Найти область сходимости ряда — примеры, решения
Пример 1:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 2:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
R — радиус сходимости. Вычислим его:
x1 = 2 — 1 = 1
x2 = 2 + 1 = 3
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (1;3)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 1 — точка сходимости.
При x = 3
получаем ряд:
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [1;3)
Пример 4:
Исследовать область сходимости функционального ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 5:
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом члены ряда не определены при х=-3/11, а если х≠-3/11, то
при любом х – ряд расходится всюду.
Пример 7:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
R — радиус сходимости. Вычислим его:
x1 = -1 — 2 = -3
x2 = -1 + 2 = 1
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -3
Получаем ряд:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется
1б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = -3 — точка расходимости.
При x = 1
получаем ряд:
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши.
Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 1 — точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-3;1)
Пример 8:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, ряд сходится, если
и расходится, если
Если x=4/9, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).
Если x=2/3, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (по признаку сравнения, т.к. и ряд расходится (гармонический ряд)).
Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [4/9;2/3).
Пример 9:
Найдите множество абсолютной (условной) сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Пример 10:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, ряд сходится, если
и расходится, если
Если x=-3/7, то ряд принимает вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами.
Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).
Если x=-1/7, то ряд принимает вид — такой ряд также сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11>1).
Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [-3/7;-1/7].
Пример 11:
Найдите множества абсолютной (условной) сходимости ряда
Решение от преподавателя:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
Проверяем выполнение признака Лейбница:
Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится.
Ряд знакочередующийся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда
По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
Второе условие Лейбница выполняется.
Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов.
Следовательно, ряд условно сходящийся.
Следовательно, сходится условно и исходный ряд.
Область сходимости ряда:(-∞; +∞)
Пример 12:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид — обобщенный гармонический ряд с параметром .
Такой ряд сходится, если
Однако и поэтому при любом х – ряд всюду расходится.
Пример 13:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
По признаку Лейбница ряд расходится
Т. о., область сходимости имеет вид (-1; 1)
Пример 14:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
Следовательно, ряд сходится, если
и расходится, если
Если x=1/6, то ряд принимает вид — такой ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).
Если x=3/2, то ряд принимает вид — такой ряд также расходится (также не выполнено необходимое условие сходимости).
Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: .
Пример 15:
Найти область сходимости ряда:
Решение от преподавателя:
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
32. Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
пример:
Найти
радиус и интервал сходимости степенного
ряда
.
Решение.
Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид . Вычислим радиус сходимости:
Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).
33. Свойства степенных рядов
. Свойство1. Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости Свойство 2. Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
,для всех .
Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех .
34 Ряды Тейлора и Маклорена.
Теорема
если
в интервале
функция
имеет
производные любого порядка и все они
по абсолютной величине ограничены одним
и тем же числом, т.
е.
,
то ряд Тейлора этой функции сходится
к
для
любого х из этого интервала
,
т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
35. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1. . Для этой функции , . По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
. (3.3) Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
.Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении .Все производные функции на любом отрезке ограничены, т. е
. Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
.
36. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов
Для вычисления приближенного
значения функции f (x)
в ее разложении в степенной ряд сохраняют
первые n членов
(n –
конечная величина), а остальные члены
отбрасывают.
Для оценки погрешности
полученного приближенного значения
необходимо оценить сумму отброшенных
членов.
Если данный ряд
знакопостоянный, то ряд, составленный
из отброшенных членов, сравнивают с
бесконечно убывающей геометрической
прогрессией.
Если данный ряд
знакочередующийся и его члены удовлетворяют
признаку Лейбница, то используется
оценка
,
где
.
Ряд в квадратных скобках сходится тем быстрее, чем больше t.
Пример 1. Оценить погрешность приближенного равенства
, .
37) Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы
.
Кроме того, читатель должен понимать
геометрический смысл определенного
интеграла и обладать элементарными
навыками интегрирования.На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но геометрически всё хорошо:
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея
метода состоит в том, чтобы заменить
подынтегральную функцию соответствующим
степенным рядом.
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на урокеРазложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых пойдет вещь, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение: В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требуетзаписывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Когда больше – это несчастный случай, так как, скорее всего, придется переписывать заново задание.
Следует также
отметить, что точность до трёх знаков
после запятой самая популярная.
Также
в ходу и другая точность вычислений,
обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения: Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся на уроке Разложение функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиков функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку:
Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника
вычислений стандартна: сначала подставляем
в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль.
Для
вычислений используем калькулятор:
Заметьте, что для решения хватило первых трёх членов ряда, поскольку уже третий член меньше требуемой точности 0,001. Данный член ряда обычно не приплюсовывают к результату, именно поэтому для окончательного расчёта выбраны только первые два числа: .
Ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Отметим еще один факт: – каждый следующий член ряда по модулю (без учёта знака) меньше, чем предыдущий. Почему члены ряда неизбежно убывают по модулю? Потому-что полученное нами разложение в ряд сходится к функции на отрезке интегрирования .
Радиус конвергенции — узнайте и поймите это онлайн
Когда вы тренируетесь бросать мяч в цель, вы начинаете с того, что стоите на одном месте, пока не сможете поразить цель несколько раз. Затем вы начинаете задаваться вопросом, как далеко вы можете отойти от своего первоначального места и по-прежнему попадать в цель.
Может быть, вы можете отойти на фут от исходной точки и по-прежнему поразить цель, но если вы сделаете еще больше, вы промахнетесь. Это расстояние от начальной точки, где все еще работает, похоже на радиус сходимости 9n,\]
верно только одно из следующих трех утверждений:
(a) Ряд сходится только для \(x=x_0\).
(б) Ряд сходится для всех \(х\).
(c) Существует число \(R>0\) такое, что ряд сходится при \(|x-x_0| < R\) и расходится при \(|x-x_0| > R\) .
Число \(R\) в случае (с) известно как радиус сходимости степенного ряда, а интервал сходимости есть интервал, состоящий из всех точек \(х\), где ряд сходится. 9n ,\]
связь между радиусом сходимости и интервалом сходимости показана в таблице ниже.
Таблица 1. Зависимость радиуса сходимости от интервала сходимости.
| Radius of convergence | Interval of convergence |
\(R=0\) | \(\{x_0\}\) |
\(R=\infty\) 92+\dots,\] где \(x\) — переменная, а \(x_0\) и \(c_n\) — действительные числа. Для каждого значения \(x\) ряд может сходиться или расходиться. радиус сходимости ряда — это то, что скажет вам, при каких значениях \(х\) он сходится. Проверка отношения и радиус сходимостиДля расчета радиуса сходимости степенного ряда можно использовать проверку отношения (или иногда проверку корня). 9\infty a_n\). Пусть \[L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\] 1. если \(L<1\) , то ряд абсолютно сходится (а значит, сходится). 2. если \(L>1\), то ряд расходится. 3. если \(L=1\), то ряд может быть расходящимся, условно сходящимся или абсолютно сходящимся. Посетите статьи Ratio Test и Root Test для получения дополнительной информации! Давайте рассмотрим пример того, как использовать тест отношения для получения радиуса сходимости. 9п}\право| \\ &=|х|. \end{align}\] Тест отношения говорит, что он сходится, если \(|x|<1\), и, следовательно, радиус сходимости равен \(R=1\). Чтобы узнать больше об этом типе рядов, посетите статью Геометрические ряды. Радиус сходимости \(\sin (x)\)Чтобы вычислить радиус сходимости функции \(\sin x\), помните, что вы можете переписать функцию, используя ее ряды Тейлора или Маклорена. Ряд Маклорена функции \(\sin x\) равен 9п}{п}}\право| &= 5|х-2| \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} \\ &= 5|x-2|.\end{align}\] Вы можете разложить \(5|x-2 |\) выходит за пределы предела, потому что он не зависит от \(n\). Напоминание о том, почему предел \(\frac{n}{n+1}\) равен \(1\), см. в статье Limit of a Sequence. По критерию отношений у вас есть, что ряд сходится, когда \(5|x-2|<1\), то есть когда \[\frac{9}{5} < x < \frac{11 }{5} .\] Наконец, осталось посмотреть, что происходит в конечных точках \(x=\dfrac{9\infty\frac{1}{n}, \end{align}\] , который расходится. Итак, \(x=\dfrac{11}{5}\) не находится в интервале сходимости. Следовательно, значения \(x\), при которых ряд сходится, равны \[\frac{9}{5} \leq x < \frac{11}{5},\] , а интервал сходимости \[ \left[ \frac{9}{5} ,\frac{11}{5} \right).
исчисление. Степенные ряды и интервалы сходимостиЗадать вопрос спросил Изменено 4 года, 10 месяцев назад Просмотрено 350 раз Во время преподавания степенных рядов в моем классе по математическому анализу возник интересный вопрос. Должен ли интервал сходимости степенного ряда (действительных переменных) быть интервалом или он может быть объединением непересекающихся интервалов? Мне кажется, что, поскольку интервал обычно находится с использованием определения геометрического ряда или теста отношения, оба из которых включают решение неравенства меньше, чем x, интервал должен быть именно таковым, интервалом (или просто интервалом). множество мощности 1, содержащее только центр ряда). Любое понимание, которое вы можете дать мне по этому поводу (например, контрпримеры или лучшее объяснение), будет очень признательно. Спасибо! 9n$$ (с центром в нуле, хотя это не важно). |
\(c_n\) называются коэффициентами ряда.
n .\ ] 9n\) — степенной ряд относительно \(x_0\).
Я дал ответ, который я считаю правильным, но я не уверен, почему он правильный, кроме как «по определению», но я чувствую, что это отговорка, чтобы сказать, что «поскольку это интервал сходимости , он должен быть интервал» (ведь есть случай, когда интервал сходимости — это просто множество с одним элементом).
Вопрос был такой: