Как найти арктангенс: Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Тригонометрия

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Внеклассный урок

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса ».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут (16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.

п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg .

Список литературы.

• Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999. — 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:
1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0.

По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x) Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках.

Неравенству y Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числапомогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos (1 2) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно ). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin (- π 2) = — 1 , sin (- π 3) = — 3 2 , sin (- π 4) = — 2 2 , sin (- π 6) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos (- 1) = π , arccos (- 3 2) = 5 π 6 , arcocos (- 2 2) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

Таблица арккосинусов.

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют т аблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin (- α) = — a r c sin α , a r c cos (- α) = π — a r c cos α , a r c t g (- α) = — a r c t g α , a r c c t g (- α) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул сумм ы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса ).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − (− π 12) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Arcsin arccos arctg arctg таблица значений • Вэб-шпаргалка для интернет предпринимателей!

Содержание

• 1 Арксинус, arcsin
  • 1. 1 Определение и обозначения
  • 1.2 График функции арксинус
• 2 Арккосинус, arccos
  • 2.1 Определение и обозначения
  • 2.2 График функции арккосинус
• 3 Четность
• 4 Свойства — экстремумы, возрастание, убывание
• 5 Таблица арксинусов и арккосинусов
• 6 Формулы
  • 6.1 Формулы суммы и разности
• 7 Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
• 8 Основные значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
• 9 Нахождение значений arcsin, arccos, arctg и arcctg по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
• 10 Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.
• 11 Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
• 12 Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg
• 13 Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса
• 14 Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg
  • 14.1 Рекомендуем к прочтению

Арксинус, arcsin

Определение и обозначения

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(– x ) = arcsin(–sin arcsin x ) = arcsin(sin(–arcsin x )) = – arcsin x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(– x ) = arccos(–cos arccos x ) = arccos(cos(π–arccos x )) = π – arccos x ≠ ± arccos x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin x	y = arccos x
Область определения и непрерывность	– 1 ≤ x ≤ 1	– 1 ≤ x ≤ 1
Область значений
Возрастание, убывание	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0	x = 0	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = π/ 2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x	arcsin x	arccos x
град.	рад.	град.	рад.
– 1	– 90°	–	180°	π
–	– 60°	–	150°
–	– 45°	–	135°
–	– 30°	–	120°
	0°		90°
30°	60°
45°	45°
60°	30°
1	90°	0°

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при 0,,y>0 ;»> и 1″>

при и 1″>

при или

при 0,,y и 1″>

при 0 ;»> и 1″>

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса».

Для этого обратимся к определениям арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать угол, то значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа a логично считать величину этого угла. Если под арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом числа a понимать число, то оно и является значением соответствующей аркфункции.

Чтобы окончательно все стало понятно, приведем пример.

Например, по определению арккосинуса угол (число) π/3 является арккосинусом одной второй, так как этот угол (число) лежит в рамках от нуля до пи, и косинус этого угла (числа) равен 1/2 . Таким образом, значение арккосинуса одной второй есть угол пи на три радианов (число пи на три). При этом говорят: «Арккосинус одной второй равен пи на три». На письме подобные выражения записывают в виде равенства, рассматриваемому примеру соответствует запись arccos(1/2)=π/3 . Заметим, что величина угла может быть указана и в градусах. Так как угол π/3 рад равен углу 60 градусов (смотрите перевод градусов в радианы и обратно), то для нашего примера значением арккосинуса 1/2 можно указать угол 60 градусов, то есть, .

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Нам известны точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса так называемых основных углов 0 , ±30 , ±45 , ±60 , ±90 , ±120 , ±135 , ±150 , ±180, … градусов, которые мы собрали в таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов. Из этой таблицы можно получить некоторые значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, которые будем называть основными значениями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Из таблицы синусов основных углов мы можем извлечь следующие результаты:

Учитывая эти значения, а также определение арксинуса числа, мы можем указать следующие значения арксинуса числа −1 , минус корень из трех на два, минус корень из двух на два, −1/2 , 0 , 1/2 , корень из двух на два, корень из трех на два и 1 , которые равны −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 радианов ( −90 , −60 , −45 , −30 , 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов) или числам −π/2 , −π/3 , −π/4 , −π/6 , 0 , π/6 , π/4 , π/3 и π/2 соответственно. Это есть основные значения арксинуса.

Для удобства запишем основные значения арксинуса в таблицу. Основные значения арксинуса (как и приведенные ниже значения арккосинуса, арктангенса и арккотангенса) желательно выучить наизусть, так как с ними придется часто встречаться при решении примеров и задач.

Чтобы получить основные значения арккосинуса, обратимся к таблице косинусов основных углов. Из нее находим, что

Отсюда получаем такие значения арккосинуса:

Вот соответствующая таблица арккосинусов.

Аналогично находятся основные значения арктангенса и арккотангенса. Также занесем их в таблицы арктангенсов и арккотангенсов.

Нахождение значений arcsin, arccos, arctg и arcctg по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Понятно, что мы можем указать точное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса или арккотангенса числа a , когда знаем величину угла (или число), синус, косинус, тангенс или котангенс которого равен a . Это по большей части касается основных значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, о которых мы говорили в предыдущем пункте данной статьи. В общем же случае отыскать точное значение аркфункций не представляется возможным. Однако мы всегда можем найти приближенное значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса данного числа, например, воспользовавшись таблицами синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a , arccos(−a)=π−arccos a , arctg(−a)=−arctg a и arcctg(−a)=π−arcctg a .

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857 . Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16 градусов 36 минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857 является угол 16 градусов 36 минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863 . По таблице синусов это значение получается как 0,2857 плюс поправка 0,0006 , то есть, значению 0,2863 соответствует синус 16 градусов 38 минут ( 16 градусов 36 минут плюс 2 минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573 . Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860 и 0,2863 , между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573 заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1 минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Задача нахождения значения арксинуса числа через известный арккосинус этого числа, арккосинуса через известный арксинус, арктангенса через арккотангенс и арккотангенса через известный арктангенс решается очень просто – достаточно использовать формулы arcsin a+arccos a=π/2 и arctg a+arcctg a=π/2 (смотрите формулы суммы арксинуса и арккосинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12 , а нужно найти значение arccos a . Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12 .

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a равен π/10 , и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a . Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a , после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10 радиан – это угол 18 градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18 градусов приближенно равен 0,9511 , тогда число a в нашем примере есть 0,9511 .

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511 , оно приближенно равно 43 градусам 34 минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg.

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( — π 2 ) = — 1 , sin ( — π 3 ) = — 3 2 , sin ( — π 4 ) = — 2 2 , sin ( — π 6 ) = — 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от — 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α		— 1	— 3 2	— 2 2	— 1 2		1 2	2 2	3 2
a r c sin α к а к у г о л	— π 2	— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3
	в г р а д у с а х	— 90 °	— 60 °	— 45 °	— 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c sin α к а к ч и с л о		— π 2	— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = — 1 2 , cos 3 π 4 = — 2 2 , cos 5 π 6 = — 3 2 , cos π = — 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( — 1 ) = π , arccos ( — 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( — 2 2 ) = 3 π 4 , arccos — 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α		— 1	— 3 2	— 2 2	— 1 2		1 2	2 2	3 2	1
a r c cos α к а к у г о л	π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6
	в г р а д у с а х	180 °	150 °	135 °	120 °	90 °	60 °	45 °	30 °	0 °
a r c cos α к а к ч и с л о		π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α		— 3	— 1	— 3 3		3 3	1	3
a r c t g a к а к у г о л	в р а д и а н а х	— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3
	в г р а д у с а х	— 60 °	— 45 °	— 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c t g a к а к ч и с л о		— π 3	— π 4	— π 6		π 6	π 4	π 3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( — α ) = — a r c sin α , a r c cos ( — α ) = π — a r c cos α , a r c t g ( — α ) = — a r c t g α , a r c c t g ( — α ) = π — a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = — π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

тригонометрия — Решение ArcTan угла (радианы) вручную?

спросил 10 лет, 8 месяцев назад

Изменено 1 год, 7 месяцев назад

Просмотрено 47 тысяч раз

$\begingroup$

Как перевести $\arctan(n)$ в радианы вручную? т. е. $\arctan(1)$ >> процесс >> $\pi/4$

::EDIT::

У меня есть это расширение Тейлора, которое позволяет мне рассчитать приблизительное значение для arctan, но мне интересно, есть ли решение в закрытой форме (или более общая формула, чем ниже):

• тригонометрия

$\endgroup$

13

$\begingroup$

При хорошем понимании вы должны уметь вычислять $\mathrm{arctan}(1)$ в уме. Вот что вам нужно понять: 9\circ$. Преобразование в радианы дает $\mathrm{arctan}(1)=\pi/4$.

Найти точный арктангенс других значений было бы намного сложнее, хотя вы должны быть в состоянии оценить арктангенс, изобразив его. Например, легко подсчитать, что $\mathrm{arctan}(1/3)$ должен составлять около $15$ или $20$ градусов, просто изобразив линию с наклоном $1/3$.

Редактировать: Между прочим, если вы действительно хотите вычислить арктангенс вручную, один из возможных способов — использовать тождество $$ \arctan(x) \;=\; 2\arctan\biggl(\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}\biggr), $$ что следует из формулы двойного угла для тангенса. Величина в скобках справа меньше $x/2$, поэтому вы можете повторять это тождество, чтобы найти последовательность меньших и меньших углов, арктангенсы которых вы хотите вычислить. (Обратите внимание, что вам нужно уметь вычислять квадратные корни вручную.) Как только ваш угол становится достаточно маленьким, приближение $$ \arctan(x) \;\приблизительно\; Икс $$ становится очень точным. 92}}$ для $x$, затем установите это значение равным тому, что вы хотите получить $\arctan$, и решите для $x$.

P.S.: это очень трудоемко

Редактировать: изменена формулировка

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Математика: вычислить арктангенс в радианах

Используйте это действие для вычисления арктангенса тригонометрического соотношения. Арктангенс обратен тангенсу. Например, если tan(.5) = 0.54630249 , то arctan(0.54630249) = .5

Чтобы узнать больше, начните со статьи Википедии «Обратные тригонометрические функции».

В тригонометрии arctan(x) иногда обозначается как tan-1(x) , так как это обратная величина тангенса.

примечание

• Примечание: Это действие принимает и выводит только в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы перед использованием этого действия, используйте действие «Градусы в радианы»
.

Как настроить это действие

При настройке этого действия укажите целое или десятичное поле в Значение конфигурация поля. Как сослаться на поле?

Для более сложной математики используйте Javascript с действием Поле: Формулы поля.

Поля для этого действия

• Значение

  • Целое или десятичное число для выполнения операции.

• Префикс поля вывода

  • Чтобы упростить организацию полей вывода, выберите префикс поля вывода, который будет добавляться к началу имени каждого поля вывода, поскольку это действие может вывести более одного поля.

Что это выведет?

Это действие выводит в радианах. Чтобы преобразовать радианы в градусы, используйте действие Радианы в градусы

Это действие может создать несколько полей. Чтобы упростить организацию полей вывода, указанный выше префикс будет добавлен в начало каждого имени поля вывода, разделенного двумя дефисами. Каждое поле будет иметь результат: {{префикс-поля-вывода--поле-вывода}} .

Поля вывода для этого действия

• Результат

  • Результат операции. Выход представляет собой поле десятичного типа.

Получите помощь по проблеме или вопросу

Если что-то работает не так, как ожидалось, или вы ищете предложения, проверьте варианты ниже.

Поле результатов пусто

Для математических действий требуются целые или десятичные значения. Если вы введете несовместимое значение для ввода, вывод может быть пустым. Например, попытка выполнить операцию со значением Морской биолог всегда будет возвращать пустое поле.

Спасибо за ваш отзыв

Мы ежедневно обновляем Справочный центр, поэтому ждите изменений в ближайшее время.

Ссылка скопирована

Вставьте этот URL в любое место, чтобы перейти прямо к разделу.

Связанные статьи

Нужна дополнительная помощь?

Если вы вошли в Catalytic Community, вы можете задать вопрос другим пользователям.