Исследовать на сходимость ряды с положительными числами: Исследование степенного ряда на сходимость

Содержание

Курс высшей математики, Т.1

В.И.Смирнов Курс высшей математики, Т.1.: Изд-во «Наука». 1974. — 479 с.

Фундаментальный учебник по высшей математике, выдержавший более двадцати изданий, переведенный на множество языков мира, отличается, с одной стороны, систематичностью и строгостью изложения, а с другой – простым языком, подробными пояснениями и многочисленными примерами. Книга состоит из пяти томов. Тома третий и четвертый – каждый из двух частей.

Для студентов университетов и технических вузов.

3. Величины постоянные и переменные.
4. Промежуток.
5. Понятие о функции.
6. Аналитический способ задания функциональной зависимости.
7. Неявные функции.
8. Табличный способ.
9. Графический способ изображения чисел.
10. Координаты.
11. График и уравнение кривой.
12. Линейная функция.
13. Приращение. Основное свойство линейной функции.
14. График равномерного движения.
15. Эмпирические формулы.
16. Парабола второй степени.
17. Парабола третьей степени.
18. Закон обратной пропорциональности.
19. Степенная функция.
20. Обратные функции.
21. Многозначность функции.
22. Показательная и логарифмическая функции.
23. Тригонометрические функции.
24. Обратные тригонометрические, или круговые, функции.
§ 2. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
25. Упорядоченное переменное.
26. Величины бесконечно малые.
27. Предел переменной величины.
28. Основные теоремы.
29. Величины бесконечно большие.

30. Монотонные переменные.
31. Признак Коши существования предела.
32. Одновременное изменение двух переменных величин, связанных функциональной зависимостью.
33. Примеры.
34. Непрерывность функции.
35. Свойства непрерывных функций.
36. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин.
37. Примеры.
38. Число е.
39. Недоказанные предложения.
40. Вещественные числа.
41. Действия над вещественными числами.
42. Точные границы числовых множеств. Признаки существования предела.
43. Свойства непрерывных функций.
44. Непрерывность элементарных функций.
ГЛАВА II. ПОНЯТИЕ О ПРОИЗВОДНОЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
45. Понятие о производной.
46. Геометрическое значение производной.
47. Производные простейших функций.
48. Производные сложных и обратных функций.
49. Таблица производных и примеры.
50. Понятие о дифференциале.
51. Некоторые дифференциальные уравнения.
52. Оценка погрешностей.
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
53.

Производные высших порядков.
54. Механическое значение второй производной.
55. Дифференциалы высших порядков.
56. Разности функций.
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНОЙ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ
57. Признаки возрастания и убывания функций.
58. Максимумы и минимумы функций.
59. Построение графиков.
60. Наибольшее и наименьшее значения функций.
61. Теорема Ферма.
62. Теорема Ролля.
63. Формула Лагранжа.
64. Формула Коши.
65. Раскрытие неопределенностей.
66. Различные виды неопределенностей.
§ 6. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
68. Частные производные и полный дифференциал функции двух независимых переменных.
69. Производные сложных и неявных функций.

§ 7. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ О ПРОИЗВОДНЫХ
70. Дифференциал дуги.
71. Выпуклость, вогнутость и кривизна.
72. Асимптоты.
73. Построение графиков.
74. Параметрическое задание кривой.
75. Уравнение Ван-дер-Ваальса.
76. Особые точки кривых.
77.

Элементы кривой.
78. Цепная линия.
79. Циклоида.
80. Эпициклоиды и гипоциклоиды.
81. Развертка круга.
82. Кривые в полярных координатах.
83. Спирали.
85. Овалы Кассини и лемниската.
ГЛАВА III. ПОНЯТИЕ ОБ ИНТЕГРАЛЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
86. Понятие о неопределенном интеграле.
87. Определенный интеграл как предел суммы.
88. Связь определенного и неопределенного интегралов.
89. Свойства неопределенного интеграла.
90. Таблица простейших интегралов.
91. Правило интегрирования по частям.
92. Правило замены переменных. Примеры.
93. Примеры дифференциальных уравнений первого порядка.
§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
94. Основные свойства определенного интеграла.
95. Теорема о среднем.
96. Существование первообразной функции.
97. Разрыв подынтегральной функции.
98. Бесконечные пределы.
99. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
100. Интегрирование по частям.
§ 10. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОНЯТИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
101.

Вычисление площадей.
102. Площадь сектора.
103. Длина дуги.
104. Вычисление объемов тел по их поперечным сечениям.
105. Объем тела вращения.
106. Поверхность тела вращения.
107. Определение центров тяжести. Теоремы Гульдина.
108. Приближенное вычисление определенных интегралов; формулы прямоугольников и трапеций.
109. Формула касательных и формула Понселе.

110. Формула Симпсона.
111. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом.
112. Графические способы.
113. Площади быстро колеблющихся кривых.
§ 11. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
115. Разбиение промежутка на части и образование различных сумм.
116. Интегрируемые функции.
117. Свойства интегрируемых функций.
ГЛАВА IV. РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
118. Понятие о бесконечном ряде.
119. Основные свойства бесконечных рядов.
120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.
121. Признаки Коши и Даламбера.

122. Интегральный признак сходимости Коши.
123. Знакопеременные ряды.
124. Абсолютно сходящиеся ряды.
125. Общий признак сходимости.
§ 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
126. Формула Тейлора.
127. Различные виды формулы Тейлора.
128. Ряды Тейлора и Маклорена.

129. Разложение exp(x).
130. Разложение sin x и cos x.
131. Бином Ньютона.
132. Разложение log(1+x).
133. Разложение arctg x.
134. Приближенные формулы.
135. Максимумы, минимумы и точки перегиба.
136. Раскрытие неопределенностей.
§ 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ
137. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
138. Умножение абсолютно сходящихся рядов.
139. Признак Куммера.
140. Признак Гаусса.
141. Гипергеометрический ряд.
142. Двойные ряды.
143. Ряды с переменными членами. Равномерно сходящиеся ряды.
144. Равномерно сходящиеся последовательности функций.
145. Свойства равномерно сходящихся последовательностей.
146. Свойства равномерно сходящихся рядов.

147. Признаки равномерной сходимости.
148. Степенные ряды. Радиус сходимости.
149. Вторая теорема Абеля.

150. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
ГЛАВА V. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ
152. О предельном переходе.
153. Частные производные и полный дифференциал первого порядка.
154. Однородные функции.
155. Частные производные высших порядков.
156. Дифференциалы высших порядков.
157. Неявные функции.
158. Пример.
159. Существование неявных функций.
160. Кривые в пространстве и поверхности.
§ 16. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
161. Распространение формулы Тейлора на случай функции от нескольких независимых переменных.
162. Необходимые условия максимума и минимума функции.
163. Исследование максимума и минимума функции двух независимых переменных.
164. Примеры.
165. Дополнительные замечания о нахождении максимумов и минимумов функции.

166. Наибольшее и наименьшее значения функции.
167. Относительные максимумы и минимумы.
168. Дополнительные замечания.
169. Примеры.
ГЛАВА VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, НАЧАЛА ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
170. Комплексные числа.
171. Сложение и вычитание комплексных чисел.
172. Умножение комплексных чисел.
173. Деление комплексных чисел.
174. Возвышение в степень.
175. Извлечение корня.
176. Показательная функция.
177. Тригонометрические и гиперболические функции.
178. Цепная линия.
179. Логарифмирование.
180. Синусоидальные величины и векторные диаграммы.
181. Примеры.
182. Кривые в комплексной форме.
183. Представление гармонического колебания в комплексной форме.
§ 18. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ МНОГОЧЛЕНОВ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ КОРНЕЙ
185. Разложение многочлена на множители.
186. Кратные корни.
187. Правило Горнера.
188. Общий наибольший делитель.
189. Вещественные многочлены.
190. Зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами.

191. Уравнение третьей степени.
192. Решение кубического уравнения в тригонометрической форме.
193. Способ итерации.
194. Способ Ньютона.
195. Способ простого интерполирования.
§ 19. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
196. Разложение рациональной дроби на простейшие.
197. Интегрирование рациональной дроби.
198. Интеграл от выражений, содержащих радикалы.
199. Интегралы вида…
200. Интегралы вида…
201. Интегралы вида…

Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Цель урока:

•Обеспечение усвоения понятия числового ряда, его суммы, сходящегося и расходящегося рядов.

•Формирование представлений о признаках сходимости ряда.

•Формирование умений исследования сходимости ряда.

Числовым рядом называется сумма вида:

un u1 u2 u3 … un …

n 1

где числа u1, u2, u3,…,un,. .. – члены ряда

(бесконечная последовательность), un – общий член ряда.

Частичные суммы ряда: S1=u1,

S2=u1+u2, S3=u1+u2+u3,

…………………..

Sn=u1+u2+u3+…+un

Если	lim Sn S	или	lim(u1 u2 … un ) S	,
	n		n

то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда.

un u1 u2 … un … S

n 1

Если частичная сумма Sn ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (в частности, стремится к

+∞ или к -∞), то такой ряд называется

расходящимся.

Пример. Найти сумму членов ряда:

Находим частичные суммы членов ряда:

Запишем последовательность частичных сумм:

…

Общий член этой последовательности есть: n/(2n+1)

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный 1/2. Итак, ряд сходится и его сумма равна 1/2.

Необходимый признак сходимости ряда


un		может сходиться только при
Ряд n 1		может сходиться только при
условии, что его общий член un				при
неограниченном		увеличении номера		n
стремится к нулю: lim un 0
		n

lim un 0		un
Если n	,	то ряд n 1	расходится – это

достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами

а) Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда: исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

б) Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами


un u1 u2 … un un 1…(un 0)
n 1
выполняется условиеlim un 1	l , то ряд сходится при

l<1 и расходится приnl>1.un

Признак Даламбера не дает ответа, если l=1. В этом случае для исследования ряда применяют другие приемы.

Геометрический ряд

-образован из членов геометрической прогрессии:

aqn a aq aq2 … aqn .. .

n 0

(a 0)

сходится при |q|<1

расходится при |q|≥1

Обобщенный гармонический ряд

	1		1	1		1
		1			…		…
	p		p	p		p
n 1	n		2	3		n

сходится при p >1

расходится при p ≤1

Math Tutor — Серия — Решенные задачи

Math Tutor — Серия — Решенные задачи — Проверка сходимости

Задача: Исследуйте сходимость следующего ряда. (Имеет ли это сходятся? Если да, то как?)

Решение: Нужно проверить сходимость заданного ряда и также на его абсолютной сходимости. Начнем с первого. Что может мы говорим об условиях этого ряда? Общеизвестно, что грех( к ) достигает положительных и отрицательных значений совершенно нерегулярным образом, причем эти значения никогда не равны точно 1 или −1, функция грех( x ) просто выбирает числа из диапазона (−1,1), обычно требуется три положительных, а затем три отрицательных одни, но иногда, просто для разнообразия и без всякого шаблона, вбрасывает четыре положительных числа или четыре отрицательных числа. В частности, нет способ использовать Тест чередующейся серии и типичный курс исчисления не предлагает инструментов для обработки таких рядов.

Здесь, в Math Tutor, мы пошли немного дальше, некоторые продвинутые курсы также упоминают менее популярные, но иногда мощные тесты, в частности мы ввели в Тест Дирихле. Можно ли использовать в нашей ситуации? Цифры b _k &nbsp= 1/ k обязательно удовлетворить предположений, так что остается только проверить, что члены a _k = sin( k ) форма ряд, частичные суммы которого ограничены.

На самом деле, это очень хороший вопрос. Мы уже вспоминали, что обычно есть три положительных, затем три отрицательных, а затем три положительных числа и т. д. время от времени появляются четыре одинаковых знака, так что вполне возможно, что они бы хорошо продолжали отменять. Это действительно так, но доказать это другое дело. Относительно простой аргумент может быть сделан с использованием сложных чисел и парочка известных формул, в частности формула для частичные суммы геометрический ряд.

Мы показали, что все частичные суммы ограничены общей константой поэтому данного ряда удовлетворяют предположениям теста Дирихле. и поэтому сходится с .

Кстати, число в знаменателе выше равно 2sin(1/2).

Некоторых людей могут оттолкнуть приведенные выше сложные числа, и они спросят: вопрос не имеет ничего общего с комплексными числами, есть ли способ доказать эта ограниченность только с использованием действительных чисел? На самом деле есть, но это в по крайней мере так же сложно, как комплексные числа, описанные выше. Это начинается с этого наблюдение. один конкретный триггерная личность может использоваться для выражения греха( к ) следующим образом:

С какой стати нам делать такие вещи? Обратите внимание, что мы преобразовали sin( k ) в разность, и мы будем добавлять много таких термины, которые должны звонить в колокольчик: телескопическая серия.

Уфф. Я не знаю хорошего доказательства. Кстати, у нас получились такие же верхние связаны, как с подходом комплексных чисел.

Теперь переходим к исследованию абсолютная сходимость данный сериал. Мы должны решить сходимость ряда

Какой тест нам поможет? Синус предполагает, что мы пытаемся сравнение. Мы получаем

К сожалению, серия справа гармонический ряд, который дивергенция хорошо известна, например, р -тест. Таким образом, это сравнение вообще не помогает. Обратите внимание, что синус по модулю выбирает значения из весь диапазон (0,1), поэтому для некоторых k член |sin( k )|/ k равно нулю, в то время как для других к это почти 1/ к . Другими словами, Используемая нами оценка максимально точна, мы не можем пойти ниже с верхним граница.

Поскольку |sin( k )| не имеет предела на бесконечности, это нет смысла утверждать, что он выглядит так или иначе для к большой, поэтому нет возможности использовать предельное сравнение.

Отсутствие сходимости синусоидальной части также исключает предельные варианты в Корневой тест и Тест соотношения. С тех пор, как мы очевидно, не может интегрировать синус по модулю (и соответствующие функция все равно не является невозрастающей), мы не можем использовать Интегральный тест либо и мы просто закончились тесты для использования. Поэтому определенно стоит потратить время на вернитесь к тесту корня и тесту отношения и спросите о более общем версии их неравенства.

Из опыта мы знаем, что к в знаменателе не помогает при все, так как в этих двух тестах он дает 1. Мы можем увидеть это, когда попытаемся используйте лимитную версию.

Таким образом, если мы хотим установить некоторое неравенство, мы должны использовать часть синуса для этого. И тут нам совсем не повезло. Синусоидальная часть никогда больше чем 1, поэтому мы не можем доказать расхождение в корневом тесте. С другой стороны, иногда sin( k ) настолько близок к 1, что [грех( k )] ^{1/ k} становится произвольно близким к 1, и мы не можем отделить его от 1, как это необходимо для сходимости. Таким образом также версия неравенства теста Root не помогает.

Мы сталкиваемся с аналогичными проблемами с тестом Ratio. Соотношение sin( k + 1)/sin( k ) может быть почти 0, но оно также может быть очень большим, определенно больше 1. Таким образом, невозможно чтобы установить любое неравенство, необходимое в этом тесте.

У нас просто закончились тесты, которые обычно известны людям, а также менее популярные тесты из раздела Больше тестов в теории — Тестирование конвергенция не предлагает никакого выхода.

Мы вынуждены сделать вывод, что известные нам тесты и стандартные подходы недостаточно хороши, чтобы определить сходимость этого ряда; это значит, что пока мы не знаем, сходится ли данный ряд абсолютно.

Заметим, что если бы у нас не было критерия Дирихле, мы бы знали абсолютно ничего о нашей серии. Испытание чередующейся серии не могло использоваться; в таком случае мы обычно переходим к абсолютной сходимости, но здесь мы тоже столкнулись с неприятностями. Итак, инструменты, которые традиционно покрываются курсы исчисления бессильны в этой задаче. На самом деле есть способ решить конвергенцию, но это требует, чтобы мы посмотрели ближе на данный ряд.

по сути это гармонический ряд, который термины были изменены. Что происходит с ними? Мы знаем, что для бесконечно многих k числа |sin( k )| по сути 1, так много членов гармонического ряда (который, как известно, расходится) на самом деле сохранились в нашей серии. С другой стороны, мы знаем, что sin( k ) по существу равен 0 для бесконечного множества k , поэтому очень многие члены гармонического ряда выпадают, когда мы его модифицируем. Таким образом сходимость или расходимость нашего ряда зависит от того, сколько членов получится (почти) сохранились по сравнению с теми, что (почти) исчезли. В других Другими словами, нам нужно больше знать о том, что происходит в функции синуса.

Хорошим началом является наблюдение, что для каждого малого значения | грех( к )| также должно быть довольно большое значение, поэтому в целом есть более «большие» значения, чем малые значения. Действительно, представьте себе график синуса. Если мы хотим | грех( к )| быть почти нулевым, то целое число k должно находиться почти рядом с некоторым пересечением графика синусов и x осей; то есть k должно быть по существу n π для некоторого целого числа и . Но тогда следующее целое число к + 1, должен падать вблизи вершины синусоиды и поэтому должен уступать (после подставляя в синус) относительно большое число. То же самое работает и для k − 1, поэтому мы действительно имеют гораздо большие числа, чем «почти нули» среди тех, |sin( k )|. Это предполагает расхождение (мы сохраняем большое часть гармонического ряда при его модификации), но их пока нет. Мы утверждал, что «существует больше больших членов, чем почти нулей», но это не так. не позволяют сказать, что, скажем, хотя бы половину слагаемых в ряду мы исследования велики, потому что это спаривание, которое мы исследовали только относится к экстремальным значениям, в то время как большинство членов ряда на самом деле где-то посередине — и мы ничего об этом пока не знаем. Если мы должны преуспеть, мы должны узнать что-то о них.

Есть как минимум два подхода к этому, две возможности получить более ощутимое наблюдение. Во-первых, обратите внимание, что пара k , k + 1 обладает интересным свойством: соответствующие значения получают сбалансирован независимо от того, где он расположен относительно синусоид. Просто возьмите отрезок длины 1 (отрезок [ x , x + 1] для реального x ) и сдвиньте его вдоль оси x на картинке.

Кажется, что по крайней мере один конец всегда дает большое значение синуса, иногда оба. Поскольку мы не знаем, какой конец больше, лучший способ выразить это, чтобы на самом деле говорить о сумме двух значений. Мы утверждаем что существует некоторое положительное число a такое, что сумма |грех( x )| и |sin( x + 1)| всегда по крайней мере . Это можно показать стандартными методами, т. на самом деле эта волшебная нижняя граница есть sin(1), подробнее см. это примечание.

Доказав это, мы можем показать, что наш ряд расходится. Сначала мы группируем его термины в пары.

Поскольку все члены этого ряда положительны, ассоциативный закон может быть применяется здесь, (это на самом деле не так очевидно, как кажется, см. Основные свойства в Теория — Введение). Таким образом, сходимость ряда слева равна эквивалентно сходимости нового ряда справа. Однако там мы можно использовать сравнение.

Это доказывает, что ряд слева расходится, поэтому ряд с по абсолютной величине расходится, поэтому данный ряд не является абсолютно сходится.
Вывод: Данный ряд сходится условно.

Альтернатива: Представляя, что может произойти на графике синуса, мы можно также заметить следующее: когда мы берем три последовательных целых числа, то, по крайней мере, один из них делает |sin( k )| большой, а именно больше, чем 1/2. Это на самом деле доказывается довольно легко, см. это примечание.

Установив это, мы действуем так же, как и раньше. Сначала мы группируем наши ряды на тройки.

Теперь посмотрим на одну такую тройку, для простоты положим несколько положительных константы на вершине и, используя наше наблюдение, мы знаем, что по крайней мере одна из их больше 1/2. Таким образом, мы можем оценить

Используя это при разложении нашего ряда на триплеты, получаем

Это подтверждает расходимость нашего ряда.

Так что в итоге мы выиграли, но это была тяжелая работа. Обратите внимание, что есть сериалы, превзойти даже самые сложные тесты и трюки, например сходимость или расходимость следующего ряда, хотя и довольно красивая, пока неизвестна.

(По крайней мере, это было в 2004 году, когда я в последний раз проверял, так что даже если бы это было неправдой сейчас, это показывает, что такая простая серия может выдержать несколько столетий атак всевозможными тестами сходимости и уловками.)

Назад к решенным проблемам — Проверка сходимости

Серия

с положительными постоянными членами

Пример 6.29.

Прыгающие мячи.

Предположим, что мы одновременно бросаем два мяча с высоты одного фута, и первый отскакивает на высоту одного фута при каждом отскоке. (Вопрос к моим инженерам-механикам. Почему, если вы изобретете этот мяч, вы сможете уйти на пенсию?) Второй мяч каждый раз отскакивает на половину высоты, с которой он падал. Какое расстояние проходит каждый мяч? Ответ:

\begin{уравнение*} \mbox{Мяч 1: } 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \dots \end{уравнение*}

\begin{уравнение*} \mbox{Шар 2: } 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \dots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots. \end{уравнение*}

Такие суммы называются рядами или бесконечными рядами , а отдельные числа, которые складываются, называются членами ряда . Первая сумма не «складывается», поэтому скажем, что расходится с . Вторая сумма «складывается», поэтому мы будем говорить, что сходится с . Чтобы убедиться, что вторая сумма сходится, пусть

\begin{уравнение*} S_1 = 1, \; S_2 = 1 + 1, \; S_3 = 1 + 1 + \frac{1}{2}, \; S_4 = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}, \; \точки \end{уравнение*}

и рассмотрим предел этой новой последовательности, которую мы создали. Сгенерированная нами новая последовательность \(S_1, S_2, S_3, \dots\) называется последовательностью частичных сумм ряда и выглядит следующим образом: 9{th}\) частичная сумма, и мы смогли вычислить предел. Во многих случаях мы сможем определить, сходится ли конкретный ряд, но не узнаем из теста, к чему он сходится. Знание того, что ряд сходится, ценно, потому что, пока мы знаем , что ряд сходится, мы можем использовать наши калькуляторы или системы компьютерной алгебры, чтобы добавить достаточно терминов, чтобы максимально приблизиться к ответу. 2\текст{,}\) \(\cdots\текст{.}\) 9{\infty} a_n}\) где \(r\lt 1.\) (Что происходит, когда \(r = 1\) или \(r > 1\text{?}\)).

Во многих задачах на ряды полезно записать несколько терминов, чтобы увидеть, есть ли что-то общее, что можно вынести из суммы. Это трюк 49.2.b, раздел 8 из межгалактической «Математической книги», которую выдают, когда вы получаете степень доктора философии.

Задача 6.38.

Определите, сходятся ли эти геометрические ряды, и если да, то к какому числу.

9{n-1}} }\)

Если вы решаете только одну задачу по исчислению, сделайте эту.

Задача 6.39.

Если банкир говорит вам, что вы будете зарабатывать 6% процентов ежемесячно, то вы на самом деле будете зарабатывать \(\frac{6}{12}\)% каждый месяц, что лучше, чем 6% годовых, поскольку вы получаете проценты на свои интерес. Предположим, вы откладываете 300 долларов в месяц и зарабатываете \(\frac{6}{12}\)% процентов от суммы денег в банке в конце каждого месяца. Сколько денег у вас будет через 30 лет? Сколько было сбережений? Сколько было процентов? 9{th}\) проверка членов сказала нам, что если члены не стремятся к нулю, то ряд расходится. Это не означает, что если члены приближаются к нулю, то ряд сходится. Следующая задача иллюстрирует два важных момента. Во-первых, он показывает, что ряд может иметь члены, стремящиеся к нулю, но не сходящиеся. Во-вторых, он показывает способ помочь определить, сходится ли ряд, путем сравнения ряда и тесно связанного с ним интеграла.

Задача 6.43.

Гармонический ряд.

Пусть \(\dsp a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{2}, a_3 = \frac{1}{3}, \dots\text{.}\)

Найти \(\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n}\text{.}\)
Пусть \(\dsp f(x) = \frac{1}{x}\) определено на \([1, \infty)\) и начертите график как \(f\), так и нашей последовательности, \(a_n = \frac{1}{n}\) для \(n=1,2,3,\dots\) на тех же осях координат.
Прямоугольники эскиза (суммы Римана), площадь которых приблизительно равна площади под кривой, \(f\text{.
No related posts.