Изоклины дифференциального уравнения онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например,

уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

Филиппов § 1. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых

 

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

§ 1. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых

1. С помощью изоклин начертить (приближенно) решение уравнения: y’ = y — x2.

6. С помощью изоклин начертить (приближенно) решение уравнения: xy’ = 2y.

7. С помощью изоклин начертить (приближенно) решение уравнения: xy’ + y = 0.

16. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений: а) y’ = y — x2; б) y’ = x — ey; в) x2 + y2y’ = 1; г)…

17. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y = eCx.

18. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y = (x — C)3.

19. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y = Cx3.

20. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y = sin(x + C).

21. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: x2 + Cy2 = 2y.

22. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y2 + Cx = x3.

23. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y = C(x — C)2.

24. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: Cy = sin Cx.

25. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y = ax2 + bex.

26. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: (x — a)2 + by2 = 1.

27. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: ln y = ax + by.

28. Составить дифференциальные уравнения данных семейств линий: y = ax3 + bx2 + cx.

30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой у = 2х.

31. Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной Оу, и касающихся одновременно прямых у = 0 и у = х.

32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых y = 0 и x = 0 и расположенных в первой и третьей четвертях.

33. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной Оу, и проходящих через начало координат.

34. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касающихся оси абсцисс.

35. Найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств: ax + z = b, y2 + z2 = b2.

36. Найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств: x2 + y2 = z2 — 2bz, y = ax + b.

37. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: y = Cx4, φ = 90°.

38. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: y2 = x + C, φ = 90°.

39. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: x2 = y + Cx, φ = 90°.

40. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: x2 + y2 = a2, φ = 45°.

41. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: y = kx, φ = 60°.

42. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: 3×2 + y2 = C, φ = 30°.

43. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: y2 = 2px, φ = 60°.

44. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: r = a + cos θ, φ = 90°.

45. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: r = a cos2 θ, φ = 90°.

47. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: y = x ln x + Cx, φ = arctg 2.

48. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: x2 + y2 = 2ax, φ = 45°.

49. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: x2 + C2 = 2Cy, φ = 90°.

50. Составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом φ: y = Cx + C3, φ = 90°.

   

Дифференциальные уравнения — поля направлений

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / Базовые концепты / Поля направления

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (

т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1.2: Поля направления

Этой теме выделен отдельный раздел по нескольким причинам. Во-первых, понимание полей направлений и того, что они говорят нам о дифференциальном уравнении и его решении, важно и может быть введено без каких-либо знаний о том, как решать дифференциальное уравнение, и поэтому может быть сделано здесь, прежде чем мы приступим к их решению. Таким образом, иметь некоторую информацию о решении дифференциального уравнения, не имея фактического решения, — хорошая идея, требующая некоторого исследования.

Далее, поскольку для работы нам нужно дифференциальное уравнение, в этом разделе показано, что дифференциальные уравнения возникают естественным образом во многих случаях и как мы их получаем. Почти каждую физическую ситуацию, происходящую в природе, можно описать соответствующим дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение может быть легко или трудно получить в зависимости от ситуации и предположений, которые делаются о ситуации, и мы, возможно, никогда не сможем его решить, однако оно будет существовать.

Процесс описания физической ситуации с помощью дифференциального уравнения называется моделированием. Мы будем рассматривать моделирование несколько раз в течение этого класса.

Одна из самых простых физических ситуаций, о которой можно подумать, — это падающий объект. Итак, давайте рассмотрим падающий объект с массой \(m\) и выведем дифференциальное уравнение, решение которого даст нам скорость объекта в любой момент времени \(t\). Будем считать, что при падении на объект будут действовать только сила тяжести и сопротивление воздуха. Ниже приведен рисунок, показывающий силы, которые будут действовать на объект.

Прежде чем определить все термины в этой задаче, нам нужно установить некоторые соглашения. Будем считать, что силы, действующие в направлении вниз, являются положительными силами, а силы, действующие в направлении вверх, отрицательными. Точно так же мы предположим, что объект, движущийся вниз (, т.е. падающий объект), будет иметь положительную скорость.

Теперь давайте посмотрим на силы, показанные на диаграмме выше. \({F_G}\) — сила гравитации и определяется как \({F_G} = mg\), где \(g\) — ускорение свободного падения. В этом классе мы используем \(g\) = 90,8 м/с

2 или \(г\) = 32 фут/с 2 в зависимости от того, будем ли мы использовать метрическую или имперскую систему. \({F_A}\) — сила сопротивления воздуха, и для этого примера мы будем считать, что она пропорциональна скорости \(v\), массы. Следовательно, сила сопротивления воздуха определяется выражением \({F_A} = — \gamma v\), где \(\gamma > 0\). Обратите внимание, что «-» требуется для получения правильного знака силы. И \(\gamma\), и \(v\) положительны, а сила действует вверх и, следовательно, должна быть отрицательной. «-» даст нам правильный знак и, следовательно, направление для этой силы.

Напомним из предыдущего раздела, что второй закон движения Ньютона можно записать как

\[m\frac{{dv}}{{dt}} = F\left( {t,v} \right)\]

где \(F\left( {t,v} \right)\) — сумма сил, действующих на объект и может быть функцией времени \(t\) и скорости объекта, \ (в\).

Для нашей ситуации у нас будет две силы, действующие на гравитацию объекта, \({F_G} = mg\). действующее в направлении вниз и, следовательно, будет положительным, а сопротивление воздуха \({F_A} = — \gamma v\), действующее в направлении вверх и, следовательно, будет отрицательным. Сведение всего этого во Второй закон Ньютона дает следующее.

\[m\frac{{dv}}{{dt}} = мг — \gamma v\]

Чтобы упростить дифференциальное уравнение, разделим массу \(m\).

\[\begin{equation}\frac{{dv}}{{dt}} = g — \frac{{\gamma v}}{m} \label{eq:eq1}\end{equation}\]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого даст скорость \(v\) (в м/с) падающего объекта массы \(м\), обладающего гравитацией и воздухом действующее на него сопротивление.

Чтобы посмотреть на поля направлений (это, в конце концов, тема этого раздела….), было бы полезно иметь некоторые числа для различных величин в дифференциальном уравнении. Итак, предположим, что у нас есть масса 2 кг и что \(\gamma= 0,392\). Подстановка этого в \(\eqref{eq:eq1}\) дает следующее дифференциальное уравнение.

\[\begin{equation}\frac{{dv}}{{dt}} = 9,8 — 0,196v \label{eq:eq2} \end{equation}\]

Давайте посмотрим на это дифференциальное уравнение с геометрической точки зрения. Предположим, что в течение некоторого времени \(t\) скорость просто равна \(v = 30\) м/с. Обратите внимание: мы не говорим, что скорость когда-либо будет равна 30 м/с. Все, что мы говорим, это то, что давайте предположим, что по какой-то случайности скорость действительно равна 30 м/с в некоторый момент времени \(t\). Таким образом, если в какой-то момент времени \(t\) скорость оказывается равной 30 м/с, мы можем подставить \(v = 30\) к \(\eqref{eq:eq2}\), чтобы получить.

\[\frac{{dv}}{{dt}} = 3,92\]

Вспомните из вашего курса исчисления I, что положительная производная означает, что рассматриваемая функция, в данном случае скорость, возрастает, поэтому, если скорость этого объекта всегда равна 30 м/с в любое время \(t\), скорость должно увеличиваться в это время.

Также напомним, что значение производной при определенном значении \(t\) дает наклон касательной к графику функции в этот момент времени, \(t\). Итак, если в течение некоторого времени \(t\) скорость оказывается равной 30 м/с, то наклон касательной к графику скорости равен 3,9.2.

Мы могли бы продолжить в том же духе и выбрать различные значения \(v\) и вычислить наклон касательной для этих значений скорости. Однако давайте подойдем к этому немного более организованно. Давайте сначала определим значения скорости, которые будут иметь нулевой наклон или горизонтальные касательные. Их достаточно легко найти. Все, что нам нужно сделать, это установить производную равной нулю и найти \(v\).

В нашем примере у нас будет только одно значение скорости, которое будет иметь горизонтальные касательные, \(v = 50\) м/с. Это означает, что ЕСЛИ (опять же, есть это слово, если) в течение некоторого времени \(t\) скорость оказывается равной 50 м/с, тогда касательная в этой точке будет горизонтальной. Каков наклон касательной временами до и после этой точки, еще неизвестно и не имеет отношения к наклону в данный конкретный момент времени \(t\).

Итак, если у нас есть \(v = 50\), мы знаем, что касательные будут горизонтальны. Мы обозначаем это на системе координат горизонтальными стрелками, указывающими в направлении увеличения \(t\) на уровне \(v = 50\), как показано на следующем рисунке.

Теперь давайте нарисуем касательные линии и, следовательно, стрелки для нашего графика для некоторых других значений \(v\). На данный момент единственный точный наклон, который нам полезен, это то, где наклон горизонтален. Таким образом, вместо того, чтобы искать точные наклоны для остальной части графика, мы будем следить только за общими тенденциями наклона. Наклон увеличивается или уменьшается? Как быстро наклон увеличивается или уменьшается? Для этого примера эти типы трендов очень легко получить.

Во-первых, обратите внимание, что правая часть \(\eqref{eq:eq2}\) является многочленом и, следовательно, непрерывна. Это означает, что он может изменить знак только в том случае, если он сначала проходит через ноль. Итак, если производная изменит знак (нет никаких гарантий, что это произойдет), она сделает это при \(v\) = 50, и единственное место, где она может изменить знак, это \(v = 50\). Это означает, что при \(v>50\) наклон касательных к скорости будет иметь тот же знак. Аналогично, для \(v

Начнем с \(v

Теперь посмотрим на \(v>50\). Первое, что нужно сделать, это выяснить, являются ли наклоны положительными или отрицательными. Мы сделаем это так же, как и в последнем бите, , т.е. , выберем значение \(v\), подставим его в \(\eqref{eq:eq2}\) и посмотрим, положительна ли производная или отрицательный. Обратите внимание, что вы НИКОГДА не должны предполагать, что производная изменит знак, если производная равна нулю. Это достаточно легко проверить, поэтому вы всегда должны делать это.

Нам нужно проверить производную, поэтому давайте использовать \(v\) = 60. Подставив это в \(\eqref{eq:eq2}\), получим наклон касательной как -1,96 или отрицательный. Следовательно, для всех значений \(v>50\) у нас будут отрицательные наклоны касательных. Как и в случае \(v

Этот график выше называется полем направления для дифференциального уравнения.

Итак, зачем нам поля направлений? Есть два полезных элемента информации, которые можно легко получить из поля направлений для дифференциального уравнения.

  1. Эскиз растворов . Поскольку стрелки в полях направлений на самом деле касаются реальных решений дифференциальных уравнений, мы можем использовать их в качестве руководства для построения графиков решений дифференциального уравнения.
  2. Долгосрочное поведение . Во многих случаях нас меньше интересуют фактические решения дифференциальных уравнений, чем то, как решения ведут себя при увеличении \(t\). Поля направлений, если мы сможем их получить, можно использовать для поиска информации об этом долгосрочном поведении решения.

Итак, вернемся к полю направлений для нашего дифференциального уравнения. Предположим, мы хотим узнать, как выглядит решение, имеющее значение \(v\left( 0 \right) = 30\). Мы можем перейти к нашему полю направления и начать с 30 по вертикальной оси. В этот момент мы знаем, что решение увеличивается, и что по мере его увеличения решение должно выравниваться, потому что скорость будет приближаться к значению \(v\) = 50. Итак, мы начинаем рисовать возрастающее решение, и когда мы нажмем стрелку мы просто следим за тем, чтобы оставаться параллельно этой стрелке. Это дает нам рисунок ниже.

Чтобы лучше понять, как ведут себя все решения, давайте добавим еще несколько решений. Добавление еще нескольких решений дает рисунок ниже. Набор решений, которые мы изобразили ниже, часто называют семейством кривых решения или набором интегральных кривых . Количество решений, наносимых при построении интегральных кривых, варьируется. Вы должны построить достаточное количество кривых решения, чтобы проиллюстрировать, как ведут себя решения во всех частях поля направления.

Теперь либо из поля направлений, либо из поля направлений с нарисованными кривыми решения мы можем видеть поведение решения при увеличении \(t\). Для нашего падающего объекта все решения будут приближаться к \(v = 50\) по мере увеличения \(t\).

Нам часто нужно знать, будет ли поведение решения зависеть от значения \(v\)(0). В этом случае поведение решения не будет зависеть от значения \(v\)(0), но это скорее исключение, чем правило, так что не ждите этого. 92}\]

Показать решение

Во-первых, не беспокойтесь о том, откуда появилось это дифференциальное уравнение. Честно говоря, мы только что придумали это. Он может описывать, а может и не описывать реальную физическую ситуацию.

Это дифференциальное уравнение выглядит несколько сложнее, чем приведенный выше пример с падающим объектом. Впрочем, за исключением еще немного работы, он ненамного сложнее. Первый шаг — определить, где производная равна нулю. 92}\конец{выравнивание*}\]

Теперь мы можем видеть, что у нас есть три значения \(y\), при которых производная и, следовательно, наклон касательных будут равны нулю. Производная будет равна нулю при \(y\) = -1, 1 и 2. Итак, давайте начнем наше поле направлений с рисования горизонтальных касательных для этих значений. Это показано на рисунке ниже.

Теперь нам нужно добавить стрелки к четырем областям, на которые теперь разделен график. Для каждой из этих областей я выберу значение \(y\) в этой области и подставлю его в правую часть дифференциального уравнения, чтобы увидеть, является ли производная положительной или отрицательной в этой области. Опять же, чтобы получить точное поле направления, вы должны выбрать еще несколько значений во всем диапазоне, чтобы увидеть, как ведут себя стрелки во всем диапазоне.

\(y < - 1\)

В этой области мы можем использовать \(y\) = -2 в качестве контрольной точки. На данный момент мы имеем \(y’ = 36\). Таким образом, касательные в этой области будут иметь очень крутые и положительные наклоны. Также как \(y \to — 1\) наклоны будут сглаживаться, оставаясь положительными. На рисунке ниже показаны поля направлений со стрелками в этой области.

\( — 1 < y < 1\)

В этой области мы можем использовать \(y\) = 0 в качестве контрольной точки. На данный момент мы имеем \(y’ = — 2\). Поэтому касательные в этой области будут иметь отрицательный наклон и, по-видимому, не будут очень крутыми. Так как же выглядят стрелки в этом регионе? Поскольку \(y\to 1\), конечно, остается меньше 1, наклоны должны быть отрицательными и приближаться к нулю. По мере того, как мы удаляемся от 1 и приближаемся к -1, наклоны начинают становиться круче (и остаются отрицательными), но в конечном итоге снова становятся плоскими, снова оставаясь отрицательными, как \(y \to — 1\), поскольку производная должна стремиться к нулю при эта точка. На рисунке ниже показаны поля направлений со стрелками, добавленными к этой области.

\(1 < y < 2\)

В этой области мы будем использовать \(y\) = 1,5 в качестве контрольной точки. В этот момент мы имеем \(y’ = — 0,3125\). Касательные линии в этой области также будут иметь отрицательный наклон и, по-видимому, не будут такими крутыми, как в предыдущей области. Стрелки в этой области будут вести себя практически так же, как и в предыдущей области. Вблизи \(y\) = 1 и \(y\) = 2 наклоны будут сглаживаться, и по мере того, как мы будем двигаться от одного к другому, склоны будут становиться несколько круче, прежде чем снова сгладятся. На рисунке ниже показаны поля направлений со стрелками, добавленными к этой области.

\(y > 2\)

В этой последней области мы будем использовать \(y\) = 3 в качестве контрольной точки. На данный момент мы имеем \(y’ = 16\). Итак, как мы видели, в первой области касательные линии начинаются довольно плоско около \(y\) = 2, а затем, когда мы удаляемся от \(y\) = 2, они становятся довольно крутыми.

Полное поле направления для этого дифференциального уравнения показано ниже.

Вот набор интегральных кривых для этого дифференциального уравнения.

Наконец, давайте посмотрим на долгосрочное поведение всех решений. В отличие от первого примера, долгосрочное поведение в этом случае будет зависеть от значения \(y\) в t = 0. Изучив любой из двух предыдущих рисунков, мы можем прийти к следующему поведению решений как \(t \to \infty \).

Значение \(y\)(0) Поведение как \(t\to\infty\)
\(у\влево( 0 \вправо) < 1\) \(у\к — 1\)
\(1 \le y\left( 0 \right) < 2\) \(г\к 1\)
\(у\влево(0\вправо) = 2\) \(у\до 2\)
\(у\влево(0\вправо) > 2\) \(у\до\infty\)

Не забудьте отметить, что делают горизонтальные решения. Это часто самая упущенная часть такого рода проблем.

В обоих примерах, над которыми мы работали до этого момента, правая часть производной содержала только функцию, а НЕ независимую переменную. Когда правая часть дифференциального уравнения содержит как функцию, так и независимую переменную, поведение может быть намного более сложным, и рисовать поля направлений вручную может быть очень сложно. Компьютерное программное обеспечение очень удобно в этих случаях.

Однако в некоторых случаях их не так уж сложно сделать вручную. Давайте посмотрим на следующий пример.

Пример 2 Нарисуйте поле направлений для следующего дифференциального уравнения. Нарисуйте набор интегральных кривых для этого дифференциального уравнения. \[у’ = у — х\]

Показать решение

Чтобы набросать поля направлений для этого вида дифференциального уравнения, мы сначала определяем места, где производная будет постоянной. Для этого приравняем производную в дифференциальном уравнении к константе, скажем \(с\). Это дает нам семейство уравнений, называемое изоклин , которые мы можем построить, и на каждой из этих кривых производная будет постоянным значением \(c\).

Обратите внимание, что в предыдущих примерах мы смотрели на изоклину для \(c = 0\), чтобы начать поле направления. Для нашего случая это семейство изоклин.

\[с = у — х\]

График этих кривых для нескольких значений \(c\) показан ниже.

Теперь на каждой из этих линий или изоклин производная будет постоянной и будет иметь значение \(c\). На изоклине \(c = 0\) производная всегда будет иметь нулевое значение, и, следовательно, все касательные будут горизонтальны. На изоклине \(c = 1\) касательные всегда будут иметь наклон 1, на изоклине \(c = -2\) касательные всегда будут иметь наклон -2, и т.д. Ниже приведено несколько касательных для каждой из этих изоклин.

Чтобы добавить больше стрелок для тех областей между изоклинами, начните, скажем, \(c = 0\) и двигайтесь вверх до \(c = 1\), и по мере того, как мы это делаем, мы увеличиваем наклон стрелок (касательных) от от 0 до 1. Это показано на рисунке ниже.

Затем мы можем добавить интегральные кривые, как в предыдущих примерах. Это показано на рисунке ниже.

Учебник по дифференциальным уравнениям, Том 1 — Видеокурс | Репетитор по математике DVD

  • домашний
  • Репетитор по дифференциальным уравнениям, Том 1- . . .

Эти уроки для Учебника по дифференциальным уравнениям, том 1 учат, как решать обыкновенные линейные дифференциальные уравнения (ОДУ) первого порядка.

В этой серии мы также узнаем, как получать решения дифференциальных уравнений, используя различные методы, и как проверять нашу работу. Мы также изучаем, как строить графики дифференциальных уравнений, и это то, что должен освоить каждый студент курса дифференциальных уравнений.

Раздел 1: Что такое дифференциальное уравнение?

Раздел 2: Решение элементарных дифференциальных уравнений

Этот раздел дает учащимся практику решения элементарных дифференциальных уравнений. Студента учат, как определить, является ли данная функция решением ОДУ. Кроме того, учащегося учат выполнять интегрирование ОДУ для вычисления общего решения, а также тому, как использовать начальные условия для нахождения конкретного решения…. Посмотреть урок

Раздел 3: Разделение переменных

В этом разделе мы изучаем наш первый основной метод решения широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод применяется к дифференциальным уравнениям первого порядка и называется разделением переменных, потому что мы разбиваем переменные таким образом, чтобы можно было найти решение с помощью интегрирования. параметров, часть 1

В этом разделе мы изучаем метод вариации параметров как метод решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Сначала мы подробно изучаем метод, чтобы у студента была ссылка на процедуру, затем мы решаем задачи, показывая каждый шаг на этом пути, чтобы дать студенту практику…. Посмотреть урок

Раздел 5: Линейные ОДУ первого порядка — вариация параметров, часть 2

В этом разделе мы продолжаем практиковать использование метода вариации параметров для решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью полностью разработанных задач…. Посмотреть урок

Раздел 6: Точные дифференциальные уравнения

В этом разделе мы узнаем, как определить и проверить, является ли обыкновенный дифференциал «точным» по своей природе. Если оно точное, мы научимся решать его, используя ограничения, наложенные на точные дифференциальные уравнения. Приведены многочисленные примеры…. Посмотреть урок

Раздел 7 — Теорема существования и единственности

В этом разделе мы узнаем о существовании и теореме единственности обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема представлена ​​вместе с повседневным объяснением того, что она означает…. Просмотреть урок

Раздел 8 — Графики решений дифференциальных уравнений

В этом разделе мы узнаем, как решить дифференциальные уравнения первого порядка, даже если мы не знать решения заранее. Мы используем технику изоклин, чтобы построить общее решение ОДУ…. Посмотреть урок

Раздел 9. Применение дифференциальных уравнений: задачи о смесях

В этом разделе мы применяем методы и теорию решения дифференциальных уравнений к задачам, связанным со смесями. Эти задачи потребуют от нас прочтения задачи и использования информации в постановке задачи для составления дифференциальных уравнений, которые мы затем сможем решить.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *