Решить логарифмические уравнения: Решение логарифмических уравнений по определению логарифма — урок. Алгебра, 11 класс.

Задача 13 (С1). Логарифмические уравнения. Уравнения смешанного типа. — Математика

Сегодня на занятии мы разберем способы решения логарифмических уравнений, рассмотрим смешанные уравнения, в которых вместе с логарифмами встречаются тригонометрические или показательные элементы.

Конспект занятия «Задача 13 (С1). Логарифмические уравнения. Уравнения смешанного типа.»

Решение логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения – уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений часто используются теоретические сведения:

Основное логарифмическое тождество: где a  0, a ≠ 1 и b  0.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

loga x = b.

(1)

Утверждение 1.  Если a  0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение 

x = a^b.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x)     (a  0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	f(x) 0,			g(x) 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	h(x) 0,			h(x) 0,
	h(x) ≠ 1,			h(x) ≠ 1,
	f(x) 0,			g(x) 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться «чужие» решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f

(x) = g(x)   и   log_a f(x) = log_a g(x)

или

log_a [f(x)·g(x)] = b   и   log_a f(x) + log_a g(x) = b

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Задачи к уроку:

1.  Решить уравнения: a) ,       b) ,       c) 

2.  Решить уравнения

   a),

   b)

3. Решить уравнения

   a)

   b)

   c) 2log3(x — 2) + log3(x — 4)2 = 0,

4.  Решить уравнения

   a) lg2x — 3lgx + 2 = 0,	c) lg2100x + lg210x + lgx = 14,
   b) ,	d) 5lgx = 50 — xlg5.

5. Решить уравнения

1. Решить уравнения

   a)

   b)

   с) |log2(3x — 1) — log 23| = |log2(5 — 2x) — 1|;

2. Решить уравнение:

3. Решите уравнение: .

1. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрез­ку 

1. а) Решите уравнение ,

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку .

1. а)Решите уравнение

б)Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

12. Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Укажите корни этого уравнения из промежутка

2

Задание 1

(2 балла)

Решить уравнение:

В ответ запишите больший корень, умноженный на 2.

Задание 2

(3 балла)

Решить уравнение:   log_x(x² — 3x + 6) =2.

В ответ запишите сумму корней (или корень, если он единственный).

Задание 3

(3 балла)

Решить уравнение: 16^log₄^{(1 — 2x)} = 5x² — 5. В ответ запишите сумму корней (или корень, если он единственный), увеличенную на корень из 10.

Проверить правильность выполнения заданий вы можете в автоматическом режиме в разделе домашние задания на странице с курсом «Математика Подготовка к ЕГЭ, (бывшая С) 2017»

Следующий урок на тему » Задача 15 (С3). Иррациональные неравенства.»

Предыдущий урок на тему » Задача 13 (С1). Показательные и логарифмические уравнения.»

Повторение. Решение логарифмических уравнений — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Тема урока: «Повторение. Решение логарифмических уравнений»

Джон Непер (1550-1617)-шотландский
барон, математик, один из
изобретателей логарифмов. В 1550-х
годах пришел к идее логарифмических
вычислений и составил первые
таблицы логарифмов, однако свой
знаменитый труд «Описание
удивительных таблиц логарифмов»
опубликовал лишь в 1614 году. Ему
принадлежит определение
логарифмов, объяснение их свойств,
таблицы логарифмов, синусов,
косинусов, тангенсов и приложения
логарифмов в сферической
тригонометрии.
• Вы видите равенства, содержащие
переменную:
log 2 x 3
log 2 ( x 12) 2
lg( x 2) lg 2 x
1
log x
3
27
• Как называются эти равенства?
Что общего у них?

4. Понятие логарифма

Логарифмом положительного числа b по
положительному и отличительному от 1
основанию a называют показатель степени, в
которую нужно возвести число а , чтобы
получить число b.
a
Пример:
loga b
b
log 2 8 3 , т.к. 23 =8
1
log 3 (
) 3, т.к. 3-3 =1/27
27

5. Вычислить : (устно)

1
log 5
25
…
• log 416=…
• log 1 9 …
3
log 2=…
log6 1=…
log3 3=…
• Десятичными называют логарифмы
по основанию 10 и обозначают lg.
Например:
lg 1000= 3
, т.к. 103 =1000
1
=-1
lg
10
, т.к.
10-1
1
=
10

7. Решить уравнение:

Log3 (2x-1) =3
Решение:
О.Д.З.
2x-1>0
2x>1
x>1/2
2x-1=33
2x-1=28
2x=28
x=14
Ответ: x=14
Самостоятельно:
log2 (1-2x)=0
Основные свойства логарифмов
log a 1 0
log
Например:
3
1 0
0
, т. к. 3 1
log6 1=0 , т.к. 60 =1
log 3 1 0
0
, т.к. 3 1
log a a 1
Например:
log5 5=1 , т.к. 51=5
log a ( xy) log a x log a y
Например:
log 15 3+ log 15 5= log 15 (3*5) = log 15 15=1

11. Вычислить (устно):

log 12 4+ log 12 3=
log 4 8+ log 4 2=
lg 25+ lg 4 =
log 0,6 ( x 3) log 0,6 ( x 3) log 0,6 (2 x 1)
x
log ( ) log x log y,
a y
a
a
где y 0
Например:
15
log 5 15- log 5 3= log 5 ( 3 ) = log 5 5=1

14. Вычислить (устно):

log 2 15- log 2 30=
log 28- log 7=
1
2
1
2

15. Решить уравнение:

log 7 4 log 7 x log 7 9
О. Д .З.x 0
x
log 7 4 log 7 ( )
9
x
4 ; x 36
9
Ответ : х 36
Самостоятельно :
log 0, 4 9 log 0, 4 x log 0, 4 3

16. Вычислить (устно):

log a x p log a x
p
Например: 2
2 log2 5
2
log2 52
Вычислить (устно):
8
2 log8 3
3
4 log3 2
25

17. Решить уравнение:

lg( 2 x) 2 lg 4 lg 2
Каким методом решались эти уравнения?

18.

Решить уравнение:Какие ещё методы решения уравнения вы
знаете?
log 2 x 4 log 2 x 3 0
2

19. Ответы к самостоятельной работе

I
II
a) x 8
a) х 6
б)x 0
б ) x 13
в) х 5
1
в ) х 4; x
8

20. Домашняя работа

Повторить
§50,51
№1549, 1558 (г)

English     Русский Правила

Решение показательных и логарифмических уравнений

Решение показательных и логарифмических уравнений

• Предыдущий
• Вверх

• Основной
• Примеры

Решение экспоненциальных уравнений

1. Изолируйте экспоненциальный множитель так, чтобы он стоял один на одной стороне уравнения, а все остальное — на другой.
2. Логарифм обеих частей уравнения
3. Использовать свойства логарифмов, чтобы вывести переменную из экспоненты 9{\cdot}\) обратны, имеем следующее. \[ \ln 6 = \frac{x}{2} \] Закончите, найдя \(x\). \[ х = 2 \ln 6 \приблизительно 3,58352 \]

   Решение логарифмических уравнений

   1. Выделить все логарифмические члены с одной стороны уравнения
   2. Используйте свойства логарифмов, чтобы объединить все логарифмические члены в один
   3. Перепишите уравнение в экспоненциальной форме
   4. Решить
   5. Проверьте свои ответы, чтобы убедиться, что среди них нет посторонних решений 9{-2} = 0,01 \] Теперь найдите \(x\) как обычно. {-2}\right) \right) \приблизительно 6,15652\) является решением. 9{-1}} \приблизительно 5.036654\) является единственным верным решением.

      Экспоненциальные и логарифмические уравнения — предварительное исчисление

      Цели обучения

      В этом разделе вы:

      • Использовать одинаковые основания для решения экспоненциальных уравнений.
      • Используйте логарифмы для решения экспоненциальных уравнений.
      • Используйте определение логарифма для решения логарифмических уравнений.
      • Используйте свойство логарифмов «один к одному» для решения логарифмических уравнений.
      • Решение прикладных задач на экспоненциальные и логарифмические уравнения.
      Рисунок 1. Дикие кролики в Австралии. Популяция кроликов в Австралии росла так быстро, что это событие стало известно как «кроличья чума». (кредит: Ричард Тейлор, Flickr)
      В 1859 году австралийский землевладелец Томас Остин выпустил на охоту 24 кролика. Поскольку в Австралии было мало хищников и достаточно еды, популяция кроликов резко возросла. Менее чем за десять лет популяция кроликов исчислялась миллионами.

      Неконтролируемый рост популяции, как у диких кроликов в Австралии, можно смоделировать с помощью экспоненциальных функций. Уравнения, полученные из этих экспоненциальных функций, можно решать для анализа и прогнозирования экспоненциального роста. В этом разделе мы изучим методы решения экспоненциальных функций.

      Использование одинаковых оснований для решения экспоненциальных уравнений

      Первый метод включает две функции с одинаковыми основаниями. Напомним, что свойство экспоненциальных функций взаимно однозначно говорит нам, что для любых действительных чисел и где тогда и только тогда, когда

      Другими словами, когда показательное уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, показатели степени должны быть равны. Это также применимо, когда показатели степени являются алгебраическими выражениями. Следовательно, мы можем решить многие экспоненциальные уравнения, используя правила экспонент, чтобы переписать каждую сторону как степень с одним и тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции являются взаимно однозначными, чтобы установить показатели степени равными друг другу и найти неизвестное.

      Например, рассмотрим уравнение. Чтобы решить для, мы используем свойство деления показателей степени, чтобы переписать правую часть так, чтобы обе части имели общее основание. Затем мы применяем свойство степени однозначности, установив показатели степени равными друг друга и решить на

      Использование свойства однозначности экспоненциальных функций для решения показательных уравнений

      Для любых алгебраических выражений и любого положительного действительного числа , решить неизвестное.

      1. Используйте правила возведения в степень для упрощения, если это необходимо, чтобы полученное уравнение имело вид
      2. Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные степени.
      3. Решите полученное уравнение относительно неизвестного.

      Решение экспоненциального уравнения с общим основанием

      Решить

      Показать решение

      Попробуйте

      Решите

      Показать решение

      Переписать уравнения так, чтобы все степени имели одинаковую базу

      Иногда общая база экспоненциального уравнения явно не указывается. В этих случаях мы просто переписываем члены уравнения в виде степеней с общим основанием и решаем, используя свойство взаимно однозначности.

      Например, рассмотрим уравнение Мы можем переписать обе части этого уравнения как степень Затем мы применяем правила экспонент, наряду со свойством однозначности, чтобы найти

      Как сделать

      Учитывая показательное уравнение с разными основаниями, для его решения используйте свойство однозначности.

      1. Перепишите каждую часть уравнения как степень с общим основанием.
      2. Используйте правила возведения в степень для упрощения, если это необходимо, чтобы результирующее уравнение имело вид
      3. Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные степени.
      4. Решите полученное уравнение относительно неизвестного.

      Решение уравнений путем переписывания их так, чтобы они имели общую основу

      Решить

      Показать решение

      Попробуйте

      Решите

      Показать решение

      Решение уравнений путем перезаписи корней с дробными показателями для получения общего основания

      Решить

      Показать решение

      Попробуйте

      Решите

      Показать решение

      Все ли показательные уравнения имеют решение? Если нет, то как мы можем узнать, есть ли решение в процессе решения проблемы?

      Нет. Напомним, что диапазон экспоненциальной функции всегда положителен. При решении уравнения может получиться неопределенное выражение.

      Решение уравнения с положительными и отрицательными степенями

      Решить

      Показать решение

      Это уравнение не имеет решения. Нет никакого реального значения, которое сделало бы уравнение верным утверждением, потому что любая степень положительного числа положительна.

      Анализ

      (рисунок) показывает, что два графика не пересекаются, поэтому левая сторона никогда не равна правой стороне. Таким образом, уравнение не имеет решения.

      Рис. 2.

      Попробуйте

      Решите

      Показать решение

      Уравнение не имеет решения.

      Решение показательных уравнений с использованием логарифмов

      Иногда члены показательного уравнения нельзя переписать с помощью общего основания. В этих случаях мы решаем, логарифмируя каждую сторону. Напомним, поскольку эквивалентно, мы можем применять логарифмы с одним и тем же основанием к обеим частям экспоненциального уравнения.

      Как

      Дана экспоненциальная формула, в которой нельзя найти общее основание, найти неизвестное.

      1. Примените логарифм обеих частей уравнения.
         • Если один из членов уравнения имеет основание 10, используйте десятичный логарифм.
         • Если ни один из членов уравнения не имеет основание 10, используйте натуральный логарифм.
      2. Используйте правила логарифмирования, чтобы найти неизвестное.

      Решение уравнения, содержащего степени разных оснований

      Решить

      Показать решение

      Попробуйте

      Решите

      Показать решение

      Есть ли способ решить

      Да. Решение:

      Уравнения, содержащие

      e

      Одним из распространенных типов экспоненциальных уравнений являются уравнения с основанием. Эта константа снова и снова встречается в природе, в математике, в науке, в технике и в финансах. Когда у нас есть уравнение с основанием с обеих сторон, мы можем использовать натуральный логарифм для его решения.

      Как

      Учитывая уравнение формы решить для

      1. Разделите обе части уравнения на
      2. Примените натуральный логарифм к обеим частям уравнения.
      3. Разделите обе части уравнения на

      Решите уравнение вида

      y = Ae ^kt

      Решите

      Показать решение

      Мы также запишем ответ в форме, используя законы

   5 900s десятичной аппроксимации ответа, воспользуемся калькулятором.

   Попробуйте

   Решите

   Показать решение

   или

   Каждое ли уравнение вида имеет решение?

   Нет. Существует решение, когда и когда и либо оба равны 0, либо ни один из них не равен 0, и они имеют одинаковый знак. Примером уравнения этой формы, не имеющего решения, является

   Решение уравнения, которое можно упростить до вида

   y = Ae ^kt

   Решить

   Показать решение

   Попробовать

   Решить

   Показать решение

   Посторонние решения

   Иногда методы, используемые для решения уравнения, вводят постороннее решение, которое является решением, правильным алгебраически, но не удовлетворяющим условиям исходного уравнения. Одна из таких ситуаций возникает при решении, когда обе части уравнения логарифмируются. В таких случаях помните, что аргумент логарифма должен быть положительным. Если число, которое мы оцениваем в логарифмической функции, отрицательное, выходных данных нет.

   Решение показательных функций в квадратичной форме

   Решение

   Показать решение

   Анализ

   произведение равно нулю, один или оба множителя должны быть равны нулю. Мы отвергаем уравнение, потому что положительное число никогда не равно отрицательному числу. Решение не является действительным числом, и в действительной системе счисления это решение отбрасывается как постороннее решение.

   Попробуйте

   Решите

   Показать решение

   Каждое ли логарифмическое уравнение имеет решение?

   Нет. Имейте в виду, что мы можем применить логарифм только к положительному числу. Всегда проверяйте наличие посторонних решений.

   Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений

   Мы уже видели, что каждое логарифмическое уравнение эквивалентно показательному уравнению. Мы можем использовать этот факт, наряду с правилами логарифмирования, для решения логарифмических уравнений, где аргументом является алгебраический выражение.

   Например, рассмотрим уравнение. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую часть в компактной форме, а затем применить определение журналов для решения

   Использование определения логарифма для решения логарифмических уравнений

   Для любого алгебраического выражения и действительных чисел и где

   Использование алгебры для решения логарифмического уравнения

   Решить

   Показать решение

   Попробуйте

   Решите

   Показать решение

   Использование алгебры до и после использования определения натурального логарифма

   Решить

   Показать решение

   Попробуйте

   Решите

   Показать решение

   Использование графика для понимания решения логарифмического уравнения

   Решить

   Показать решение

   (рисунок) представляет собой график уравнения. На графике координата x точки, в которой пересекаются два графика, близка к 20. Другими словами, калькулятор дает лучшее приближение:

   Рисунок 3. Графики и пересекаются в точке, которая приблизительно равна (20.0855, 3).

   Попробуйте

   Используйте графический калькулятор, чтобы оценить приближенное решение логарифмического уравнения с точностью до 2 знаков после запятой.

   Показать решение

   Использование свойства «один к одному» логарифмов для решения логарифмических уравнений

   Как и в случае показательных уравнений, мы можем использовать свойство «один к одному» для решения логарифмических уравнений. Свойство логарифмических функций «один к одному» говорит нам, что для любых действительных чисел и любого положительного действительного числа, где

   Например,

   Итак, если мы можем найти и получить Проверка, мы можем подставить в исходное уравнение: Другими словами, когда логарифмическое уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, аргументы должны быть равны . Это также применимо, когда аргументы являются алгебраическими выражениями. Поэтому, когда у нас есть уравнение с логарифмами одинакового основания на каждой стороне, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать каждую сторону как один логарифм. Затем мы используем тот факт, что логарифмические функции являются взаимно однозначными, чтобы установить аргументы равными друг другу и найти неизвестное.

   Например, рассмотрим уравнение. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать правила логарифмирования, чтобы переписать левую часть как одиночный логарифм, а затем применить свойство «один к одному» для решения для

   Чтобы проверить результат, подставить в

   Использование свойства логарифмов «один к одному» для решения логарифмических уравнений

   Для любых алгебраических выражений и любых положительных вещественных чисел, где

   Обратите внимание: при решении уравнения, содержащего логарифмы, всегда проверяйте, есть ли ответ правильно или если это постороннее решение.

   How To

   Имея уравнение, содержащее логарифмы, решите его, используя свойство «один к одному».

   1. Используйте правила логарифмирования, чтобы скомбинировать одинаковые члены, если необходимо, чтобы результирующее уравнение имело вид
   2. Используйте свойство «один к одному», чтобы установить равные аргументы.
   3. Решите полученное уравнение относительно неизвестного.

   Решение уравнения с использованием свойства однозначности логарифмов

   Решить

   Показать решение

   Анализ

   Есть два решения: или Решение отрицательное, но оно проверяется при подстановке в исходное уравнение, поскольку аргумент логарифмической функции по-прежнему положителен.

   Попробуйте

   Решите

   Показать решение

   или

   Решение прикладных задач с использованием экспоненциальных и логарифмических уравнений

   В предыдущих разделах мы изучили свойства и правила как для экспоненциальных, так и для логарифмических функций. Мы видели, что любую экспоненциальную функцию можно записать в виде логарифмической функции и наоборот. Мы использовали показатели степени для решения логарифмических уравнений и логарифмы для решения показательных уравнений. Теперь мы готовы объединить наши навыки для решения уравнений, моделирующих реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в показателе степени или в аргументе логарифма.

   Одно из таких применений находится в науке при расчете времени, необходимого для распада половины нестабильного материала в образце радиоактивного вещества, называемого периодом полураспада. (Рисунок) показывает период полураспада нескольких наиболее распространенных радиоактивных веществ.

   Americium-241 is used for construction and has a half-life of 432 years. Carbon-14 is used for archeological dating and has a half-life of 5,715 years. Uranium-235 is used for atomic power and has a half-life of 703,800,000 years.»>

   Вещество	Использовать	Период полураспада
   галлий-67	ядерная медицина	80 часов
   кобальт-60	производство	5,3 года
   технеций-99м	ядерная медицина	6 часов
   америций-241	строительство	432 года
   углерод-14	археологические датировки	5715 лет
   уран-235	атомная энергия	703 800 000 лет

   Мы можем видеть, насколько сильно различаются периоды полураспада этих веществ. Зная период полураспада вещества, мы можем рассчитать количество, оставшееся после определенного времени. Мы можем использовать формулу радиоактивного распада:

   , где

   • — сумма, первоначально представленная
   • – период полураспада вещества
   .
   • – период времени, в течение которого изучается вещество
   • – количество вещества, присутствующего после времени
   .

   Использование формулы радиоактивного распада для определения количества вещества

   Сколько времени потребуется для распада десяти процентов 1000-граммовой пробы урана-235?

   Показать решение

   Анализ

   Десять процентов от 1000 граммов составляют 100 граммов. Если 100 граммов распадаются, количество оставшегося урана-235 равно 9.00 грамм.

   Попробуйте

   Сколько времени пройдет, прежде чем двадцать процентов нашей 1000-граммовой пробы урана-235 распадутся?

   Показать решение

   Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с экспоненциальными и логарифмическими уравнениями.

   • Решение логарифмических уравнений
   • Решение экспоненциальных уравнений с логарифмами

   Ключевые уравнения

   ..»>

   Свойство один к одному для экспоненциальных функций	Для любых алгебраических выражений и и любого положительного действительного числа где< тогда и только тогда, когда
   Определение логарифма	Для любого алгебраического выражения S и положительных действительных чисел и где < тогда и только тогда, когда
   Свойство один к одному для логарифмических функций	Для любых алгебраических выражений S и T и любого положительного действительного числа, где < тогда и только тогда, когда

   Ключевые понятия

   • Мы можем решить многие экспоненциальные уравнения, используя правила экспонент, чтобы представить каждую сторону как степень с одним и тем же основанием. Затем мы используем тот факт, что экспоненциальные функции являются взаимно однозначными, чтобы установить показатели степени равными друг другу и найти неизвестное.
   • Когда нам дано экспоненциальное уравнение, в котором основания явным образом показаны как равные, приравняйте показатели степени друг к другу и найдите неизвестное. См. (Рисунок).
   • Когда нам дано экспоненциальное уравнение, в котором основания равны , а не , явно показаны равными, перепишем каждую часть уравнения как степени одного и того же основания, затем приравняем показатели степени и найдем неизвестное. См. (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок).
   • Если экспоненциальное уравнение нельзя переписать с общим основанием, решите его путем логарифмирования каждой стороны. См. (Рисунок).
   • Мы можем решать экспоненциальные уравнения с основанием, применяя натуральный логарифм обеих частей, потому что экспоненциальные и логарифмические функции являются обратными друг другу. См. (Рисунок) и (Рисунок).
   • После решения экспоненциального уравнения проверьте каждое решение в исходном уравнении, чтобы найти и исключить любые посторонние решения. См. (Рисунок).
   • Когда дано уравнение формы где — алгебраическое выражение, мы можем использовать определение логарифма, чтобы переписать уравнение как эквивалентное показательное уравнение и найти неизвестное. См. (Рисунок) и (Рисунок).
   • Мы также можем использовать график для решения уравнений в форме Мы рисуем оба уравнения и на одной и той же координатной плоскости и идентифицируем решение как x- значение точки пересечения. См. (Рисунок).
   • Имея уравнение вида где и — алгебраические выражения, мы можем использовать свойство логарифмов «один к одному», чтобы решить уравнение относительно неизвестного. См. (Рисунок).
   • Объединяя навыки, полученные в этом и предыдущем разделах, мы можем решать уравнения, моделирующие реальные ситуации, независимо от того, находится ли неизвестное в показателе степени или в аргументе логарифма. См. (Рисунок).

   Раздел Упражнения

   Устно

   1. Как решить показательное уравнение?

   Показать решение

   Сначала определите, можно ли переписать уравнение так, чтобы обе стороны использовали одно и то же основание. Если да, то показатели степени можно установить равными друг другу. Если уравнение нельзя переписать так, чтобы каждая сторона использовала одно и то же основание, то примените логарифм к каждой стороне и используйте для решения свойства логарифмов.

   2. Когда появляется посторонний раствор? Как распознать постороннее решение?

   3. В каких случаях для решения уравнения можно использовать свойство взаимно однозначности логарифмов? Когда его нельзя использовать?

   Показать решение

   Свойство «один к одному» можно использовать, если обе части уравнения можно переписать в виде одинарного логарифма с одним и тем же основанием. Если это так, аргументы можно положить равными друг другу, а полученное уравнение решить алгебраически. Свойство «один к одному» нельзя использовать, если каждую часть уравнения нельзя переписать в виде одинарного логарифма с одним и тем же основанием.

   Алгебраический

   В следующих упражнениях используйте одинаковые основания для решения показательного уравнения.

   4.

   5.

   Показать решение

   6.

   7.

   Показать решение

   8.

   9.

   Показать решение

   10.

    

   Для решения следующих упражнений используйте логарифмы.

   11.

   Показать решение

   12.

   13.

   Показать решение

   Нет решения

   14.

   15.

   Показать решение

   16.

   17.

   Показать раствор

   18.

   19.

   Показать решение

   20.

   21.

   Показать раствор

   22.

   23.

   Показать решение

   24.

   25.

   Показать решение

   нет решения

   26.

   27.

   Показать раствор

   28.

    

   В следующих упражнениях используйте определение логарифма, чтобы переписать уравнение как показательное уравнение.

   29.

   Показать решение

   30.

    

   В следующих упражнениях используйте определение логарифма для решения уравнения.

   31.

   Показать решение

   32.

   33.

   Показать раствор

   34.

   35.

   Показать раствор

   Для решения следующих упражнений используйте свойство логарифмов «один к одному».

   36.

   37.

   Показать решение

   38.

   39.

   Показать решение

   Нет решения

   40.

   41.

   Показать решение

   Нет решения

   42.

   43.

   Показать решение

   В следующих упражнениях решите каждое уравнение для

   44.

   45.

   Показать решение

   46.

   47.

   Показать решение

   48.

   49.

   Показать решение

   50.

   Графический

   В следующих упражнениях решите уравнение для , если есть решение . Затем начертите обе части уравнения и посмотрите на точку пересечения (если она существует), чтобы проверить решение.

   51.

   Показать решение

   52.

   53.

   Показать решение

   54.

   55.

   Показать решение

   56.

   57.

   Показать раствор

   58.

   59.

   Показать решение

   Нет решения

   60.

   61.

   Показать решение

   62.

   63.

   Показать решение

   64.

    

   Для следующих упражнений найдите указанное значение и нарисуйте график ситуации, показывающий точку решения.

   65. Счет с первоначальным депозитом приносит ежегодные проценты, непрерывно начисляемые. Сколько будет стоить аккаунт через 20 лет?

   Показать решение

   о

   66. Формула для измерения силы звука в децибелах определяется уравнением где — интенсивность звука в ваттах на квадратный метр и — самый низкий уровень звука, который может слышать средний человек. Сколько децибел излучает реактивный самолет с интенсивностью звука ватт на квадратный метр?

   67. Население малого города моделируется уравнением где измеряется в годах. Примерно через сколько лет население города достигнет

   Show Solution

   около 5 лет

   Технология

   В следующих упражнениях решите каждое уравнение, переписав экспоненциальное выражение, используя указанный логарифм. Затем используйте калькулятор, чтобы округлить до 3 знаков после запятой .

   68. с использованием общего журнала.

   69. с использованием натурального журнала

   Show Solution

   70. с использованием общего журнала

   71. с использованием общего журнала

   Show Solution

   72. с использованием натурального логарифма

    

   В следующих упражнениях используйте калькулятор для решения уравнения. Если не указано иное, округлить все ответы до десятитысячных.

   73.

   Показать решение

   74.

   75.

   Показать решение

   76. Атмосферное давление в фунтах на квадратный дюйм выражается формулой где — количество миль над уровнем моря. Насколько высока с точностью до фута вершина горы с атмосферным давлением в фунтах на квадратный дюйм? ( Подсказка : в миле 5280 футов)

   77. Магнитуда землетрясения M представлена ​​уравнением где — количество энергии, высвобождаемой землетрясением в джоулях, и — минимальная мера, высвобождаемая землетрясением. землетрясение. Какой будет с точностью до сотой магнитуда землетрясения, высвободившего джоули энергии?

   Показать решение

   о

   Extensions

   78. Используйте определение логарифма вместе со свойством взаимно однозначности логарифмов, чтобы доказать, что

   79. Вспомните формулу непрерывного начисления процентов. Используйте определение логарифма вместе со свойствами логарифмов, чтобы решить формулу для времени, равного единичному логарифму.

   Показать решение

   80. Вспомните формулу сложных процентов. Используйте определение логарифма вместе со свойствами логарифмов, чтобы решить формулу для времени

   81.

   No related posts.