Исследовать функцию на ограниченность 10 класс примеры: 10.25. Исследуйте функцию на ограниченность:

🔝

🔝

Ограниченность и теорема об экстремальном значении

Теорема об экстремальных значениях по сути является расширением теоремы об ограниченности , которая утверждает, что непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале, ограничена на этом интервале. Теорема была впервые доказана в 1830-х годах чешским математиком Бернаром Больцано (1781-1848). Но что именно говорит эта теорема? Хорошо, помните, что если функция непрерывна , в нем нет пробелов и разрывов. Другими словами, вы можете нарисовать график функции от руки, не отрывая карандаша от бумаги. Помните также, что закрытый интервал — это интервал между двумя точками на оси x , который включает конечных точек. Замкнутый интервал между точками a и b на оси x , например, будет включать точки a и b и будет обозначаться как [ a , б ]. Пока все хорошо, но что мы подразумеваем под , ограниченным ?

Функция называется ограниченной , если существуют как верхний, так и нижний пределы значений, которые она может принимать. Другими словами, функция имеет как максимальное, так и минимальное значение, которого она может достичь. На самом деле, это немного сложнее, чем это. Чтобы понять почему, нам нужно изучить концепцию верхней и нижней границ . Верхняя граница может быть любым числом, равным или превышающим максимальное значение, которое может принимать функция. Точно так же нижняя граница может быть любым числом, которое меньше или равно наименьшему значению, которое может принимать функция. Если значения, возвращаемые некоторой непрерывной функцией, могут варьироваться, например, от один до два , то числа один , ноль и минус один являются нижними границами функции, а числа два , три и пять все верхние границы функции.

Однако здесь нас особенно интересует идея функции, имеющей наименьшую верхнюю границу и наибольшую нижнюю границу . наименьшая верхняя граница функции — это верхняя граница, которая либо равна , либо меньше каждой верхней границы функции. Следовательно, по определению это также будет максимальное значение , которое может получить функция. Точно так же наибольшая нижняя граница функции — это нижняя граница, которая либо равна , либо больше каждой нижней границы функции. Таким образом, это число будет минимальным значением , которое может получить функция. Мы можем выразить это немного более формально в терминах самой функции. Предположим, у нас есть функция ƒ( x ), которая непрерывна для всех x на отрезке [9].0003 A , B ], где A ≤ x ≤ B , затем ƒ ( x ) ограничено [ A , B ] по верхней границе Y _UB. , что ƒ( x ) никогда не превышает, и по нижнему пределу значения y _фунтов что ƒ( x ) никогда не меньше, чем для всех x на [ a ,

4 ,

4 , ].

Теорема об экстремальном значении расширяет теорему ограниченности. В то время как теорема об ограниченности утверждает, что непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале , должна быть ограничена на этом интервале, теорема об экстремальном значении идет дальше и утверждает, что функция должна достигать как своего максимального , так и минимального значения, каждый хотя бы раз. Иными словами, функция должна хотя бы один раз достичь значения, равного наименьшей верхней границе, и она также должна хотя бы один раз достичь значения, равного наибольшей нижней границе. Говоря несколько более формально, должно существовать хотя бы одно значение x  =  c , где c находится на [ a ,  b ], так что ƒ( c ) =  y 0 6 ub. Также должно существовать по крайней мере одно значение x  =  d , где d находится на [ a ,  b ], такое, что ƒ( d ) = 0 lb 6 909 y 9000 Рассмотрим следующую иллюстрацию.

График функции ƒ( x ) = 3 x ³  — 10 x ² определено на замкнутом интервале [-1, 3]

Здесь мы видим график полиномиальной функции ƒ( x ) = 3 x ³  — 10 x ² , определенной на отрезке [-1, 3]. Функция достигает абсолютного максимального значения при x  = c и абсолютного минимального значения при x  =  d . Значение, возвращаемое функцией ƒ( c ) будет наименьшей верхней границей функции, а значение, возвращаемое функцией ƒ( d ), будет наибольшей нижней границей функции. Заметим, что если бы функция была ограничена конечным интервалом, она простиралась бы до бесконечности как в положительном, так и в отрицательном направлениях. Если бы это было так, то, очевидно, не было бы ни верхних, ни нижних границ, ни абсолютных экстремумов.

Теорема об экстремальном значении по существу гарантирует, что для непрерывной функции, заданной на замкнутом интервале, функция всегда будет достигать некоторого абсолютного максимального значения по крайней мере один раз, а также будет достигать некоторого абсолютного минимального значения по крайней мере один раз. Однако, как и некоторые другие рассмотренные нами теоремы, она не говорит нам ничего более конкретного, например, где именно появятся эти экстремумы или каковы будут их фактические значения. Давайте подумаем, как найти абсолютные экстремумы для функции ƒ( x ) = 3 x ³  — 5 x  + 1 на замкнутом интервале [-3, 3]. Вот график функции:

График функции ƒ( x ) = 3 x ³  — 5 x  + 1, определенный на отрезке [-3, 3]

Мы знаем, что функция непрерывна, поскольку это полиномиальная функция, и поэтому она будет «хорошо себя вести». Поскольку он определен на замкнутом интервале, он соответствует критериям теоремы об экстремальных значениях и будет иметь как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение. Мы также знаем, что все экстремумы должны происходить в критических точках. Таким образом, каждый экстремум функции должен приходиться либо на стационарная точка (то есть поворотная точка ) или в одной из конечных точек интервала. Глядя на приведенную выше иллюстрацию, мы уже можем видеть, что экстремумы будут возникать в конечных точках интервала, но помимо этого график не дает нам большого представления о том, какими будут их значения.

Стандартная процедура нахождения абсолютных максимумов и минимумов в этой ситуации состоит в оценке функции для всех критических точек функции. Затем нам просто нужно определить, какая критическая точка имеет наибольшее значение (и, следовательно, является абсолютным максимумом), а какая критическая точка имеет наименьшее значение (и, таким образом, является абсолютным минимумом). Хотя мы видим, что две стационарные точки функции в данном случае не будут абсолютными экстремумами (хотя они и будет конечно будет локальные экстремумы ), продемонстрируем процедуру полностью. Чтобы найти стационарные критические точки функции (то есть точки поворота), мы должны сначала найти производную от ƒ( x ) = 3 x ³  — 5 x  + 1, применяя соответствующие правила дифференцирования:

ƒ′( x )  =  9 x ²  — 5

Теперь решим ƒ′( x ) = 0, чтобы найти его корни:

9 x ²  — 5  =  0

9 x ²   =  5

x ²   =   ⁵ / ₉   =  0,556

x   =  ± √(0,556)  =  ± 0,745

Теперь мы оценим ƒ( x ) для каждой из критических точек функции (включая ее конечные точки):

ƒ(-3)  =  (3)(-3) ³  — (5)(-3) + 1  =  -81 + 15 + 1  =  -65

ƒ(-0,745)  =  (3)(-0,745) ³  — (5)(-0,745) + 1  =  -1,240 + 3,725 + 1  = 3,485

ƒ(0,745)  =  (3)(0,745) ³  — (5)(0,745) + 1  =  1,240 — 3,725 + 1  =  -1,485

ƒ(3)  =  (3)(3) ³  — (5)(3) + 1  = 81 — 15 + 1  = 67

Функция ƒ( x ) = 3 x ³  — 5 x  + 1, определенная на отрезке [-3, 3], таким образом, имеет абсолютный минимум при x  = -3 из минус шестьдесят. -пять (-65) и абсолютный максимум при x  = 3 из шестьдесят семь (67). Вот еще раз график функции, на этот раз с осью y , уменьшенной по отношению к оси х , чтобы мы могли видеть, где кривая пересекает границы интервала. Хотя мы не можем сказать, просто взглянув на график, какие именно y координаты точек абсолютного максимума и минимума, график действительно соответствует рассчитанным нами значениям.

График функции ƒ( x ) = 3 x ³  — 5 x  + 1, масштабированный для отображения абсолютных экстремумов

Подробная процедура нахождения абсолютных экстремумов непрерывной функции ƒ( x ), заданной на отрезке [9].0003 a ,  b ] выглядит следующим образом:

1. Получите производную ƒ′( x ) от ƒ( x ).
2. Решите ƒ′( x ) = 0, чтобы найти критические точки ƒ( x ), которые попадают в интервал [ a ,  b ]. Помните, что критические точки, выходящие за пределы интервала, нас не интересуют.
3. Оценить функцию в критических точках, где ƒ′( x ) = 0 (или там, где производная не существует, например, в углах или стыках).
4. Оцените функцию в конечных точках интервала.
5. Определите максимальное и минимальное значения функции для интервала. Это будут абсолютный максимум и абсолютный минимум значения соответственно для функции.

Давайте посмотрим на другой пример. На этот раз мы найдем максимальное и минимальное значения функции ƒ( x ) =  x ⁴  — 3 x ³  — 1 определено на замкнутом интервале [-2, 2]. Эта функция также является полиномиальной функцией, поэтому мы знаем, что она будет непрерывной на интервале.

Сначала получаем производную:

ƒ′( x )  =  4 x ³  — 9 x ²

Затем мы решаем ƒ′( x ) = 0:

4 x ³  — 9 x ²   =  0

x ² (4 x  — 9)  =  0

x = 0   или   x =  ⁹ / ₄   =  2,25

Обратите внимание, что поскольку x  = 2,25 лежит за пределами интервала [-2, 2], эта конкретная критическая точка нас не интересует. Однако мы будем оценивать ƒ( x ) для другой определенной критической точки ( x  = 0) и для двух конечных точек интервала:

ƒ(-2)  =  (-2) ⁴  — (3)(-2) ³  — 1  =  16 + 24 — 1  = 39

ƒ(0)  =  (0) ⁴  — (3)(0) ³  — 1  =  -1

ƒ(2)  =  (2) 90 172  4  — (3)(2) ³  — 1  =  16 — 24 — 1  =  -9

Таким образом, наши максимальное и минимальное значения составляют тридцать девять (39) и минус девять (-9) соответственно. Для полноты картины приведен график функции ƒ( x ) = x ⁴  — 3 x ³  — 1. График производной ƒ( 90=03 х x ³  — 9 x ² показано пунктирной линией. Вы можете ясно видеть, что единственная критическая точка, попадающая в интервал [-2, 2], приходится на x  = 0.

Графики функции ƒ ( x ) = x ⁴ -3 x ³ -1 и его производная ƒ ′ ( x ) = 4 x ³ -9 x) = 4 x ³ — x) ²

Учебник по алгебре для колледжа 39

Урок 39. Нули полиномиальных функций, часть II:
Верхние и нижние оценки, теорема о промежуточном значении, основная теорема алгебры и теорема о линейной факторизации

WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория > Алгебра колледжа

Цели обучения

После завершения этого руководства вы сможете:

1. Определить, является ли заданное число верхней или нижней границей корней многочлен функция.
2. Используйте теорему о промежуточном значении для аппроксимации действительных нулей многочлен функции.
3. Знайте, что если недействительное комплексное число является корнем многочлена функция что его сопряженное также является корнем.
4. Знать, что такое основная теорема алгебры.
5. Используйте теорему о линейной факторизации, чтобы найти полином n-й степени функция учитывая его нули.

Введение

В этом уроке мы рассмотрим несколько аспектов иметь дело с нули полиномиальных функций. Если вам нужен обзор о том, как находить нулями, теоремой о рациональном нуле или правилом знаков Декарта, чувствовать бесплатно идти к Урок 38. Нули Полиномиальный Функции, часть I.   На этой странице мы погружаемся немного глубже в понятие нулей. Одна вещь, которую мы рассмотрим, это найти в верхняя и нижняя оценки корней полиномиальной функции. Этот может помогите нам сузить возможности рациональных нулей. Другой Концепция на этой странице — Теорема о промежуточном значении. Это может помочь сузить возможности реальных нулей, особенно тех, которые земли между целыми значениями. Мы также будем работать с ненастоящими сложный числа. Знаете ли вы, что если недействительное комплексное число равно нулю полиномиальной функции, что ее сопряженная тоже? Мы воля Проследите это, используя Фундаментальную теорему алгебры и Линейный Теорема о факторизации для нахождения полиномиальных функций с заданными нулями. Ух ты, похоже, у нас есть наша работа вырезали для нас. Я думаю, тебе лучше начать.

Учебник

Верхняя и нижняя граница Теорема

Верхняя граница
Если вы делите полиномиальную функцию f ( x ) по ( х — с ), где c > 0, используя синтетическое деление, и это дает все положительные числа, тогда c является верхней границей действительных корней уравнения f ( x ) = 0,

Обратите внимание, что для c должны произойти две вещи. быть верхней границей. Один c > 0 или положительный. Во-вторых, все коэффициенты частного, а также остаток являются положительными.

Нижняя граница
Если вы делите полиномиальную функцию f ( x ) по ( x — c ), где c < 0, с использованием синтетического деления, что приводит к чередованию знаков, тогда c является нижней границей действительных корней уравнения f ( x ) = 0. Обратите внимание, что нули могут быть как положительными, так и отрицательный.

Обратите внимание, что для c должны произойти две вещи. быть нижней границей. Один c < 0 или отрицательный. Во-вторых, последовательные коэффициенты частное а остальные имеют чередующиеся знаки.

Пример 1 : Показать, что все действительные корни уравнения лежат между — 4 и 4.

Другими словами, нам нужно показать, что — 4 меньше связаны и 4 верхняя граница действительных корней данного уравнения.

Проверка Нижняя граница:
Давайте применим синтетическое деление с — 4 и посмотрим, получим ли мы чередующиеся знаки:

Обратите внимание, как c = -4 < 0 И последующие знаки в нижнем ряду нашего синтетического деления чередуются .

Вы знаете, что это значит?

— 4 является нижней границей действительных корней этого уравнение.

Проверка Верхняя граница:
Давайте применим синтетическое деление на 4 и посмотрим, получим ли мы все положительные значения:

Обратите внимание, что c = 4 > 0 И все знаков в нижнем ряду нашего синтетического деления положительный.

Вы знаете, что это значит?

4 является верхней границей действительных корней этого уравнение.

Так как — 4 является нижней границей, а 4 является верхней границей для настоящие корни уравнения, то это означает все действительные корни уравнения лежат между — 4 и 4.

Промежуточное значение Теорема

Если f ( x ) является полиномиальная функция и f ( a ) и f ( b ) имеют разные знаки, то есть хотя бы один значение, с ,
между a и b так, что f ( c ) = 0,

Другими словами, если у вас есть полиномиальная функция и одно входное значение делает функцию положительной, а другую отрицательной, то имеет быть хотя бы одним значением между ними, которое вызывает полином функция быть 0.

Это работает, потому что 0 отделяет положительные от негативы. Таким образом, чтобы перейти от положительного к отрицательному или наоборот, вам придется ударять точка между ними проходит через 0.

Пример 2 : Покажите, что реальный нуль находится между 2 и 3. Используйте промежуточное значение. теорема найти приближение этого нуля с точностью до десятых.

При поиске функциональных значений вы можете либо использовать синтетическое подразделение или напрямую подключите номер к функции. Поскольку мы будем только интересно узнать функциональное значение в этой задаче, я идущий чтобы напрямую подключить мое значение x к функция. Если бы мне нужно было больше, например, знаки частного, например выше, тогда я бы использовал синтетическое деление.

Находка f (2):

Находка f (3):

Поскольку между f 2) меняется знак = -2 и f (3) = 5, то по промежуточному Значение Теорема , существует по крайней мере одно значение между 2 и 3, которое является нулем этой полиномиальной функции.

Проверка функциональных значений с интервалом в одну десятую для смены знака:

Finding f (2.1):

Finding f (2.2):

Finding f (2.3):

Finding f (2. 4):

Находка f (2.5):

Эй, у нас смена вывески!!!!!

Теперь нам нужно найти ноль с точностью до десятых. Так это происходит быть х = 2,4 или х = 2,5. Мы не можем обязательно руководствоваться функциональной ценностью. ближе до нуля.

Нам нужно копнуть немного глубже и пройти мимо интервалы сотых:

Находка f (2.41):

Находка f (2.42):

Находка f (2.43):

Находка f (2.44):

Находка f (2.45 ): 9

Ух ты!!!! Наконец мы подошли к смене знака между последовательный сотые. Это означает, что мы немного сузили его лучше. Между 2,44 и 2,45 есть ноль.

905:28 Поскольку он приземлится чуть ниже 2,45, ближайший десятый бы быть 2,4.

Работа здесь не тяжелая, просто утомительная.

Основная теорема Алгебра

Каждое уравнение полиномиальной функции f ( x ) = 0 степени один или выше имеет хотя бы один комплексный корень.

Имейте в виду, что комплексные числа включают действительные числа. Настоящий числа — это комплексные числа, мнимая часть которых равна 0.

Сопряженные корни

В уравнениях полиномиальных функций недействительные комплексные корни всегда происходят в сопряженных парах.

Другими словами, если комплексное число с мнимой часть является корнем уравнения полиномиальной функции, то его сопряженное также является корнем та самая функция.

Помните, что сопряжение a + bi равно a — bi . Итак, если 2 + 3 i — известный корень многочлен уравнение функции, то 2 — 3 я также.

Если вам нужен обзор комплексных чисел, смело обращайтесь до Учебник 12: Комплексные числа.

Линейная факторизация Теорема

Если

где n > 1 и 

, затем 

, где комплексные числа
(возможно реальный и не обязательно отдельно)

Другими словами, полиномиальная функция степени n , где n > 0, можно разложить на множители в n (не обязательно различных) линейных множителей по комплексному числу поле.

Имейте в виду, что некоторые факторы могут проявляться более чем один раз. время. Для каждый раз, когда появляется линейный коэффициент, он считается линейным. фактор. Например, если , линейный фактор ( x + 2) имеет множественность 3, что означает, что фактор встречается три раза. Так технически есть 4 линейных множителя, один ( x — 3) и три ( x + 2). Это соответствует степень полиномиальной функции.

Пример 3 : Используйте данный корень, чтобы найти все корни многочлен уравнение ; 1 + я .

Поскольку комплексное число 1 + i является корнем, значит сопряжено 1 — и тоже корень. Это поможет нам разбить функцию, чтобы найти любые другие корни.

Это делается так же, как если бы вам дали настоящий ноль.

Если вам нужен обзор по нахождению корней многочлена уравнение f ( x ) =0 при получении рута смело переходите к туториалу 37: Синтетическое деление и теоремы об остатках и множителях.

Использование синтетического деления для нахождения частного получить:

Фу!!! Посмотрите на все эти комплексные числа в частном. Не бойтесь, когда мы подставляем наше сопряжение, используя это частное, те сложный числа исчезнут, и у нас останется хорошее частное с настоящий числовые коэффициенты.

Проверить это:

Теперь мы кое-что получили. Отсюда мы можем переписать оригинал проблема с использованием корней, которые у нас есть выше, и частного, которое мы закончился с этим последним синтетическим подразделением.

*Первые два множителя равны x минус комплексные нули
*3-й множитель — это частное найдено непосредственно выше

*Данный комплексный ноль

*Сопряженный ноль

*Установка 3-го коэффициента = 0

Итак, корни полиномиального уравнения равны 1 + i , 1 — и и -3/5.

Пример 4 : Фактор а) как произведение факторов, неприводимых на рациональные числа, б) как произведение множителей, неприводимых над действительными числами, и в) в полностью факторизованной форме, включающей комплексные недействительные числа.

Фактор как произведение факторов, которые неприводимый над рациональным номера:

*Множитель трехчлена

Так как 11 не является идеальным квадратом, это то, что мы может фактор это используя только рациональные числа.

Фактор как произведение несократимых факторов над реальными числами:

*Учитывайте разницу квадратов

Знаете ли вы, что сумму квадратов можно разложить на множители? над комплексом недействительные числа как ?

Полностью факторизованная форма, включающая сложные недействительные номера:

Обратите внимание, как после того, как мы пересчитали комплексные числа что мы закончили с четырьмя линейными множителями и что наш полином был четвертой степени.

Создание многочлена Функция, когда дается Нули

Теперь мы собираемся все изменить. В следующий два примера, нам будут заданы нули и степень полиномиальной функции, и мы нужно выяснить, что это за многочлен.

Шаг 1: Используйте данный нулями и теоремой о линейной факторизации, чтобы выписать все факторы полиномиальной функции.  

Имейте в виду, что если вам дали ненастоящую комплексный ноль, что его сопряженное тоже ноль.

Также имейте в виду, что степень говорит вам, как много линейных факторов над комплексными числами (возможно, действительными и не обязательно различными) что у вас будет.

Факторы записываются следующим образом: если c — ноль, чем ( x — c ) является фактором полиномиальной функции.

Шаг 2. Умножьте все коэффициенты, найденные на шаге 1.

Пример 5 : найти n -й степени многочлен функция где n = 3; 2 + 3 и и 4 — нули; ф (3) = -20.

Шаг 1: Используйте данный нулями и теоремой о линейной факторизации, чтобы записать вне все факторы полиномиальной функции.

Поскольку наша степень равна 3, значит, есть три линейные коэффициенты над комплексные числа (возможно, действительные и не обязательно различные).

Обратите внимание, что нам даны только два нуля. Мы должны придумать третий. Есть ли у вас какие-либо идеи?

Ах да, если недействительное комплексное число равно нулю, то его сопряжение тоже ноль. Так как 2 + 3 i есть нуль, значит 2 — 3 i тоже ноль.

Используя теорему о линейной факторизации мы получить:

Шаг 2: Умножить все факторов, найденных на шаге 1.

*Расст. — через комп. номера

*Умножить комп. коэффициенты
*Упростить ( i в квадрате = -1)
*Умножить оставшиеся множители

Эта проблема дала другое условие, f (3) = -20.

Это поможет нам найти в этой задаче.

* ф (3) = -20

*Решите для a sub n

Собираем все вместе, получаем:

Практические задачи

Это тренировочные задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти виды проблем. Математика работает так же, как и все в противном случае, если вы хотите добиться в этом успеха, вам нужно практиковаться. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.

Чтобы получить максимальную отдачу от этого, вы должны решить проблему на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответа/обсуждения для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

 

Практика Задача 1а:   Показать, что все действительные корни данное уравнение лежат между -3 и 4.

1а.
(ответ/обсуждение к 1а)

 

Практика Задача 2а: Показать, что данный многочлен имеет реальный ноль между заданные целые числа. Используйте теорему о промежуточном значении, чтобы найти приближение этого нуля с точностью до десятых.

2а. ; между -1 и -2.
(ответ/обсуждение к 2а)

 

Практика Задача 3а: Используйте заданный корень, чтобы найти все корни заданное полиномиальное уравнение.

3а. ; 2 i
(ответ/обсуждение к 3а)

 

Практика Задача 4а: Фактор данного многочлена функция  а) как произведение множителей, неприводимых над рациональными числами, б) как в произведение множителей, неприводимых над действительными числами, и c) в полностью факторизованная форма, включающая комплексные недействительные числа.

4а.
(ответ/обсуждение к 4а)

 

Практика Задача 5а: Найдите n 9Полином 0576-й степени функция с данные условия

5а.