Как доказать что вектора образуют базис: Доказать, что вектора p, q, r образуют базис и найти координаты вектора x в новом…

Векторы : Чулан (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Мироника	Векторы 23.05.2007, 09:18
16/02/07 329	Есть такая задачка: даны векторы в базисе . Доказать, что векторы тоже образуют базис. Я не понимаю что значит доказать, что векторы образуют базис. Если кто знает, подскажите, пожалуйста.

Brukvalub	23.05.2007, 09:27
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	Мироника писал(а): Я не понимаю что значит доказать, что векторы образуют базис. Три вектора в трехмерном пространстве образуют базис, если, и только если они линейно независимы. Три вектора в трехмерном пространстве линейно независимы тогда, и только тогда, когда определитель матрицы, по столбцам которой стоят координаты этих векторов, отличен от нуля.

Мироника	23.05.2007, 09:39
16/02/07 329	Определитель получился равен 42, следовательно, образуют базис. Спасибо. Добавлено спустя 3 минуты 52 секунды: Еще вопросик: как выписать с помощью матрицы перехода формулы, выражающие координаты произвольного вектора в старом базисе через его координаты в новом базисе и наоборот?

Brukvalub	23.05.2007, 09:57
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	1. У Вас есть Интернет. 2. В Интернете есть поисковые машины. 3. Набираете в какой-либо поисковой машине «матрица перехода», жмете кнопку «найти» и получаете массу ссылок. 4. Просматриваете ссылки в поисках нужной Вам информации. Именно так я только что нашел вот эту ссылку: http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/p … ode72.html

Мироника	23.05.2007, 10:04
16/02/07 329	Спасибо

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 5 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Набор линейно независимых векторов dim(V) является базисом

Зависимости:

1. Основа векторного пространства
2. Увеличение линейно независимого набора
3. Линейно независимое множество не больше размаха

Пусть $B$ — конечный базис векторного пространства $V$. Пусть $S$ — множество линейно независимых векторов из $V$. Если $|S| = |B|$, то $S$ — базис в $V$.

Доказательство

Предположим, что $S$ не охватывает $V$. Следовательно, существует вектор $w$, который не может быть представлен в виде линейной комбинации векторов из $S$. Следовательно, $S \cup \{w\}$ линейно независима.

Так как $S \cup \{w\}$ линейно независима и $B$ порождает $V$, $|S \чашка \{ш\}| \le |B| \Стрелка вправо |B| + 1 \le |B| \стрелка вправо\bot$. Следовательно, $S \cup \{w\}$ покрывает $V$, что делает его базисом.

Зависимость для:

1. Указание многогранника
2. Симметрический оператор на V имеет базис ортонормированных собственных векторов
3. Сохранение базиса заменой вектора

Информация:

• Глубина: 6
• Количество транзитивных зависимостей: 38

Переходные зависимости:

1. /линейная-алгебра/векторные-пространства/условие-для-подпространства
2. /линейная-алгебра/матрицы/гаусс-джордан-алго
3. /множества-и-отношения/эквивалентность-отношение
4. Группа
5. Звенеть
6. Полиномиальный
7. Интегральный домен
8. Сравнение коэффициентов многочлена с непересекающимися переменными
9. Поле
10. Векторное пространство
11. Линейная независимость
12. Охватывать
13. Увеличение линейно независимого набора
14. полукольцо
15. Матрица
16. Укладка
17. Система линейных уравнений
18. Произведение сложенных матриц
19. Умножение матриц ассоциативно
20. Уменьшенная форма эшелона строк (RREF)
21. Матрицы над полем образуют векторное пространство
22. Пространство строки
23. Элементарная операция строки
24. Каждая элементарная операция строки имеет уникальную обратную
25. Эквивалентность строк матриц
26. Матрицы, эквивалентные строкам, имеют одинаковое пространство строк.
27. RREF уникален
28. Единичная матрица
29. Обратная матрица
30. Инверсия продукта
31. Элементарная операция со строками — предварительное умножение матриц.
32. Матрица эквивалентности строк
33. Уравнения с матрицами, эквивалентными строкам, имеют один и тот же набор решений.
34. Основа векторного пространства
35. Линейно независимое множество не больше размаха
36. Однородные линейные уравнения с большим количеством переменных, чем уравнения
37. Ранг однородной системы линейных уравнений
38. Ранг матрицы

Стандартная основа

Марко Табога, доктор философии

Стандартная основа самая простая основа пространства г. все -размерный векторы. Он состоит из вектора, одна запись которых равна а остальные записи, равные .

Содержание

1. Определение

2. Proof that the standard basis is a basis

3. Standard basis and identity matrix

4. Equivalent basis

5. Solved exercises

   1. Exercise 1

Definition

В дальнейшем мы имеем дело с пространством всех -размерный векторов, которые мы обозначаем через . Мы не указываем, являются ли векторы векторами-строками или векторами-столбцами, или являются ли их записи действительными или комплексными числами.

Определение Позволять быть пространством всех -размерный векторы. Обозначим через вектор, чей -й запись равна и чьи оставшиеся записи равны . Тогда набор из векторсис называется стандартным основанием .

Стандартный базис также часто называют каноническим или естественным базисом.

Пример Позволять быть пространством всех векторы. Тогда стандартный базис состоит из трех векторы

Доказательство того, что стандартный базис является базисом

Мы определили стандартный базис, но не доказали, что он действительно является основа.

Предложение Стандарт базис основа пространства из всех -размерный векторы.

Доказательство

Помните, что основа представляет собой набор линейно независимые векторы . Возьмем любой вектор . Его нельзя записать в виде линейной комбинации других векторов поскольку -й запись всех остальных векторов , в то время как -й запись является . Поскольку ни один вектор можно записать в виде линейной комбинации остальных, то они линейно независимый. Возьмем любой вектор и обозначим его записи через . Затем можно написать как является линейной комбинацией канонического базиса (см. следующий пример). Таким образом, мы доказали, что канонический базис представляет собой множество линейно независимых векторы, охватывающие . Следовательно, каноническая основа действительно является основой для .

Пример Позволять быть пространством всех векторы. Тогда стандартный базис образуется двумя векторыОчевидно, нет скаляра такой, что или так два вектора не кратны друг другу, т. линейно независимы. Теперь возьмем любой вектор : куда и два скаляра. Затем в Другими словами, любой вектор можно записать в виде линейной комбинации и .

Стандартная основа и идентификационная матрица

Существует простая связь между стандартными базисами и единичными матрицами.

Предложение Позволять быть личность матрица:обозначить от его ряды и по его столбцы. Затем ряды являются векторы стандартного базиса пространства всех векторы и столбцы являются векторы стандартного базиса пространства всех векторы.

Предложение не нуждается в доказательстве, поскольку оно самоочевидно.

Пример Позволять быть личность матрица Тогда, которая стандартный базис пространства векторы.

Эквивалентная основа

Какие основания эквивалентны стандартному основанию, в ощущение, что они охватывают одно и то же пространство (из всех -размерный векторов), который натянут на стандартный базис? Следующее предложение отвечает этот вопрос.

Предложение Любой набор линейно независимых векторов является базисом пространства из всех -размерный векторы.

Доказательство

Обозначим множество линейно независимые векторы Предполагать что все векторы стандартного базиса можно представить в виде линейных комбинаций :куда — (скалярные) коэффициенты комбинации. Мы собираемся назвать это предположение А1. Если выполнено A1, то любой вектор наличие записей можно написать как в Другими словами, любой вектор может быть записана как линейная комбинация множества линейно независимых векторы, принадлежащие . Как следствие, является основой для . Мы доказали, что если выполняется A1, то является основой. Теперь нам нужно доказать, что выполняется A1. Доказательство от противного. Предположим, что A1 не выполняется. Тогда один из векторов стандартного базиса не может быть записана в виде линейной комбинации векторов .