Как меняются знаки в неравенствах: Линейные неравенства

Содержание

Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Конспект

Линейным неравенством с одной переменной $x$ называют неравенство вида $a·x+b>0$, где вместо знака > естественно может быть любой другой знак неравенства (<, ≤, ≥), а $a \ и \ b$ – любые числа, причем $a\ne0$.

Решением неравенства с одной переменной называют такое значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому.

Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т. е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).

Например:

$12+4x≤7−3x \\4x+3x≤7-12 \\7x≤-5 \\x≤-\frac57$

Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т. е. знак $>$ на знак $<$, и наоборот; знак $\ge$ на знак $\le$, и наоборот).

Например:

$24 — 3x ≤ 0 \\-3x\le-24 \\3x\ge24 \\x\ge8.$

Вопросы

Решите двойное неравенство.

$7≤ 2x + 3 ≤ 11$
Найдите решение двойного неравенства.

$-12 < 2(x+3) < 4$
Решите неравенство.

$1,75 +\frac{2x}3>\frac 1{12}x$
При каких значениях $x$ выражение $7,6 + 2x – (3x – 6,4)$ принимает положительные значения?
При каких значениях $x$ дробь $\frac{2x+5}3$ будет правильной?
Решите неравенство.

$5y + 9 ≤ 3 — 7y$
Найдите, при каких значениях переменной значения двучлена $9x + 3$ больше значения двучлена $5x + 6$.
Решите неравенство.

$\frac{2x+1}5>\frac{x-4}3$

Сообщить об ошибке

Обязательные

Математическая грамотность

Грамотность чтения

История Казахстана

Предметы по профилю

Биология

Химия

Английский язык

Французский язык

География

Немецкий язык

Информатика

Основы права

Русская литература

Математика

Физика

Русский язык

Всемирная история

Укажите предмет *

Скопируйте и вставьте вопрос задания *

Опишите подробнее найденную ошибку в задании *

Прикрепите скриншот

Объем файла не должен превышать 1МБ

Казахский

Русский

Обратите внимание! По выбранным Вами предметам ГРАНТЫ не предоставлены.

В AlmaU, Университете Нархоз и Каспийском Университете представлены специальности, где профильными предметами являются математика, физика, география, иностранный язык, Человек. Общество. Право, всемирная история, биология, химия и творческий экзамен.

1. Скачайте приложение iTest, используя QR-код или строку поиска в AppStore или Play Market

2. Авторизуйтесь в приложении и готовьтесь к экзаменам вместе с нами

конспект и интерактивный лист по теме «Линейные и квадратные неравенства»

Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Балтийский Федеральный университет

Имени Иммануила Канта

Институт образования

Задание

По учебной дисциплине «Интернет-технологии в образовании с практикумом»

Отчёт

Выполнила студентка 3 курса

44. 03.05 Педагогическое образование

С двумя профилями подготовки:

«Математика и Информатика»

Шипицина Наталия Дмитриевна

Калининград, 2021 год.

План-конспект

Тема: неравенства (линейные и квадратные неравенства)

Цель: овладеть математическими знаниями и умениями при решении линейных и квадратных неравенств

Ход работы с рабочим листом:

1 страница — Видеокейс.

2 страница — Интерактивная видео-лекция по теме «Линейные неравенства»

3 страница — Теоретическая часть по теме «Линейные неравенства»

4 страница – Алгоритм решения линейного неравенства

5 страница — Вопросы по теоретической части по теме «Линейные неравенства»

6 страница – Интерактивная видео-лекция по теме «Квадратные неравенства»

7 страница – Теоретическая часть по теме «Квадратные неравенства»

8 страница – Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

9 страница – Вопросы по теоретической части по теме «Квадратные неравенства»

10 страница – Видео-разбор линейного неравенства

11 страница – Видео-разбор квадратного неравенства

12 страница – Задание «Классификация»

13 страница – Числовые промежутки

14 страница – Задания для самостоятельного решения

15 страница — Диалоговый тренажёр

16 страница – Рефлексия

Список литературы:

Epmat. ru
Решу Огэ
Платформа Core
Программа VN
Learningapps.org

QR-код (Learningapps.org)- http://qrcoder.ru/code/?http%3A%2F%2Flearningapps.org%2Fdisplay%3Fv%3Dp7tkhpikj21&4&0

Задание «Числовые промежутки» — https://learningapps.org/display?v=p7tkhpikj21

Приложение №1

Ссылка на лист:

1) Для ребенка — https://coreapp.ai/app/player/lesson/603f91f7431ea61c85a66da1

2) Для учителя — https://coreapp.ai/app/preview/lesson/6048d8db60f7e10292768903

Приложение №2

Квадратные неравенства (Learningapps.org)

Линейные неравенства Learningapps.org

Анна прошла интерактивный лист полностью, просмотрев все лекции и задания.

П роверяя её работу, я обнаружила ошибки в самостоятельной части. Анна забыла поменять знак, так как она делила на (-1). Ответ верный , но в ходе решения допущены ошибки.

Вторая задача решена верно.

Подробное решение задач:

Видео-разбор линейного неравенства.

№1. Решить неравенство 3(2−x)18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3×18

−3×18−6

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед x. Так как −3 знак неравенства поменяется на противоположный.

−3×12|÷(−3)

x⇒x

Остается записать ответ

Ответ: x∈(−∞;−4)

Видео-разбор квадратного неравенства.

№1. Решить неравенство: 4²+3x.

Приводим квадратное неравенство к виду ax²+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax²+bx+c=0.

4 x²+3x

− x²−3x+4

− x²−3x+4=0

a=−1,b=−3,c=4

D=b²−4ac = (−3)2−4⋅(−1)⋅4= 9+16=25

D0⇒ будет два различных действительных корня

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x²−3x+4= −(2)2−3⋅2+4=−6

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства выбираем в ответ интервалы со знаком −.

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ: x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

Вопросы по теоретической части по теме «Линейные неравенства»

Вопросы по теоретической части по теме «Квадратные неравенства»

Классификация

Задачи для самостоятельного решения

Теоретическая часть:

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:

больше,

≥ больше или равно,

меньше,

≤ меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax≤b

axb

ax≥b

где a и b – любые числа, причем a≠0, x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

x−2≥0

7−5x

x≤0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x≤c

x≥c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Если знак неравенства строгий , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Алгоритм решения линейного неравенства

Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax≤b

axb

ax≥b

Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

Если a то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.

Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида:

ax²+bx+c0

ax²+bx+c≥0

ax²+bx+c

ax²+bx+c ≤0

где a, b, c — некоторые числа, причем a≠0, x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения.

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1.Решить уравнение ax²+bx+c =0 и найти корни x1 и x2.

2.Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий , точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

3.Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax²+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

4.Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

5.Записать ответ.

Теория в интерактивной видео-лекции.

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax≤b

axb

ax≥b

где a и b – любые числа, причем a≠0, x – переменная.

Правила преобразования неравенств:

Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак на знак , и наоборот; знак ≥на знак ≤, и наоборот).

А сейчас давай разберем пример! Это вася. Так вот, предположим, что у Васи больше, чем 12 яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. Вопрос: По сколько яблок получит каждый друг?

Если обозначить через x количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:

3×12

Дальше мы делим обе части составленного неравенства на 3 и получаем:

x12:3

Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем 4 яблока.

Ну вот мы и справились с неравенством!

А вот еще примеры неравенств.

Все приведенные выше неравенства являются линейными.

Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

Если знак неравенства строгий ,выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Квадратные

Чтобы разобраться, как решать квадратные неравенства, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция и какими свойствами она обладает.

Зачем вообще нужна квадратичная функция? Какой у нее график? Где он применим?

Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч?

По дуге? Самым верным ответом будет «по параболе»!

Парабола и есть график квадратичной функции.

А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе!

Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что с параболой ты сталкиваешься ежедневно!

Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи.

К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полёта?

Или, где окажется снаряд, если запустить его под определённым углом?

Итак, давай разбираться.

Квадратное неравенство – это неравенство, состоящее из одной квадратичной функции. Таким образом, все квадратные неравенства сводятся к следующим четырём видам:

ax²+bx+c0

ax²+bx+c≥0

ax²+bx+c

ax²+bx+c ≤0

где a, b, c — некоторые числа, причем a≠0, x — переменная.

Как вы уже поняли сейчас мы разберем один из способов решения квадратного уравнения – метод параболы

Далее в интерактивном листе разобран метод интегралов.

График квадратичной функции – парабола. Её ветви направлены вверх, если a0, и вниз, если a0:

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси Ox.
Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трёхчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси Ox.

Как решать уравнения (переставить стороны, изменить знак)

Энциклопедия>Алгебра>Уравнения и неравенства>Уравнения>Линейные уравнения>Как решать уравнения (переставить стороны, изменить знак)

Теперь вы знаете, что уравнения должны быть сбалансированы. Это означает, что если вы делаете что-то с одной стороны уравнения, вы должны сделать то же самое и с другой, чтобы оно не вышло из равновесия.

Чтобы изолировать x, вам нужно добавить или вычесть что-то, чтобы избавиться от термина на одной стороне уравнения. Это то, что вы делаете:

Пример 1

Вычитание с обеих сторон

x+3=5x+3−3=5−3x+0=2x=2 Вы хотите удалить 3 с левой стороны (LS). Если вы вычтете 3 из LS, 3 исчезнет. Вы также должны вычесть 3, которые вы вычли из левой части, из правой части (RS). Это означает, что цифра 3 оказалась по другую сторону от знака равенства, но с противоположным знаком!

Пример 2

Сложение с обеих сторон

x−4=9x−4+4=9+4x+0=13x=13 Вы хотите удалить -4 на LS. Если вы добавите 4 к LS, −4 исчезнет. 4, которые вы добавили в LS, также должны быть добавлены в RS. Это означает, что 4 оказались по другую сторону знака равенства, но с противоположным знаком!

Есть более простой способ, чем вычитание или сложение с обеих сторон. Этот метод называется поменяй стороны, поменяй знак.

Правило

Метод смены сторон, смена знака

1.: Измените стороны термина, который вы хотите удалить, так, чтобы он находился по другую сторону от знака равенства.
2.: Измените знак термина, который вы только что переместили.

Пример 3

Положительный Изменить стороны, изменить знак на отрицательный

x+3=5x=5−3x=2+3 заменяется на RS уравнения. Мы меняем знак так, чтобы +3 стало −3.

Пример 4

Отрицательное изменение сторон, изменение знака на положительное

x−4=9x=9+4x=13−4 заменяется на RS уравнения. Мы меняем его знак так, чтобы −4 стало +4.

Почему ты можешь просто менять сторону, менять знак, сколько угодно? Представьте, что весы уравновешены. Когда вы перемещаете термин на другую шкалу, вы можете подумать, что он станет тяжелее, но поскольку вы одновременно меняете знак, это похоже на то, что тот же самый термин был удален или добавлен на другую сторону шкалы!

Подумай об этом

Правило смены сторон, смены знака — это упрощенный способ выполнения одного и того же действия по обе стороны от знака равенства.

Математика в этом плане удивительна — когда вы изучаете новые правила, ваша жизнь становится проще!

Пример 5

Решите уравнение x+13=20. х+13=20х=20−13х=7

Пример 6

Решите уравнение x−41=69. x−41=69x=69+41x=110

Пример 7

Решите уравнение 2x+3=7+x. 2x+3=7+x2x-x=7-3x=4

Пример 8

Решите уравнение 5x-11=-3+4x. 5x−11=−3+4x5x−4x=−3+11x=8

Хотите узнать больше?ЗарегистрируйтесьЭто бесплатно!Хотите узнать больше?ЗарегистрируйтесьЭто бесплатно!
правил неравенств | Узнайте и решайте вопросы
Maths
Правила неравенства
Введение
Последний обновлен
Математическое выражение с неравными сторонами называется неравенством. Неравенство в математике в его простейшей форме сравнивает любые два значения и утверждает, что одно значение меньше, больше или не равно значению на другой стороне уравнения. При решении уравнений используются два равных выражения. Как следует из названия, мы исследуем неравенства, когда оцениваем два выражения, которые «неравны» или непропорциональны друг другу. В результате одно уравнение будет иметь большее значение, чем другое. Есть четыре основных видов неравенства: меньше, больше, меньше или равно и больше или равно.
Определение линейного неравенства
Математическое выражение, которое сравнивает два значения с использованием символов неравенства, известно как линейное неравенство. Если ни один член не включает произведение переменных и показатель степени каждой переменной имеет только первую степень, неравенство называется линейным. Неравенства можно определить как утверждение, включающее переменную(ые) и знак неравенства, $>,<, \leq, \geq$ или два действительных числа или два алгебраических выражения, соединенных символом $>,<, \leq , \geq$ образуют математическое неравенство.
Символы, используемые в неравенствах
Символы, используемые в неравенствах
Меньше, чем обозначается символом $<$.
Больше, чем обозначается символом $>$.
Меньше или равно обозначается символом с чертой под ним $\leq$.
Больше или равно обозначается символом с чертой под ним $\geq$.
Символ обычно указывает на то, что величины слева и справа не равны $\neq $.
Правила неравенств
Символ неравенства остается неизменным, если к обеим частям неравенства прибавляется одно и то же число. Например — если у нас $a
На знак неравенства не влияет вычитание одинаковой суммы из обеих частей неравенства. Например — если у нас $a>b$, то $a-c>b-c$.
На знак неравенства не влияет умножение обеих частей неравенства на положительное число. Например — если у нас есть $a
На знак неравенства не влияет деление обеих частей на a положительное число. Например — Если $a
Умножение обеих частей уравнения неравенства на одно и то же отрицательное число изменяет направление символа неравенства. Например — Если $ab \times c$.
Деление обеих частей уравнения неравенства на одно и то же отрицательное число изменяет направление символа неравенства. Например — Если у нас есть a < b и если c отрицательное число, то $\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$.
Решенные примеры
Пример 1. Решить $2 x-6 \leq 3-x$.
Решение: Начнем решать неравенство, прибавив обе части по 6, что получим;
$2 x-6+6 \leq 3+6-x$
$2 x \leq 9-x$
Складываем обе части на x
$2 x+x \leq 9-x+x$
$3 x \leq 9$
Теперь разделим обе части неравенства на 3;
$x \leq 3$
Пример 2: Решите $x+4>
5$.
Решение: Здесь у нас есть только одна переменная, поэтому мы можем легко изолировать переменную $x$, вычитая 4 из обеих частей полученного неравенства;
$x+4-4>5-4$
$\Rightarrow x>1$
Следовательно, $x>1$
Пример 3: Решить $5 x+20>3 x+24$
Решение: Начнем решать неравенство с вычитания 20 из обеих частей полученного неравенства;
$5 x+20-20>3 x+24-20$
$5 x>3 x+4$
Теперь вычтем обе части неравенства на $3 x$.
No related posts.