Помогите решить / разобраться (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
Посмотреть правила форума
| jender |
| ||
28/10/16 |
| ||
| |||
| Someone |
| |||
23/07/05 |
| |||
| ||||
| jender |
| ||
28/10/16 |
| ||
| |||
| Brukvalub |
| |||
01/03/06 |
| |||
| ||||
| Otta |
| |||
09/05/13 |
| |||
| ||||
В разделе о построении графиков (он самый первый) посмотрите подраздел о параметрически заданных функциях. Там и общие соображения есть, и примеры (хоть и немного).| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 5 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
Разработка по теме «Асимптоты графика функции»
Асимптоты графика функции
Призрак асимптоты давно бродил по сайту чтобы, наконец, материализоваться в отдельно взятой статье и привести в особый восторг читателей, озадаченных полным исследованием функции.
Нахождение асимптот графика – одна из немногих частей указанного задания, которая освещается в школьном курсе лишь в обзорном порядке, поскольку события вращаются вокруг вычисления пределов функций, а они относятся всё-таки к высшей математике. Посетители, слабо разбирающиеся в математическом анализе, намёк, думаю, понятен 😉 …стоп-стоп, вы куда? Пределы – это легко!
Примеры асимптот встретились сразу же на первом уроке о графиках элементарных функций, и сейчас тема получает детальное рассмотрение.
Итак, что такое асимптота?
Представьте переменную точку, которая «ездит» по графику функции. Асимптота – этопрямая, к которой неограниченно близко приближается график функции при удалении его переменной точки в бесконечность.
Примечание: определение содержательно, если вам необходима формулировка в обозначениях математического анализа, пожалуйста, обратитесь к учебнику.
На плоскости асимптоты классифицируют по их естественному расположению:
1) Вертикальные асимптоты, которые задаются уравнением вида , где «альфа» – действительное число.
Популярная представительница определяет саму ось ординат,
с приступом лёгкой тошноты вспоминаем гиперболу .
2) Наклонные асимптоты традиционно записываются уравнением прямой с угловым коэффициентом . Иногда отдельной группой выделяют частный случай –горизонтальные асимптоты . Например, та же гипербола с асимптотой .
Резво пошло-поехало, ударим по теме короткой автоматной очередью:
Сколько асимптот может быть у графика функции?
Ни одной, одна, две, три,… или бесконечно много. За примерами далеко ходить не будем, вспомним элементарные функции. Парабола, кубическая парабола, синусоида вовсе не имеют асимптот. График экспоненциальной, логарифмической функции обладает единственной асимптотой. У арктангенса, арккотангенса их две, а у тангенса, котангенса – бесконечно много. Не редкость, когда график укомплектован и горизонтальными и вертикальными асимптотами. Гипербола, will always love you.
Что значит найти асимптоты графика функции?
Это значит выяснить их уравнения, ну и начертить прямые линии, если того требует условие задачи.
Процесс предполагает нахождение пределов функции.
Вертикальные асимптоты графика функции
Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрывафункции. Всё просто: если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением является вертикальной асимптотой графика.
Примечание: обратите внимание, что запись используется для обозначения двух совершенно разных понятий. Точка подразумевается или уравнение прямой – зависит от контекста.
Таким образом, чтобы установить наличие вертикальной асимптоты в точке достаточно показать, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Чаще всего это точка, где знаменатель функции равен нулю. По существу, мы уже находили вертикальные асимптоты в последних примерах урока о непрерывности функции. Но в ряде случаев существует только один односторонний предел, и, если он бесконечен, то снова – любите и жалуйте вертикальную асимптоту.
Простейшая иллюстрация: и ось ординат (см. Графики и свойства элементарных функций).
Из вышесказанного также следует очевидный факт: если функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют. На ум почему-то пришла парабола. Действительно, где тут «воткнёшь» прямую? …да… понимаю… последователи дядюшки Фрейда забились в истерике =)
Обратное утверждение в общем случае неверно: так, функция не определена на всей числовой прямой, однако совершенно обделена асимптотами.
Наклонные асимптоты графика функции
Наклонные (как частный случай – горизонтальные) асимптоты могут нарисоваться, если аргумент функции стремится к «плюс бесконечности» или к «минус бесконечности». Поэтому график функции не может иметь больше двух наклонных асимптот. Например, график экспоненциальной функции обладает единственной горизонтальной асимптотой при , а график арктангенса при – двумя такими асимптотами, причём различными.
Когда график и там и там сближается с единственной наклонной асимптотой, то «бесконечности» принято объединять под единой записью .
Например, …правильно догадались: .
Общее практическое правило:
Если существуют два конечных предела , то прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Если хотя бы одиниз перечисленных пределов бесконечен, то наклонная асимптота отсутствует.
Примечание: формулы остаются справедливыми, если «икс» стремится только к «плюс бесконечности» или только к «минус бесконечности».
Покажем, что у параболы нет наклонных асимптот:
Предел бесконечен, значит, наклонная асимптота отсутствует. Заметьте, что в нахождении предела необходимость отпала, поскольку ответ уже получен.
Примечание: если у вас возникли (или возникнут) трудности с пониманием знаков «плюс-минус», «минус-плюс», пожалуйста, посмотрите справку в начале урока
о бесконечно малых функциях, где я рассказал, как правильно интерпретировать данные знаки.
Очевидно, что у любой квадратичной, кубической функции, многочлена 4-й и высших степеней также нет наклонных асимптот.
А теперь убедимся, что при у графика тоже нет наклонной асимптоты. Для раскрытия неопределённости используем правило Лопиталя:
, что и требовалось проверить.
При функция неограниченно растёт, однако не существует такой прямой, к которой бы её график приближался бесконечно близко.
Переходим к практической части урока:
Как найти асимптоты графика функции?
Именно так формулируется типовое задание, и оно предполагает нахождение ВСЕХ асимптот графика (вертикальных, наклонных/горизонтальных). Хотя, если быть более точным в постановке вопроса – речь идёт об исследовании на наличие асимптот (ведь таковых может и вовсе не оказаться). Начнём с чего-нибудь простого:
Пример 1
Найти асимптоты графика функции
Решение удобно разбить на два пункта:
1) Сначала проверяем, есть ли вертикальные асимптоты. Знаменатель обращается в ноль при , и сразу понятно, что в данной точке функция терпит бесконечный разрыв, а прямая, заданная уравнением , является вертикальной асимптотой графика функции.
Но, прежде чем оформить такой вывод, необходимо найти односторонние пределы:
Напоминаю технику вычислений, на которой я подобно останавливался в статьеНепрерывность функции. Точки разрыва. В выражение под знаком предела вместо «икса» подставляем . В числителе ничего интересного:
.
А вот в знаменателе получается бесконечно малое отрицательное число:
, оно и определяет судьбу предела.
Левосторонний предел бесконечный, и, в принципе уже можно вынести вердикт о наличии вертикальной асимптоты. Но односторонние пределы нужны не только для этого – они ПОМОГАЮТ ПОНЯТЬ, КАК расположен график функции и построить его КОРРЕКТНО. Поэтому обязательно вычислим и правосторонний предел:
Вывод: односторонние пределы бесконечны, значит, прямая является вертикальной асимптотой графика функции при .
2) Проверим наличие наклонных асимптот:
Первый предел конечен, значит, необходимо «продолжить разговор» и найти второй предел:
Второй предел тоже конечен.
Таким образом, наша асимптота:
Вывод: прямая, заданная уравнением является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Для нахождения горизонтальной асимптоты
можно пользоваться упрощенной формулой:
Если существует конечный предел , то прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Нетрудно заметить, что числитель и знаменатель функции одного порядка роста, а значит, искомый предел будет конечным:
Ответ:
По условию не нужно выполнять чертёж, но если в самом разгаре исследование функции, то на черновике сразу же делаем набросок:
Исходя из трёх найденных пределов , попытайтесь самостоятельно прикинуть, как может располагаться график функции . Совсем трудно? Найдите 5-6-7-8 точек и отметьте их на чертеже. Впрочем, график данной функции строится с помощью преобразований графика элементарной функции, и читатели, внимательно рассмотревшие Пример 21 указанной статьи легко догадаются, что это за кривая.
Пример 2
Найти асимптоты графика функции
Это пример для самостоятельного решения. Процесс, напоминаю, удобно разбить на два пункта – вертикальные асимптоты и наклонные асимптоты. В образце решения горизонтальная асимптота найдена по упрощенной схеме.
На практике чаще всего встречаются дробно-рациональные функции, и после тренировки на гиперболах усложним задание:
Пример 3
Найти асимптоты графика функции
Решение: Раз, два и готово:
1) Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва, поэтому нужно проверить, обращается ли знаменатель в ноль. Решим квадратное уравнение:
Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два действительных корня, и работы значительно прибавляется =)
В целях дальнейшего нахождения односторонних пределов квадратный трёхчлен удобно разложить на множители:
(для компактной записи «минус» внесли в первую скобку).
Для подстраховки выполним проверку, мысленно либо на черновике раскрыв скобки.
Перепишем функцию в виде
Найдём односторонние пределы в точке :
И в точке :
Таким образом, прямые являются вертикальными асимптотами графика рассматриваемой функции.
2) Если посмотреть на функцию , то совершенно очевидно, что предел будет конечным и у нас горизонтальная асимптота. Покажем её наличие коротким способом:
Таким образом, прямая (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика данной функции.
Ответ:
Найденные пределы и асимптоты дают немало информации о графике функции. Постарайтесь мысленно представить чертёж с учётом следующих фактов:
Схематично изобразите вашу версию графика на черновике.
Конечно, найденные пределы однозначно не определяют вид графика, и возможно, вы допустите ошибку, но само упражнение окажет неоценимую помощь в ходе полного исследования функции. Правильная картинка – в конце урока.
Пример 4
Найти асимптоты графика функции
Пример 5
Найти асимптоты графика функции
Это задания для самостоятельного решения. Оба графика снова обладают горизонтальными асимптотами, которые немедленно детектируются по следующим признакам: в Примере 4 порядок роста знаменателя больше, чем порядок роста числителя, а в Примере 5 числитель и знаменатель одного порядка роста. В образце решения первая функция исследована на наличие наклонных асимптот полным путём, а вторая – через предел .
Горизонтальные асимптоты, по моему субъективному впечатлению, встречаются заметно чаще, чем те, которые «по-настоящему наклонены». Долгожданный общий случай:
Пример 6
Найти асимптоты графика функции
Решение: классика жанра:
1) Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, и вертикальные асимптоты отсутствуют. …Хорошо ли это? Не то слово – отлично! Пункт №1 закрыт.
2) Проверим наличие наклонных асимптот:
Первый предел конечен, поэтому едем дальше. В ходе вычисления второго предела для устранения неопределённости «бесконечность минус бесконечность» приводим выражение к общему знаменателю:
Второй предел тоже конечен, следовательно, у графика рассматриваемой функции существует наклонная асимптота:
Вывод:
Таким образом, при график функции бесконечно близко приближается к прямой :
Заметьте, что он пересекает свою наклонную асимптоту в начале координат, и такие точки пересечения вполне допустимы – важно, чтобы «всё было нормально» на бесконечности (собственно, речь об асимптотах и заходит именно там).
Пример 7
Найти асимптоты графика функции
Решение: комментировать особо нечего, поэтому оформлю примерный образец чистового решения:
1) Вертикальные асимптоты. Исследуем точку .
Прямая является вертикальной асимптотой для графика при .
2) Наклонные асимптоты:
Прямая является наклонной асимптотой для графика при .
Ответ:
Найдённые односторонние пределы и асимптоты с высокой достоверностью позволяют предположить, как выглядит график данной функции. Корректный чертёж в конце урока.
Пример 8
Найти асимптоты графика функции
Это пример для самостоятельного решения, для удобства вычисления некоторых пределов можно почленно разделить числитель на знаменатель. И снова, анализируя полученные результаты, постарайтесь начертить график данной функции.
Очевидно, что обладателями «настоящих» наклонных асимптот являются графики тех дробно-рациональных функций, у которых старшая степень числителя на единицу большестаршей степени знаменателя. Если больше – наклонной асимптоты уже не будет (например, ).
Но в жизни происходят и другие чудеса:
Пример 9
Исследовать график функции на наличие асимптот
Решение: функция непрерывна на всей числовой прямой, значит, вертикальные асимптоты отсутствует.
Но вот наклонные вполне могут быть. Проверяем:
Вспоминаю, как ещё в ВУЗе столкнулся с похожей функцией и просто не мог поверить, что у неё есть наклонная асимптота. До тех пор, пока не вычислил второй предел:
Строго говоря, здесь две неопределённости: и , но так или иначе, нужно использовать метод решения, который разобран в Примерах 5-6 статьи о пределах повышенной сложности. Умножаем и делим на сопряженное выражение, чтобы воспользоваться формулой :
Ответ:
Пожалуй, самая популярная наклонная асимптота.
До сих пор бесконечности удавалось «стричь под одну гребёнку», но бывает, что у графика функции две разные наклонные асимптоты при и при :
Пример 10
Исследовать график функции на наличие асимптот
Решение: подкоренное выражение положительно, значит, область определения – любое действительно число, и вертикальных палок быть не может.
Проверим, существуют ли наклонные асимптоты.
Если «икс» стремится к «минус бесконечности», то:
(при внесении «икса» под квадратный корень необходимо добавить знак «минус», чтобы не потерять отрицательность знаменателя)
Выглядит необычно, но здесь неопределённость «бесконечность минус бесконечность». Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика при .
С «плюс бесконечностью» всё тривиальнее:
А прямая – при .
Ответ:
, если ;
, если .
Не удержусь от графического изображения:
Это одна из ветвей гиперболы .
Не редкость, когда потенциальное наличие асимптот изначально ограничено областью определения функции:
Пример 11
Исследовать график функции на наличие асимптот
Решение: очевидно, что , поэтому рассматриваем только правую полуплоскость, где есть график функции.
1) Функция непрерывна на интервале , а значит, если вертикальная асимптота и существует, то это может быть только ось ординат.
Исследуем поведение функции вблизи точки справа:
Обратите внимание, здесь НЕТ неопределённости (на таких случаях акцентировалось внимание в начале статьи Методы решения пределов).
Таким образом, прямая (ось ординат) является вертикальной асимптотой для графика функции при .
2) Исследование на наклонную асимптоту можно провести по полной схеме, но в статьеПравила Лопиталя мы выяснили, что линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифмическая, следовательно: (см. Пример 1 того же урока).
Вывод: ось абсцисс является горизонтальной асимптотой графика функции при .
Ответ:
, если ;
, если .
Чертёж для наглядности:
Интересно, что у вроде бы похожей функции асимптот нет вообще (желающие могут это проверить).
Два заключительных примера для самостоятельного изучения:
Пример 12
Исследовать график функции на наличие асимптот
Для проверки на вертикальные асимптоты сначала нужно найти область определения функции, а затем вычислить пару односторонних пределов в «подозрительных» точках.
Наклонные асимптоты тоже не исключены, поскольку функция определена на «плюс» и «минус» бесконечности.
5.5 Асимптоты и другие аспекты, на которые следует обратить внимание
Вертикальная асимптота – это место, где функция становится бесконечным, как правило, потому, что формула для функции имеет знаменатель, который становится равным нулю. Например, обратная функция $f(x)=1/x$ имеет вертикальную асимптоту в точке $x=0$, а функция $\tan x$ имеет вертикальную асимптоту в точке $x=\pi/2$ (а также в точке $x=-\pi/2$, $x=3\pi/2$ и т. д.). Всякий раз, когда формула функции содержит знаменателя стоит искать вертикальную асимптоту по проверяя, может ли знаменатель когда-либо равняться нулю, а затем проверяя предел в таких точках. Обратите внимание, что не всегда существует вертикаль асимптота, где знаменатель равен нулю: $f(x)=(\sin x)/x$ имеет нулевой знаменателя в $x=0$, но так как $\ds \lim_{x\to 0}(\sin x)/x=1$ существует там нет асимптоты.
Горизонтальная асимптота — это горизонтальная линия, к которой $f(x)$ приближается и
ближе, когда $x$ приближается к $\infty$ (или когда $x$ приближается к $-\infty$).
Для
например, обратная функция имеет ось $x$ для горизонтального
асимптота. Горизонтальные асимптоты можно определить, вычислив
пределы $\ds \lim_{x \to \infty}f(x)$ и $\ds \lim_{x \to -\infty}f(x)$.
Поскольку $\ds \lim_{x \to \infty}1/x=\lim_{x \to -\infty}1/x=0$, линия
$y=0$ (то есть ось $x$) является горизонтальной асимптотой в обоих направлениях.
92)$, где $a\geq0$. Найдите любой
вертикальные и горизонтальные асимптоты и интервалы, на которых
данная функция является вогнутой и возрастающей; вогнутый вверх и
уменьшение; вогнутая вниз и увеличивающаяся; вогнутая вниз и уменьшающаяся.
Обсудите, как значение $a$ влияет на эти функции.
Многочлены Горизонтальные и наклонные асимптоты
Вертикальные асимптоты найти довольно легко. Однако горизонтальные и наклонные асимптоты немного сложнее. На самом деле ничего сложного, но они требуют немного больше работы. Просто предупредил заранее.
Горизонтальная асимптота — это значение, к которому приближается рациональная функция, когда она уходит в дальние пределы оси x .
Все дело в конечном поведении графика, когда x становится огромным как в положительном, так и в отрицательном направлении. Уравнение горизонтальной асимптоты будет таким: « y = некоторое постоянное число». Так же, как уравнение любой горизонтальной линии. Подсказка Подсказка.
Мы уже видели несколько горизонтальных асимптот в предыдущем разделе, как у нашего приятеля.
Горизонтальные асимптоты не так строги, как вертикальные. Для них не имеет значения, сколько раз они пересекаются, главное, чтобы график приближался к ним в конце.
Вот как мы находим горизонтальные асимптоты. Все дело в градусах. Степень многочлена, то есть:
• Если степень числителя (вверху) на меньше степени знаменателя (внизу) на , то горизонтальная асимптота равна x -сама ось ( y =0).
• Если степень числителя (верхняя собака) равна в степени знаменателя (нижняя Джо), то мы смотрим на старший коэффициент каждого многочлена.
Разделите их, и горизонтальная асимптота будет y = это число.
Давайте еще раз взглянем на . Каждый многочлен имеет степень 1. Итак, в этот момент мы игнорируем все члены, кроме старших коэффициентов. У нас есть , и, как и ожидалось, наш график имеет горизонтальную асимптоту в y = 1.
Вот еще один, .
Числитель имеет степень 1, а знаменатель имеет степень 2. По мере того, как x становится все больше и больше — скажем, 1000 — проверяйте первый член каждого многочлена. У нас есть . Мы должны прищуриться, чтобы увидеть такое крошечное число, и оно будет становиться еще меньше по мере увеличения x . Вот почему рациональное выражение с тяжелым дном приводит к горизонтальной асимптоте y = 0.
Передние, боковые и наклонные стороны
Что произойдет, если рациональная функция окажется старше на 1 в своей степени? Будет ли он опрокидываться и падать вниз по склону? Нет, даже хуже: это заставляет нас использовать длинное деление.
Это потому, что рациональная функция, степень числителя которой ровно на 1 больше степени знаменателя, имеет наклонную асимптоту . Это асимптота, следующая некоторой прямой: y = f ( x ). Мы находим прямую, пройдя длинное деление нашей полиномиальной дроби.
Пример задачи
Найдите уравнение любой асимптоты .
Здесь мы должны пройти длинное деление.
У нашего отдела есть остаток, но нам на это наплевать. Выбросьте его, как еду недельной давности. Уравнение нашей наклонной асимптоты: y = x + 4.
Однако пока не празднуйте. Нам также нужно искать вертикальные асимптоты и дыры. Да, у нас может быть несколько типов асимптот плюс точки разрыва. Не волнуйтесь по этому поводу; просто не забудьте проверить их все. Разложив числитель, получаем:
Ничто не уравновешивается, поэтому у нас есть только вертикальная асимптота x = 1.
Видите, как линия приближается, но никогда не касается линии y = x + 4? Наклонные асимптоты так же обидчивы, как и вертикальные.