Пределы
- формат pdf
- размер 541.29 КБ
- добавлен 13 декабря 2015 г.
Л.А. Альсевич, С.Г. Красовский, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. — Минск: БГУ, 2011. — 58 с. Пособие содержит основные теоретические сведения о последовательностях и их свойствах и предлагает основные приемы нахождения пределов последовательностей. Изложение материала иллюстрируется подробно разобранными примерами. В пособие включены упражнения, снабженные ответами. Кроме того, приводятся начальные понятия о методе математической индукции и формула…
Практикум
- формат pdf
- размер 568,08 КБ
- добавлен 15 сентября 2015 г.
Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2015.
— 26 с. Предел функции при х→∞ Предел функции при х→а Односторонние пределы Бесконечно малые функции и их свойства Бесконечно большие функции и их свойства Основные теоремы о пределах функций Замечательные пределы Решение типовых задач Список использованной литературы
- формат pdf
- размер 10,27 МБ
- добавлен 08 апреля 2011 г.
Интернет-издание, 2011. — 70 с. Название книги уже должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга посвящена не «чайникам», а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих книгах. Так чем же эта книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не «заумный»; во-вторых здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет суще…
- формат pdf
- размер 3.
6 МБ - добавлен 17 апреля 2011 г.
6 МБИнтернет-издание, 2011. — 14 с. Данная книга посвящена решению контрольной работы №1 за первый семестр. В книгу включены разделы, такие как «Введение в анализ и дифференциальное исчисление функции одного переменного», «Дифференциальное исчисление функций и его приложение» и «Интегральное исчисление функции одного переменного». В каждой теме даны несколько базовых заданий.
Практикум
- формат pdf
- размер 572,38 КБ
- добавлен 13 марта 2013 г.
Методические указания к выполнению типового расчета. – 3-е изд. – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 30 с. Методические указания составлены в соответствии с программами курса высшей математики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений и предназначены для студентов дневного отделения всех специальностей Ульяновского государственного технического университета.
Изложена методика выполнения типового расчета по теме «Пределы» и даны об…
degree
- формат doc, rtf
- размер 645.02 КБ
- добавлен 12 октября 2009 г.
В любом разделе курса, в том числе и в теории пределов, преподаватель математики обязан учить владению понятиями, поискам обоснованиями новых фактов, пониманию рассуждений, логике и приемам доказательств. К каждому занятию методической разработки предлагается набор задач и упражнений для закрепления теории и домашнего задания. Преподаватель по своему усмотрению может сократить их число или увеличить. Дополнительные упражнения даются в конце занят…
Практикум
- формат pdf
- размер 2,93 МБ
- добавлен
1 апреля 2015 г.
Методические указания к выполнению типового расчета. Москва, изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. — 62 с.: ил. Содержание: Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Достаточное условие сходимости последовательностей. Число Эйлера e. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Предел отношения многочленов и некоторых иррациональных выражений. Раскрытие неопределенностей с иррациональными выражени…
Практикум
- формат pdf
- размер 423,28 КБ
- добавлен 18 сентября 2016 г.
Липецк : ЛГТУ(Э), 2012. — 64 с. Типовой расчет предназначен для студентов, изучающих высшую математику по программе технического вуза. Представлены 120 вариантов типового расчета по пределам.
В типовом расчете 15 заданий, в которых отражены основные приемы вычисления пределов.
- формат djvu
- размер 1,27 МБ
- добавлен 16 января 2015 г.
Учеб. пособие. — М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2005. — 54 с. — ISBN 5-7237-0492-3 Предложен цикл практических занятий для изучения и овладения навыками вычисления одного из основных понятий математического анализа — предела. Рекомендуется студентам вузов, изучающим высшую математику. Содержание Введение Предел функции Предел последовательности Предел функции в точке Односторонние пределы Бесконечные пределы Свойства предела Некоторые приемы вычи…
- формат pdf
- размер 1,00 МБ
- добавлен
13 августа 2013 г.
Учебно-методическое пособие. — М.: МФТИ, 2011. — 66 с. В методическом пособии изложены практические приемы представления функций формулой Тейлора, а также приемы вычисления пределов функций с использованием формулы Тейлора. Рассмотрено большое количество примеров. Кратко приведены необходимые теоретические сведения, в том числе в компактной форме представлены таблицы представлений формулой Маклорена основных элементарных функций для представления…
- формат pdf
- размер 377,99 КБ
- добавлен 02 декабря 2010 г.
Московский физико-технический институт. Москва 2006. Учебно-методическое пособие. Пособие содержит множество примеров вычисления пределов функций с помощью формулы Тейлора. Будет полезно студентам первого курса технических университетов.
- формат djvu
- размер 1. 31 МБ
- добавлен 24 февраля 2016 г.
31 МБМ.: Наука, 1968. — 88 с. Настоящий выпуск серии «Библиотечка физико-математической школы» посвящен понятию предела, которое справедливо считается самым трудным в школьной программе. Тем более трудно освоиться с этим понятием самостоятельно, по книжке. Однако, как показывает опыт Заочной математической школы при МГУ, большинство школьников могут справиться с этой задачей. Книжка написана в форме задачника, но она может одновременно служить и уче…
- формат pdf
- размер 1,08 МБ
- добавлен 1 апреля 2015 г.
Методические указания. — Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 41 с. — ISBN: 978-5-7038-4040-5 Методические указания к выполнению домашнего задания по математическому анализу.
Изложены краткие теоретические сведения, примеры с подробными объяснениями, задачи для самостоятельного решения. Представлены основы математического анализа. Задачи рассмотрены с позиций анализа элементарных функций. Указания носят справочный характер, они по…
- формат pdf
- размер 604,83 КБ
- добавлен 04 августа 2013 г.
Сборник задач. – Хабаровск: ДВГУПС, 2011. – 80 с. Данное пособие соответствует государственному образователвному стандарту курса математического анализа по разделам: предел и непрерывность функции одного переменного. Большая часть задач в пособии сопровождается решениями, поэтому оно может быть полезно при самостоятельном изучении предмета. Предназначено для студентов специальности «Информационные системы и технологии» дневной формы обучения. Вве…
- формат pdf
- размер 3,29 МБ
- добавлен
02 ноября 2009 г.
Издательство Московского университета 2002 Издание осуществлено в авторской редакции 62 страницы Предел в R Обсуждение основного определения Исчезающие последовательности Бесконечный предел Арифметические теоремы Свойства предела, связанные с неравенствами Частичные пределы. Верхний и нижний пределы Критерий Коши Предел комплексной последовательности Аппроксимативный смысл предела
- формат pdf
- размер 944,74 КБ
- добавлен 1 апреля 2015 г.
Методические указания. — Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 25 с. — ISBN: 978-5-7038-4038-2. Методические указания к выполнению домашнего задания по математическому анализу. Изложены краткие теоретические сведения и представлены основы математического анализа бесконечно малых и бесконечно больших. Приведены примеры с подробными объяснениями и задачи для самостоятельного решения.
Примеры и задачи рас-смотрены с позиций раскрытия…
- формат doc
- размер 91,88 КБ
- добавлен 29 марта 2011 г.
Краткое руководство по типам решения пределов. Пределы с неопределенностью вида и метод их решения. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел
Презентация
- формат ppt
- размер 890,09 КБ
- добавлен 04 марта 2016 г.
Национальный исследовательский Томский политехнический университет. Презентация к докладу. Горшков Д.А. 11 слайдов. 2016г. Исторические замечания Определение Теоремы о пределах Первый замечательный предел Второй замечательный предел
Контрольная работа
- формат doc
- размер 242,94 КБ
- добавлен
15 марта 2010 г.
Решено 20 примеров. Тема: пределы. Пределы числовых последовательностей. Пределы функций. Непрерывность в точке.
Статья
- формат doc
- размер 56,01 КБ
- добавлен 03 апреля 2011 г.
9 с. Вводятся понятия: Предел числовой последовательности. Предел функции. Первый и второй замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие. Непрерывность функций. Точки разрыва. Приводятся основные теоремы (без доказательств) о пределах и непрерывности. Даются примеры использования теорем для вычислений пределов.
Контрольная работа
- формат doc
- размер 116,25 КБ
- добавлен
23 декабря 2012 г.
Выходные данные неизвестны. — 14 с. Дисциплина: Высшая математика. Содержание: Предел числовой последовательности. Предел функции. Второй замечательный предел. Сравнение бесконечно малых величин. Литература.
- формат pdf
- размер 8,26 МБ
- добавлен 28 июля 2015 г.
Учебное пособие. — М.: МГУПС (МИИТ), 2014. — 30с. Настоящий курс лекций предназначен для студентов — бакалавров ИТТСУ. Он содержит в себе три темы: «Теория пределов. Непрерывные функции», «Дифференцирование функции одной переменной», «Исследование функции с помощью производной». Кроме того в нём содержатся примеры тестовых заданий, предлагавшиеся студентам прошлых лет при проверке остаточных знаний (тестирование ФИПИ), относящиеся к рассматриваем…
- формат pdf
- размер 16,93 МБ
- добавлен
11 августа 2015 г.
Учебное пособие. — М.: МГУПС (МИИТ), 2014. — 76с. Настоящий курс лекций предназначен для студентов-бакалавров ИТТСУ. Он содержит в себе три темы: «Теория пределов. Непрерывные функции», «Дифференцирование функции одной переменной», «Исследование функции с помощью производной». Кроме того в нём содержатся примеры тестовых заданий, предлагавшиеся студентам прошлых лет при проверке остаточных знаний (тестирование ФИПИ), относящиеся к рассматриваемой…
Практикум
- формат pdf
- размер 5,75 МБ
- добавлен 19 октября 2016 г.
Вучэбна—метадычны дапаможнік. — Мінск: БДПУ, 2000. — 43 с. Вучэбна—метадычны дапаможнік прызначаны для арганізацыі самастойнай працы студэнтаў і падрыхтоўкі іх да лабарторных і практычных заняткаў.
Адрасаваны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў. Лікавая паслядоўнасць і яе ўласцівасці. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Вылічэнне лімітаў лікавых паслядоўнасцей. Збежнасць манатоннай паслядоўнас…
- формат image
- размер 25,10 МБ
- добавлен 28 февраля 2012 г.
Москва: ОЛ ВЗМШ, 2003. — 104 с. Понятие предела — основное понятие математического анализа. В этом учебном пособии дано систематическое изложение теории пределов на уровне, доступном широкому кругу читателей. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров и задач для самостоятельного решения. Пособие предназначено для школьников (при изучении раздела «Алгебра и начала анализа» из школьного курса) и для студентов нематематическ…
- формат pdf
- размер 569,04 КБ
- добавлен
20 февраля 2015 г.
Учебно-методическое пособие. — Новосибирск.: Изд. НГПУ, 2012. — 98 с. — ISBN 978-5-85921-904-9, (Интерактивное меню). В книгу вошли материалы лекций по основам математического анализа, читавшихся автором на математическом факультете НГПУ, в I-ом семестре (17 лекций). Содержание охватывает темы «Множество вещественных чисел», «Предел числовой последовательности», «Предел и непрерывность функций». Пособие адресовано студентам математического факул…
- формат doc
- размер 867,21 КБ
- добавлен 07 августа 2012 г.
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, Национальный исследовательский университет, Нижний Новгород, 2012. Введение Переменные величины и функции Теория пределов Непрерывные функции (продолжение)
- формат pdf
- размер 29,06 МБ
- добавлен
1 апреля 2015 г.
Учебное пособие. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 181 с. — ISBN 978-5-7038-3694-1. В учебном пособии приведены теоретические сведения из введения в математический анализ, даны решения задач, предложены задачи для самостоятельного решения. Для студентов 1-го курса. Содержание. Функции одной переменной. Основные определения и простейшие свойства. Понятие функции. Обратные и сложные функции. Элементарные функции. Пределы. Предел числовой…
Практикум
- формат pdf
- размер 308,19 КБ
- добавлен 19 октября 2012 г.
Кемерово: КГТУ, 2009. -32с. Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей.
Помимо теории в пособии рассмотрено достаточное количество примеров.
- формат video
- размер 73,27 МБ
- добавлен 12 октября 2011 г.
1 часть видео-лекции по разделам математического анализа — функция, предел функции. Подготовлена Северо-Западным государственным заочным техническим униветситетом (СЗТУ). Лекцию читает доктор физико-математических наук, профессор Потапенко Александр Алексеевич. Видео в формате .flv можно открыть с помощью KMPlayer или любым другим медиа-плеером
- формат video
- размер 69,15 МБ
- добавлен 08 ноября 2011 г.
2 часть видео-лекции по разделам математического анализа — функция, предел функции. Подготовлена Северо-Западным государственным заочным техническим униветситетом (СЗТУ).
Лекцию читает доктор физико-математических наук, профессор Потапенко Александр Алексеевич. Видео в формате .flv можно открыть с помощью KMPlayer или любым другим медиа-плеером
- формат doc
- размер 357,67 КБ
- добавлен 09 июня 2013 г.
Вучэбна-метадычны дапаможнік. — Мінск, БДПУ ім. М. Танка, 2004, 41 с. Лікавая паслядоўнасць і яе ўласцівасці. Бясконца малыя і бясконца вялікія паслядоўнасці. Збежнасць манатонай паслядоўнасці. Канечны ліміт функцыі ў канечным пункце. Канечныя ліміты функцыі на бясконцасці. Ліміт функцыі на мностве. Аднабаковыя ліміты.
Шпаргалка
- формат doc
- размер 147,80 КБ
- добавлен 28 декабря 2011 г.
Шпаргалка на контрольную по вышмату.
Теория.Основные теоремы о пределах.Признаки существования пределов.Первый и второй замечательный пределы.Непрерывные функции.Точки разрыва.Свойства функций,непрерывных на отрезке.
Практикум
- формат doc
- размер 368,15 КБ
- добавлен 23 октября 2013 г.
Ульяновск: УлГУ, 2007. — 23 с. Методические указания для студентов факультета математики и информационных технологий и факультета управления. Подробно рассмотрены все основные примеры заданий по теме: «Пределы»
Высшая математика для чайников. Предел функции
Для возможности скачивать книги Вам необходимо пройти
Автор: Виосагмир И.
А.Год: 2011
Ну что же… Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции. Это первая часть из моей будущей серии «высшая математика для чайников». Название книги уже должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга посвящена не «чайникам», а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих книгах. Я уверен, что Вы меня понимаете. Я сам находился и нахожусь в такой ситуации, что просто вынужден прочитывать одно и то же предложение несколько раз. Это нормально? Я думаю — нет.
Так чем же моя книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не «заумный»; во-вторых, здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет существенное различие между собой — главные вещи выделены определенными маркерами, и наконец, моя цель лишь одна — ваше понимание. От Вас требуется только одного: желания и умения. «Умения?» — спросите Вы.
Да! Умения запоминать и понимать.
Вообще рекомендуется завести отдельно тетрадку листов этак на 65, и все в ней писать. Все, что написано в этой книге. Результат будет впечатляющим, это я Вам обещаю. Так же лучше пользоваться разноцветными фломастерами. Ну что же, господа… Я хочу Вам пожелать успехов и понимания. Если Вы добьете эту книгу, Вы сможете многое!!!
В моей книге будут встречаться некоторые обозначения. Крайне рекомендую им следовать.
Расскажи о нас:
Полное описание: Содержание:
Ну что же… Я приветствую Вас в своей первой книге, посвященной пределам функции. Это первая часть из моей будущей серии «высшая математика для чайников». Название книги уже должно Вам многое о ней рассказать, но Вы его можете совершенно не так понять. Эта книга посвящена не «чайникам», а всем тем, кому нелегко понять то, что творят профессоры в своих книгах. Я уверен, что Вы меня понимаете. Я сам находился и нахожусь в такой ситуации, что просто вынужден прочитывать одно и то же предложение несколько раз.
Это нормально? Я думаю — нет.
Так чем же моя книга отличается от всех других? Во-первых, здесь нормальный язык, а не «заумный»; во-вторых, здесь разобрана масса примеров, которая, кстати, наверняка, пригодится вам; в-третьих, текст имеет существенное различие между собой — главные вещи выделены определенными маркерами, и наконец, моя цель лишь одна — ваше понимание. От Вас требуется только одного: желания и умения. «Умения?» — спросите Вы. Да! Умения запоминать и понимать.
Вообще рекомендуется завести отдельно тетрадку листов этак на 65, и все в ней писать. Все, что написано в этой книге. Результат будет впечатляющим, это я Вам обещаю. Так же лучше пользоваться разноцветными фломастерами. Ну что же, господа… Я хочу Вам пожелать успехов и понимания. Если Вы добьете эту книгу, Вы сможете многое!!!
В моей книге будут встречаться некоторые обозначения. Крайне рекомендую им следовать.
Кол-во страниц:89 Язык:Русский Издательство:n\a
Глава 1.
Предел функции.
Предел функции в точке. 3
Теоремы о пределах. 13
Односторонние пределы. 14
Предел при х ⇢ ∞. 17
Бесконечно большие функции. 25
Графики элементарных функций. 26
Глава 2. Непрерывность функции в точке.
Непрерывность функции в точке. 31
Непрерывность сложной функции. 33
Классификация точек разрыва. 36
Непрерывность элементарных функций. 41
Первый замечательный предел. 42
Второй замечательный предел. 47
Кратко о Maple. 52
Глава 3. Бесконечно малые функции.
Сравнение бесконечно малых функций. 55
Свойства символа «о малое». 60
Асимптотические формулы. 64
Глава 4. Дополнительные методы.
Правило Лопиталя. 72
Разложение в ряд Тейлора. Часть 1. 80
Разложение в ряд Тейлора. Часть 2. 88
Понимание определения пределов
- Войти
- Биографии репетитора
- Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
- ACT Репетиторство
- SAT Репетиторство
- Репетиторство PSAT
- ASPIRE Репетиторство
- ШСАТ Репетиторство
- Репетиторство STAAR
ВЫСШАЯ ШКОЛА
- Репетиторство MCAT
- Репетиторство GRE
- Репетиторство по LSAT
- Репетиторство по GMAT
К-8
- Репетиторство AIMS
- Репетиторство по HSPT
- Репетиторство ISEE
- Репетиторство ISAT
- Репетиторство по SSAT
- Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов
- Академическое обучение
репетиторство по математике
- Алгебра
- Исчисление
- Элементарная математика
- Геометрия
- Предварительный расчет
- Статистика
- Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
- Анатомия
- Биология
- Химия
- Физика
- Физиология
иностранные языки
- французский
- немецкий
- Латинский
- Китайский мандарин
- Испанский
начальное обучение
- Чтение
- Акустика
- Элементарная математика
прочие
- Бухгалтерия
- Информатика
- Экономика
- Английский
- Финансы
- История
- Письмо
- Лето
Поиск по 350+ темам
- О
- Обзор видео
- Процесс выбора наставника
- Онлайн-репетиторство
- Мобильное обучение
- Мгновенное обучение
- Как мы работаем
- Наша гарантия
- Влияние репетиторства
- Обзоры и отзывы
- Освещение в СМИ
- О преподавателях университета
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Все ресурсы по математике для старших классов
8 Диагностические тесты 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Справка по математике для старших классов » Предварительный расчет » Ограничения » Понимание определения пределов
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Предел описывает, к какому значению приближается функция при приближении к определенному значению (в данном случае ).
Самый простой способ узнать, к какому -значению приближается функция, — это подставить -значение в уравнение.
Замена на дает нам неопределенное значение (это НЕ то же самое, что 0). Это означает, что функция не определена в этой точке. Однако то, что функция не определена в какой-то точке, не означает, что она не имеет предела. Предел — это просто любое значение, которое получает функция закрыть к.
Один из способов найти предел — максимально упростить уравнение:
Как видите, между числителем и знаменателем есть общие множители, которые можно сократить. (Помните, когда вы вычеркиваете множитель из рационального уравнения, это означает, что функция имеет дырку — неопределенную точку, — где этот множитель равен нулю.)
После исключения общих множителей мы осталось:
Несмотря на то, что домен исходной функции ограничен (не может быть равным), мы все равно можем подставить это упрощенное уравнение, чтобы найти предел в
Сообщить об ошибке
Сертифицированный репетитор
Корнельский университет, бакалавр искусств, английский язык.
Корнельский университет, магистр преподавания искусств, английский язык.
Посмотреть репетиторов
Берни
Сертифицированный репетитор
Международный университет Флориды, бакалавр искусств, политических наук и государственного управления.
Посмотреть репетиторов
Габриэла
Сертифицированный репетитор
Данте Алигьери Буэнос-Айрес, сертификат, итальянские исследования.
Все ресурсы по математике для старших классов
8 диагностических тестов 613 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Предел функции 2023
Во-первых, рассмотрим предел функции на интуитивном уровне. Рассмотрим функцию 92}{3+x} = \frac{(3-x)(3+x)}{3+x} = 3-x$$
Когда переменная $x$ стремится к $-3$, тогда мы говорим, что $6$ есть предел данной функции $f$.
Пусть $(x_n)$ — последовательность чисел, находящихся в области определения заданной функции $f$.
С этой последовательностью связана последовательность чисел $(f(x_n))$. То есть, если предположить, что последовательность $(x_n)$ приближается к числу $a$, то мы наблюдаем, что происходит с последовательностью $(f(x_n))$.
Следующее определение связывает предел последовательности и предел функции.
Пусть $ I \subseteq \mathbb{R}$ — открытый интервал и $a \in I$. Мы говорим, что функция $f: I/\{a\} \to \mathbb{R}$ имеет предел $l$ в точке $a$, если для каждой последовательности $(x_n)$ в $ I/\{a\}$ справедливо следующее:
$$(\lim_{n \to \infty}x_n = a) \Rightarrow (\lim_{n \to \infty}f(x_n) = l) .$$
Пишем:
$$l = \lim_{x \to a} f(x).$$ 9{+}}f(x) = l.$$
Следовательно, можно заключить, что предел функции $f$ в точке $a$ существует, если:
1.) существует предел слева,
2.) существует предел справа,
3.) пределы слева и справа равны.
Определение Коши
Определение Коши предела функции не зависит от последовательностей.
Пусть $I \subseteq \mathbb{R}$ — открытый интервал, $a \in I$ и $f: I / \{a\} \to \mathbb{R}$. Предел функции $f$ в точке $a$ существует и $\lim_{x \to a} f(x) = l$ тогда и только тогда, когда 9n.$$
Предел корня $n$ равен:
$$\lim_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n] {a}.$ $
Свойства предела функции
Пусть $I \subseteq \mathbb{R}$ — открытый интервал l, $a \in I$ и $f$ и $g$ две функции, которые имеют предел в точке $a$, то есть:
$$\lim_{x \to a}f(x) = l_1, \quad \lim_{x \to a} = l_2.$$
Тогда действительны следующие свойства:
1.) $$\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x) ] = l_1 \pm l_2 = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x),$$
2.) $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ функция $f$ имеет предел в точке $a$ и
$$lim_{x \to a} \alpha f( x) = \alpha \lim_{x \to a}f(x).$$
3.) $$\lim_{x \to a}[f(x) \cdot g(x)] = l_1 \cdot l_2 = \lim_{x \to a} f(x)) \cdot \lim_{x \to a} g(x) , $$
4.
) $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{ \lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g (x)}, l_2\neq 0.$$
Пример 1 92+1)}$$
$$ = \frac{\sqrt{1} -2}{1}$$
$$ = -1. $$
Теперь покажем, что
$$ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1.$$
Функция $f( \alpha) = \frac{\sin \alpha}{\alpha}$ — нечетная функция. А именно,
$$f( -\alpha) = \frac{\sin (-\alpha)}{-\alpha} = \frac{- \sin \alpha}{-\alpha} = \frac{\sin \alpha}{\alpha},$$
, то есть $f(-\alpha) = f(\alpha).$ Поэтому будем рассматривать значения функции $f$ только для положительных значений переменной $\ альфа$.
На единичной окружности начертим угол $\alpha$, где $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $\alpha \in \mathbb{R}$.
Площадь сектора ($P_s$), заключенного между двумя радиусами $|OA| = |ОС| = 1$ и дуга $\widehat{AB}$ больше площади треугольника $OAC$ и меньше площади треугольника $OAB$, то есть
$$ P_{OAC} < P_s < P_ {OAB}.
$$
Треугольник $OAC$ является равнобедренным треугольником с длинами сторон, равными $|OA| = |ОС| = 1$ и угол между ними $\alpha$. Тогда длина дуги $\widehat{AB}$ равна $\alpha$. Треугольник $OAB$ — это прямоугольный треугольник, в котором $|OA| = 1$ и $|AB| = \загар \альфа$. Поэтому
$$\frac{\sin \alpha}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\tan \alpha}{2}.$$
Первое неравенство дает нам
$ $\frac{\sin \alpha}{2} < \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \sin \alpha < x \Rightarrow \frac{\sin \alpha}{\alpha} < 1.$$
Из второго неравенства имеем:
$$ \frac{\alpha}{2} < \frac{\tan \alpha}{2} \Rightarrow \alpha < \tan \alpha \Rightarrow \alpha < \frac{ \sin \alpha}{\cos \alpha} \Rightarrow \cos \alpha < \frac{\sin \alpha}{\alpha}.$$ 92 = 2.$$
Пределы на бесконечности
Функция $f: \left \langle a, + \infty \right \rangle \to \mathbb{R}$ имеет предел $l \in \mathbb {R}$ в точке $ + \infty$, если для каждой последовательности $(x_n)$ в $\left \langle a, + \infty \right \rangle$ верно следующее:
$$\lim_{n \to +\infty}x_n = + \infty \Longrightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n) =l.