Как найти главный определитель матрицы: Определитель матрицы онлайн

Содержание

3.4. Вычисление определителя и обратной матрицы.

Метод Гаусса может быть использован для вычисления главного определителя матрицы. Он равен произведению ведущих элементов всех раздела схемы единственного деления.

Для нахождения обратной матрицы используется основное соотношение: А∙А^-1=Е, где Е – единичная матрица.

Элементы обратной матрицы будем считать неизвестными. Полученные n систем линейных уравнений имеют одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, составляющие единичную матрицу. Поэтому эти системы можно решать по схеме Гаусса. Решения x_ij, найденные по схеме единственного деления, и будут элементами обратной матрицы А^-1.

ЗАДАЧА 3.3.

Найти обратную матрицу и главный определитель для матрицы

РЕШЕНИЕ.

Раздел		x₁_j	x₂_j	x₃_j	Свободные члены			∑
Раздел		x₁_j	x₂_j	x₃_j	j=1	j=2	j=3	∑
Прямой ход	I	3 2 2	2 3 2	2 2 3	1 0 0	0 1 0	0 0 1	8 8 8
	I	1	0,67	0,67	0,33	0	0	2,67
	II		1,66 0,66	0,66 1,66	-0,66 -0,66	1 0	0 1	2,66 2,66
	II		1	0,4	-0,4	0,6	0	1,6
	III			1,4	-0,4	-0,4	1	1,6
	III			1	-0,29	-0,29	0,71	1,14
Обратный ход		1	1	1	-0,29 -0,4-0,4∙(-0,29)=-0,28 0,33-0,67∙(-0,28)-0,67∙(-0,29)=0,71	-0,29 0,72 0-0,67∙0,72-0,67∙ (-0,29)=-0,29	0,71 -0,28 -0,29	1,14 1,14 1,14

∆=3 ∙1,66 ∙1,4=6,97

А^-1=

Задание 3. 2.

С помощью схемы единственного деления решить систему уравнений и найти главный определитель.

Приближенные методы дают возможность найти решение системы как предел бесконечного вычислительного процесса с помощью итерационного процесса. В этих методах на каждом этапе по найденным приближениям к решению строится следующее, более точное приближение. Важная черта приближенных методов – самоисправляемость. В случае сходящегося итерационного процесса арифметическая ошибка, допущенная в каком-то приближении, исправляется в следующих приближениях. Условия и скорость сходимости процесса зависят от свойств уравнений системы и выбора начальных приближений. Процесс продолжается до тех пор, пока максимум модулей разности между соседними приближениями будет не больше заданной точности.

Метод простой итерации. В этом методе исходная система уравнений Ах=В приводится к виду x=Cx+D, выбирается начальное приближение

и каждое следующее приближение определяется по формуле .

Условие сходимости: или

Метод Зейделя отличается от метода простых итераций тем, что при вычислении каждого неизвестного используются полученные на этом шаге исправленные значения неизвестных.

ЗАДАЧА 3.4.

Найти решение системы уравнений задачи 10 приближенными методами.

РЕШЕНИЕ.

Приведем систему уравнений к виду x=Cx+D

Полученная система удовлетворяет условию сходимости.

Вычисления приближенными методами c точностью до 0,02 сведем в таблицу:

№ итерации	Метод простой итерации			Метод Зейделя
№ итерации	х₁	х₂	Х₃	х₁	х₂	х₃
	1,2	1,5	1,7	1,2	1,5	1,7
	1,43	1,94	2,3	1,43	1,917	2,1936
	1,404	2,061	2,549	1,427580	2,068722	2,459658
	1,3265	2,0864	2,6768	1,357744	2,113527	2,617315
	1,25190	2,08383	2,75615	1,279831	2,116670	2,719072
	1,191527	2,073878	2,811734	1,212417	2,104946	2,789212
	1,145182	2,062827	2,853112	1,159113	2,089214	2,839773
	1,110204	2,052556	2,884784	1,118592	2,073715	2,877262
	1,083910	2,043556	2,909339	1,088331	2,059943	2,905535
	1,064123	2,035875	2,928501	1,065897	2,048269	2,925078

Метод простой итерации: x₁≈1,064; x₂≈2,036; x₃≈2,929

Метод Зейделя: x₁≈1,066; x₂≈2,048; x₃≈2,925

Задание 3. 3.

Решить систему уравнений приближенными методами.

Конспект лекц. 1-ый семестр

О п р е д е л е н и е. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов. – порядок или размер матрицы. Например, матрица

имеет размер , так как в этой матрице количество строк равно , а количество столбцов равно . Числа, из которых состоит матрица, называются элементами. В общем случае матрицы символически обозначаются следующим образом

Типы матриц:

1. Прямоугольные – .

2. Квадратные – .

3. Трапецеидальные – прямоугольные матрицы, у которых при или .

4. Треугольные – квадратные матрицы, у которых при или .

5. Диагональные – квадратные матрицы, у которых при .

6. Единичная матрица – диагональная матрица, у которой .

7. Траспонированная матрица – это матрица, которая получается из матрицы путём замены в ней строк столбцами.

П р и м е р ы м а т р и ц.

– прямоугольная матрица,

– квадратная матрица,

– трапецеидальная матрица,

– треугольная матрица,

– диагональная матрица,

– единичная матрица.

– транспонировання матрица для матрицы

2.2. Действия с матрицами

С матрицами можно выполнять следующие операции:

1) Сложение матриц. Матрица называется суммой матриц , если , Матрица А и В должны быть одного и того же порядка, Матрица С получится того же порядка, что и матрицы А и В.

П р и м е р. Найдите сумму матриц и .

Р е ш е н и е. Элементы матрицы получаем путём суммирования соответствующих элементов матриц А и В

2) Умножение матрицы на число. Матрица называется произведением матрицы на число если .

П р и м е р. Найдите произведение матрицы на число .

Р е ш е н и е. Элементы матрицы получаем путём умножения элементов матрицы на число

3) Умножение матриц. Матрица называется произведением матрицы размером и матрицы размером , если элементы матрицы вычисляются по формуле

(1)

Перемножать можно только матрицы, у которых количество столбцов первой равно количеству строк второй. Произвольные матрицы перемножать нельзя.

П р и м е р. Найдите произведение матриц

и .

Р е ш е н и е. Согласно формуле (1), имеем

Значит,

Рассмотренные операции с матрицами обладают теми же свойствами, что и операции сложения и умножения для вещественных чисел, за исключением произведения матриц, которое не коммутативно, т.е. . В этом можно убедиться с помощью следующего примера для матриц и . Находим произведения

Как видим, .

Каждой квадратной матрице по определённому правилу можно поставить в соответствие единственное число. Это число называется определителем и символически обозначается

Порядок определителя равен порядку квадратной матрицы.

Определитель второго порядка вычисляется следующим образом

, (2)

т.е. из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол), вычитается произведение элементов, находящихся на побочной диагонали (идущей из левого нижнего в правый верхний угол).

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Р е ш е н и е. Значения элементов матрицы , т.е.

Подставляем в формулу (2) и получаем

Определитель третьего порядка вычисляется с помощью формулы

(3)

З а м е ч а н и е. Чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников (правило Саррюса). Оно заключается в следующем. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются на главной диагонали и в вершинах треугольников, симметричных относительно главной диагонали

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали

П р и м е р. Вычислите определитель матрицы .

Р е ш е н и е. Подставляем значения элементов матрицы в формулу (3) и находим величину заданного определителя

Для вычисления определителей третьего порядка можно пользоваться ещё правилом «35». Согласно этому правилу к заданной матрице

добавляют ещё первые два столбца

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются на главной диагонали и на отрезках, параллельных главной диагонали

Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «–», располагаются на побочной диагонали и на отрезках, параллельных побочной диагонали

Определитель равен сумме указанных произведений элементов с учетом их знаков.

Основные свойства определителей

Рассмотрим основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка

С в о й с т в о 1. Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

. (4)

Действительно,

Из чего следует справедливость равенства (4).

Из свойства 1 следует, что свойствами определителей, сформулированные для строк будут такими же как и для столбцов. Поэтому следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк.

С в о й с т в о 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число определитель умножается на это число, т.е.

В справедливости этого свойства можно убедиться, вычислив эти определители

Свойство 3. Определитель равен нулю в следующих случаях:

a) одна из строк нулевая

б) две равные строки

в) элементы двух строк пропорциональны

В справедливости перечисленных свойств легко убедиться с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 4. Если две какие-либо строки определителя поменять местами, то знак определителя изменится на противоположный

Доказательство этого свойства выполняется с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 5. Если в определителе некоторая строка, например, первая является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и

то определитель будет равен сумме двух определителей, определяемых формулой

Справедливость этого свойства можно доказать, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью формулы (3).

С в о й с т в о 6. Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число

Минором к элементу матрицы -го порядка называется определитель -го порядка той матрицы, которая получается из матрицы в результате вычёркивания -ой строки и -го столбца.

О п р е д е л е н и е. Матрица В называется обратной матрице А, если

АВ=ВА=Е.

Символически обратная матрица обозначается . Вычисляется обратная матрица с помощью формулы

(5)

где – алгебраическое дополнение к элементу .

Вырожденной матрицей называется матрица, у которой определитель равен 0.

Обратные матрицы могут иметь только невырожденные матрицы.

П р и м е р. Найти матрицу, обратную к матрице .

Р е ш е н и е. Вычисляем определитель

Так как определитель матрицы не равен нулю, то существует. Найдем алгебраические дополнения:

;

Подставляем найденные значения определителя матрицы и алгебраических дополнений в формулу (5) и получаем искомое значение обратной матрицы

Выполним проверку, для чего вычислим

Как видим, оба произведения равны единичной матрице. Значит, обратная матрица вычислена верно.

Рангом матрицы А называется число r, удовлетворяющее следующим двум требованиям:

1. Существует минор порядка r.

2. Все миноры порядка r+1 равны 0.

Наиболее простой способ вычисления ранга матрицы сводится к приведению матрицы к трапециидальному виду.

Пример:

Определить ранг матрицы А.

Домножаем первую строчку так, чтобы во второй и третьей получились нули. В данном случае домножаем на 2 и 1

Повторяем те же действия, только теперь вторую строчку домножаем на (-1),чтобы в третьей получились нули.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений имеет решения (т.е. совместна)тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Выражение (1)-матричная форма записи системы.

Так как матрица А невырожденная, она имеет обратную матрицу . Умножим равенство (1) слева на

Выражение (2) представляет собой решение в матричной форме.

Пример: решить систему.

Замечание: если главный определитель системы равен 0, то нужно выделить уравнения, для которых определитель не равен 0, а свободные переменные переносятся в правую часть.

Является ли сумма главных миноров равной псевдодетерминанту?

Чтобы не оставить этот вопрос без ответа, позвольте мне доказать утверждение вдоль строки, которые я предложил в комментариях.

Условимся о некоторых обозначениях:

Пусть $n$ и $m$ — два целых неотрицательных числа. Пусть $A=\left( a_{i,j}\right) _{1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m}$ — $n\times m$-матрица (над некоторым кольцом). Пусть $U=\left\{ u_{1} {n-r}\text{ в многочлене } \det\left( tI_n +A\right) \right) . \end{выравнивание} 9{n-r}\text{ в многочлене } \det\left( tI_n +A\right) \right) \\ & =\sum_{\substack{P\subseteq\left\{1,2,\ldots,n\right\}; \\\left\vert P\right\vert =n-\left( n-r\right) }}\det\left( A_{P,P}\right) =\sum_{\substack{P\subseteq\left\{1,2,\ldots,n\right\};\\\left\vert P\right\vert =r}}\det\left( A_{P,P}\right) \qquad\left( \text{так как }n-\left( n-r\right) =r\right) \\ & =\left( \text{сумма всех главных }r\times r\text{-миноров }А\право) \конец{выравнивание*} (по определению главных миноров). Это доказывает Следствие 2. $\черный квадрат$
Лемма 3. Пусть $A$ $n\times n$-матрица над полем $\mathbb{F}$. Позволять $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ — собственные значения оператора $A$. Мы предположим, что все $n$ из них лежат в $\mathbb{F}$. Тогда в кольце многочленов $\mathbb{F}\left[ t\right] $, имеем \begin{уравнение} \det\left( tI_n +A\right) =\left( t+\lambda_{1}\right) \left( t+\lambda_{2}\right) \cdots\left( t+\lambda_{n}\right) . \end{уравнение}
Доказательство леммы 3. 9{n}\det\left( tI_n -A\right) $) и имеют одинаковые корни.)
Кроме того, характеристический полином $\det\left( tI_n -A\right) $ $A$ равен унитарный многочлен степени $n$. И мы знаем, что его корни собственные значения $A$, которые точно равны $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots ,\lambda_{n}$ (с кратностями). Таким образом, $\det\left( tI_n -A\right) $ унитарный многочлен степени $n$, имеющий корни $\lambda_{1},\lambda_{2} ,\ldots,\lambda_{n}$. Таким образом, \begin{уравнение} \det\left( tI_n -A\right) =\left( t-\lambda_{1}\right) \left( t-\lambda_{2}\right) \cdots\left( t-\lambda_{n}\right) \end{уравнение} (поскольку единственный унитарный многочлен степени $n$, имеющий корни $\lambda _{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ равно $\left( t-\lambda_{1}\right) \left( t-\lambda_{2}\right) \cdots\left( t-\lambda_{n}\right) $). Замена $-t$ при $t$ в этом равенстве получаем \начать{выравнивать*} \det\left( \left( -t\right) I_n -A\right) & =\left( -t-\lambda _{1}\вправо) \влево( -t-\lambda_{2}\вправо) \cdots\влево( -t-\лямбда _{п}\справа) \\ & =\prod_{i=1}^{n}\underbrace{\left(-t-\lambda_{i}\right)}_{=-\left( t+\lambda_{i}\right) }=\prod_{i=1}^{n}\left( -\left( t+\lambda_{i}\right) \верно) \\ & =\влево(-1\вправо) ^{n}\underbrace{\prod_{i=1}^{n}\влево(t+\lambda _{i}\right) }_{=\left( t+\lambda_{1}\right) \left( t+\lambda_{2}\right) \cdots\left( t+\lambda_{n}\right) } \\ & = \влево(-1\вправо) ^{n}\влево( t+\lambda_{1}\right) \left( t+\lambda_{2}\right) \cdots\left( t+\lambda_{n}\right) . {n}$, и таким образом, получаем $\det\left( tI_n +A\right) =\left( t+\lambda_{1}\right) \left( t+\lambda_{2}\right) \cdots\left( t+\lambda_{n}\right) $. Этот доказывает лемму 3. $\blacksquare$ 9{k}$ являются именно коэффициенты при $p$, сдвинутые вправо на $k$ слотов. Этот дает лемму 4. $\blacksquare$
Теперь мы можем доказать ваше утверждение:
Теорема 5. Пусть $A$ — диагонализируемая $n\times n$-матрица над полем $\mathbb{F}$. Пусть $r=\operatorname*{rank}A$. Затем, \начать{выравнивать*} & \left( \text{произведение всех ненулевых собственных значений }A\right) \\ & =\left( \text{сумма всех главных }r\times r\text{-миноров }А\право) . \конец{выравнивание*} (Здесь произведение всех ненулевых собственных значений принимает кратности собственные значения.) 9{n\times n}$. Рассмотрим это $D$. Конечно, диагональные элементы $D$ являются собственными значениями $A$ (с кратностями).
Так как $A$ подобен $D$, мы имеем $\operatorname*{rank} A=\operatorname*{rank}D$. Но $D$ диагональна; таким образом, его ранг $\operatorname*{rank}D$ равно количеству ненулевых диагональных элементов $D$. Другими словами, $\operatorname*{rank}D$ равно количеству ненулевых собственные значения $A$ (поскольку диагональные элементы $D$ являются собственными значениями $А$). Другими словами, $r$ равно количеству ненулевых собственных значений оператора $A$. (поскольку $r=\operatorname*{rank}A=\operatorname*{rank}D$). Другими словами, матрица $A$ имеет ровно $r$ ненулевых собственных значений.
Пометить собственные значения $A$ как $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ (с кратностями) таким образом, что первые $r$ собственных значений $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}$ отличны от нуля, а остальные $n-r$ собственные значения $\lambda_{r+1},\lambda_{r+2},\ldots,\lambda_{n}$ равны нулю. (Это, очевидно, возможно, поскольку $A$ имеет ровно $r$ ненулевых собственных значений.) Таким образом, $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}$ — это в точности ненулевые собственные значения $A$. {r}\lambda_{i}=\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{r}\\ & =\left( \text{произведение всех ненулевых собственных значений }A\right) \конец{выравнивание*} (поскольку $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}$ — это в точности ненулевые собственные значения $A$). Это доказывает теорему 5. $\blacksquare$
Обратите внимание, что в приведенном выше доказательстве теоремы 5 диагонализуемость $A$ использовалась только для того, чтобы гарантировать, что $A$ имеет ровно $r$ ненулевых собственных значений и что все $n$ собственных значений оператора $A$ принадлежат $\mathbb{F}$.
python — Рассчитать матричные детерминанты несовершеннолетних!
спросил 11 лет, 10 месяцев назад
Изменено 2 года, 2 месяца назад
Просмотрено 2к раз
Я хочу рассчитать матричные детерминанты несовершеннолетних в Python, возможно, используя scipy или какой-либо другой пакет. какие-либо предложения?
- python
- math
- matrix
- scipy
- научные вычисления
Numpy/SciPy сделает все это.
- Сформируйте подматрицы, удалив строки и столбцы.
- Вычислить определители с linalg.det() .
2
Чтобы создать второстепенную матрицу, вы можете использовать функцию
```
 def minor(M, i, j):
    М = np.удалить (М, я, 0)
    M = np.delete(M, j, 1)
    вернуть М
 
```
С этим выходом
```
 np.linalg.det(M)
 
```
Чтобы создать основные второстепенные определители матрицы и выполнить расчет для каждого определителя, вам нужно сделать следующее:

import numpy as np # процедура создания главных минорных определителей деф минор(М, размер): # размер может быть 2x2, 3x3, 4x4 и т.д. Минор = [] для я в диапазоне (размер): очистить список = [] для j в диапазоне (размер): clearList.
No related posts.