Исследовать на сходимость числовой ряд онлайн с решением: Сходимость ряда — исследование онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Сходимость ряда с примерами решения

Содержание:

1. Сходимость ряда. Основные понятия
2. Примеры с решением

Сходимость ряда. Основные понятия

Числовым рядом называется выражение вида: где числа называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

при имеет конечный предел:

Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Примеры с решением

Пример 5.1.

Написать пять первых членов последовательности, если ее член имеет вид:

Решение:

Вместо подставляем

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример 5.

2.

Пользуясь непосредственно определением, показать что ряд сходится, и найти его сумму.

Решение:

По определению частичной суммы ряда имеем:

Таким образом, получаем следующую последовательность частичных сумм: общий член которой равен: Ясно, что эта последователь ность сходится и ее предел равен единице: Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна единице. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: — это необходимый признак сходимости ряда. Если же то ряд расходится — это достаточный признак расходимости ряда.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Показательные комплексные числа

Ряды: примеры решения

Признаки сходимости рядов

Исследовать ряд на сходимость: пример решения

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда (1) начиная с некоторого номера, не превосходят соответствующих членов ряда (2) то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрическая прогрессия которая сходится при и расходится при и гармонический ряд являющийся расходящимся рядом.

2. Признак Даламбера. Если для ряда то при ряд сходится, при — расходится (при вопрос о сходимости ряда остается нерешенным).

Пример 5.3.

Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд

расходится.

Решение:

Найдем Таким образом, предел общего члена ряда при п —> со отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Это означает, что данный ряд расходится.

Пример 5.4.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравним данный ряд с рядом (*) Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем При этом каждый член аи данного ряда меньше соответствующего члена ряда (*). Поэтому, согласно признаку сравнения, данный ряд сходится.

Пример 5.5.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Сравним данный ряд с гармоническим рядом 1 Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена гармонического ряда. Так как гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравнения, расходится и данный ряд.

Пример 5.6.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Каждый член ряда (*) меньше соответствующего члена ряда Как было показано в Задаче 5.2. последний ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд (*). Сходимость исходного ряда, отличающегося от ряда (*) наличием первого члена 1, теперь очевидна.

Пример 5.7.

С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда

Решение:

Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать член ряда. Он получается путем подстановки в выражение общего члена ряда вместо п числа Теперь найдем предел отношения члена к члену при

Так как то данный ряд сходится.

Пример 5.8.

Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд

Решение:

Зная найдем член ряда:

Вычислим Так как то ряд расходится.

Пример 5.9.

На основании признака Даламбера исследовать сходимость ряда

Решение:

Зная член ряда запишем член:

Отсюда

Так как то ряд сходится. Признак сходимости Лейбница. Знакочередующимся рядом называется ряд вида (1) где — положительные числа. Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости. Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов.

Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, — это погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.

Пример 5.10.

Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

Решение:

Так как члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: и общий член при стремится к нулю: то в силу признака Лейбница ряд сходится. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Рядах (1) называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд (2) составленный из абсолютных величин членов рядов (1), сходится, то ряд (1) также сходится. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из абсолютных величин членов данного ряда (1).

Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 5.12.

Исследовать на сходимость ряд

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как Следовательно, первоначальный ряд является абсолютно сходящимся.

Признаки сходимости числовых рядов

Занятие 71. Тема «Признаки сходимости числовых рядов»

План лекции:

1. Признаки сходимости рядов

2. Примеры исследования рядов на сходимость

3. Самостоятельная работа для студентов

Признаки сходимости рядов

1. Признак сравнения рядов с положительными членами

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда. Существуют два признака сравнения – первый и второй.

1. Признак Даламбера

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие  , то ряд сходится при dd1.

Признак Даламбера не дает ответа, если d=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

1. Признак Коши (радикальный признак)

Если для ряда с неотрицательными членами выполняется условие  , то ряд сходится при cc1.

Признак Даламбера не дает ответа, если c=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

1. Интегральный признак Коши

Если функция – непрерывна, положительная и монотонно убывающая, то ряд с неотрицательными членами, где ,  будет сходиться или расходиться в зависимости от того, чему равен интеграл . Если интеграл равен бесконечности, то ряд расходится, если равен какому-нибудь числу, то ряд сходится.

1. Признак Лейбница

Теорема. Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.  ; Общий член ряда стремится к нулю:

Примеры исследования рядов на сходимость

Пример 1. Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости

Решение.

Имеем .

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда, применяя признак сравнения .

Решение. Проверим необходимый признак сходимости  ряда ,

Который выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

, который сходится, поскольку , следовательно, сходится и данный ряд.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

Решение.

Имеем

Значит, данный ряд расходится.

Пример 4. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость по интегральном признаку Коши ряд

Решение: возьмем общий член данного ряда и заменим в нем n на х. Затем вычислим следующий интеграл

Сделаем замену ln(x+1)=t , также заменим пределы интегрирования при х=1 — t=ln2, а при x= — t= , в итоге получим интеграл

Пример 6. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

 Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

, но .

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

;

Самостоятельная работа для студентов

1. Переписать конспект лекции

2. Пользуясь этим и теоретическим материалом учебника П.Е. Данко «Высшая математика в упражнениях и задачах» часть 2 глава III §1 стр.67 решить из учебника №305, №307, №311

Выполненное задание отправить в виде фото на адрес в контакте https://vk.com/id52519522.

реальный анализ — Существуют ли ряды, сходимость которых неизвестна?

спросил 11 лет, 9 месяцев назад

Изменено 3 месяца назад

Просмотрено 33 тысячи раз

$\begingroup$

Существуют ли бесконечные ряды, о которых мы не знаем, сходится он или нет? Или тесты на сходимость исчерпывающие, так что в руках компетентного математика любой ряд в конце концов покажет, сходится или расходится?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Люди были достаточно любезны, чтобы указать, что без наложения ограничений на термины тривиально найти такие последовательности «открытых проблем». \epsilon$, поэтому расходится. Это можно выразить через меру иррациональности $\pi$. Последовательность $x_n$ сходится к нулю, если мера иррациональности $\pi$ меньше 3, и расходится, если она больше 3. В настоящее время наилучшей известной оценкой меры иррациональности является то, что она составляет не более $7,6063. $ ^* (см. ссылку на страницу mathworld выше). Ожидается, что мера иррациональности $\pi$ равна 2 (известно, что все множества действительных чисел, кроме нулевой меры, имеют меру иррациональности 2). Поэтому ожидается, что $x_n$ стремится к нулю, но доказательств этого на данный момент нет.

[ * Самая известная оценка меры иррациональности, приведенная на странице mathworld, была улучшена! Сейчас это 7,10320533, согласно (еще не рецензируемой) статье Зейлбергера и Зудлина, 2019 г.kx\}-\frac{1}{2}}{k},$$

, где фигурные скобки обозначают функцию дробной части, а $x\in [0,1]$. Почти для всех чисел $x$ неизвестно, сходится ряд или нет. Считается, что оно сходится почти для каждого числа, однако очень трудно придумать единственное нерациональное число, а не искусственно созданное, чтобы был известен статус сходимости. Если, например, вы сможете доказать, что оно сходится при $x = \frac{\pi}{4}$ (все твердо верят в то, что оно сходится, и это подтверждается эмпирическими данными), вы мгновенно станете очень известным в математическом сообществе. . Скорее всего, невозможно доказать или опровергнуть сходимость для $x=\pi,e,\log 2$ и большинства других математических констант. Этот вопрос был поднят в разделе 4.3.(a) этой статьи, где вы можете найти более подробную информацию об этом. 92 bcd \leq n} {\sum_ {a\geq 1}\sum_ {b\geq 2}\sum_ {c\geq 2}\sum_ {d\geq 2}} 1 + \cdots}_{\text{ число чередующихся сумм} >

\frac{\log(n)}{\log(2)}}\right)=0$$

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Обязательно, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

реальный анализ — сходимость/расхождение с использованием сравнительного теста

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 8 месяцев назад

Изменено 6 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 356 раз 9\infty \frac{1}{n} = 1+\frac12+\frac13+.

No related posts.