Интервал сходимости степенного ряда онлайн: Интервал сходимости степенного ряда

{n}$$ можно найти по формуле:

$$R=\lim_{n \to \infty }\left |\frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |$$.

Так как $$c_{n}=\frac{n!}{2n}$$, а $$c_{n+1}=\frac{(n+1)!}{2(n+1)}$$, то

$$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{2n!(n+1)}{2n(n+1)!}$$,

$$\frac{c_{n}}{c_{n+1}}=\frac{n!(n+1)}{n(n+1)n!}=\frac{1}{n}$$.

Тогда, $$R=\lim_{n \to \infty }\left |\frac{c_{n}}{c_{n+1}} \right |=\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n}=0$$ .

Факториалом натурального числа $$n$$ называют произведение натуральных чисел от $$1$$ до $$n$$ включительно:
$$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot (n-1)\cdot n$$.

Можно записать:
$$(n+1)!=n!(n+1)$$.

Выберите один из вариантов

$$\infty$$

Интервал сходимости ряда $$\sum_{n=2}^{\infty }\frac{x^{n}}{(\ln n)^{n}}$$ имеет вид:

Интервал $$(-R;R)$$ называют интервалом сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$. {n}$$ сходится в единственной точке.

Выберите один из вариантов

$$(-2;2)$$
$$(-\infty ;0)$$
$$(-1;+1)$$
$$(-\infty ;+\infty )$$
$$(0 ;+\infty )$$

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{(n+3)^{n}}$$ равен:

Радиус сходимости ряда $$\sum_{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$$ можно найти по формуле:
$$R=(\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c_{n}})^{-1}$$. {n}$$ может или сходиться или расходиться.

Введите ответ в поле

Содержание

Функциональные ряды Степенные ряды. (Семинар 27)

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Функциональные ряды Степенные ряды. (Семинар 27). Доклад-сообщение содержит 11 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Семинар 27 Функциональные ряды Степенные ряды

Слайд 2

Описание слайда:

Ряд, элементами которого являются функции, называется функциональным Ряд, элементами которого являются функции, называется функциональным рядом. Обозначение (*), где — определены и непрерывны в одном и том же интервале. Ряд (*) для одних значений х может сходиться, а для других расходиться. Значение , при котором числовой ряд сходится, называется точкой сходимости ряда (*). Совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда, или говорят, что ряд сходится в данной области. Областью сходимости обычно бывает какой-либо интервал оси ОХ. — n –ая частичная сумма; остаток ряда. Если ряд сходится, то Определение Функциональный ряд (*) называется правильно сходящимся в области D, принадлежащей области сходимости ряда, если в области D все его элементы

Слайд 3

Описание слайда:

по абсолютной величине не превосходят соответствующих элементов по абсолютной величине не превосходят соответствующих элементов некоторого числового ряда с положительными элементами. Это значит, что во всех точках области D должно выполняться неравенство , где — элемент сходящегося ряда Этот ряд называется мажорирующим по отношению к ряду (*). Свойства правильно сходящихся рядов Сформулируем основные теоремы о правильно сходящихся рядах, которые дают ответ на вопрос о переносе на ряды свойств сумм конечного числа функций. Во всех теоремах предполагается, что область правильной сходимости ряда есть некоторый интервал оси ОХ. Теорема 1 Если ряд из непрерывных функций правильно сходится в области D, то его сумма есть функция непрерывная в этой области. Так ряд сходится правильно в любом интервале. Следовательно, его сумма S(x) – непрерывная функция.

Слайд 4

Описание слайда:

Теорема 2 Если ряд из непрерывных функций правильно сходится, то Теорема 2 Если ряд из непрерывных функций правильно сходится, то интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от этих функций: (*) Короткая формулировка.

Правильно сходящийся ряд можно поэлементно интегрировать. Теорема 3 Если ряд составленный из функций, имеющих непрерывные производные, сходится в области D и его сумма равна S(x), а ряд из производных сходится в этой области правильно, то производная суммы ряда S’(x) равна сумме ряда из производных Короткая формулировка. Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда, сходится правильно, то его можно поэлементно дифференцировать.

Слайд 5

Описание слайда:

Определение Определение Степенным рядом называется функциональный ряд , элементы которого произведения постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности . — коэффициенты степенного ряда (обычно действительные функции). В частности, если ,то мы будем иметь степенной ряд, расположенный по степеням x , т.е. Теорема Абеля Если степенной ряд (*) сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно, в интервале , т. е. при всяком x , удовлетворяющем условию . Область сходимости степенного ряда Здесь возможны три случая:

Слайд 6

Описание слайда:

Здесь возможны три случая: Здесь возможны три случая: 1. Область сходимости состоит только из одной точки х=0, то есть ряд расходится для всех значений х, кроме х=0. 2. Область сходимости состоит из всех точек оси ОХ, то есть ряд сходится при всех значениях х. 3. Область сходимости состоит более чем из одной точки оси ОХ, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости. Таким образом, для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех х по модулю меньшим R ( ), ряд абсолютно сходится, а для всех |x|>R ряд расходится. При x=R и x=-R различные варианты: А) ряд сходится в обеих точках. Б) ряд сходится в одной из точек. В) ряд расходится в обеих точках.

Слайд 7

Описание слайда:

Определение Определение Радиусом сходимости степенного ряда (*) называется такое число R, что для любых х, |x|<R, степенной ряд сходится, а для всех х, |x|>R, расходится. Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости. Считаем, что если ряд расходится для любого х, кроме х=0, R=0. Если ряд сходится при всех х, то считаем или . Для ряда центр интервала сходимости в точке ( а не х=0) и интервал сходимости .

Способ отыскания радиуса сходимости степенного ряда Отметим, что для нахождения радиуса сходимости можно исследовать ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, то есть (**) так как интервалы сходимости ряда (*) и ряда (**) совпадают. К ряду (**) применим признак Даламбера. будет содержать |x| или степень |x|. Для тех значений х, при которых получаемый предел меньше 1, ряд сходится, а для тех, при которых x>1, ряд расходится.

Слайд 8

Описание слайда:

Отсюда следует, что значения |x|, при которых этот предел равен 1, и будет Отсюда следует, что значения |x|, при которых этот предел равен 1, и будет являться радиусом сходимости ряда. Может случиться, что найденный предел при всех х будет равен 0. Это означает, что ряд (*) сходится при всех х и .

Наоборот, если для любых х кроме х=0 предел равен бесконечности, то ряд будет везде расходиться, кроме х=0, то есть R=0. Примеры с решениями 1. Дан функциональный ряд Исследовать сходимость ряда в точках x=0 и x=1. Решение: В точке x=0 получаем ряд Применим признак Даламбера — ряд расходится. В точке x=1 получаем ряд По признаку Даламбера ряд расходится.

Слайд 9

Описание слайда:

2. Найти область сходимости ряда 2. Найти область сходимости ряда Решение.Общий элемент ряда Если |x|<1,то , следовательно ряд расходится. Если |x|=1, то также получаем расходящийся Ряд Если |x|>1, то элементы заданного ряда меньше элементов бесконечно убывающей геометрической прогрессии , т.

е ряд сходится при |x|>1. 3.Исследовать сходимость степенного ряда Решение. Найдем радиус сходимости ряда: Следовательно, ряд сходится для значений x, удовлетворяющих неравенству 1<x<1. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка.

Слайд 10

Описание слайда:

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x=1, то получаем Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x=1, то получаем расходящийся гармонический ряд. Если x=-1, то получаем знакочередующийся ряд, который условно сходится по признаку Лейбница. Итак, область сходимости степенного ряда определяется неравенством 4. Исследовать сходимость степенного ряда Решение. Найдем радиус сходимости ряда: Тогда ряд сходится для значений x, удовлетворяющих неравенству -1<x-2<1, т.е. 1<x<3. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x=1, то получаем сходящийся ряд обратных квадратов. Если x=-1, то получаем знакочередующийся ряд обратных квадратов, который является абсолютно сходящимся. Итак, область сходимости степенного ряда определяется неравенством

Слайд 11

Описание слайда:

5.Исследовать сходимость степенного ряда 5.Исследовать сходимость степенного ряда Решение. Найдем радиус сходимости ряда: . Ряд сходится только при x-5=0, т.е. в точке x=5. Примеры для самостоятельного решения Найти области сходимости функциональных рядов: 1) 2) 3) 2. Найти области сходимости ст. рядов: 1) 2) 3) 3. Найти сумму ряда, используя поэлементное дифференцирование или интегрирование: 1) +… 2)

Упражнения: Степенные ряды и сходимость

Упражнения, относящиеся к степенным рядам и их свойствам сходимости.

Вычислите радиус сходимости приведенного ниже степенного ряда.

Когда вычисление предела, как помнить эффект порядков роста: , и так из с точки зрения предела, как в числителе, так и в знаменателе оба незначительный.

Вычислите радиус сходимости приведенного ниже степенного ряда.

При расчете ограничить, как помнить, что мы уже знаем, и это тоже, поэтому мы ожидаем, как хорошо.

Вычислите радиус сходимости приведенного ниже степенного ряда.

Вычислите интервал сходимости для приведенного ниже степенного ряда. Левая конечная точка интервал ; это не входит в интервал сходимости. Правая конечная точка интервала ; это не Изида входит в интервал сходимости.

Переиндексируйте приведенный ниже ряд:

Дифференцируйте приведенный ниже ряд почленно: (Обратите внимание, что член исчезает, потому что производная константы равна нулю.)

Интегрируйте приведенный ниже ряд почленно:

Для каждого шага ниже примените почленную операцию, умножение на моном или замена для получения формулы нового ряда из известного формула.

Используйте формулу для получения формулы суммирования для , т. е.
Используйте формулу, которую вы вывели выше, чтобы разработать разложение степенного ряда для арктангенс:
Радиус сходимости последнего ряда равен .

Используйте формулу для определения суммы ряда ниже для : (Не забудьте абсолютные значения, если они вам нужны.)
Используйте формулу, которую вы только что вывели, чтобы определить сумму ряда
Используйте формулу, которую вы только что вывели, чтобы определить сумму ряда

Примеры вопросов викторины

Найдите полный интервал сходимости степенного ряда (Подсказки не раскрываются до тех пор, пока вы не выберете ответ.)

Сначала заметьте, что, поскольку в силу правила Лопиталя, применяемого к обоим ограничениям на правая сторона.

Это означает, что радиус равен . В конце серии равно который расходится тестом расходимости -th срок, потому что . В конечной точке, равен ряду, который расходится по той же причине, что и другая конечная точка, т. е. члены не стремитесь к нулю.

Найти полный интервал сходимости степенного ряда (Подсказки не раскрываются до тех пор, пока вы не выберете ответ.)

Это означает, что радиус равен . В конце серии равен, который расходится прямым сравнением с гармоническим рядом, т. е. -рядом с . В конце равен ряд, который сходится по знакопеременным тест серии, потому что знаки слагаемых чередуются и уменьшаются до нуля при .

Найдите полный интервал сходимости степенного ряда

Сначала заметим, что поскольку в знаменателе стремится к и Это означает, что радиус бесконечен, а интервал сходимости равен .

Примеры экзаменационных вопросов

При каких значениях ряд сходится?

Найдите интервал сходимости приведенного ниже степенного ряда.

Найдите интервал сходимости степенного ряда .

Калькулятор радиуса сходимости | Онлайн-калькулятор

Бесплатный онлайн-калькулятор радиуса сходимости для оценки радиуса сходимости степенного ряда. Просто введите свою функцию и диапазон переменных в заданных разделах ввода и нажмите кнопку расчета, чтобы получить мгновенный вывод вместе с подробной процедурой.

Калькулятор радиуса сходимости: Если вы хотите узнать радиус сходимости уравнения степенного ряда и вам нужна помощь? Тогда мы здесь, чтобы помочь вам с любыми математическими решениями. Взгляните на Калькулятор радиуса сходимости, чтобы решить функцию степенного ряда за считанные секунды. В этой статье дается подробное описание шагов по решению радиуса сходимости вручную, и мы объясним это на нескольких примерах.

Выполните следующие простые шаги, чтобы узнать радиус сходимости степенного ряда

Возьмем степенной ряд
Рассмотрим значение x, при котором будет сходиться степенной ряд
Чтобы получить радиус сходимости, найдите отношение test
И оцените функцию в соответствии с тестом отношения
Тест отношения даст вам предельное значение
Подставьте предельное значение, чтобы получить R т.е. радиус конвергенции

Пример

Вопрос: Найдите радиус сходимости степенного ряда сигма n=к бесконечности 2 ⁿ /nx(4x-8) ⁿ

Решение:

Возьмем 0 Cn40=2 9 /nx(4x-8) ⁿ

Мы знаем, что этот степенной ряд будет сходиться при x=2

Для приведенного выше степенного ряда проверка отношения будет

L=Cn+1/Cn

L= от n до бесконечности 2 ⁿ⁺¹ (4x-8) ⁿ⁺¹ /n+1*n/2 ⁿ (4x-8) ⁿ

предел n в бесконечность 2n(4x-8)/n+1

(4x-8) предел n в бесконечность 2n/n+1

=2(4x-8)

Итак, мы получим приведенная ниже информация о сходимости из этого

(x-2)>1/8

Итак, радиус сходимости степенного ряда R=1/8

Ознакомьтесь с большой коллекцией калькуляторов по математике, каждый из которых содержит подробную информацию в одном месте.

Функциональные ряды Степенные ряды. (Семинар 27)

Упражнения: Степенные ряды и сходимость

Примеры вопросов викторины

Примеры экзаменационных вопросов

Калькулятор радиуса сходимости | Онлайн-калькулятор

Добавить комментарий Отменить ответ