Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква: Из букв слова комбинаторика наугад выбирается одна буква.Какова вероятность того,что выбранная буква будет а)согласной в)гласной…

Задачи для самостоятельного решения

1. Из букв слова «дифференциал» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это буква будет: а) гласной; б) согласной; в) «ч»?

2. В коробке находится 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из нее наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белым? Черным?

3. В коробке имеется 7 желтых и несколько белых таблеток. Какова вероятность вытащить белую таблетку, если вероятность вытащить желтую таблетку равна ? Сколько белых таблеток в коробке?

4. Бросают две монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной монете появится «герб».

5. Бросают две монеты. Найти вероятность того, что ни на одной монете не появится «герб».

6. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру, и набрал ее наугад. Какова вероятность того, что набранная цифра правильная?

5.

1.2. Статистическое определение вероятности

Относительная частота события – это доля тех фактически проведенных испытаний, в которых событие А появилось W = P*(A)= . Это опытная экспериментальная характеристика, где m – число опытов, в которых появилось событие А; n – число всех проведенных опытов.

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний Р(А) = .

♦ Задача 5.5

Из 982 больных, поступивших в хирургическую больницу за месяц, 275 человек имели травмы. Какова относительная частота поступления больных с этим видом заболевания?

Решение: P*(A) = .

♦ Задача 5.6

При стрельбе по мишени частота попадания w = 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Решение: W = m=0,75·40=30.

Ответ: было получено 30 попаданий.

Задачи для самостоятельного решения

7. Среди 1000 новорожденных оказались 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?

8. Частота нормального выхода семян W = 0,97. Из высеянных семян взошло 970. Сколько семян было высеяно?

9. Для выявления качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 штук, из которых 93 дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?

10. Среди 300 пробирок, изготовленных на автоматической линии, оказалось 15 не отвечающих стандарту. Найти частоту появления стандартных пробирок.

5.1.3. Закон сложения вероятностей

Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).

Если А и В совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А или события В.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + (В).

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Сумма вероятностей дискретных событий, образующих полную группу, равна единице

Р(А ) + Р(А ) + …+ Р(А ) = 1

или

Р(А ) = 1.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р( ) + Р( ) = 1.

♦ Задача 5.7

Победитель соревнования награждается призом (событие А), денежной премией (событие В), медалью (событие С). Что представляют собой события А + В?

Решение:

Событие А + В состоят в награждении победителя или призом или денежной премией, или тем и другим.

♦ Задача 5.8

Турист имеет возможность посетить 3 города: А, В и С. Обозначаем события: А – турист посетит город А;

В – турист посетит город В;

С – турист посетит город С.

В чем заключается событие А + С?

Решение:

Турист посетил только один из городов А или С, или он посетил их оба.

♦ Задача 5.9

Вероятность того, что у взрослого пациента все зубы сохранились, равна 0,67. Вероятность того, что некоторые зубы отсутствуют, равна 0,24. Вероятность того, что он беззубый равно 0,09. Вычислить вероятность того, что у пациента несколько зубов.

Решение: Р(А + В) = Р(А) +Р(В) = 0,67 + 0,24 = 0,91.

♦ Задача 5.10

В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют мутацию глаз, 50% — мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз имеют мутацию крыльев. Какова вероятность того, что у мухи, неудачу выбранной из этой популяции, окажется хотя бы одна из этих мутаций?

Решение:

А – событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутации глаз. В есть событие, состоящее в том, что случайно выбранная муха имеет мутацию крыльев. Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации:

Р(А + В) = Р(А) +Р(В) – Р(АВ).

Тогда Р(А + В) = 0,25 + 0,5 – 0,4 · 0,25 = 0,65.

Классическое определение вероятности.

1. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?

2. Задумано число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется:

а) случайно названное двузначное число;

б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

3. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

4.Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?

5. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все 3 тетради окажутся в клетку?

6.В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табелю наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

7. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

8. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

9. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

10. Из букв слова «ДИФФЕРЕНЦИАЛ» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой «ч»?

11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кубик будет иметь: а) три окрашенные грани; б) две окрашенные грани; в) одну окрашенную грань; г) хотя бы одну окрашенную грань.

12. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях четная, причем на грани хотя бы одной кости появится «шестерка».

13. Набирая номер телефона , абонент забыл последние 2 цифры и помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

14. Сколько различных слов можно составить из слова «БУРАН»

а) состоящих из трех букв;

б) если слова содержат не менее трех букв?

15 . В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Наудачу извлекли 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Дома

1. Комиссия по качеству 1 раз в месяц проверяет качество продуктов двух из тридцати магазинах, среди которых находятся 2 известных магазина. Какова вероятность того, что в течении месяца оба они будут проверены.

2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. Найти вероятности того, что среди отобранных девяти студентов будут 5 отличников.

Пример 1. Каждый из двух стрелков производит по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А –«первый стрелок попал в цель», событие В – «второй стрелок попал в цель». Что означают события:

а) А + В; б) А  В; в) А ?

Решение.

Составим пространство элементарных событий данного опыта: Q = { }, где означает: первый стрелок промахнулся, второй промахнулся

а) Событие А + В состоит в том, что хотя бы один стрелок попал в цель.

б) Событие А  В состоит в том, что оба стрелка попали в цель.

в) Событие А состоит в том, что первый стрелок попал в цель, а второй — нет.

Задания для закрепления материала

1. Какие из следующих пар событий являются несовместными, совместными:

а)А₁ –«выход из строя телевизора, работающего в гостиной»,

А₂ –«выход из строя телевизора, работающего на кухне»;

б) А₃ – «попадание при одном выстреле», А₄ – «промах при одном выстреле»;

в) А₅ –«выпадение герба при бросании монеты», А

6 –«выпадение решки при бросании монеты»;

г) A₇ –«хотя бы одно попадание при двух выстрелах», A₈ –«два попадания» ?

Образуют ли полную группу следующие события:

д)В₀ –«ни одного попадания при трех выстрелах по мишени», B₁ — «одно попадание», В₂ — «два попадания», В₃ – «три попадания» ?

2. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие A₁ — «первый студент решил задачу», А₂ – «второй студент решил задачу», А₃ – «третий студент решил задачу». Выразить через события A_i (i = 1,2, 3) следующие события:

а) А – «все студенты решили задачу»;

б) В – «задачу решил только первый студент»;

в) С – «задачу решил хотя бы один студент»;

г) D – «задачу решил только один студент».

3. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события А — «выбрана красная роза», В — «выбрана желтая роза», С — «выбрана белая роза». Что означают события:

а) , б)А + В, в) АС,

г) , д) , е)ААВ+С

Тест на остроумие №20: Неопределенность

Джонатан Берковиц

Игра слов проникла почти во все сферы моей жизни, включая классную комнату. Межкультурные барьеры, создаваемые иностранными студентами, можно легко преодолеть с помощью юмора, основанного на буквенных образцах английского языка. А для североамериканской аудитории игра слов дает новый и свежий взгляд на мир. Вот три примера из моей школьной коллекции.

Почему ковариацию можно добавить к дисперсии, чтобы получить ковариацию, но нельзя добавить к медиане? Потому что результат был бы забавным (то есть комиком).

Почему уместно, что У. Госсет, прославленный студент, работал на пивоварне Гиннесса? Guinness можно разобрать как «gu-inn-ess». Пиво пьют в «постоялом дворе». Вокруг него «угадывается» или оценивается, что уместно, поскольку t-распределение возникло для учета оценки стандартного отклонения совокупности.

Объясняем разницу между «статистически значимым» и «практически значимым», но я иду дальше и указываю, что «значимый» также означает «доверенность», если вы правильно прочитали: распишитесь, если не могу!

Если у вас есть другие предложения или примеры, которые вы успешно использовали, я буду рад услышать о них.

Тест на добросовестность № 20, озаглавленный «Неопределенность», — еще одна разновидность криптографии, в которой тематические слова требуют изменения для ввода в сетку. Тема основана на известном коротком высказывании. Я уверен, что вы сможете установить, что это такое, и что вы не будете испытывать никакой неуверенности. Я, конечно, надеюсь, вам понравится.

Футболка ASA будет вручена за каждое из двух правильных решений, выбранных случайным образом из числа полученных мной до 1 июня. Фотография и краткая биография каждого победителя будут опубликованы в следующем номере. Отправьте готовую диаграмму Джонатану Берковицу, 9 лет.0017 ШАНС Редактор колонки теста на добросовестность, № 502 – 181 Athletes Way, Ванкувер, Британская Колумбия, Канада V5Y 0E5, или отправьте список ответов по адресу [email protected] . Обратите внимание, что победители конкурса головоломок в любом из трех предыдущих выпусков не будут иметь права на участие в конкурсе этого выпуска.

Нет победителя в тесте на сообразительность № 18: плюс-минус (25,4)

Решение теста на сообразительность №18: плюс-минус

Эта головоломка появилась в ШАНС , Том. 25, № 4. Буквы, добавленные или вычтенные из ответа-подсказки для входа в сетку, указаны в скобках {}. Буквы, исключенные из словесной игры подсказки, заключены в круглые скобки (). Исключенные буквы, помещенные в правильные места, образуют ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ.

Поперек: 1 PAPA{+L} [ребус: p + AP + a] 5 FROLI(C)S [анаграмма + удаление: floris(-t)] 10 {-B}МЕНЬШЕ [контейнер: B(+l)ess] 11 S{+L}EW [начальные буквы: s(everal) e(emergency) w(ards)] 13 C{-}EMENT [ребус: c + (-e)элемент] 14 (D)OLLOP [разворот + ребус: poll + o] 15 BEE(F)Y [нечетные буквы: B(r) )e(w)e(r)y] 16 GAMU(T) [скрытое слово: (Ra)ga mu(sic)] 18 SPO(N)SOR [анаграмма: бедный SS] 19 PERS( E)US [анаграмма: кошельки] 20 (E)DIFIED [ребус: d(+if)ied] 26 {-P}AIRINGS [анаграмма: восхваление] 28 EL(I)DE [удаление: elde (-r)] 29 ST{-R}ING [ребус: s +t + кольцо] 30 F{+R}IEND [контейнер: fi(+e)nd] 32 TISA(N)E [анаграмма: Satie] 33 {-B}USED [ребус: b((-d)us(-) t))ed] 34 AC{+N}E [четные буквы: (M)a(r)c(i)e(s)] 35 RE(V)ERSE [ребус: re(ER) se(-t)] 36 CHE{-W}ER [ребус: c + hewer]

Down: 1 MO(MU)SES [ребус: MOMA – A +uses] 2 ANI(1 { +P}LEDGE [ребус + разворот: led + например] 2 AER(O) [анаграмма: эпоха] 3 P{+S}ALMS [ребус + разворот: круг + MS] 4 (A)SYLUM [ребус: s(y + l)um] 5 F(L)AP [начальные буквы: f(oment) a(nother) p(public)] 6 RE(C) IPE [ребус + анаграмма: re + pie] 7 LUME(N) [удаление: Lume(–t)] 8 CO{+N}FOUND [co + f(+o)und] 9 SATY( R)S [контейнер: sa(+t)ys] 11 S{-M}OOTHING [анаграмма: возможно скоро] 12 G(E)ESE [ребус: ge(-t) se(-t)] 15 {+B}ORDERED [шарада + контейнер: or de(+r)ed] 17 ADDI{-C}TIVE [анаграмма + удаление: действие разделить(-s)] 20 {-F}ПАСХА [скрытое слово:(жизнь)е как тер(рорист)] 21 ИРИС{+H} [контейнер: IR(+i)S] 22 {-R}ВЫХОД [ребус : reg + (-P)ress] 23 EL(I)JAH [разворот + контейнер: ha(+J)le] 24 PIE{+R}CE [омофон: мир] 25 {+L} EDGER [скрытое слово: (предпочтительно) немецкий (мужской)] 27 IN{-S}ANE [контейнер: in(+s)ane] 30 FLEE{-T} [контейнер: f(+l)eet ] 31 {+N}ОДИН [удаление: (-d)один]

Остроумие Текст №20: Неопределенность

Инструкции: Девять тематических слов требуют изменения перед вводом в сетку. Буквы, образующие непонятную запись на 20 Across, указывают, чего не хватает во введенных тематических словах. Перечисления удерживаются.

через

1 Разработанный признак в скорби для грехов
10 Подтвердите пять плавных аварий
11 Наблюдающая за собой пластинга
12 Наиболее Desert-Like0137 13 Сначала более мужественное подкрепление с напряжённой певицей женского пола
14 «Применить посредничество», — воскликнул расстроенный подросток
16 Проблемы с речью существуют во время записи Причудливый адрес, обычный внутри
23 Я говорю: «Сохраняйте сторону двери»
26 Музыкальный инструмент нес укороченное музыкальное произведение и брал аккорд
28 Отмеченная поддержка прекратилась после начала
29 Важный человек, охотно разоблачающий меня
31 Чек, необходимый для посещения популярного ресторана
32 Праздная британская голова
33 Причудливый стильный праздник как причина сонной болезни (2 слова)

1 Лидеры всех разновидностей на самом деле получают небольшую прибыль
2 Класс собак признает ошибку
3 Римские чиновники со временем для новых цитат
4 Сердце Кайрин переполнено гневом
5 Станьте свидетелем того, как сильная команда возвращается в клуб
6 Возможно использование соглашения о выкупе острова в период рецессии
7 Плохая погода после первой разминки
8 9004 ” обнародовано впервые
9 Возбужденная суматоха медсестры в начале лечения
15 Элегантность нового сената
18 Возможно, мой отказ предпоследний этап
19 Незаконный стиль, путешествующий по миру
20 Бездействие, начало поиска, постановка на место
22 Партнер Оливера с неуверенностью, которой не хватает перед проектом
24 Малыш, вставший после простуды 903 40337 500 Существенный сбор с семьей во дворе
27 Доктор Аснер организовал миссии
30 Плотины нечетные части рвов

Напоминание: Руководство по разгадке загадочных ключей появилось в ШАНС Том. 21, № 3. Приветствуется использование вспомогательных средств решения задач — электронных словарей, Интернета и т. д.

Тест на добросовестность Редактор колонки Джонатан Берковиц дает загадочные подсказки для множества головоломок, предлагая читателям по-новому взглянуть на данные.

Наверх

Матмуни — Математика для успеха

Сколько различных слов можно составить, перепутав буквы в слове MISSISSIPPI, в котором нет двух соседних S?

а) 7

б)

в)

г)

На выборах избиратель может голосовать за любое количество кандидатов, не превышающее число кандидатов, подлежащих избранию. Есть десять кандидатов, и 4 могут быть избраны. Если избиратель голосует хотя бы за одного кандидата, то количество способов, которыми он может проголосовать, равно

а) 6210

б) 385

в) 1110

г) 5040

Если буквы слова САЧИН расставить всеми возможными способами и эти слова записать как в словаре, то слово САЧИН стоит под порядковым номером

а) 602

б) 603

в) 600

г) 601

Диапазон функций:

a) {1, 2, 3}

b) {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) {1, 2, 3, 6}

d) {1, 2, 3, 4, 5}

Сколькими способами можно расположить буквы в слове САД с гласными в алфавитном порядке?

Студент должен ответить на 10 из 13 вопросов экзамена таким образом, что он должен выбрать не менее 4 из первых 5 вопросов. Количество вариантов, доступных ему, равно

а) 140

б) 196

в) 280

г) 346

Количество способов, которыми 6 мужчин и 5 женщин могут пообедать за круглым столом, если никакие две женщины не должны сидеть вместе, равно

a)

b)

c)

d)

Если  обозначает количество комбинаций n вещей, взятых r одновременно, то выражение равно

а)

б)

в)

г)

Три мальчика и три девочки должны сидеть вокруг стола в круг. Среди них мальчику X не нужна соседка-девочка, а девушке Y не нужен сосед-мальчик. Возможные варианты размещения:

а) 6

б) 4

в) 5

г) 9

Из 18 точек на плоскости никакие три не лежат на одной прямой, за исключением пяти коллинеарных точек. Количество прямых линий, которые можно провести, соединяя их, равно

а) 144

б) 143

в) 153

г) ни одной из этих

Суммарное количество перестановок n разных вещей, взятых не более чем r за раз, когда каждая вещь может повторяться любое количество раз, равно

а)

б)

в)

г)

Буквы слова «СКРОМНОСТЬ» написаны во всех возможных порядках и эти слова расположены как в словаре, тогда ранг слова «СКРОМНОСТЬ» равен

а) 720

б) 1681

в) 2520

г) 5040

Сколькими способами можно расставить буквы слова ЧЕЛОВЕК в клетках соседней фигуры так, чтобы ни одна строка не осталась пустой

а) 18700

б) 18720

в) 8!

г) 6!

Различные слова образуются путем расстановки букв слова «РАСПОЛОЖИТЬ». Все эти слова записаны в виде словаря. Ранг слова «РАСПОЛОЖИТЬ» в словаре

а) 340

б) 360

в) 342

г) 343

Различные слова образуются путем расстановки букв слова «РАСПОЛОЖИТЬ». Все эти слова записаны в виде словаря. Количество слов, в которых хотя бы одна гласная стоит между двумя согласными, равно 9.0003

а) 18

б) 36

в) 624

г) 836

Есть две урны. В урне A 3 разных красных шара, а в урне B 9 разных синих шаров. Из каждой урны наугад вынимают по 2 шара и перекладывают их в другую. Количество способов, которыми это можно сделать, равно

а) 3

б) 36

в) 66

г) 108

Из 9 разных романов и 3 разных словарей нужно выбрать 4 романа и 1 словарь и расположить их на полке в ряд так, чтобы словарь всегда находился посередине. Тогда количество таких расстановок равно

а) не менее 500, но менее 750

б) не менее 750, но менее 1000

в) не менее 1000

г) менее 500

Даны десять разных букв алфавита.