Исследуйте функции на непрерывность и постройте эскизы графиков: функции исследовать на непрерывность, построить эскиз графиков — 15 Июля 2014 — Примеры решений задач

Содержание

Вариант № 05

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Корнями уравнения являются числа . Так как ветви параболы направлены вниз, то неравенство выполняется при . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: если , то .

Если , то . Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена при или . Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель 3: Последовательно строим сначала , затем , «сжимая» график в три раза по оси ОХ, затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину 1/3. Ответ: построения представлены на рисунках (Y – в радианах).

4. Построить график функции:

Исключим параметр T. Подставим во вторую формулу, получим: или . Функция определена при , так как всегда .

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Функция существует, если , т. е. или . Функция монотонно возрастает от 0 до 4 в интервале и монотонно убывает от 4 до 0 в интервале . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в квадраты, получим:

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: .

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на выражение: . . Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞/∞)).

Воспользуемся первым замечательным пределом: :

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ:

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

| Ln(1-2X)~-2X, Arctg3X~3X|. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=0. В точке X=0 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=0 имеют место устранимый разрыв. Полагая , можно считать функцию непрерывной на всей числовой оси. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=0 функция имеет устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция непрерывна, а в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна 2.

Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

По определению . Заменим ΔX на X—X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как при любых значениях

X. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и — координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : .

Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

, так как предел знаменателя равен ∞. Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞). Преобразуем предел, делая замену :

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

Вычисляем последовательно:

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (1, 3) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (1, 3) является точкой перегиба: слева – интервал вогнутости, справа – интервал выпуклости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Аналогично, . Подставим это в предел:

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения:

. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Следовательно, прямые и являются наклонными односторонними асимптотами. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Функция чётная, периодичность отсутствует.

3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4. , наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная в нуль не обращается ни в одной точке. В точке разрыва производной X=0 изменяется. При X<0 производная — функция убывает, При X>0 производная — функция возрастает, следовательно, в точке X=0 имеет место минимум функции, причём .

6. .

В точках и Вторая производная равна нулю. Кроме того, в точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная — интервал вогнутости, в интервалах и Производная — интервалы выпуклости, в интервале производная — интервал вогнутости. Таким образом, точки и являются точками перегиба. 7. При функция равна . Точка (0, 3/2) – точка пересечения оси ОУ. С осью ОХ график не пересекается. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке (0, 3/2) — минимум, точки перегиба и . Значение функции в точках перегиба одинаковы и равны .

< Предыдущая		Следующая >

Вариант № 03

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Освободимся от знака модуля: при неравенство Никогда не выполняется; при неравенство выполняется всегда. Объединяя результаты, получим: .

Ответ: .

2. Построить график функции: .

Так как всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена для X, удовлетворяющих неравенству или . Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель −3: Последовательно строим сначала , затем (переворачивая график вокруг оси ОY и «сжимая» его в три раза по оси ОХ), затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину 2/3. Ответ: построения представлены на рисунках.

4. Построить график функции:

Исключим параметр T, применяя формулу . Подставляя сюда (), получим: . Так как по определению , то область определения функции будет .

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или . Полагая , получим шесть интервалов для φ, в которых изменяется одинаково, возрастая с нуля до двух, затем убывая с 2 до нуля. Таким образом, графиком будет шестилепестковая роза. Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой бинома Ньютона , где . Получим:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Преобразуем выражение:

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: : . Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

, где . Таким образом,

Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами (при x→∞): Arctg(X)~Tg(X)~X,

~. Тогда .

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=−1. В точке X=−1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=−1 имеют место разрыв первого рода. Скачёк функции в точке разрыва равен (-2). Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=−1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

. Таким образом, в точке X=4 функция непрерывна, а в точке X=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=0 равна 4.

14. Исходя из определения производной, найти :

По определению . Заменим ΔX на X—X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но Tg(T) ~T, а 2T-1~t∙ln(2) при T→0 . Поэтому

, так как при любом X. Ответ: .

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: . Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞):

. Но ~X. Поэтому

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

Вычисляем последовательно:

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (2, -2) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (2, -2) является точкой минимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Аналогично, . Подставим это в предел:

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в точке разрыва функции: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при : . Из этого следует, что имеется наклонная асимптота , где K=1. Действительно,

. Тогда

. Таким образом, прямая является на-

Клонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4.

, следовательно, — односторонняя горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная

. Производная обращается в нуль в точке . При производная , следовательно, функция возрастает, При производная , следовательно, функция убывает. Точка является точкой максимума функции, причём . 6. . В точке вторая производная равна нулю. Имеем два интервала: в интервале производная — интервал выпуклости, в интервале производная — интервал вогнутости. Точка — точка перегиба. 7. При функция равна , точка – точка пересечения оси ОУ. При получим , точка – точка пересечения оси ОХ. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум (максимум) в точке (-2, 1), точки перегиба – точка .

< Предыдущая		Следующая >

15-16

1. Найти область определения функции

Постройте графики функций: 2.

5. cos

Вычислите

пределы:

10.

11.

Исследуйте функции на непрерывность и постройте эскизы графиков:

12.

13.

14. Исходя из определения производной, найдите :

15. Найдите производную функции .

16. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой

в заданной точке, вычислите в этой точке .

17. Найдите производные неявно заданной функции y(x):

xy²+ y +x²= 3, x₀=1, y₀=1.

18. Вычислите приближенное значение функции

в заданной точке с помощью дифференциала:

y =, x = 4,16

Вычислите пределы

с помощью правила Лопиталя.

19.

20.

21. Многочлен по степеням x представьте в виде многочлена по степеням разности (x–x₀):

f(x) = 3x⁴– 11x³– 66, x₀= –2

22. Найдите многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x₀ с точностью до о((x–x₀)³):

f(x) =, x₀= –1

23. Исследуйте с помощью формулы Тейлора

и изобразите графически поведение функции

в окрестности точки:

f(x) = 4x – x²+(x – 2)sin(x – 2),

x₀= 2

24. Вычислите предел с помощью формулы Тейлора:

25. Найдите асимптоты и постройте эскиз графика функции:

26. Проведите полное исследование поведения функции

и постройте ее график:

1. Найдите область определения функции

Постройте графики функций:

5. cos

Вычислите

пределы:

10.

11.

Исследуйте функции на непрерывность и постройте эскизы графиков:

12.

13.

14. Исходя из определения производной, найдите :

15. Найдите производную функции

16. Составьте уравнения касательной и нормали

к кривой в заданной точке, вычислите в этой точке .

17. Найдите производные неявно заданной функции y(x):

x²+ xsiny – e^y= 3, x₀= 2, y₀= 0.

18. Вычислите приближенное значение функции в заданной точке с помощью дифференциала:

y = x⁷, x = 2,002

Вычислите пределы

с помощью правила Лопиталя.

19.

20.

21. Многочлен по степеням x представьте в виде многочлена по степеням разности (x–x₀):

f(x) = x⁴– 3x³, x₀=2

22. Найдите многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x₀ с точностью до о((x–x₀)³):

f(x) = sin lnx, x₀= e^^/6

23. Исследуйте с помощью формулы Тейлора

и изобразите графически поведение функции

в окрестности точки:

f(x) = ln(x+3) – sin(x+2)+x²/2 + 2x,

x₀= –2

24. Вычислите предел с помощью формулы Тейлора:

25. Найдите асимптоты и постройте эскиз графика функции:

26. Проведите полное исследование поведения функции и постройте ее график:

Соседние файлы в папке TR_1_Varianty_zadaniy

#
03. 07.2016279.55 Кб341-2.doc
#
03.07.2016290.3 Кб2611-12.doc
#
03.07.2016286.72 Кб3113-14.doc
#
03.07.2016262.14 Кб2715-16.doc
#
03.07.2016260.61 Кб3117-18.doc
#
03.07.2016262.14 Кб2819-20.doc
#
03.07.2016262.14 Кб3121-22.doc
#
03.07.2016268.8 Кб2523-24.doc
#
03.07.2016199.17 Кб2325-25.doc

Как начертить график и найти непрерывность функций

О «Как начертить график и найти непрерывность функций»

Как нарисовать график и найти непрерывность функций:

Здесь мы увидим несколько примеров задач, чтобы понять концепцию рисования графика и проверки непрерывности функции.

Нарисуйте график и проверьте непрерывность функции — Практические вопросы

Вопрос 1:

Найдите точки, в которых функция f разрывна. В какой из этих точек f непрерывна справа, слева или ни там, ни там? Нарисуйте график f.

Решение:

Сначала проверим непрерывность в точке x = -1

lim _{x-> -1-} f(x) = lim _{x-> -1-} 2x + 1

Применяя предел, получаем

= 2(-1) + 1

= -2 + 1

= -1 ——(1)

lim _{x-> -1+} f(x) = lim _{x-> -1+} 3x

Применяя предел, получаем

= 3(-1)

= -3 — —(2)

lim _{x-> -1-} f(x) ≠ lim _{x-> -1+}

Итак, функция не является непрерывной при x = -1.

Теперь проверим непрерывность в точке x = 1

lim _{x-> 1-} f(x) = lim _{x-> 1-} 3x

Применяя предел, получаем

= 3(1)

= 3 ——(1)

lim _{x-> -1+} f(x) = lim _{x-> -1+} 2x — 1

8 Применяя предел, получаем

= 2(1) — 1

= 1 ——(2)

lim _{x-> 1-} f(x) ≠ lim _{x-> 1+}

Итак, функция не является непрерывной в точке x = 1.

Чтобы найти, в какой из этих точек f непрерывна справа, слева или ни в одной, мы должны провести числовую прямую.

let x ₀ ∈ (-∞, -1]

lim _{x-> x0} f(x) = lim _{x-> x0} 2x + 1

Применяя предел, получаем 8 9000 4 900 2x ₀ + 1 ——(1)

f(x ₀ ) = 2x ₀ + 1 ——(2)

(1) = (2)

Непрерывно в (-∞, -1].

let x ₀ ∈ (-1, -1)

lim _{x-> x0} f(x) = lim _{x-> x0} 3x

Применяя предел, получаем

= 3x ₀ ——(1)

f(x ₀ ) = 3x ₀ ——(2)

(1) = (2)

8 Он непрерывен в (-1, 1).

Пусть x ₀ ∈ [1, ∞)

Lim _{x-> x0} F (x) = Lim _{x-> x0} 2x-1

Применить предел, мы получаем

= 2x ₀ — 1 ——(1)

f(x ₀ ) = 2x ₀ — 1 ——(2)

(1) = (2)

Он непрерывен в [1, ∞).

График f(x) = 2x + 1 :

x = -1

f(-1) = -1

x = -2

f(-2) = -3

x = -3

f(-3) = -5

График f(x) = 3x :

-1 < x < 1

x = -0,5

f(-0,5) = -1,5

x = -0,7

f(-0,7) = -2,1

x = 0,5

f(0,5) = 1,5

График f(x) = 2x — 1:

x > = 1

х = 1

f(1) = 1

x = 2

f(2) = 3

x = 3

f(3) = 5

Вопрос 2 :

Найдите точки, в которых f разрывна. В какой из этих точек f непрерывна справа, слева или ни там, ни там? Нарисуйте график f.

Решение :

Сначала проверим непрерывность в точке х = 0 Применяя предел, получаем = lim _{x-> 0+} (x + 1) ³

Применяя предел, получаем

= ( 0 + 1) ³

= 1 ——(2)

lim _{x-> 0-} f(x) ≠ lim _{x-> 0+}

Итак, функция не является непрерывной в точке x = 0.

let x ₀ ∈ (-∞, 0]

lim _{x-> x0} f(x) = lim _{x-> x0} (x — 1) 90 277 4 90 ограничение мы получаем

= (x ₀ — 1) ³ ——(1)

f(x ₀ ) = (x ₀ — 1) ^{3 —- 90-277 (2)}

(1) = (2)

Непрерывно в (-∞, 0]. ) = lim _{x-> x0} (x + 1) ³

Применяя предел, получаем

= (x ₀ + 1) ^{3 9-08(0) 9-0271}

ф(х ₀ ) = (x ₀ + 1) ³ ——(2)

(1) = (2)

Непрерывно в [0, ∞).

График f(x) = (x — 1) ³

x < 0

x = -1

f(-1) = -8

x = -2

f(-2) = -27

x = -3

f(-3) = -64

График f(x) = (x + 1) ³

х >= 0

x = 1

f(1) = 8

х = 2

f(2) = 27

x = 3

f(3) = 64

Мы надеемся, что после изучения вышеизложенного материала учащиеся поняли, «Как начертить график и найти непрерывность функций» Непрерывность функций», если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.