Иррациональные числа. Что такое иррациональное число?
Нечетные числа можно узнать по специальным буквам, используемым для их обозначения, или по записи их в виде десятичных чисел без окончания. Выражения этого типа можно легко отличить по наличию корня. С этими величинами можно производить те же операции, что и с другими вещественными числами. Их можно умножать, складывать, сравнивать и так далее.
Иррациональные числа
Если при решении математической задачи получается дробь, в которой числитель не может быть полностью разделен на знаменатель, то это иррациональное число.
Есть еще одно условие для того, чтобы такая дробь была иррациональным числом. Это отсутствие точек в последовательности цифр после десятичной точки, т.е. нет периодической последовательности чисел.
Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено как полный коэффициент деления двух целых чисел.
Внимание. Если преподаватель обнаружит плагиат в вашей работе, вам не избежать значительных проблем (вплоть до отчисления).
Если вы не можете написать работу самостоятельно, закажите ее здесь.
Даже математикам древности приходилось сталкиваться с таким разнообразием. Для них, например, было ясно, что диагональ квадрата нельзя разделить на длину его сторон, чтобы получить дробь, которая не является бесконечной. Аналогичным образом характеризуется отношение постоянной π выбранной окружности к ее диаметру.
Проще говоря, если обычная десятичная дробь имеет бесконечное число десятичных знаков и не содержит повторений периода, то она является представителем иррационального множества.
Чтобы понять это, мы можем обратиться к примерам: √2 = 1,41421356. ; -√11= -3.31662…; π = 3,1415926.
Термин для обозначения этой категории чисел состоит из двух частей: ratio, что означает «пропорция», и ir, что означает «отрицание». Поэтому слово «иррациональный» было зарезервировано для дробей, которые не дают определенного соотношения.
Например, диагональ квадрата, сторона которого равна 1, не может быть представлена рациональным числом, но имеет определенное числовое выражение.
К таким случаям также относятся √5, √7, √10. Для выражения таких значений был введен набор иррациональных чисел, каждое из которых может быть представлено бесконечной непериодической дробью (в отличие от рациональных чисел, которые могут быть представлены периодической десятичной дробью).
Виды, место в общей классификации, как обозначаются
В числовой классификации иррациональные числа занимают четкое место рядом с рациональными, которые делятся на целые и дробные.
Буква I используется для обозначения количества. Математическое выражение выглядит следующим образом.
Алгебраические и трансцендентные
В алгебре множества, которые могут быть квадратными корнями с целыми коэффициентами многочленов, принадлежат алгебраическому множеству. Те, кто не может выступать в этой роли, образуют другую группу — трансценденты.
Происхождение термина «трансцендентальный» объясняется его переводом с латыни: transcendentis — выходящий за пределы. Таким образом, эти величины находятся вне множества чисел, которые могут быть квадратным корнем из целого коэффициента различных полиномов.
Впервые о необходимости такого набора упомянул Леонгард Эйлер в 1775 году. Стоит отметить, что во времена его творчества трансцендентальные ценности еще не были известны.
Математики не могли вычислить их парадигму в течение многих лет. Только в 1844 году Дж. Луисвилл передал всем свою парадигму. Его теорема стала новаторской для теории диофантовых приближений.
Алгебраические числа минимально аппроксимируются рациональными числами, в частности, если алгебраическое число αn (n — наименьшая степень многочлена P(x) с целыми коэффициентами такого, что P(α)=0), то для любой дроби p/q имеет место выражение:
Где C — константа, зависящая от α.
Все числа вида m/n, для которых n не равно нулю, а m и n представлены целыми числами, являются алгебраическими. Для них выполняется равенство: nx-m=0.
Помимо рациональных чисел, алгебраические числа также включают иррациональные числа, которые характеризуются формулой n √m. В данном случае m и n представлены целыми числами, причем n больше или равно 2.
При любой операции с алгебраическими числами (сложение, вычитание, деление или умножение) результатом является алгебраическая величина. Более того, корни многочленов, коэффициенты которых также принадлежат этому множеству, являются алгебраическими.
Для чего они используются
В математике использование иррациональных чисел объясняется перечнем их свойств. Например, не всегда нужно точно определять значение, получаемое квадратным корнем из 2. В геометрии, например, длина гипотенузы часто измеряется только приблизительно (1,4, 1,41 и т.д.). Точное выведение квадратного корня из 2 необходимо только при работе с абстрактной математической моделью.
Однако такие ситуации существуют в науке. Поэтому существование множества иррациональных чисел оправдано. Их можно использовать для вычисления части Дедекинда в рациональных числах, где наибольшая часть отсутствует в нижней части, а наименьшая — в верхней.
Представители иррациональных величин позволяют сжать числовую линию с нанесенными рациональными величинами, так что между каждой такой парой можно написать иррациональную.
Бывают случаи, когда сложение двух иррациональных значений приводит к рациональному значению.
Например, сложение корня из семи (любой степени) и такого корня из семи, только со знаком минус, приводит к рациональному числу, а именно 0.
Сумма двух положительных иррациональных чисел также может быть рациональным значением. Однако сложение рационального и иррационального числа всегда приводит к представительному иррациональному числу. Это свойство называется незамкнутостью множества.
Можно сделать вывод, что введение набора иррациональных чисел необходимо для повышения точности. Например, когда между натуральными числами один и два не было промежуточных значений, необходимо было ввести их, чтобы расширить диапазон точности.
Определение иррациональных чисел
Иррациональное число — это действительное число, которое не может быть выражено в виде деления двух целых чисел, то есть в виде рациональной дроби:
Она может быть выражена в виде бесконечного непериодического десятичного числа.
Бесконечное ni
Онлайн-подготовка к GCSE по математике — отличный способ снять стресс и закрепить свои знания перед экзаменом.
- π = 3,1415926.
- √2 = 1,41421356.
- e = 2,71828182…
- √8 = 2.828427.
- -√11= -3.31662…
Теперь давайте рассмотрим противоположное определение этой темы.
Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде положительной или отрицательной дроби или в виде нуля. Если число можно получить путем деления двух целых чисел, то оно является в точности рациональным числом.
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде:
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Свойства иррациональных чисел
Рациональные числа — это все натуральные числа, целые числа, обычные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные числа.
Множество рациональных чисел обычно обозначается латинской буквой Q.
- результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
- результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
- результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
- результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).
Примеры рациональных чисел:
Определение рациональных чисел
Рациональные числа имеют определенные закономерности и определенные свойства — рассмотрим каждое из этих свойств. Пусть a, b и c — любые рациональные числа.
Основные свойства операций с рациональными числами
- десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
- десятичная дробь 0,2 — это 1/5;
- целое число 0 — это 0/1;
- целое число 6 — это 6/1;
- целое число 1 — это 1/1;
- бесконечная периодическая дробь 0,33333. — это 1/3;
- смешанное число
- отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.
- Переместительное свойство сложения: a + b = b + a.
- Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c).
- Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a.
- У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0.
- Переместительное свойство умножения: ab = ba.
- Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c).
- Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a.
- У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1.
- Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.
Иррациональные числа — презентация онлайн
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике.
Базовый уровень Сложные задачи
8 класс
Рассмотрим бесконечную десятичную дробь
0,1011011101111…
Данная бесконечная десятичная дробь по
определению
не является
рациональным.
Иррациональное
число – десятичная
бесконечная
периодическая
дробь.
Значит эта дробь
«не рациональное» число.
«НЕ» заменим приставкой «ИР».
0,1011011101111… J
Получим «иррациональное» число.
Рассмотрим примеры иррациональных чисел.
Иррациональное нельзя представить в виде дроби
т0,где
1011011101
111
…
т – целое число, п – натуральное.
п7,010011000111…
5,020022000222..
3,1415926…
Натуральные числа
Сумма и произведение натуральных
чисел есть число натуральное.
1, 2, 3, 4, 5, 6…
n — натуральное
Дроби появились при исчислении времени.
23
;
67
5
;
1
21
;
5
1
;
8
3
;
16
1
;
3600
34
;
1
1
;
123
1
;
16
1
.
2
1
;
4
1
;
100
Числа,
им противоположные
6
5
4
3
2
1
Натуральные числа
1 2 3 4 5 6
Z
Целые
Целые числа
Сумма, произведение и разность
целых чисел есть число целое.
m
— целое
m Z
…-3;-2;-1;0,1, 2, 3,…
Целые числа
Дробные числа
2/7
2
5
7,
1
3,
2
0,(2) 0,1
1
0
-4
9
58
10
Q
Рациональные
Рациональные числа
r — рациональное
r Q
Сумма, произведение, разность и
частное рациональных чисел есть
число рациональное.
11. Иррациональные числа – это бесконечные десятичные непериодические дроби.
• 2,121121112…• 7, 02002…
• -1,1010010110…
Бесконечная десятичная дробь
Периодическая
Рациональные числа
m
n
Непериодическая
Иррациональные числа
(«ир»- «отрицание»)
Действительные
числа R
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Изученные множества чисел
обозначаются следующим образом:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
I – множество иррациональных чисел.
Отношения между множествами чисел
наглядно демонстрирует геометрическая
иллюстрация – круги Эйлера
R
Q
Z
N
Леонард Эйлер
(Россия, середина XYΙΙΙ века)
16. Укажите, рациональное или иррациональное это число?
432-3,2
0,1010010001…
5,13113111…
1,2333…
-2,121121112…
-10,353535…
Рациональные
Иррациональные
-3,2; 1,2333… ; 432 ;
5,13113111…
-10,353535…
0,1010010001…
-2,121121112…
Действительные числа
Рациональные
числа
Целые числа
Отрицательные
числа
Нуль
Положительные
числа
Иррациональные
числа
Дробные числа
Обыкновенные
дроби
Конечные
Бесконечные
непериодические
дроби
Десятичные
дроби
Бесконечные
периодические
English Русский Правила
Иррациональные числа — Math Images
From Math Images
Перейти к: навигация, поиск
Иррациональное число — это число, которое не может быть выражено в форме m/n, где n не равно нулю, а m и n — целые числа.
С точки зрения непрофессионала, никакое иррациональное число не может быть представлено в виде дроби с целыми числами в качестве числителя и знаменателя. Применяя пифагорейскую математику, если мы предположим, что m и n — отрезки, отношение длин сторон будет несоизмеримым. Более того, если иррациональные числа не могут быть выражены в виде простой дроби, то невозможно выразить иррациональное число в виде десятичного числа с завершающей запятой или с периодическими (повторяющимися) десятичными знаками. Все десятичные эквиваленты иррациональных чисел непериодичны. Прекрасным примером этого является иррациональное число пи. После запятой следует бесконечное количество значений, поэтому много раз число пи для удобства приближается только к первой паре значащих цифр. Иррациональные числа могут быть представлены в виде сурдов для использования в вычислениях.
Содержание
- 1 ИСТОРИЯ
- 2 Концептуализация и представление иррациональных чисел
- 3 трансцендентных числа
- 4 Ресурсы
История
Греческий
Он постулировал, что отношение гипотенузы к стороне треугольника единичной длины несоизмеримо (т.
Индийский
Приблизительно с 800 г. до н.э. или ранее в ведической математике начали появляться понятия, включающие числа, невыразимые как отношения. Доказательства этого исследования присутствуют в Сульбха-сутрах и Брахманах. К 4-му и 5-му векам нашей эры индийские математики придумали термин асанна, который означал приблизительно для представления чисел, которые не могли быть представлены как отношения длин (4, стр. 215). Несоизмеримость стала точкой или критическим исследованием с 10 века нашей эры. Изучение несоизмеримых длин породило исследования сурд-арифметики, а также рационализации как средства вычисления и разрешения иррациональных чисел. Сурд — это архаичный термин для обозначения иррационального числа.
Концептуализация и представление иррациональных чисел
Концепция числовой прямой позволяет представить на прямой все действительные числа (действительным числом является любое рациональное или иррациональное число). Поскольку и рациональные, и иррациональные числа действительны, мы можем разместить на числовой прямой и рациональные, и иррациональные числа. Чтобы идентифицировать иррациональные числа, мы часто применяем Сокращения Дедекинда Ричарда Дедекинда. При любом разделении всех рациональных чисел на 2 группы, причем первой группы меньше, чем второй группы, найдется число, занимающее точку разделения. Эта точка разделения — иррациональное число». Кроме того, если множество иррациональных чисел является плотным множеством, то между каждым рациональным числом есть иррациональное число. Множество иррациональных чисел несчетно, и существует бесконечность иррациональных чисел.
Иррациональные числа, представленные в виде десятичной дроби, имеют бесконечное число значений после запятой. Бесконечное количество значений показывает, что нет конечного десятичного числа, и их десятичное представление не является точкой.
Трансцендентные числа
Мы можем использовать иррациональные числа, чтобы исследовать эту концепцию трансцендентных чисел. Сначала мы определяем алгебраические числа: это числа, являющиеся корнями ненулевых целых многочленов. Все рациональные числа алгебраичны. Трансцендентные числа — это числа, которые не являются алгебраическими. Тогда ясно, что трансцендентные числа противоположны алгебраическим числам. Все трансцендентные числа иррациональны. Заметим, однако, что хотя все трансцендентные числа иррациональны, не все иррациональные числа являются трансцендентными числами. Примеры трансцендентных чисел включают e, pi и значения тригонометрических функций. Трансцендентные числа появляются в различных областях и дисциплинах.
Ресурсы
1. Фланнери, Дэвид. «Квадратный корень из 2». Springer.com. Издательство Praxis, 2006. Интернет. 17 ноября 2012 г. http://www.springer.com/mathematics/book/978-0-387-20220-4>. 2. Мэннинг, Генри Паркер. Иррациональные числа и их представление последовательностями и рядами. Нью-Йорк: Дж. Вили и сыновья; [и др., 1906. 3. Нивен, Иван. Иррациональные числа. [Буффало]: Математическая ассоциация Америки; Распространяется Дж. Вили [Нью-Йорк, 1956. Печать. 4. Селин, Хелен. Математика в разных культурах: история незападной математики. Дордрехт: Kluwer Academic, 2000. Печать.
— Хджамисон 21:34, 17 декабря 2012 г. (EST)
иррациональные номера — Концепция и ее использование
Ключевые понятия
• Фракция
• Рациональное число
• Десятичное число
• Повторяюще
• Иррациональное число
• Квадратный корень
• Полный квадрат
Иррациональные числа: Иррациональное число — это тип действительного числа, который не может быть представлен в виде простой дроби. Его нельзя выразить в виде соотношения. Когда иррациональные числа выражены в десятичной форме, они продолжаются вечно, даже после десятичной точки без повторения чисел. Таким образом, они также известны как непрерывающиеся, неповторяющиеся числа.
Если N иррационально, то N не равно p/q, где p и q целые числа, а q не равно 0.
Рассмотрим пример:Если мы найдем значение , √5
, ответ будет 2,23606797749979
Если мы посмотрим на числа после запятой, то увидим, что числа не заканчиваются и не повторяются.
Можем ли мы преобразовать это десятичное значение в дробь?
Невозможно.
Следовательно, мы можем сказать, что 2,23606797749979 — иррациональное число.
Иррациональные числа в повседневной жизни:Помните формулу для вычисления площади круга?
Площадь = πr 2
Наиболее распространенным иррациональным числом является:
PI (π) = 22/7 = 3,14159265358979…
1. 2.2 Определение квадратных корней в качестве иррациональных чисел 9002 Perfect Squares — это номера. которые получаются возведением в квадрат целого числа.Если вы посмотрите на картинку выше, вы увидите, что мы можем составить квадрат из 4 шариков, но не из 6 шариков.
Здесь 4 = 2 × 2 = 2 2
Если n — натуральное число, тогда √n — либо натуральное, либо иррациональное число.
Для любого целого числа b , не являющегося полным квадратом, √b иррационально.
Рассмотрим несколько примеров:Число 4 — правильный квадрат. Итак, √4 — это 2, рациональное число.
Число 5 не является правильным квадратом. Итак, √5 — это 2,23606797749979, что является иррациональным числом.
1.2.3 Классификация чисел на рациональные и иррациональные Любое целое число, которое может быть представлено в виде x/y, где и числитель, и знаменатель являются целыми числами, является рациональным числом.
Любое целое число, которое не может быть выражено в виде x/y, где и числитель, и знаменатель являются целыми числами, является иррациональным числом. Простыми словами, если десятичная форма числа не заканчивается и не повторяется, число иррационально.
Некоторые примеры рациональных чисел.
- Число 4 можно записать в виде 4/1, где 4 и 1 — целые числа.
- 0,25 также может быть записано как 1/4 или 25/100, и все конечные десятичные дроби являются рациональными числами.
- √64 — рациональное число, поскольку его можно упростить до 8, которое также является частным 8/1.
- 0,888888 — рациональное число, потому что оно повторяется в природе.
Некоторые примеры иррациональных чисел.
- 3/0 — иррациональное число со знаменателем, равным нулю.
- π — иррациональное число, имеющее значение 3,142, неповторяющееся и бесконечное по своей природе.
- √3 — иррациональное число, так как его нельзя упростить дальше.
- 0,21211211 является иррациональным числом, поскольку оно не повторяется и не завершается по своей природе.
Упражнение:
- Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:
- 0,58
- 0,475
- 3.605551275…
- Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:
- √36
- √44
- √81
- √17
- В начальной школе есть квадратная игровая площадка площадью 3000 квадратных футов. Какая ширина детской площадки? Является ли ширина рациональным или иррациональным числом?
- Какие из следующих чисел рациональные, а какие иррациональные?
- √24
- √25
- √36
- √37
- Площадь квадрата 50 квадратных футов. Каковы длины его сторон?
- Найти √125
- Найти √8
- Найти √27
- Решите следующее:
11√8 + 15√21 - Докажите, что 2√3/5 иррациональное число
Что мы узнали:
• 1. 2.1 О дробях, рациональных числах, десятичных числах, иррациональных числах, применении иррациональных чисел в повседневной жизни и о том, как определять иррациональные числа.
• 1.2.2 Как идентифицировать квадратные корни как иррациональные числа
• 1.2.3 Как классифицировать число как рациональное или иррациональное.
Концептуальная карта : Часто задаваемые вопросы (FAQ):- Каждое действительное число является иррациональным?
Все числа являются действительными числами, а все действительные числа, которые не заканчиваются, являются иррациональными числами. 2,3,4 и т.д. Примеры действительных чисел, которые не являются иррациональными числами.
- Почему целые числа не являются иррациональными числами?
Положительные, отрицательные и нулевые целые числа не являются иррациональными, поскольку их можно представить в виде p/q (где Q ≠0)
- Какие часто используемые иррациональные числа?
√2, √3, π(pi), e (число Эйлера) — некоторые распространенные иррациональные числа.