Исследовать систему линейных уравнений на совместность онлайн: Исследование систем линейных уравнений онлайн

Содержание

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. (Тема 9.2)

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

• Системой m линейных уравнений с n
неизвестными х1, х2, …, хn называется система
вида
(*)
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
…………………………………….
a m1 x1 a m 2 x2 … a mn xn bm
aij — коэффициенты системы, i=1,…,m; j=1,…,n
bi — свободные члены.

• Решением системы (*) называется такой набор
чисел (с1, с2,…, сn), что при его подстановке в
систему вместо соответствующих неизвестных
(с1 вместо х1, …, сn вместо хn) каждое из
уравнений системы обращается в тождество.
Система линейных уравнений
Совместная
Несовместная
(имеет хотя бы одно решение)
(не имеет ни одного решения)
Определённая
(имеет единственное решение)
Неопределённая
(имеет более одного решениябесконечное множество решений)
В случае неопределённой системы каждое её решение
называется частным решением системы. Совокупность
всех частных решений называется общим решением.
• Если b1=b2=…=bm=0, то система называется
однородной; в противном случае она
называется неоднородной.
• Две системы называются эквивалентными или
равносильными, если любое решение одной из
них является также решением другой, т.е. если
они имеют одно и то же множество решений.
(любые две несовместные
эквивалентными)
системы
считаются
• Элементарными преобразованиями линейной
системы называются следующие преобразования:
— перестановка уравнений системы;
— умножение или деление коэффициентов и свободных
членов на одно и то же число, отличное от нуля;
— сложение и вычитание уравнений;
— исключение из системы тех уравнений, в которых все
коэффициенты и свободные члены равны нулю.

• Систему (*) можно записать в матричной форме:
АХ=В,
где
a11 a12 … a1n
a 21
A
…
a
m1
a 22
…
am 2
… a 2 n
… …
… a mn
x1
матрица-столбец
x2
X (вектор-столбец)
неизвестных
x
n
матрица коэффициентов
системы;
b1
b2
B
b
m
матрица-столбец
(вектор-столбец)
свободных членов
• Расширенной матрицей системы (*) называется
матрица
a11
a21
A B
…
a
m1
a12
a22
…
am 2
А
… a1n b1
… a2 n b2
… … …
… amn bm
В

9. Исследование системы линейных уравнений.

• Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных уравнений (*) совместна
тогда и только тогда, когда ранг матрицы
системы равен рангу расширенной матрицы
системы:
rang ( A) rang ( A B)

10. Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы- выяснить, является ли она опр

Исследовать систему линейных уравнений означает
определить, совместна она или нет, а для
совместной системы- выяснить, является ли она
определенной или нет.

1) Если rang(A)≠rang(A B), то система несовместна.
2) Если rang(A)=rang(A B)=n (где n- число неизвестных), то
система совместна и определённа (имеет единственное
решение).
3) Если rang(A)=rang(A B)<n (где n- число неизвестных), то
система совместна и неопределённа (имеет бесконечное
множество решений).

11. Правила решения произвольной системы линейных уравнений.

Найти ранги основной и расширенной матриц
системы. Если rang(A)≠rang(A B), то система
несовместна.
Если rang(A)=rang(A B)=r, то система совместна.
Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять r
уравнений, из элементов которых составлен базисный
минор. Неизвестные, коэффициенты которых входят в
базисный минор, называют базисными или главными,
а остальные n-r неизвестных называют свободными.
Выразить базисные (главные) неизвестные через
свободные.
Придавая свободным неизвестным произвольные
значения,
получим
соответствующие
значения
базисных (главных) неизвестных.

Таким образом
находим частные решения исходной системы
уравнений.

13. 3. Метод Гаусса

(метод последовательного исключения неизвестных)
Систему уравнений приводят к эквивалентной
ей системе с треугольной матрицей (к
ступенчатому виду).
Из
полученной
треугольной
системы
переменные
находят
с
помощью
последовательных подстановок.
1. Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
x1 x2 x3 x4 4
2 x x 3x 2 x 1
1 2
3
4
x1 x3 2 x4 6
3 x1 x2 x3 x4 0
Прямой ход
x1 x2 x3 x4 4
2 x x 3x 2 x 1
1 2
3
4
x1 x3 2 x4 6
3 x1 x2 x3 x4 0
1 1 1 1
2 1 3 2
1 0 1 2
3 1 1 1
4
1
6
0
×(-2) ×(-1) ×(-3)
→
1 1 1 1 4
0 3 5 4 7
0 1 0
1 2
0 4 4 4 12 : (-4)
→
1
0
0
0
→
1 4
1 1 1 3
0 1 2 5 ×2 : (-1)
0 2 1 2
1 1 1 1
0 1 1 1
0 1 0
1
0 3 5 4
1 1
→
1
0
0
0
4
×3
3
+
2
7
4
1 1 1 3
0 1 2 5
0 0
3 12
1 1
1
А
A B
rang(A)=rang( A B)=4=n
система совместна и имеет
единственное решение
обратный ход
x1 x2 x3 x4 4
x 2 x3 x 4 3
x 3 2 x 4 5
3 x4 12
x4 4
x 2x 5
3
4
x 2 x3 x 4 3
x1 x2 x3 x4 4
x4 4
x 3
3
x2 2
x1 1
Ответ: (1; 2; 3; 4)
2.

Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
x1 2 x2 2 x3 3 x4 1
6 x 3 x 3 x x 9
1
2
3
4
7 x1 x2 x3 2 x4 8
3 x1 9 x2 9 x3 10 x4 12
x1 2 x2 2 x3 3 x4 1
6 x 3 x 3 x x 9
1
2
3
4
7 x1 x2 x3 2 x4 8
3 x1 9 x2 9 x3 10 x4 12
1
2
2
3
6 3 3 1
7 1
1 2
3 9
9 10
1
9
8
12
×(-6) ×7
×3
→
→
1 2
2
3
0 15 15 19
0 15
15
19
0 15
15
19
1
15
15
15
+ →
1 2
2
3
0 15 15 19
0 0
0
0
0 0
0
0
система совместна и
имеет
бесконечное
множество решений
rang(A)=rang(A B)=2<(n=4)
базисный минор порядка r =2:
1
15
0
0
1
2
0 15
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n — r = 2: х3, х4.
0
x1 2 x2 2 x3 3×4 1
15×2 15×3 19 x4 15
x1 2 x2 2 x3 3×4 1
15 x2 15 x3 19 x4 15
x1 2 x2 2 x3 3×4 1
x x 19 x 1
2
3
4
15
19
x1 2 x3 x4 1 2 x3 3×4 1
15
38
x1 2 x3
x4 2 2 x3 3×4 1
15
7
x1 x4 1
15
7
19
1 x 4 ; 1 x3 x 4 ;
15
15
х1
х2
x3 ;
x4
общее решение
пусть
x3 0; x4 0
1;
тогда частное решение
1; 0; 0
Делаем проверку и записываем ответ:
Ответ:
общее решение: 1
частное решение:
7
19
x 4 ; 1 x3 x 4 ;
15
15
1;
1; 0; 0
x3 ;
x4
3.

Исследовать систему линейных уравнений. Если
она совместна, то найти её общее и одно частное
решение.
x1 x2 x3 4
x1 2 x2 3×3 0
2x 2x 3
1
3
1 1 1 4
1 2 3 0
2 0 2 3
×(-1)
×2
1 1 1 4
→ 0 1 2 4 ×(-2)
0 2 4 5
→
1 1 1 4
→ 0 1 2 4
0 0 0 13
rang(A)=2;
rang(A B)=3
А
A B
rang(A)≠rang(A B) ⇒ система несовместна
Ответ: система несовместна
x1 x2 x3 4
x 2 2 x3 4
0 x3 13
• Если b1=b2=…=bm=0, то система называется
однородной.

27. Однородная система линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных однородных
уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn 0
a x a x … a x 0
21 1 22 2
2n n
…………………………………….
am1 x1 am 2 x2 … amn xn 0
• Однородная система всегда совместна,
так как существует тривиальное решение
х1= х2=…=хn=0
• Однородная система имеет бесконечное
множество решений, тогда и только
тогда, когда rang(A)<n
1.

Решить систему линейных уравнений :
0
2 x1 6 x2 x3
x 2x 2x 4x 0
1
2
3
4
x1 4 x2 5 x3 4 x4 0
3 x1
x3 2 x 4 0
Запишем расширенную матрицу и приведём её к ступенчатому
виду:
2
1
1
3
0 0
2
2 2 4 0
1
4 5 4 0
1
3
0 1
2 0
6
1
2
1
3
1
2 2 4
6 1
0
4 5 4
0 1
2
×(-2)
0
2 2 4
4 5 4
0 1
2
6
1
×(-3)
+
→
→
1 2 2 4
5
8 ×(-3)
0 2
0 6
3
0
0 6 7 10
1
0
0
0
2 2
2 5
0 12
0
22
: 12
34 : 2
4
8
24
×3
1
0
0
0
→
2 2
2 5
0 1
0
11
4
8
2
17
×11

1
0
0
0
1 2 2 4
4
5 8
0 2 5 8
1 2
0 0 1 2
0 0 0
0
5
5
2 2
2
0
0
0
0
0
0
А
A B
rang(A)=rang(A B)=4=(n=4) ⇒
система совместна и определённа, то есть имеет единственное
решение х1= х2= х3 =х4=0.

1
0
0
0
4 0
5 8 0
1 2 0
0
5 0
2 2
2
0
0
x1 2 x2 2 x3 4 x4 0
2 x 2 5 x3 8 x 4 0
x3 2 x 4 0
5 x4 0
x1 0
x 0
2
x3 0
x 4 0
Ответ: (0, 0, 0, 0)
2. Решить систему линейных уравнений :
x1 x2 x3 0
2 x1 x2 x3 0
1 1 1
2 1 1
×(-2)
1 1 1
→
0 3 3 : 3
1 1 1
0 1 1
система совместна и
имеет
бесконечное
множество решений
rang(A)=rang(A B)=2<(n=3)
базисный минор порядка r =2:
1 1
0
0 1
базисные переменные: х1, х2
свободные переменные n — r = 1: х3
x1 x2 x3 0
x2 x3 0
⇒
x1 x2 x3
x2 x3
x1 x3 x3 0
Тогда общее решение системы:
(0, х3, х3)
Пусть
x3 1 , тогда частное решение: (0; 1; 1)
Делаем проверку и получаем ответ:
Ответ:
общее решение: (0; х3; х3)
частное решение: (0; 1; 1)

English Русский Правила

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Похожие презентации:

Системы линейных алгебраических уравнений

Решение систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений

Численное решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ

Обратная матрица. Матричный способ решения линейной системы уравнений. Формулы Крамера

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Линейная алгебра. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Лекция 5

Системы линейных уравнений. (Тема 9.1)

1. ТЕМА 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ Алгебраических УРАВНЕНИЙ

Система m линейных уравнений с n
переменными имеет вид:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1 22 2
2n n
2
…………………………………..
am1x1 am 2 x2 … amn xn bm
aij
bi
— коэффициенты системы,
— свободные члены.
Решением системы называется такая
совокупность значений, при подстановке которых
каждое уравнение системы обращается в верное
равенство.

Система линейных уравнений называется:
совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
несовместной, если она не имеет решений;
определенной, если она имеет единственное
решение;
неопределенной, если она имеет более одного
решения;
однородной, если все bi=0;
неоднородной, если не все bi=0.
Методы решения систем
1. Метод Крамера
Рассмотрим систему n линейных уравнений
неизвестными:
a11x1 a12 x2 … a1n xn b1
c
n
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
……………………………………..
an1 x1 an 2 x2 … ann xn bn
Теорема Крамера:
Пусть Δ — определитель матрицы системы,
Δi — определитель матрицы, получаемой из
матрицы
A
заменой
столбца коэффициентов
аij при xi столбцом свободных членов.
Тогда, если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение,
определяемое по формулам:
j
xj
— формула Крамера.
Вспомним тему: Определители
Определитель квадратной матрицы – это число,
вычисляемое по определённым правилам.

Обозначают: |А|, ΔА, detA .
Определитель 2-го
порядка:
a11 a12
2
a11 a22 a21a12
a21 a22
2 3
1 5
2 5 1 3 7
Боковая
диагональ
Главная
диагональ
Определитель 3-го порядка:
Правило Саррюса (правило треугольников)
a11
a12
a13
a21
a22
a 23
a31
a 32
a33
a11a22a33 a21a32a13 a12a23a 31
a31a22a13 a21a12a33 a 32 a23a11
1 1 1
2
1
1 1 1 1 2 ( 1) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 1) 5
1 2
Вспомним тему: Алгебраические дополнения и
миноры
a11 a1 j ……a1n В квадратной матрице n-го
порядка рассмотрим элемент aij.
ai1 aij ……ain Вычеркнем i-ю строку и j-ый
A
столбец, на пересечении которых
…………………. стоит элемент aij. В результате
матрица
(n-1)-го
a a .. .. a получается
nn
n1 nj
порядка.
Минором Мij к элементу aij матрицы n-го порядка
называется определитель матрицы (n-1)-го порядка,
полученной из исходной матрицы вычеркиванием
строки и
i-й
j-го столбца.

Алгебраическим дополнением Аij к элементу aij
матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со
знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «-»,
если сумма нечетная: A 1 i. j M
ij
ij
Пример. Решить систему методом Крамера:
x1 2 x2 x3 0
2 x1 x2 3 x3 0
x x x 1
2
3
1
1 2 1
Решение. 1)Определитель матрицы системы: 2 1 3 5 0
1
2) Вычислим определители
1
0 2 1
1 0 1
1
1
3 5
1
Δ1, Δ2, Δ3 :
0 1
2 2 0
1
1
1 1
3 5
1
2
0
3 2 1 0 5.
1
1
1
1
3) Подставим полученные значения в формулу Крамера:
1
5
x1
1,
5
2
5
x2
1,
5
3 5
x3
1
5
2. Матричный метод
Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:
a11x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
……………………………………..
an1 x1 an 2 x2 … ann xn bn
x1
x2
X
.

…
x
n
a11 a12 …a1n
a21 a22 …a2 n
A
…………………
a a …a
n1 n 2 nn
матрица коэффициентов
системы
b1
b2
матрица-столбец B
….
переменных
b
n
Запишем эту систему в матричном виде.
1
A X B
Обозначим:
X A B
матрица столбец
свободных членов
— решение системы
Вспомним тему : умножение матриц
Произведением матрицы А размера m x n на матрицу
В размера n x k есть матрица С размера m x k ,
каждый элемент которой вычисляется по формуле:
n
cij ais bsj .
dim A m n
dim B n k
s 1
C A B существует
dim C m k
Вывод: число столбцов первого множителя должно
равняться числу строк второго множителя.
3
1
1 0 2
3
2
5
3 1 0 2 3
2
4 3 2
2
c11 1 ( 1) 0 5 2 2 3
11
7 2 2
c12 1 3 0 ( 2) 2 4 11
10
Пример. Решить систему матричным методом
x1 2 x2 x3 0
ОБОЗНАЧИМ
2 x1 x2 3 x3 0
x x x 1
2
3
1
x1
X x2
x
3
1 2 1
A 2 1 3
1 1
1
1.

Вычислим определитель матрицы
1
2
det A 2 1
1
1
1
3 5 0
1
0
B 0
1
3. Вычисляем обратную матрицу:
3 2 0,2
0,6 0,4
1
1 ~ 1
1
A
A 3 1
1 0,6 0,2
0,2
A
5
0,2 0,4 0,6
1
2
3
4.
Проверка:
1
1
A A AA E
3 2 1 1 1
1
5 0 0
1
1
1
A A 3 1
1 2 1 1 0 5 0 E
5
5
1
2
3
1
1
2
0
0
5
Вспомним тему : Обратная матрица
Матрица А является невырожденной (неособенной),
если |А|≠0, иначе матрица называется вырожденной
(особенной).
Матрица
А-1
называется
обратной
матрицей
к
квадратной матрице А, если при умножении этой
матрицы на данную как справа, так и слева получается
единичная матрица: 1
1
A A A A E
А11 А 21 А n1
1 А12 А 22 А n 2
1
A
A
А А
А
2n
nn
1n
алгебраические
дополнения к элементам
строки
записаны
в
столбец
Пример.

Найти матрицу обратную к
матрице: A 2
1
Решение.
1. Вычислим определитель матрицы
1 1 1
А 2
1
1 5 0
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
определитель матрицы не равен
нулю, значит обратная матрица
существует
2. Находим алгебраические дополнения элементов
матрицы
A11 1
1 1
A12 1
2 1
1 1
1 2
A13 1
1 3
1 2
1 2
2 1
1 1
1
A21 1
2 1
1 1
1
2
1 1
3 A22 1
1 A23 1
1 1
2 2
2 3
1
1 2
1
3 A31 1
1
2
3 1
1 1
2
1
1
A32 1
1 1
A33 1
1 1
3 2
3 3
2 1
2
1
1
3
2. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы и
составим обратную матрицу
1 3
A11 1 1 1
4
1 1
2 3
A12 1 1 2
1
1 1
2 1
1
3
A13 1
3
1 1
Обратная матрица
3. Решение системы
2 1
3 1 2 1 5
A21 1 2 1
3 A31 1
1 3
1 1
1 1
3 2 1 1 5
A22 1 2 2
2 A32 1
2 3
1 1
3 3 1 2 5
1 2
2
3
A
1
33
A23 1
1
2 1
1 1
5
4 3
1
1
A
2 5
1
5
3
1
5
4
1
1
X A B
1
5
3
x1 1, x2 1, x3
3
2
1
1.

5 0
5 1
1
5 0
5 1
5
5 1
5 1
3. Метод Гаусса
Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1 22 2
2n n
2
…………………………………..
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm
Apа сши р
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n
A
B
основная м атрица
м атрица св ободных
систем
( а ) ы чл( bенов
a a a a
)
ij
i
mn
m1 m 2 m 3
b1
— расширенная
b2
матрица
системы
bm
Цель: с помощью элементарных эквивалентных преобразований
получить трапецивидную (треугольную) матрицу
a11 a12 a13 a14 b1
a21 a22 a23 a24 b2
a
31 a32 a33 a34 b3
c11 c12 c13 c14 d1
0 c22 c23 c24 d 2
0 0 c
c
d
33
34
3
Пример.
Решить систему методом Гаусса
Решение:
5 x 2 y 4 z 5
2 x 3 y z 7
3 x y 2 z 3
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 2)
( 3)
~
Римскими
2 3 1 7
2 3 1 7
цифрами I, II, III
~
3 1 2 3 обозначим 3 1 2
3
номера строк
1
~
8
0 19
0 4
6
9
1 8
0 19 13 25
0 23 16 30
системы
9 ( 5) 1 8 6 9 1 4 8 6 9
~ 0 1 2 0
~
13 25
0
0 1 2
0 0 5 5
0 4 3 5
3
5
6
Восстановим систему:
x 8 y 6 z 9
y 2z 0
5z 5
x 9 8 y 6 z
y 2z 2
z 1
x 1 y 2 z 1
x 9 16 6 1
y 2
z 1

18.

Исследование систем линейных уравненийТеорема Кронекера — Капелли. Для того, чтобы система
линейных алгебраических уравнений была совместна (имела
решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной
матрицы системы равнялся рангу матрицы коэффициентов:
r ( Ap) r ( A)
r ( Ap) r ( A) , то система несовместна (не имеет
Если
решений).
r ( Ap) r ( A) n
Если
(числу неизвестных), то система
совместна и определенна (имеет единственное решение).
r ( Ap) r ( A) n
Если
, то система совместна
неопределенна (имеет бесконечное множество решений):
и
Бесконечное множество решений:
r ( Ap) r ( A) n
Система имеет r базисных переменных и n – r свободных
переменных.
Общее решение системы запишется в виде:
x1(t1,…, tn r )
…
xr (t1,…, tn r )
X
t1
…
tn r
Базисные переменные,
зависящие от свободных
переменных
Свободные
переменные
t1 xr 1; t 2 xr 2; tn r xn

20.

Ранг матрицыРассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
a11 a12
a 21 a 22
a
a 32
31
am1 am 2
a13
a 23
a 33
am3
a1n
a 2n
a3n
amn
M2
a12
a1n
a32
a3 n
Выделим в этой матрице k произвольных строк и k
произвольных столбцов. Элементы матрицы А, стоящие
на пересечении выделенных строк и столбцов,
образуют определитель k — того порядка.
Минором
k-го
порядка
матрицы
А
называют
определитель,
полученный
из
А
выделением
произвольных k строк и k столбцов.
Рангом матрицы называется наибольший порядок
отличного от нуля минора этой матрицы.
2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
2
Матрица А имеет 4 минора 3 — его порядка,
например:
18 миноров 2 — го порядка, например:
2
3
0 2
3
4
0 2 3 20
0
4
12 миноров 1 — го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r ( A ) 3
2
2
Базисным минором называется определитель, порядок
которого равен рангу матрицы.

Он может быть не
единственным.
Теорема.
Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы.
Эквивалентные преобразования:
Умножение или деление элементов одного ряда на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух рядов
Прибавление к элементам ряда
параллельного
ряда,
умноженного
множитель
Вычеркивание нулевого ряда
элементов другого
на
произвольный
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы,
приведенной к треугольному виду.
1 3 2
A 0 5 4 ~
1 7 6
1 3 2 ( 2)
~
0 5 4
0 10 8
1 3 2
0 5 4
0 0 0
r( A ) 2
Два ряда матрицы называются линейно зависимыми,
если их линейная комбинация с коэффициентами, не все
из которых равны нулю, дает нулевой ряд.
В противном случае ряды называются линейно
независимыми.
Теорема.
Ранг матрицы равен числу линейно независимых рядов
Пример. Решить систему:
Решение
x1
x2
x3
2 x1 2 x2 2 x3 4
x x x 0
1
2
3
3 x1 3 x2 x3 2
x1 x2 3 x3 2
2
:
2
2 2 2 4
1
1
1
2
( 3) 1 1 1
2 2 V
A p 1 1 1 0 ~ 1 1 1 0 V
0 0 2 2
3 3 1 2
~
0 0 4 4
3 3 1 2
~
1 1 3 2
0 0 4
4
1
1
3
2
x1 x2 x3
2
1 1 1
2
1 1 1
r ( Ap) r ( A) 2 совместна
0 0 2 2
0 0 — 2 2
0 0 0
0
r ( Ap) n неопределенна
0
0 0 0
2 базисных переменных, т.

к. r 2 например, x1 , x3
1 свободная переменная, т.к. n r 3 2 1 например, x2 t
Восстановим систему:
x1 1 t
x
2
t
x
1
t
x
t
x
2
1
1
3
3
x2 t
2
x
2
x
1
3
3
x 1
3

25. Однородные системы линейных уравнений

a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a x a x a x 0
21 1
22 2
2n n
am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
Однородная система всегда имеет решение:
x1 0 x2 0 xn 0
— тривиальное решение.
Оно является единственным решением системы в случае, когда
r ( A) n
Если r ( A)
решений.
n , то система имеет бесконечное множество
Решить однородную систему уравнений:
x1 x2 5 x3 7 x4 0
2 x1 x2 4 x3 x4 0
3 x 2 x x 6 x 0
1
2
3
4
1 1 5 7
0 1 14 15
0 1 14 15
1 1 5 7
0 1 14 15
n r 4 2 2
1 1 5 7
1
2 1 4
3 2 1 6
~
1 1 5 7
0 1 14 15
0 0
0
0
r ( A) 2
n 4
( 2)
( 3)
~
( 1)
~
множество решений
— число свободных переменных

English Русский Правила

Алгебра 1 Курс онлайн — Учебная помощь по алгебре 1

Урок (36)
ДЕТАЛИОбзор
Отзывы

Рейтинг 5 из 5 к аллен з из очень хороший метод обучения. простым способом охватила множество тем и сделала АЛГЕБРУ увлекательной

Дата публикации: 04.03.2023

Рейтинг 5 из 5 к RW Математический квест от Алгебра 1 Этот курс просто фантастический. Детализация каждого шага была именно тем, что мне было нужно. Я думаю, что этот учитель одарен, и я так благодарен за этот курс, делающий алгебру понятной для меня.

Дата публикации: 28 февраля 2023 г.

Рейтинг 5 из 5 к Шемрия из Профессор Селлер избавил меня от математической фобии Хотя прошли десятилетия, мои воспоминания о школьной математике остались крайне негативными. Я долгое время считал, что математика — это просто то, что мой мозг не может понять. Я решила заказать этот курс, чтобы иметь некоторое представление о том, что изучает мой сын. Я не ожидал, что усвою все содержание; Я стремился просто выучить некоторые параметры и словарный запас. КАКОЙ СЮРПРИЗ! Я проплыл через этот контент. Профессор Селлерс — талантливый профессор. Он предвосхищает те области, которые могут вызвать путаницу, и очень искусно проясняет их. Теперь я с нетерпением жду его курса Алгебра 2. Спасибо профессору Продавцу за то, что превратили меня в математика! Надеюсь, вы скоро предложите курс исчисления для великих курсов.

Дата публикации: 2023-02-12

Рейтинг 5 из 5 к укикостик от Отличный курс Объяснения очень понятные, примеров много. Вы получите базовые знания по алгебре.

Дата публикации: 17.01.2023

Рейтинг 5 из 5 к Роберт Себастьян из Очень хорошо представлено и понятно Преподаватель очень красноречив и искренне любит предмет. Он тщательно объясняет темы и примеры в ненавязчивой и ободряющей манере. Я должен сказать, что это один из самых приятных курсов, которые я когда-либо смотрел.

Дата публикации: 30.11.2022

Рейтинг 5 из 5 к RoguishOwl от Отличные уроки Прошло более 10 лет с тех пор, как я занимался алгеброй, и эта серия стала отличным курсом для обновления моих навыков. лекция представляет уроки в спокойном и полезном тоне. И объяснения сделаны шаг за шагом и легко понять.

Дата публикации: 13.05.2022

Рейтинг 5 из 5 к Маркарр из Хотел бы я начать здесь! Хотел бы я начать здесь, а не использовать другие курсы Алгебры 1. Я бы избавил себя от стольких разочарований.

Дата публикации: 20.04.2022

Рейтинг 5 из 5 к Джинч из Отличное учение!! Это ЛУЧШИЙ учитель алгебры!! Он очень ЯСНО объясняет каждый шаг и приводит достаточно примеров, подтверждающих его объяснение.

Тоже отличная рабочая тетрадь! Мне 72 года, и я решил обновить алгебру на случай, если я смогу обучать студента, если это необходимо. Я также хочу, чтобы мой разум был свежим. Большое спасибо!!

Дата публикации: 2022-04-19

Обзор

Алгебра I — это совершенно новый курс, разработанный с учетом интересов учащихся и их родителей. Эти 36 доступных лекций делают концепции алгебры первого года обучения, включая переменные, порядок операций и функции, легкими для понимания. Для всех, кто хочет изучать алгебру с самого начала, или для тех, кто нуждается в тщательном обзоре, профессор Джеймс А. Селлерс окажется вдохновляющим и идеальным наставником. Откройте для себя мир возможностей, которые предлагает алгебра, сделав наилучший старт в освоении этого крайне важного предмета.

О

Джеймс А. Селлерс

Если вы не уверены в основных математических фактах, алгебра будет для вас сложнее, чем должна быть. Проводите каждый день просмотр карточек с математическими фактами, и вы удивитесь, насколько лучше вы разбираетесь в математике!

ALMA MATER

Университет штата Пенсильвания

УЧРЕЖДЕНИЕ

Университет штата Пенсильвания

Д-р Джеймс А. Селлерс — профессор математики и директор отделения математики бакалавриата в Университете штата Пенсильвания. Он получил степень бакалавра. по математике Техасского университета в Сан-Антонио и докторскую степень. по математике из штата Пенсильвания. За последние несколько лет профессор Селлерс получил награду Терезы Коэн за математические услуги от Департамента математики штата Пенсильвания и награду за наставничество Американской математической ассоциации в Allegheny Mountain Section. Более 60 исследовательских статей профессора Селлерса по разделам и смежным темам были опубликованы в самых разных рецензируемых журналах. В 2008 году он был приглашенным ученым в Институте Исаака Ньютона Кембриджского университета.

Профессор Селлерс много раз общался в старшей и средней школе. Он работал инструктором для учащихся средних школ по программе TexPREP в Сан-Антонио, штат Техас. Он также работал с Saxon Publishers над пересмотром ряда учебников для средней школы. Как домашний педагог и отец пятерых детей, он говорил с различными организациями домашнего образования об учебных программах по математике и проблемах преподавания.

Этот профессор

Прицеп

01: Введение в курс

Профессор Селлерс представляет общие темы и темы курса, описывает свой подход и рекомендует стратегию для наилучшего использования уроков и дополнительной рабочей тетради. Разминка с некоторыми простыми задачами, которые демонстрируют знаковые числа и операции.

33 мин.

02: Порядок действий

Порядок, в котором вы выполняете простые арифметические операции, может иметь большое значение. Узнайте, как решать задачи на сложение, вычитание, умножение и деление, а также на возведение чисел в различные степени. Эти же концепции также применяются, когда вам нужно упростить алгебраические выражения, поэтому важно освоить их сейчас.

30 минут

03: Проценты, десятичные дроби и дроби

Продолжайте изучение основ математики, изучая различные процедуры преобразования процентов, десятичных дробей и дробей. Профессор Селлерс отмечает, что полезно рассматривать эти процедуры как способы представления одной и той же информации в разных формах.

30 минут

04: Переменные и алгебраические выражения

Перейдите на следующий уровень решения задач, используя переменные в качестве строительных блоков для создания алгебраических выражений, представляющих собой комбинации математических символов, которые могут включать числа, переменные и символы операций. Также научитесь некоторым приемам перевода языка задач (фраз на английском языке) на язык математики (алгебраические выражения).

30 минут

05: Операции и выражения

Откройте для себя, что, следуя основным правилам обращения с коэффициентами и показателями степени, вы можете сократить очень сложные алгебраические выражения до гораздо более простых. Вы начинаете с использования коммутативного свойства умножения, чтобы переставлять члены выражения, делая их объединение относительно простым.

31 мин

06: Принципы построения графиков в двух измерениях

Используя миллиметровую бумагу и карандаш, начните исследование координатной плоскости, также известной как декартова плоскость. Узнайте, как нанести точки в четырех квадрантах плоскости, как выбрать масштаб для обозначения осей x и y и как построить график линейного уравнения.

28 мин

07: Решение линейных уравнений, часть 1

На этом уроке вы поработаете над простыми линейными уравнениями, состоящими из одного и двух шагов, и узнаете, как изолировать переменную с помощью различных операций. Профессор Селлерс также представляет текстовую задачу, включающую двухшаговое уравнение, и дает советы по ее решению.

30 минут

08: Решение линейных уравнений, часть 2

Изучая более сложные примеры линейных уравнений, вы узнаете, что линейные уравнения делятся на три категории. Во-первых, уравнение может иметь ровно одно решение. Во-вторых, она может вообще не иметь решений. В-третьих, это может быть тождество, что означает, что каждое число является решением.

29 мин

09: Наклон линии

Изучите концепцию уклона, который для данной прямой линии представляет собой скорость ее изменения, определяемую как превышение подъема над участком. Изучите формулу для расчета уклона только с координатами и что означает наличие положительного, отрицательного и неопределенного уклона.

28 мин

10: Графики линейных уравнений, часть 1

Используйте то, что вы узнали о наклоне, чтобы построить линейные уравнения в форме пересечения наклона, y = mx + b, где m — наклон, а b — пересечение по оси y. Поэкспериментируйте с примерами, в которых вы вычисляете уравнение по графику и по таблице пар точек….

31 мин

11: Графики линейных уравнений, часть 2

Более универсальный подход к написанию уравнения линии — это форма точка-наклон, в которой требуются только две точки, и ни одна из них не должна пересекать ось Y. Проработайте несколько примеров и освойте определение уравнения с помощью линии и линии с помощью уравнения

30 минут

12: Параллельные и перпендикулярные линии

Примените то, что вы узнали об уравнениях линий, к двум особым типам линий: параллельным и перпендикулярным. Узнайте, как определить, параллельны ли линии или перпендикулярны только по их уравнениям, не видя самих линий. Также попробуйте свои силы в текстовых задачах, в которых используются линии обоих типов.

31 мин

13: Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений

Линейные уравнения отражают поведение реальных явлений. Попрактикуйтесь в оценке таблиц чисел, чтобы определить, могут ли они быть представлены в виде линейных уравнений. В заключение приведите пример о годовом приросте дерева. Увеличивается ли он в размерах с линейной скоростью?

31 мин

14: Линейные уравнения для реальных данных

Исследуя более реальные применения линейных уравнений, выведите формулу для преобразования градусов Цельсия в градусы Фаренгейта; определить температуру кипения воды в Денвере, штат Колорадо; и рассчитать скорость поднимающегося воздушного шара и время спуска лифта на первый этаж.

30 минут

15: Системы линейных уравнений, часть 1

Когда две линии пересекаются, они образуют систему линейных уравнений. Откройте для себя два метода нахождения решения такой системы: с помощью графика и подстановки. Затем попробуйте пример из реальной жизни с участием фермера, который хочет сажать разные культуры в разных пропорциях.

30 минут

16: Системы линейных уравнений, часть 2

Расширьте свои инструменты для решения систем линейных уравнений, изучив метод решения методом исключения. Этот метод позволяет исключить одну переменную, выполняя сложение, вычитание или умножение в обеих частях уравнения, что позволяет найти простое решение для оставшейся переменной.

32 мин

17: Линейные неравенства

Переключите передачу, чтобы рассмотреть линейные неравенства, которые представляют собой математические выражения со знаком меньше или больше вместо знака равенства. Выясните, что в подобных задачах есть очень интересные повороты, и они часто возникают в бизнес-приложениях.

31 мин

18: Введение в квадратичные многочлены

Переход к более сложному типу алгебраического выражения, которое включает в себя квадраты членов и поэтому известно как квадратичное. Узнайте, как использовать метод FOIL (первый, внешний, внутренний, последний) для умножения линейных членов, чтобы получить квадратное выражение.

31 мин

19: Факторинг трехчленов

Начните находить решения квадратных уравнений, начиная с метода FOIL в обратном порядке, чтобы найти биномиальные множители квадратного трехчлена (биномиальное выражение состоит из двух членов, трехчленное из трех). Профессор Селлерс объясняет приемы разложения таких выражений на множители, что почти похоже на разгадывание тайны.

31 мин

20: Факторинг квадратных уравнений

В некоторых случаях квадратные выражения задаются в специальной форме, позволяющей быстро разложить их на множители. Сосредоточьтесь на двух таких формах: совершенных квадратных трехчленах и разностях двух квадратов. Умение распознавать эти случаи облегчает факторинг.

32 мин

21: Квадратные уравнения – Квадратичная формула

Для тех случаев, которые не поддаются простому разложению на множители, квадратичная формула обеспечивает мощный метод решения квадратных уравнений. Откройте для себя, что это устрашающее выражение не так сложно, как кажется, и его стоит запомнить. Также узнайте, как определить, не имеет ли квадратное уравнение решений.

30 минут

22: Квадратные уравнения — завершение квадрата

Изучив определение функции, изучите дополнительный подход к решению квадратных уравнений: заполнение квадрата. Этот прием очень удобен при переписывании уравнения квадратичной функции таким образом, чтобы можно было легко начертить график функции.

31 мин

23. Представления квадратичных функций.

Опираясь на свой опыт решения квадратичных функций, проанализируйте параболические формы, создаваемые такими функциями, когда они представлены на графике. Используйте свои алгебраические навыки, чтобы определить вершину параболы, ее пересечения по осям x и y, а также то, открывается ли она восходящей «чашкой» или нисходящей «шапочкой».

29 мин

24: Квадратные уравнения в реальном мире

Квадратичные функции часто возникают в реальных условиях. Исследуйте ряд задач, включая расчет максимальной высоты ракеты и определение того, сколько времени требуется объекту, упавшему с дерева, чтобы достичь земли. Узнайте, что в поиске решения часто может помочь построение графика.

32 мин

25: Теорема Пифагора

Поскольку знаменитая теорема Пифагора a2 + b2 = c2 включает члены, возведенные во вторую степень, она на самом деле является квадратным уравнением. Узнайте, как методы, которые вы ранее изучили для анализа квадратичных функций, могут быть использованы для решения задач, связанных с прямоугольными треугольниками….

31 мин

26: Многочлены высшей степени

Большинство выражений, которые вы изучали в этом курсе, были полиномами. Узнайте, что характеризует многочлен и как распознавать многочлены как в алгебраических функциях, так и в графической форме. Профессор Селлерс определяет несколько терминов, в том числе степень уравнения, старший коэффициент и домен.

31 мин

27: Операции и многочлены

Многое из того, что вы узнали о линейных и квадратных выражениях, применимо к сложению, вычитанию, умножению и делению многочленов. Узнайте, как операцию FOIL можно расширить для умножения больших многочленов, а также версию длинного деления для деления одного многочлена на другой.

30 минут

28: Рациональные выражения, часть 1

Когда один многочлен делится на другой, результат называется рациональной функцией, потому что это отношение двух многочленов. Эти функции играют важную роль в алгебре. Узнайте, как складывать и вычитать рациональные функции, сначала найдя их общий делитель.

30 минут

29: Рациональные выражения, часть 2

Продолжая изучение рациональных выражений, попробуйте свои силы в их умножении и делении. Ключом к решению этих сложных на вид уравнений является выполнение одного шага за раз. Завершите урок задачей, которая объединяет все, что вы узнали о рациональных функциях.

32 мин

30: Графики рациональных функций, часть 1

Изучите отличительные графики, образованные рациональными функциями, которые могут формировать вертикальные или горизонтальные кривые, которые даже не соединены на графике. Научитесь определять точки пересечения, а также вертикальные и горизонтальные асимптоты этих увлекательных кривых.

31 мин

31: Графики рациональных функций, часть 2

Нарисуйте графики нескольких рациональных функций, сначала вычислив вертикальную и горизонтальную асимптоты, точки пересечения x и y, а затем нанеся несколько точек в функцию. В последнем упражнении вы должны упростить выражение, чтобы извлечь необходимую информацию.

32 мин

32: радикальные выражения

Каждый раз, когда вы видите символ корня, например, символ квадратного корня, вы имеете дело с тем, что математики называют радикалом. Научитесь упрощать подкоренные выражения и выполнять над ними операции, такие как умножение, деление, сложение и вычитание, а также комбинации этих операций.

32 мин

33: Решение радикальных уравнений

Узнайте, как решать уравнения, содержащие радикальные выражения. Ключевым шагом является выделение радикального члена, а затем возведение обеих сторон в квадрат. Как всегда, важно проверить решение, подставив его в уравнение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл. Это особенно верно для радикальных уравнений, которые иногда могут давать посторонние или неверные решения.

32 мин

34. График радикальных функций

На предыдущих уроках вы перешли от линейных, квадратичных и рациональных функций к графикам, которые их отображают. Теперь сделайте то же самое с радикальными функциями. Для них важно обратить внимание на домен функций, чтобы убедиться, что отрицательные значения не вводятся под корневым символом.

32 мин

35: Последовательности и распознавание образов, часть 1

Распознавание образов — важный и увлекательный математический навык. Исследуйте два типа числовых моделей: геометрические последовательности и арифметические последовательности. Узнайте, как анализировать такие шаблоны и разработать формулу, которая предсказывает любой член в последовательности

32 мин

36: Последовательности и распознавание образов, часть 2

Завершите курс изучением большего количества типов числовых последовательностей и откройте для себя, насколько богатой и увлекательной может быть математика распознавания образов. Как и в предыдущих уроках, используйте свои навыки рассуждения и растущие знания алгебры, чтобы найти порядок и красоту там, где когда-то все было путаницей чисел.

33 мин.

Лучшие онлайн-репетиторы по линейной алгебре

Наши специалисты могут упростить понятия для вашего ученика

Кому нужны занятия по линейной алгебре?

Текст кнопки

Почтовый индекс

Спасибо! Ваша заявка принята!

Ой! Что-то пошло не так при отправке формы.

Нет кредитной карты, нет обязательств

Рейтинг 4,9 звезды от более чем 10 000 семей

Это было очень полезно.

Было очень полезно глубже погрузиться в математику и обрести уверенность и понимание! Я думаю, что с помощью Learner я смог научиться дальше основ и погрузиться в свое понимание на более высоком уровне.

5.0

Assia L, 17. 01.2022

Дайте вашему ребенку частную линейную алгебру репетиторство, которого он заслуживает , линейные системы и численный анализ. Наши онлайн-репетиторы по линейной алгебре — не просто студенты; это высокообразованные специалисты по прикладной математике с многолетним опытом репетиторства.
Алан
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Любой может изучать линейную алгебру. Никто не рождался и не попадал в НБА, и никто не рождался загадкой x. Из-за этого, когда я встречаю нового ученика, мне нравится убеждаться, что он уверен в себе. Если вы не верите, что можете решить проблему, скорее всего, вы не найдете решения в ближайшее время. Поскольку нет двух студентов, которые учатся одинаково, выяснение того, что каждый студент уже знает о линейной алгебре и что помогает им понять что-то новое, имеет решающее значение для того, чтобы помочь им действительно усвоить новую концепцию.
Камден
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Когда я начинаю с новым учеником, мне нравится задавать ему вопросы, чтобы узнать его и его интересы, а также я прошу его проработать со мной свои мыслительные процессы для решения задач линейной алгебры. что они могут решить. После этого я придумываю алгебраические уравнения и текстовые задачи, похожие на те, с которыми они борются, и мы работаем над тем, как использовать то, в чем они хороши, чтобы быть лучше в том, в чем, по их мнению, они не очень хороши. Я считаю, что это отличный способ помочь учащимся учиться и сохранять знания, но это также отличный способ помочь им обрести уверенность в своих способностях.
Дэвид
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Мой метод обучения гибкий. Меня интересуют теоретические и практические взгляды на линейную алгебру. Вместо односторонней лекции мои планы уроков более интерактивны: дискуссия между мной и учеником. Каждая сессия начинается с набора гибких целей, чтобы уменьшить тревогу учащихся. Я помогаю студентам изучать линейную алгебру, предоставляя им примеры и задачи для работы.
Дункан
Сертифицированный преподаватель линейной алгебры
Мой подход к обучению линейной алгебре заключается в том, чтобы помочь учащимся научиться творчески решать задачи и самостоятельно находить нужную им информацию. Это включает в себя изучение стратегий, обучение повышению метакогнитивной осведомленности и обсуждение долгосрочных академических целей. Я тщательно включаю эти аспекты репетиторства в краткосрочные домашние задания и подготовку к экзаменам.
Джозеф В.
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Я стараюсь сделать класс местом, где учащиеся интересуются линейной алгеброй и могут спокойно задавать вопросы. Для меня важно преодолеть разрыв между тем, что студент уже знает о линейной алгебре, и тем, что ему нужно знать, чтобы решить задачу. Я внимательно прислушиваюсь к их мыслительному процессу, чтобы адаптировать репетиторство к их потребностям. Я стараюсь помочь учащемуся взглянуть на проблему с разных сторон, приводя параллельные примеры, рисуя наглядные пособия и разбивая проблему на более мелкие части.
Локеш
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Мне нравится снимать напряжение в комнате шутками. Алгебре легче учить, если ученик приходит на занятие со спокойным настроем, а не с нервозностью и стрессом. Просто помните, глупых вопросов не бывает, особенно когда речь идет о таких сложных предметах, как линейная алгебра. Мне нравится придумывать для студентов задачи, похожие на те, с которыми они столкнутся в своей повседневной жизни. Эти вопросы также знакомят студентов с приложениями линейной алгебры, которые охватывают большинство курсов линейной алгебры.
Мария
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Когда дело доходит до линейной алгебры, важно понимать основные идеи, такие как теории линейных форм, билинейных форм, квадратичных форм и полилинейных форм. Предметы математики строятся друг на друге, и крайне важно начинать с хорошей основы. Прежде чем погрузиться в математику всего этого, я хочу узнать, с кем я работаю, и дать им возможность узнать меня. Понимание моих учеников позволяет мне персонализировать уроки, чтобы максимально использовать каждое занятие.
Мэтью
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Мой стиль обучения варьируется и основан исключительно на одном принципе: все для ученика. Я стараюсь помочь каждому учащемуся учиться так, как это лучше всего подходит для них, и мне также нравится узнавать их лучше. Я не просто хочу быть учителем для своих учеников; Я хочу узнать их как людей. Когда они видят меня, я хочу, чтобы меня считали не учителем, а компаньоном по линейной алгебре. Нравится ли им линейная алгебра или нет, я считаю, что это самый эффективный способ донести мой материал до моих студентов.
Неда
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Моя главная цель с каждым учеником — помочь им лучше решать задачи по линейной алгебре, что поможет им лучше решать задачи и критически мыслить в реальном мире. Я делаю это, узнавая об их опыте в основах алгебры и статистики и наблюдая, как они решают задачи, над которыми мы работаем на занятиях. Я хороший наблюдатель и аналитик, и я могу быстро понять, с какими базовыми навыками борются ученики и на какие сильные стороны они полагаются, чтобы попытаться найти решение. Затем я учу, основываясь на этом, часто раздвигая границы комфорта чуть выше текущего уровня.
William J
Сертифицированный репетитор по линейной алгебре
Я думаю, что «изучение» линейной алгебры и «практика» — это две разные вещи, и большинство студентов пренебрегают одним из двух. Я дополняю обучение, помогая учащимся исправлять недоразумения и заполнять фундаментальные пробелы. Я дополняю свою практику, предлагая своим ученикам решать задачи, которые превращают их исследования в математические открытия.
Линейная алгебра оказывается сложной для вашего ребенка?
Линейная алгебра охватывает сложные математические понятия, такие как дифференциальные уравнения и линейные системы. Если эти темы сбивают с толку вашего ребенка и угрожают его среднему баллу, лучше всего нанять частного репетитора по линейной алгебре.
‍
С онлайн-программой обучения линейной алгебре Learner ваш ребенок может воспользоваться преимуществами индивидуального обучения от опытного учителя математики. Наши онлайн-репетиторы по линейной алгебре являются экспертами во всех аспектах математики высших порядков, от линейных функций и векторных пространств до абстрактной алгебры. Они могут помочь вашему ребенку усвоить эти сложные концепции.
Учащиеся и семьи получают пользу от работы с Учеником
Увлекательное онлайн-обучение
Одной из причин, по которой многим учащимся не удается освоить линейную алгебру, является то, что она преподается неинтересным способом в классе, полном отвлекающих факторов. Благодаря частному репетиторству по линейной алгебре от Learner ваш ребенок сможет работать в своем собственном темпе в благоприятных условиях. Наши преподаватели линейной алгебры адаптируют свой стиль преподавания и уроки в соответствии с потребностями каждого учащегося.
Значительное улучшение успеваемости
Если домашняя работа по линейной алгебре вызывает у вашего ребенка разочарование, вам может помочь репетитор по линейной алгебре. Наша онлайн-платформа предназначена для оптимального обучения и совместной работы. Преподаватели могут использовать доску, чтобы продемонстрировать линейные преобразования и показать учащимся, как решать линейные уравнения. Этот тип практического обучения помогает учащимся эффективно подготовиться к домашним заданиям и стандартным тестам.
Эффективная подготовка к колледжу
Линейная алгебра лежит в основе многих курсов и специальностей колледжа, включая прикладную математику, численный анализ и машиностроение. Наши онлайн-репетиторы не торопятся, чтобы полностью объяснить сложные темы дискретной математики, а также предоставить специальную помощь в выполнении домашних заданий. Этот стиль обучения помогает учащимся обрести уверенность и подготовиться к успеху в средней школе и колледже.
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОЕ ИСПРАВЛЕНИЕ
10 000
Студенты обслуживали
100 000
часы обучения
99%
Удовлетворенность
Как вы найдете правую онлайн -lear?
Существует множество онлайн-репетиторов по математике, но не все из них обладают знаниями и навыками, необходимыми для действительно эффективного обучения. Вы хотите знать, что нанимаете идеального репетитора для своего ребенка.
‍
Выбирая Learner, вы можете быть уверены, что ваш ребенок получает индивидуальное математическое образование, адаптированное к его стилю обучения и уникальным потребностям. Мы лично подбираем для каждого из наших студентов опытного преподавателя линейной алгебры с совместимым стилем преподавания. Наша онлайн-платформа позволяет учащимся изучать материал в удобном для них темпе.
НАЙДИТЕ СВОЕГО РЕПЕТИТОРА
Почему студенты любят Learner.

Chelsea от Learner помог мне получить 903:13 полная поездка в Университет Дьюка.

«Челси от Лернера идеально мне подошел. Она настроила тренировку так, чтобы она сильно подталкивала меня, но не слишком сильно, чтобы я не расстроился. Я работал с Челси много лет, потому что она искренне интересовалась мной и моим будущим».

«Стефани научила меня быть более организованным. Я получал четверки и тройки до того, как начал работать с ней. Раньше я был перегружен перед подготовкой к тесту. Стефани научила меня создавать «учебные пособия», чтобы я иметь все большие идеи в одном месте. Теперь я получаю пятерки и четверки, и мои родители намного счастливее».

«Когда я впервые начал работать с Аланом, я сказал ему, что никогда не буду хорош в математике. Я едва сдал свои первые два класса математики в старшей школе, и мне нужно было еще один сложный математический класс, чтобы закончить. Алан верил в меня и работал со мной на основах. Постепенно он укрепил мою уверенность в себе до такой степени, что я понял, что хорошо разбираюсь в математике, и я хорошо справлялся в классе ».

найти репетитора

Как работает репетиторство по линейной алгебре для учащихся?

Ответьте на вопросы о происхождении вашего ребенка и его уникальных потребностях.

Запланируйте звонок с нашим академическим консультантом, чтобы определить цели и задачи обучения.

Мы подберем подходящего репетитора для вашего ребенка. Ваша начальная сессия не требует никаких обязательств.

Почему стоит работать с Learner для онлайн-обучения по линейной алгебре?

Наши онлайн-преподаватели не торопятся, чтобы показать, как концепции линейной алгебры соотносятся с другими ключевыми математическими дисциплинами, от алгебры до исчисления. Эта подробная инструкция может помочь учащимся развить навыки, которые они знают из элементарной математики, и дать им инструменты для достижения успеха в колледже.

Инструктаж для экспертов

Когда вы нанимаете репетитора по линейной алгебре, вам нужно выбрать эксперта в предметной области, но не менее важно найти кого-то с совместимым стилем преподавания. Мы используем запатентованную систему, чтобы подобрать для каждого ученика лучшего репетитора по линейной алгебре.

Увлекательный онлайн-класс

Наши преподаватели линейной алгебры не используют сухие учебники или скучные примеры. Вместо этого они используют интерактивную доску и другие инновационные функции для создания динамических презентаций концепций прикладной математики, побуждая учащихся по-настоящему ценить математику и получать от нее удовольствие.

Полезная обратная связь

После каждого занятия репетитор по линейной алгебре вашего ребенка будет сообщать вам об успехах и текущих проблемах. Вы и ваш ребенок будете иметь четкое представление о каждой предметной области, которую они освоили, и о том, на каких темах следует сосредоточиться дальше.

100% гарантия удовлетворения

Наша команда состоит из лучших онлайн-репетиторов, и мы поддерживаем это с нашей 100% безрисковой гарантией удовлетворения. Первое занятие у нас всегда БЕСПЛАТНО – никаких обязательств и обязательств.

Почему Learner — лучший выбор для обучения линейной алгебре?

Индивидуальное обучение

С помощью Learner ваш ребенок может задавать вопросы по темам математики и работать над реальными аналитическими задачами, чтобы отточить свои навыки и улучшить свои оценки.

Инновационное онлайн-обучение

У нас есть современный виртуальный класс, доступный с большинства устройств. Ваш ребенок может получить помощь с домашним заданием и увидеть примеры любой темы, по которой ему нужна помощь, от начальной алгебры до исчисления.

Индивидуальное обучение

Ваш ребенок получает идеального репетитора, который может охватить чрезвычайно важные темы исчисления и линейной алгебры на уровне, соответствующем их потребностям.

Преподаватели мирового класса

С Learner ваш ребенок получает исключительного частного репетитора по линейной алгебре. Мы заботимся о том, чтобы помочь студентам понять обширные области применения математики в информатике, физике, электротехнике и других университетских курсах.

Как найти репетитора по линейной алгебре рядом со мной

В настоящее время становится все труднее найти качественных репетиторов поблизости. Даже если вы можете найти эксперта, специализирующегося в предметной области для определенного уровня обучения, вам, скорее всего, придется столкнуться с надоедливыми поездками на работу. К счастью, существуют онлайн-платформы для обучения, такие как Learner, которые решат все ваши проблемы с линейной алгеброй.

Учащийся хочет сделать обучение максимально простым и доступным для всех учащихся. Поэтому они ставят своих клиентов на первое место всеми возможными способами. Во-первых, Learner стремится подобрать для вас наилучшего репетитора. Они проделают тяжелую работу по поиску подходящего репетитора для вас. Ученик принимает во внимание ваш стиль обучения, цели и текущие академические навыки, а также опыт преподавателя, стиль преподавания, предыдущий опыт и личность, чтобы найти идеальное соответствие.

Современные виртуальные классы для учащихся оснащены современными средствами обучения. Каждый урок репетиторства проходит в виртуальном классе с функциями видео и аудио, интерактивной доской и кнопками записи. Студенты могут загружать и воспроизводить каждое занятие после его завершения. Каждый урок репетиторства заканчивается мини-сессией обратной связи. Это позволяет учащимся, родителям и преподавателям быть в курсе того, как ваш ребенок изучает линейную алгебру.

Что следует искать в репетиторе по линейной алгебре?

При поиске наиболее подходящего репетитора большинство людей обращают внимание на образование, сертификаты и опыт преподавания. Хотя все эти критерии действительно важны, есть и другие факторы, на которые следует обратить внимание. Черты характера репетитора не менее важны.

Терпеливый

Мотивированный

Адаптивный

Энтузиаст

Коммуникабельный

Сочувствующий

Скромный

Амбициозный

Основные преимущества работы с частным репетитором по линейной алгебре

Работа с частным репетитором может принести пользу изучающему линейную алгебру многими способами. Вот некоторые из основных преимуществ:

Индивидуальная помощь

Понимание и запоминание

Повышение уверенности

Соответствие скорости

Меньше отвлекающих факторов

Как найти репетитора по линейной алгебре рядом со мной

В настоящее время это становится все труднее найти поблизости качественных репетиторов. Даже если вы можете найти эксперта, специализирующегося в предметной области для определенного уровня обучения, вам, скорее всего, придется столкнуться с надоедливыми поездками на работу. К счастью, существуют онлайн-платформы для обучения, такие как Learner, которые решат все ваши проблемы с линейной алгеброй.

Часто задаваемые вопросы по линейной алгебре

Чем онлайн-репетиторство отличается от очного репетиторства?

При традиционном репетиторстве по математике вам необходимо найти эксперта в вашем районе. С онлайн-программой обучения линейной алгебре, такой как Learner, вы получаете доступ к лучшим преподавателям со всего мира и можете свободно планировать занятия по собственному расписанию.

Какова квалификация ваших преподавателей линейной алгебры?

В Learner мы стремимся помочь учащимся достичь своих целей, будь то проходной балл по математическому анализу AP или докторская степень по прикладной математике. Мы нанимаем только исключительно квалифицированных преподавателей с многолетним опытом преподавания и дипломами престижных университетов.

Могу ли я выбрать репетитора по линейной алгебре для своего ребенка?

Да! У нас есть система подбора, которая порекомендует совместимого репетитора по линейной алгебре для вашего ребенка, но окончательное решение остается за вами. Первое занятие совершенно бесплатно и дает вам возможность оценить совместимость репетитора с вашим ребенком.

Чем занимается репетитор по линейной алгебре?

Частный преподаватель линейной алгебры предоставляет индивидуальную помощь, чтобы помочь обучаемым учащимся справиться с трудностями при изучении сложных математических предметов, таких как дифференциальные уравнения, линейные функции, векторные пространства, численный анализ и исчисление. Наши преподаватели также помогают учащимся подготовиться к математической части стандартных тестов.

Что делать, если репетитор по линейной алгебре не подходит моему ребенку?

Мы гарантируем, что вы останетесь довольны нашими репетиторскими услугами. Если вы не считаете, что репетитор хорошо работает с вашим ребенком, вы можете запросить другого инструктора бесплатно.

Как скоро начнется обучение моего ребенка линейной алгебре?

Вы можете записаться на первое (бесплатное) занятие с репетитором линейной алгебры вашего ребенка всего через несколько дней. Начните с заполнения онлайн-анкеты о потребностях вашего ребенка. Затем вы можете записаться на консультацию к нашему академическому консультанту, который подберет для вашего ребенка подходящего частного репетитора и даст вам возможность запланировать первый урок.

Как работает онлайн-репетиторство по линейной алгебре?

С помощью Learner ваш ребенок получит индивидуальные инструкции по темам линейной алгебры, с которыми у него возникают проблемы. Наши преподаватели используют все инструменты нашей онлайн-платформы для создания динамичных и увлекательных уроков. Студенты также могут загружать практические задачи и работать над ними вместе.

Улучшится ли успеваемость моего ребенка от занятий с репетитором по линейной алгебре?

Да! В Learner у нас строгие требования к преподавателям, и мы нанимаем только тех экспертов, которые могут показать, что они получают реальные результаты.