Уравнения квадратный корень: Квадратные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Извлечение квадратного корня из обеих частей уравнения

Если из обеих частей уравнения извлечь квадратный корень, то полýчится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим следующее уравнение:

x² = 16

Это простейшее квадратное уравнение, имеющее два корня: 4 и −4. Такое уравнение мы решали используя определение квадратного корня.

Согласно определению квадратного корня, число b является квадратным корнем из числа a, если b² = a и обозначается как b = √a.

Тогда в случае x² = 16, можно записать что x = √16, откуда x = ±4.

Теперь решим данное квадратное уравнение путем извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

«Обернём» обе части уравнения x² = 16 в квадратный корень:

Теперь вспоминаем одно из свойств квадратного корня, которое гласит что квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа

Тогда в левой части нашего уравнения получим модуль из x, а в правой части число 4

Получили простейшее уравнение с модулем. Оно имеет два корня: 4 и −4. Запишем это решение в виде совокупности уравнений:

Проверка:

Из правой части уравнения x² = 16 следует извлекать именно арифметический квадратный корень. Ранее мы говорили, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. То есть:

Но в данном случае нас интересует именно неотрицательное значение 4 (его и называют арифметическим квадратным корнем). Потому что если мы извлечем и второй корень (отрицательный −4), то получим уравнение |x|= −4 которое не имеет решений.

---

Пример 2. Решить уравнение 3x² = 12

Решение

Разделим обе части на 3

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

Получили простейшее уравнение с модулем. Решим его, сведя его в совокупность:

Ответ: 2 и −2.

---

Пример 3. Решить уравнение (x + 2)² = 25

Решение

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

Решим получившееся уравнение с модулем:

Ответ: 3 и −7.

---

Пример 4. Решить уравнение x² − 10 = 39

Решение

Перенесем −10 в правую часть изменив знак:

Извлечём квадратный корень из обеих частей получившегося уравнения:

Решим получившееся уравнение с модулем:

Ответ: 7 и −7.

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 9 и −9.

Показать решение

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 0,4 и −0,4.

Показать решение

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 4 и −4.

Показать решение

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: и .

Показать решение

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: и .

Показать решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?

Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Top

Корень квадратного уравнения | это… Что такое Корень квадратного уравнения?

Толкование

Корень квадратного уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где

Содержание 1 Уравнение с вещественными коэффициентами 1. 1 Другие записи решений 1.2 Приведённое квадратное уравнение 1.3 Мнемонические правила 2 Уравнение с комплексными коэффициентами 3 Теорема Виета 4 Разложение квадратного уравнения на множители 5 См. также 6 Ссылки

Уравнение с вещественными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b² − 4ac:

• при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле

         (1)

• при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

• при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1), либо (без использования извлечения корня из отрицательного числа) формулой

Другие записи решений

Вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

где k = b / 2.

Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до

Мнемонические правила

• Из «Радионяни»:

  «Минус» напишем сначала,
  Рядом с ним p пополам,
  «Плюс-минус» знак радикала,
  С детства знакомого нам.

  Ну, а под корнем, приятель,
  сводится всё к пустяку:
  p пополам и в квадрате
  Минус несчастное прекрасное q.

• Из «Радионяни» (другой вариант):

  p, со знаком взяв обратным,
  на два мы его разделим,
  и от корня аккуратно
  знаком «минус-плюс» отделим.

  А под корнем очень кстати
  

  половина p в квадрате
  минус q — и вот решенья,
  то есть корни уравненья.

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Основная статья: Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

См. также

• Сведением к квадратному уравнению решается уравнение четвёртой степени (как в общем случае, так и в простейших: биквадратное уравнение, возвратное уравнение четвёртой степени).

Ссылки

• Решение квадратных уравнений онлайн [1],[2],[3]

Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно сделать НИР?

• Корень женьшеня
• Корень квадратный

Полезное

Решение радикальных уравнений

Горячая математика

Радикальное уравнение – это уравнение, в котором переменная появляется под квадратный корень знак. (В настоящее время мы беспокоимся только о квадратных корнях, а не о кубических корнях или других интересных вещах.) Общий метод решения радикального уравнения таков: изолируйте знак квадратного корня (и все, что под ним) на одной стороне уравнения. Затем подравняйте обе стороны. У вас должно получиться уравнение, которое можно решить обычными методами.

Пример 1:

Решать.

Икс + 2 знак равно 3

Квадрат с обеих сторон: ( Икс + 2 ) 2 знак равно 3 2

Икс + 2 знак равно 9

Решите уравнение: Икс + 2 знак равно 9

Всегда проверяйте свое решение:

7 + 2 знак равно ? 3 9 знак равно ? 3 3 знак равно 3

Следовательно, 7 является решением уравнения.

Пример 2:

Решать.

12 Икс + 4 + 5 знак равно Икс

Получите квадратный корень только с одной стороны, вычитая 5 с обеих сторон.

12 Икс + 4 знак равно Икс − 5

Подровняйте обе стороны.

( 12 Икс + 4 ) 2 знак равно ( Икс − 5 ) 2

12 Икс + 4 знак равно Икс 2 − 10 Икс + 25

Упрощать.

Икс 2 − 22 Икс + 21 знак равно 0

В этом случае результатом является Квадратное уравнение , которую можно решить с помощью факторинг .

( Икс − 21 ) ( Икс − 1 ) знак равно 0

Таким образом, по свойство нулевого продукта ,

Икс знак равно 21 или же Икс знак равно 1 .

Важная заметка: Шаг, когда мы возводим обе стороны в квадрат, может ввести некоторые посторонние решения «. Ты должен проверить правильность решений.

Замена Икс знак равно 21 :

12 ( 21 ) + 4 + 5 знак равно ? 21 256 + 5 знак равно ? 21 21 знак равно 21

Итак, первое решение проверено.

Замена Икс знак равно 1 :

12 ( 1 ) + 4 + 5 знак равно ? 1 16 + 5 знак равно ? 1 9≠ 1

Итак, второе решение не проверить. Следовательно Икс знак равно 1 является посторонним решением. Единственным правильным решением является Икс знак равно 21 .

Загрузите наши бесплатные приложения для обучения и книги для подготовки к экзаменам

Решение радикальных уравнений

Радикальное уравнениеЛюбое уравнение, содержащее один или несколько радикалов с переменной в подкоренной величине. это любое уравнение, которое содержит один или несколько радикалов с переменной в подкоренной величине. Ниже приведены некоторые примеры радикальных уравнений, все из которых будут решены в этом разделе:

Начнем со свойства возведения в квадрат равенства Данных действительных чисел a и b , где a=b, тогда a2=b2.; учитывая реальные числа и b , мы имеем следующее:

Другими словами, равенство сохраняется, если мы возводим в квадрат обе части уравнения.

Обратное, с другой стороны, не обязательно верно:

Это важно, потому что мы будем использовать это свойство для решения радикальных уравнений. Рассмотрим очень простое радикальное уравнение, которое можно решить путем проверки:

Здесь мы видим, что x=9 является решением. Чтобы решить это уравнение алгебраически, воспользуемся квадратичным свойством равенства и тем фактом, что (a)2=a2=a при и положительный. Удалите квадратный корень, возведя в квадрат обе части уравнения следующим образом:

В качестве проверки мы видим, что 9=3, как и ожидалось. Поскольку свойство равенства, обратное квадрату, не обязательно верно, решения уравнения в квадрате могут не быть решениями оригинала. Следовательно, возведение в квадрат обеих частей уравнения вводит возможность появления посторонних решений. Решение, которое не решает исходное уравнение, или решения, которые не решают исходное уравнение. По этой причине мы должны проверять ответы, полученные в результате возведения в квадрат обеих частей уравнения.

 

Пример 1: Решите: x−1=5.

Решение: Мы можем исключить квадратный корень, применив свойство возведения в квадрат равенства.

Далее надо проверить.

Ответ: Решение: 26.

 

Пример 2: Решите: 5−4x=x.

Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей уравнения.

У вас осталось квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации.

Поскольку вы возвели обе стороны в квадрат, вы должны проверить свои решения.

После проверки видно, что x=−5 было лишним; это не решало исходное радикальное уравнение. Не обращайте внимания на этот ответ. Это оставляет x=1 как единственное решение.

Ответ: Решение x=1.

 

Обратите внимание, что в двух предыдущих примерах радикал изолирован с одной стороны уравнения. Как правило, это не так. Шаги для решения радикальных уравнений с квадратными корнями показаны в следующем примере.

 

Пример 3: Решите: 2x−5+4=x.

Решение:

Шаг 1: Извлеките квадратный корень. Начните с вычитания 4 из обеих частей уравнения.

Шаг 2: Подровняйте обе стороны. Возведение обеих сторон в квадрат исключает квадратный корень.

Шаг 3: Решите полученное уравнение. Здесь у вас осталось квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации.

Шаг 4: Проверьте решения в исходном уравнении. Квадрат обеих сторон вводит возможность посторонних решений; поэтому проверка обязательна.

После проверки видим, что x=3 — посторонний корень; это не решает исходное радикальное уравнение. Это оставляет x=7 как единственное решение.

Ответ: Решение x=7.

 

Пример 4: Решите: 3x+1−2x=0.

Решение: Начните с выделения термина с корнем.

Несмотря на то, что член в левой части имеет коэффициент, он все же считается изолированным. Напомним, что термины разделяются операторами сложения или вычитания.

Решите полученное квадратное уравнение.

Так как мы возвели обе стороны в квадрат, мы должны проверить наши решения.

После проверки мы видим, что x=−34 было лишним.

Ответ: Решение 3.

 

Иногда оба возможных решения лишние.

 

Пример 5: Решите: 4−11x−x+2=0.

Решение: Начните с выделения радикала.

Так как мы возвели обе стороны в квадрат, мы должны проверить наши решения.

Поскольку оба возможных решения являются посторонними, уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет решения, Ø

 

Свойство равенства в квадрате распространяется на любую степень положительного целого числа n . Для действительных чисел a и b мы имеем следующее: , то an=bn.. Используйте это свойство вместе с тем фактом, что (an)n=ann=a, когда a положителен, чтобы решить радикальные уравнения с индексами больше 2.

 

Пример 6: Решите: x2+43−2=0.

Решение: Выделите радикал, а затем возведите в куб обе части уравнения.

Чек.

Ответ: решения равны −2 и 2.

 

Попробуйте! Решите: 2x−1+2=x.

Ответ: x=5 (x=1 лишнее)

Видеорешение

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Возможно, уравнение имеет два радикальных выражения.

 

Пример 7: Решите: 3x−4=2x+9.

Решение: Оба радикала считаются изолированными в разных частях уравнения.

Проверка x=13.

Ответ: Решение: 13.

 

Пример 8: Решите: x2+x−143=x+503.

Решение: Удалите радикалы путем кубирования обеих сторон.

Чек.

Ответ: Решения равны −8 и 8.

 

В следующем курсе «Алгебра среднего уровня» мы научимся решать более сложные радикальные уравнения.

 

Попробуйте! Решите: 3x+1=2x−3.

Ответ: 13

Решение для видео

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Ключевые выводы

• Решите уравнения, содержащие квадратные корни, сначала выделив радикал, а затем возведя в квадрат обе стороны. Возведение квадратного корня в квадрат устраняет радикал, оставляя нам уравнение, которое можно решить с помощью методов, изученных ранее при изучении алгебры. Однако возведение в квадрат обеих частей уравнения приводит к возможности посторонних решений, поэтому проверьте свои ответы в исходном уравнении.
• Решите уравнения с кубическими корнями, сначала выделив радикал, а затем возведя в куб обе части. Это устраняет радикал и приводит к уравнению, которое можно решить с помощью методов, которыми вы уже овладели.

Упражнения по теме

Часть A: Решение радикальных уравнений

Решить.

1. x=2

2. x=7

3. x+7=8

4. x+4=9

5. x+6=3

6. x+2= 1

7. 5x−1=0

8. 3x−2=0

9. x−3=3

10. x+5=6

11. 3x+1=2

12. 5x −4=4

13. 7x+4+6=11

14. 3x−5+9=14

15. 2x−1−3=0

16. 3x+1−2=0

17. x3=2

18. x3=5

19. 2x+93=3

20. 4x−113=1

21. 5x+73+3=1

22. 3x−63+5 =2

23. 2 x+23−1=0

24. 2 2x−33−1=0

25. 8x+11=3x+1

26. 23x−4=2(3x+1 )

27. 2(x+10)=7x−15

28. 5(x−4)=x+4

29. 5x−23=4×3

30. 9(x−1)3=3 (x+7)3

31. 3x+13=2(x−1)3

32. 9×3=3(x−6)3

33. 4x+21=x

34. 8x+9 =x

35. 4(2x−3)=x

36. 3(4x−9)=x

37. 2x−1=x

38. 32x−9=x

39. 9x+ 9=x+1

40. 3x+10=x+4

41. x−1=x−3

42. 2x−5=x−4

43. 16−3x=x−6

44. 7−3x=x−3

45. 32x+10=x+9

46. 22x+5=x+4

47. 3x−1−1=x

48. 22x+2−1=x

49. 10x+41−5=x

50. 6( x+3)−3=x

51. 8×2−4x+1=2x

52. 18×2−6x+1=3x

53. 5x+2=x+8

54. 42(x+1 )=x+7

55. x2−25=x

56. x2+9=x

57. 3+6x−11=x

58. 2+9x−8=x

59. 4x +25−x=7

60. 8x+73−x=10

61. 24x+3−3=2x

62. 26x+3−3=3x

63. 2x−4=14−10x

64. 3x−6=33−24x

65. x2−243=1

66. x2−543=3

67. x2+6×3+1=4

68. x2+2×3+5=7

69. 25×2-10x-73=-2

70. 9×2-12x-233=-3

71. 2×2-15x+25=(x+5)(x-5)

72. x2- 4x+4=x(5−x)

73. 2(x2+3x−20)3=(x+3)23

74. 3×2+3x+403=(x−5)23

75. x1/2−10=0

76. x1/2−6=0

77. x1/3+2=0

78. x1/3+4=0

79. (x−1)1 /2−3=0

80. (x+2)1/2−6=0

81. (2x−1)1/3+3=0

82. (3x−1)1/3−2=0

83. (4x+15)1/2−2x=0

84. (3x+2)1/2−3x=0

85. (2x+12)1/2−x=6

86. (4x+36)1/2−x=9

87. 2(5x+26)1/2=x+10

88. 3(x−1)1/2=x+1

89. Квадратный корень из удвоенного числа на 1 меньше числа равен на 2 меньше число. Найдите число.

90. Квадратный корень из 4 меньше удвоенного числа равен на 6 меньше числа. Найдите число.

91. Квадратный корень из удвоенного числа равен половине этого числа. Найдите число.

92. Квадратный корень из удвоенного числа равен одной трети этого числа. Найдите число.

93. Расстояние, d , измеренное в милях, на котором человек может увидеть объект, определяется по формуле d=6h3

, где h представляет собой рост человека над уровнем моря, измеренный в футах. На какой высоте должен находиться человек, чтобы увидеть объект на расстоянии 5 миль?

94. Текущая, I , измеряемое в амперах, определяется по формуле I=PR

, где P — потребляемая мощность, измеренная в ваттах, а R — сопротивление, измеренное в омах. Если лампочке требуется 1/2 ампера тока и она потребляет 60 Вт мощности, то каково сопротивление лампочки?

Период T маятника в секундах определяется формулой T=2πL32

где L представляет длину в футах. Для каждой приведенной ниже задачи рассчитайте длину маятника, учитывая период. Укажите точное значение, а приблизительное значение округлить до ближайшей десятой доли фута.

95. 1 секунда

96. 2 секунды

97. 1/2 секунды

98. 1/3 секунды

Время, объект в свободном падении, определяется по формуле t=s4

где с представляет расстояние в футах, на которое упал объект. Для каждой приведенной ниже задачи рассчитайте расстояние, на которое падает объект, учитывая количество времени.

99. 1 Второй

100. 2 секунды

101. 1/2 Второй

102. 1/4 Второй

. , 0), где x — действительное число. Следовательно, чтобы найти х — перехваты, установить y = 0 и найти x . Найдите x -перехватов для каждого из следующих. Часть B: Дискуссионная доска

107.