 2

3) 4

4) – 5

5) 3,2

6) – 1,25

7) 26

8) – 3

9) 1,8

10) 3

11) 2

12)

13)

14) 2

15) – 6

16) – 3

Проверочный тест по теме: «Решение квадратных уравнений»

Вариант 1.

1) Решите уравнение: х2 + 4х = 0

     1) 0; 4    2) 4        3) 0; -4        4) 1; -4      

2) Решите уравнение: 1 – 9у2= 0

Ответ: ________

3) Решите уравнение:  –у2 + 3 = 0

Ответ: ________

4) Решите уравнение:  х2 – 7х + 12 = 0

   1) -3; 4   2) -3; -4     3) 3; -4      4) 3; 4

5) Найдите наименьший корень уравнения:

     у2 + 8у + 15 = 0

Ответ: _______

6) Решите уравнение:   2х2 – 7х + 5 = 0

Ответ: _______

7) Найдите сумму корней уравнения:

    х2 – 13х + 40 = 0

Ответ: ________

8) Найдите наибольший корень уравнения:

    х2 = -15х – 56

Ответ: ________

9) Найдите произведение корней уравнения:

    х2 + 16х = — 63

Ответ: ________

10) Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

 а) х2 + 3х -4 = 0        б) х2 – 9 = 0        в) х2 — 10х + 25 =0

1) х1=-3, х2 = 3          2) х = 5      

3) х1=-4, х2= 1           4) нет корней

Ответ:

11) Найдите корни  уравнения:  4х +1= — 4х2

Ответ: ________

12) Решите уравнение:  

Ответ: ________

13) Решите уравнение: 5(х – 2) = (3х +2)(х – 2)

Ответ: ________

14) Решите уравнение:

Ответ: ________

Проверочный тест по теме: «Решение квадратных уравнений»

Вариант 2.

1) Решите уравнение:  3х2 — х = 0

    1) —    2) 0; 3    3) 0; 1     4)

2) Решите уравнение: 1 – 16у2= 0

Ответ: ____

3) Решите уравнение:  –у2 + 8 = 0

Ответ:_______

4) Решите уравнение: х2 — 8х + 15 = 0

   1) 3; 5     2) -3; -5     3) -3; 5      4) 3; -5

5) Найдите наибольший корень уравнения:

    2х2 + 3х + 1 = 0

Ответ: ________

6)Решите уравнение:  4х2 — 7х + 3 = 0

Ответ: ________

7) Найдите сумму корней уравнения:

    х2 – 17х + 42 =0

Ответ: ________

8) Найдите наименьший корень уравнения:

    х2 = 7х + 18

Ответ: ________

9) Найдите произведение корней уравнения:

    х2 + 9х = — 14

Ответ: ________

10) Соотнесите квадратные уравнения и их корни:

 а) х2 — х — 2 = 0        б) х2 – х = 0        в) х2 + 25 =0

1) х1=-1, х2 = 1          2) х1 = 0, х2 = 1      

3) х1=-1, х2= 2           4) нет корней

Ответ:

11) Найдите корни уравнения:  1 +4у = 5у2

Ответ: ________

12) Решите уравнение:  

Ответ: ________

13) Решите уравнение:  (х + 3)2 – 16 = (1 – 2х)2

Ответ: ________

14) Решите уравнение:  

Ответ: ________

   

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение квадратных  уравнений».

Вариант 1.

1) 3

2)

3)

4) 4

5) -5

6) 1;  2,5

7) 13

8) -7

9) 63

10)

а	б	в
3	1	2

11)  -0,5

12)  -0,75;   2,5

13) 1; 2

14) -4,8;  2

Ответы к проверочному тесту по теме: «Решение квадратных  уравнений».

Вариант 2.

1) 4

2) -0,25; 0,25

3)

4) 1

5) -0,5

6) 0,75;  1

7) 17

8) -2

9) 14

10)  

а	б	в
3	2	4

11) -0,2;  1

12) -0,25;  

13)

14) -0,8;  3

Линейные уравнения, квадратные уравнения и неравенства: как решать

Данную статью могу порекомендовать ученикам 8-9 классов. 2+3x-4>0 \)     D<0        -2<0     и у неравенства опять нет решений.

Кстати, подобное задание очень любят составители ОГЭ по математике.

Надеюсь, что статья оказалась полезной. Не делайте глупых ошибок!

Автор: Ольга Лардыго

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Системы линейных и квадратных уравнений

(см. также Системы линейных и квадратных уравнений)

	Линейное уравнение — это уравнение линии .
	Квадратное уравнение представляет собой уравнение параболы и имеет по крайней мере одну переменную в квадрате (например, х 2 )
	И вместе они образуют Систему Линейного и Квадратного уравнения

 

A Систему из этих двух уравнений можно решить (найти, где они пересекаются), либо:

• Использование алгебры
• Или Графически , как узнаем!

Как решать графически

Легко! Постройте оба уравнения и посмотрите, где они пересекаются!

Построение уравнений

Мы можем построить их вручную или использовать такой инструмент, как График функций.

Чтобы нарисовать их вручную:

• убедитесь, что оба уравнения имеют форму «y=»
• выберите некоторые значения x, которые, как мы надеемся, будут близки к пересечению двух уравнений
• вычислить значения y для этих значений x
• нанесите точки и посмотрите!

Выбор места для построения

Но какие значения мы должны построить? Зная центр поможет!

Возьмем квадратичную формулу и проигнорируем все после ±, получим центральное значение x:

Затем выберите несколько значений x с обеих сторон и рассчитайте значения y, например:

Пример: Решите эти два уравнения графически с точностью до 1 знака после запятой:

• y = x ² − 4x + 5
• у = х + 2

 

Найдите центральное значение X:

Квадратное уравнение: y = x ² − 4x + 5 , поэтому a = 1, b = −4 и c = 5

Центральный x = −b 2a = −(−4) 2×1 = 4 2 = 2

 

Теперь вычислите значения около x=2

x	Квадратичный x 2 − 4x + 5	Линейный x + 2
0	5	2
1	2
2	1
3	2
4	5
5	10	7

(Мы вычисляем только первую и последнюю часть линейного уравнения, так как это все, что нам нужно для построения графика.

)

 

Теперь нанесите их на график:

Мы можем видеть, что они пересекаются в точках около x = 0,7 и около x = 4,3

Выполним вычисления для этих значений:

х	Квадратичный x 2 − 4x + 5	Линейный x + 2
0,7	2,69	2,8
4.3	6,29	6,2

Да, они рядом.

До 1 знака после запятой две точки: (0,7, 2,8) и (4,3, 6,2)

Не может быть двух решений!

Возможны три случая:

• Нет действительного решения (возникает, когда они никогда не пересекаются)
• Одно действительное решение (когда прямая только касается квадрата)
• Два реальных решения (как в примере выше)

Время для другого примера:

Пример: Решите эти два уравнения графически:

• 4y − 8x = −40
• у — х ² = -9х + 21

Как мы их рисуем? Они не в формате «y=»!

Сначала преобразуйте оба уравнения в формат «y=»:

Линейное уравнение: 4y − 8x = −40

Прибавь 8x к обеим частям: 4y = 8x − 40

Разделим все на 4: y = 2x − 10

Квадратное уравнение: y − x ² = −9x + 21

Прибавь x ² к обеим частям: y = x ² − 9x + 21

 

Теперь найдите центральное значение X:

Квадратное уравнение y = x ² − 9x + 21 , поэтому a = 1, b = −9 и c = 21 06 −(−9 ) 2×1 = 9 2 = 4,5

Теперь вычислите значения около x=4,5

х	Квадратичный x 2 − 9x + 21	Линейный 2x − 10
3	3	−4
4	1
4,5	0,75
5	1
6	3
7	7	4

 

Теперь нарисуйте их:

Они никогда не пересекаются! нет решения .

 

Пример из реальной жизни

Бум!

Пушечное ядро ​​летит по воздуху по параболе:

y = 2 + 0,12x — 0,002x

2

92 для одной функции и 0,15x для другой.

Уменьшите масштаб, затем увеличьте масштаб там, где они пересекаются. Вы должны получить что-то вроде этого:

При достаточном увеличении мы можем найти, что они пересекаются на (25, 3,75)

Круг и линия

Пример: найти точки пересечения числа

• с точностью до 1 знака после запятой
• И прямая 3у — 2х = 6

 

Окружность

«Стандартная форма» уравнения окружности: (x-a) ² + (y-b) ² = r ²

Где (а, б) является центром окружность и r радиус.

Для x ² + y ² = 25 мы можем видеть, что

• a=0 и b=0, поэтому центр находится в точке (0, 0) ,
• и для радиуса r ² = 25 , поэтому r = √25 = 5

Нам не нужно составлять уравнение окружности в форме «y=», так как у нас достаточно информации, чтобы построить окружность.

 

Линия

Сначала поместите линию в формат «y=»:

Переместите 2x вправо: 3y = 2x + 6

Разделите на 3: y = 2x/3 + 2

9000 2 Сюжет на линии, выберем две точки по обе стороны от круга:

• at x = −6 , y = (2/3)( − 6) + 2 = −2
• в х = 6 , у = (2/3)(6) + 2 = 6

А теперь зарисуй их!

Теперь мы можем видеть, что они пересекаются на о (-4,8, -1,2) и (3,0, 4,0)

Точное решение см. Системы линейных и квадратных уравнений

 

8199, 8200, 8201, 8202, 8203, 8204, 8205, 8206, 8207, 8208

примеров квадратного уравнения | ВашСловарь

• ОПИСАНИЕ

  квадратное уравнение и определение

• ИСТОЧНИК

  Created by Karina Goto для YourDictionary

• РАЗРЕШЕНИЕ

  9 0002 Принадлежит YourDictionary, Copyright YourDictionary 

Что такое квадратное уравнение? Квадратное уравнение является уравнением второй степени, то есть оно содержит по крайней мере один член, возведенный в квадрат. Стандартная форма: ax² + bx + c = 0 с a , b и c — константы или числовые коэффициенты, а x — неизвестная переменная. Продолжайте читать примеры квадратных уравнений в стандартных и нестандартных формах, а также список членов квадратных уравнений.

Примеры уравнений стандартной формы

Самый простой способ выучить квадратные уравнения — начать со стандартной формы. Хотя не каждое квадратное уравнение, которое вы видите, будет иметь эту форму, все же полезно увидеть примеры. Имейте в виду, что первая константа

и не могут быть нулем.

Примеры стандартной формы квадратного уравнения (ax² + bx + c = 0):

• 6x² + 11x — 35 = 0
• 2x² — 4x — 2 = 0
• -4x² — 7x +12 = 0
• 20x² -15x — 10 = 0
• х² -х — 3 = 0
• 5x² — 2x — 9 = 0
• 3x² + 4x + 2 = 0
• -x² +6x + 18 = 0

Advertisement

Примеры неполных квадратных уравнений

По мере развития ваших навыков алгебры вы обнаружите, что не все квадратные уравнения имеют стандартную форму. Ознакомьтесь с примерами нескольких различных экземпляров нестандартных квадратных уравнений.

Отсутствует линейный коэффициент

Иногда квадратное уравнение не имеет линейного коэффициента или bx части уравнения. Примеры включают:

• 2x² — 64 = 0
• х² — 16 = 0
• 9x² + 49 = 0
• -2x² — 4 = 0
• 4x² + 81 = 0
• -x² — 9 = 0
• 3x² — 36 = 0
• 6x² + 144 = 0

Отсутствует постоянный член

В квадратных уравнениях также может отсутствовать постоянный член, или с . Например:

• х² — 7х = 0
• 2x² + 8x = 0
• -x² — 9x = 0
• х² + 2х = 0
• -6x² — 3x = 0
• -5x² + х = 0
• -12x² + 13x = 0
• 11x² — 27x = 0

Примеры квадратного уравнения в факторизованной форме

Факторинг — это один из способов решения квадратного уравнения. Вот примеры квадратных уравнений в факторизованной форме:

• (x + 2)(x — 3) = 0 [стандартная форма: x² — 1x — 6 = 0]
• (x + 1)(x + 6) = 0 [стандартная форма: x² + 7x + 6 = 0]
• (x — 6)(x + 1) = 0 [стандартная форма: x² — 5x — 6 = 0]
• -3(x — 4)(2x + 3) = 0 [стандартная форма: -6x² + 15x + 36 = 0]
• (x — 5)(x + 3) = 0 [стандартная форма: x² — 2x — 15 = 0]
• (x — 5)(x + 2) = 0 [стандартная форма: x² — 3x — 10 = 0]
• (x — 4)(x + 2) = 0 [стандартная форма: x² — 2x — 8 = 0]
• (2x+3)(3x — 2) = 0 [стандартная форма: 6x² + 5x — 6]

Объявление

Примеры квадратных уравнений в других формах

Примеры квадратных уравнений в других формах включают:

• x(x — 2) = 4 [при умножении и перемещении 4 становится x² — 2x — 4 = 0]
• x (2x + 3) = 12 [при умножении и перемещении 12 становится 2x² — 3x — 12 = 0]
• 3x(x + 8) = -2 [при умножении и перемещении -2 становится 3x² + 24x + 2 = 0]
• 5x² = 9 — x [переместите 9 и -x на другую сторону, получится 5x² + x — 9]
• -6x² = -2 + x [переместив -2 и x на другую сторону, получится -6x² — x + 2]
• x² = 27x -14 [переместив -14 и 27x на другую сторону, получится x² — 27x + 14]
• x² + 2x = 1 [переместите «1» на другую сторону, станет x² + 2x — 1 = 0]
• 4x² — 7x = 15 [переместите 15 на другую сторону, получится 4x² + 7x — 15 = 0]
• -8x² + 3x = -100 [переместив -100 на другую сторону, получится -8x² + 3x + 100 = 0]
• 25x + 6 = 99x² [перемещение 99x ² на другую сторону, становится -99 х² + 25 х + 6 = 0]

Advertisement

Термины для квадратных уравнений

Если вам нужно немного больше пояснений по квадратным уравнениям, ознакомьтесь со списком основных математических терминов.