Как найти эксцентриситет эллипса?
Эксцентриситетом эллипса называют отношение (греч. буква «эпсилон»), которое может принимать значения в пределах .
В нашем примере:
Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины эллипса (грубо говоря, ширина эллипса будет оставаться постоянной). У рассматриваемого эллипса (см. рис. выше) большая полуось равна и формула примет вид .
Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . А что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные» отрезки «не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в
более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось .
Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат.
Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса «пошли навстречу друг другу», приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: .
При этом отрезкам будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз.
Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс всё больше похож…, смотрим на предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат:
Окружность – это частный случай эллипса.
И действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который элементарно
преобразуется к – хорошо известному из школьного курса уравнению окружности с
центром в начале координат радиуса «а».
На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: .
Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная, равная . Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю.
Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в
этом случае уравнение удобно привести к бодрому «матановскому» виду:
– функция верхней полуокружности;
– функция нижней полуокружности.
После чего подставляем нужные значения «икс» и получаем «игреки».
Творческое задание для самостоятельного решения, а то как-то вы расслабились:)
Задача 97
Составить каноническое уравнение эллипса, центр которого находится в начале координат, если известен один из его фокусов и малая полуось .
Найти
вершины, дополнительные точки и выполнить чертеж. Вычислить эксцентриситет.
Решение и чертёж в конце книги
3.3.4. Поворот и параллельный перенос эллипса
3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Эксцентриситет эллипса — формула, определение, вывод, примеры
Эксцентриситет эллипса меньше 1. Эксцентриситет эллипса помогает нам понять, насколько он круглый по отношению к окружности. Эксцентриситет также измеряет овальность эллипса, а эксцентриситет, близкий к единице, относится к высокой степени овальности.
Эксцентриситет в основном представляет собой отношение расстояний точки эллипса от фокуса и от директрисы. Давайте узнаем больше об определении, формуле и выводе эксцентриситета эллипса.
| 1. | Что такое эксцентриситет эллипса? |
2. | Формула эксцентриситета эллипса |
| 3. | Расчет эксцентриситета эллипса |
| 4. | Примеры эксцентриситета эллипса |
| 5. | Практические вопросы |
| 6. | Часто задаваемые вопросы об эксцентриситете эллипса |
Что такое эксцентриситет эллипса?
Прежде чем говорить об эксцентриситете, необходимо упомянуть два важных термина: фокус и директриса эллипса. Для конического сечения геометрическое место любой точки на нем таково, что его отношение расстояния от неподвижной точки — фокуса, и его расстояния от неподвижной линии — директрисы есть постоянная величина, называется эксцентриситетом.
Эксцентриситет: (е < 1). Отношение расстояния фокуса от центра эллипса и расстояния одного конца эллипса от центра эллипса. Если расстояние фокуса от центра эллипса равно «с», а расстояние от конца эллипса до центра равно «а», то эксцентриситет е = с/а.
Формула эксцентриситета эллипса
Эксцентриситет эллипса всегда меньше 1, т. е. e < 1. Эксцентриситет эллипса можно принять как отношение его расстояния от фокуса к расстоянию от директрисы. 92}}\)
Здесь a — длина большой полуоси, b — длина малой полуоси.
Расчет эксцентриситета эллипса
Первым шагом в процессе вывода уравнения эллипса является определение соотношения между большой полуосью, малой полуосью и расстоянием фокуса от центра. Цель состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между a, b, c. Длина большой оси эллипса равна 2а, а длина малой оси эллипса равна 2b. Расстояние между фокусами равно 2с. Возьмем точку P на одном конце большой оси и постараемся найти сумму расстояний этой точки от каждого из фокусов F и F’. 92}}\)
Связанные темы
Следующие темы помогут лучше понять эксцентриситет эллипса.
- Координатная геометрия
- Коники в реальной жизни
- Декартовы координаты
- Парабола
- Эллипс
- Гипербола
Решенные примеры эксцентриситета эллипса
Пример 1: Найдите эксцентриситет эллипса по уравнению x 2 /25 + y 2 /16 = 1.
Решение:
Данное уравнение эллипса равно x 2 2 2 /16 = 1. Сравнивая это с уравнением эллипса x 2
/a 2 + y 2 /b 2 = 1, мы имеем a 2 = 25, а b 2 = 16.Формула эксцентриситета эллипса выглядит следующим образом.
92}}\)
\(e = \sqrt {1 — \dfrac{16}{25}}\)
\ (е = \ sqrt {\ dfrac {25 — 16} {25}} \)
\ (е = \ sqrt {\ dfrac {9} {25}} \)
\(е = \dfrac{3}{5}\)
e = 0,6Ответ: Следовательно, эксцентриситет эллипса равен 0,6.
Пример 2: Эксцентриситет эллипса равен 0,8, а значение a = 10. Найдите значение b и уравнение эллипса.
Решение: 92}{100}\)
64 = 100 — б 2
б 2 = 100 — 64
б 2 = 36
б = 6
Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет следующий вид.x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1
x 2 /100 + y 2 /36 = 1Ответ: Следовательно, значение b = 6, и искомое уравнение эллипса равно x 2 /100 + y 2 /36 = 1,
перейти к слайдуперейти к слайду
Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия.
2}}\)
Эллипс: Эксцентриситет
Главная > Математика > Предварительное исчисление > Эллипс: Эксцентриситет
Окружность можно описать как эллипс, у которого расстояние от центра до фокусов равно 0. Чем большее расстояние между центром и фокусами определяет овальность эллипса. Таким образом, термин эксцентриситет используется для обозначения овальности эллипса.
Если эллипс близок к окружности, его эксцентриситет близок к нулю. Если эллипс имеет эксцентриситет, близкий к единице, он имеет высокую степень овальности.
На рис. 1 показано изображение двух эллипсов, один из которых почти круглый с эксцентриситетом, близким к нулю, а другой с более высокой степенью эксцентриситета.
Формальное определение эксцентриситета:
ЭКСЦЕНТРИЧНОСТЬ ЭЛИПСА:
Эксцентриситет (e) эллипса представляет собой отношение расстояния от центра до фокусов (c) и расстояния от центра к вершинам (а).
e=ca
Когда расстояние между центром и фокусами (c) приближается к нулю, отношение ca приближается к нулю, а форма приближается к кругу. Окружность имеет эксцентриситет, равный нулю.
Когда расстояние между центром и фокусами (с) приближается к расстоянию между центром и вершинами (а), отношение ca приближается к единице. Эллипс с высокой степенью овальности имеет эксцентриситет, приближающийся к единице.
Давайте используем это понятие в некоторых примерах:
Пример 1: Найдите эксцентриситет эллипса x29+y216=1
Шаг 1: Определите значения расстояния между центром и фокусами (c) и расстояния между центром и вершинами (a). | Длина: Данное уравнение для эллипса записывается в стандартной форме. а2=16→а=4 Длина c: Чтобы найти c, можно использовать уравнение c 2 = a 2 + b 2 , но необходимо определить значение b. Из нашего обсуждения выше, b b2=9→b=3 c2=42−32→c2=7→c=7 |
Шаг 2: Подставьте значения c и a в уравнение для эксцентриситета. | е=ок е=74→е≈0,66 |
Поскольку большая ось равна 2а, а меньшая малая ось равна 2b, то а 2 > b 2 , следовательно, а 2 = 16. Пример 2.
Найти стандартное уравнение эллипса с вершинами в точках (4, 2) и (-6, 2) с эксцентриситетом 45,
Шаг 1: Определите следующее: ➢ ориентация большой оси. ➢ координаты центра (h, k). ➢ длина половины большой оси (а). ➢ расстояние половины малой оси (b). | Ориентация большой оси: Поскольку две вершины лежат на горизонтальной линии y = 2, большая ось горизонтальна. Центр: Поскольку вершины равноудалены от центра эллипса, центр можно определить, найдя середины вершин. (h, k)=(4+(−6)2, 2+22)=(−22,42)=(−1,2) Длина a: длина a — это расстояние между центром и вершинами. Вершина (4, 2): c=|4−(−1)|=|5|=5 Вершина (-6, 2): c=|−6− (−1)|=|−5|=5 а = 5 Длина b: Чтобы найти b, можно использовать уравнение c 2 = a 2 — b 2 , но необходимо определить значение c. Поскольку эксцентриситет равен 45, длину c можно найти, используя значение a. Затем решить б. е=45=ок 45=с5→20=5с→с=4 c2=a2−b2→b=a2−c2 б=52−42→б=9→б=3 |
Шаг 2: Подставьте значения h, k, a и b в уравнение для эллипса с горизонтальной большой осью. |
Чтобы найти, возьмите одну из вершин и определите расстояние от центра.