Как найти косинус б: Синус, косинус угла треугольника

{2}-2 b c \cos \alpha$

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» древнегреческого математика Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог, астроном и математик Региомонтан (1436 — 1476), назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени выдающегося средневекового астронома и математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 — 929).

В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Содержание

Следствие из теоремы косинусов

Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника (рис. {\circ}=289+196-238=24$$

Тогда

$$A B=\sqrt{247}$$

Ответ. $A B=\sqrt{247}$

Теорема косинусов: формулировка, следствия, доказательство и примеры

Теорема косинусов — в любом треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих двух сторон на косинус угла между ними.

Формула косинуса:

a² = b² + c² – 2b.c.cosα
b² = a² + c² – 2a.c.cosβ
c² = a² + b² – 2a.b.cosγ

Например:

Одна сторона треугольника равна 12 см, другая — 8 см, между ними образовался угол 120º. Найдите длину третьей стороны.

Решение по формуле a² = b² + c² – 2b.c.cosα:

b = 12 см

c = 8 см

cos α = cos 120º = — 1/2 (это значение можно найти в таблицах)

a² = 12² + 8² – 2×12×8×(- 1/2)

a² = 144 + 64 – (–96)

a² = 304

a = √304

a ≈ 17,436

Длина третьей стороны — примерно 17,436 см.

Следствия

Следствие косинуса угла треугольника

При помощи теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника.

Формула:

Либо

Например:

сторона c = 6

сторона b = 7

сторона a = 8

Используйте теорему косинусов, чтобы найти угол β.

Решение:

Будем использовать эту версию формулы:

cos β = (6² + 8² − 7²) / 2×6×8

= (36 + 64 − 49) / 96

= 51 / 96

= 0,53125

= cos¯¹(0,53125)

≈ 57,9°

Следствие верхней части формулы cos α

Чтобы узнать, если угол α острый, прямой или тупой, нужно вычислить b²+c²−a² (это верхняя часть формулы для cos α):

b²+c²−a²<0, значит угол α — тупой;
b²+c²−a²=0, значит угол α — прямой;
b²+c²−a²>0, значит угол α — острый.

Доказательство теоремы косинусов

Нужно доказать, что c² = a² + b² − 2a.b.cos C

1. Из определения косинуса известно, что в прямоугольном треугольнике BCD: cos C = CD/a <=> CD = a. cos C.

2. Вычитаем это из стороны b, так мы получим DA:

DA = b − a.cosC

3. Мы знаем из определения синуса, что в том же треугольнике BCD:

sin C = BD/a <=> BD = a.sinC.

4. Применяем теорему Пифагора в треугольнике ADB: c² = BD² + DA²

5. Заменим BD и DA из пунктов 2) и 3), получится выражение: c²= (a. sin C)²+(b−a.cos C)²

6. Раскрываем скобки: c² = a² sin ²C + b² − 2a.b.cosC + a².cos²C

6.1. Поменяем их местами (a²cos²C поставим на второе место): c² = a² sin ²C + a²cos²C + b² − 2a.b.cosC

7. Выносим за скобки «a²»: c² = a² (sin²C+cos²C) + b² − 2a.b.cosC

8. В скобках получилось основное тригонометрическим тождество (sin²α + cos²α = 1), значит его можно сократить т. к. умножение на единицу ничего не меняет, получилось: c² = a² + b² − 2a.b.cos C

Q.E.D.

Теорема косинусов для равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике:

две его стороны равны;
углы при основании равны.

Рассмотрим пример:

Используем формулу теоремы косинусов

a² = b² + c² – 2b. c.cosα

Подставляем все известные:

x² = 8² + 8² – 2×8×8×cos140º

x² = 64 + 64 – 128 × (-0,766)

x² ≈ √226,048

x ≈ 15,035.

Теорема синусов

Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу угла, противолежащего данной стороне, одинаково для всех сторон и углов в данном треугольнике:

Узнайте также, что такое Теорема Пифагора и Теорема Менелая.

Дата обновления 01/10/2020.

Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать

Аксиома
Теорема Пифагора
Гипотенуза
Теорема Менелая
Теорема Ферма
Теорема Виета
Гипотеза Пуанкаре
Уравнения Максвелла
Тангенс
Квадратное уравнение

Узнай Что Такое: узнайте значения, понятия и определения.

ПоследниеПопулярныеКонтактыПолитика КонфиденциальностиО нас

2018 — 2023 © 7Graus

косинусов

Как упоминалось ранее, мы обычно используем букву a для обозначения стороны, противоположной углу A, букву b для обозначения стороны, противоположной углу B, и букву c для обозначения стороны. противоположный угол C. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а угол C равен 90°, то углы A и

B в сумме дают 90°, то есть являются дополнительными углами. Поэтому косинус B равно синусу A. Мы видели на прошлой странице, что sin A — это сторона, противоположная гипотенузе, то есть a/c. Следовательно, cos B равно a/c. Другими словами, косинус угла прямоугольного треугольника равен прилежащему катету, деленному на гипотенузу:

Кроме того, cos A = sin B = b/c.

Тождество Пифагора для синусов и косинусов

Вспомним теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. Он говорит, что

a ² + b ² = c ²

где c — гипотенуза. Это очень легко переводится в пифагорейское тождество синусов и косинусов. Разделите обе части на

c ² и вы получите

а ² / в ² + b ² / c ² = 1.

Но a ² / c ² = (sin A ) ² и b ^{2 / 2} = (cos A ) ² . Чтобы уменьшить количество круглых скобок, которые необходимо написать, принято соглашение, что обозначение sin ² A является аббревиатурой для (sin A ) ² , и аналогично для степеней другого триггера. функции. Таким образом, мы доказали, что

sin ² A + cos ² A = 1

когда А острый угол. Мы еще не видели, какими должны быть синусы и косинусы других углов, но когда мы это увидим, мы получим для любого угла θ одно из важнейших тригонометрических тождеств, тождество Пифагора для синусов и косинусов:

Синусы и косинусы для особых общих углов

Мы можем легко вычислить синусы и косинусы для некоторых общих углов. Рассмотрим сначала 45° угол. Он находится в равнобедренном прямоугольном треугольнике, то есть 45°-45°-9треугольник 0°. В любой прямоугольный треугольник c ² = a ² + b ² , но в этом один a = b, so c ² = 2 a ² . Следовательно c = a √2. Следовательно, и синус, и косинус 45° равно 1/√2, что также может быть записано как √2 / 2.

Далее рассмотрим углы 30° и 60°. В диапазоне 30°-60°-90° прямоугольный треугольник, отношения сторон равны 1 : √3 : 2. Отсюда следует, что sin 30° = cos 60° = 1/2 и sin 60° = cos 30° = √3 / 2.

Эти данные заносятся в эту таблицу.

Градусы	Радианы	Косинус	Синус
0003 π /2	0	1
60°	π /3	1/2	√3 / 2
45°	929 /4 /4 2	√2 / 2
30°	π /6	√3 / 2	1/2
0°	3

Упражнения

Эти упражнения все относятся к прямоугольным треугольникам со стандартной маркировкой.

30. b = 2,25 метра и cos

A = 0,15. Найдите a и c.

33. b = 12 футов и cos B = 1/3. Найдите c и a.

35. б = 6,4, в = 7,8. Найдите А и А.

36. A = 23° 15′, c = 12,15. Найти а и б.

Советы

30. Косинус числа A связывает b с гипотенузой c, , так что вы можете сначала вычислить c. Зная b и c, , вы можете найти a по теореме Пифагора.

33. Вы знаете b и cos B. К сожалению, cos B — это отношение двух неизвестных вам сторон, а именно а/к. Тем не менее, это дает вам уравнение для работы: 1/3 = a/c. Тогда c = 3 a. Из теоремы Пифагора следует, что а ² + 144 = 9 а ² .

Вы можете решить это последнее уравнение для a , а затем найти c.

35. b и c дают A по косинусам и a по теореме Пифагора.

36. A и c дают a по синусам и b по косинусам.

Ответы

30. c = b /cos A = 2,25/0,15 = 15 метров; a = 14,83 метра.

33. 8 a ² = 144, поэтому a ² = 18. Следовательно, a равно 4,24 дюйма, или 4’3′.
c = 3 и , что составляет 12,73 фута или 12 футов 9 дюймов.

35. cos A = b/c = 6,4/7,8 = 0,82. Следовательно, A = 34,86° = 34°52′, или около 35°.
a ² = 7,8 ² – 6,4 ² = 19,9, поэтому a равно примерно 4,5.

36. a = c

sin A = 12,15 sin 23°15′ = 4,796.

b = c cos A = 12,15 cos 23°15′ = 11,17.

Cos (a + b) — формула, доказательство, примеры

В тригонометрии cos(a + b) является одним из важных тригонометрических тождеств, включающих составной угол. Это одна из формул тригонометрии, используемая для нахождения значения тригонометрической функции косинуса суммы углов. Расширение cos (a + b) помогает представить значение тригонометрической функции cos составного угла в терминах тригонометрических функций синуса и косинуса. Давайте подробно разберемся в тождестве cos (a + b) и его доказательстве в следующих разделах.

1.	Что такое тождество Cos(a + b) в тригонометрии?
2.	Cos(a + b) Формула составного угла
3.	Доказательство формулы Cos(a + b)
4.	Как применить Cos(a + b)?
5.	Часто задаваемые вопросы по Cos(a + b)

Что такое тождество Cos(a + b) в тригонометрии?

Cos(a+b) — тригонометрическое тождество для составных углов, представленное в виде суммы двух углов. Поэтому он применяется, когда угол, для которого должно быть вычислено значение функции косинуса, задан в виде суммы углов. Угол (a+b) здесь представляет собой составной угол.

Cos(a + b) Формула составного угла

Формула Cos(a + b) обычно называется формулой сложения косинуса в тригонометрии. Формула cos(a+b) для составного угла (a+b) может быть представлена как

cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b

где a и b — заданные углы.

Доказательство формулы Cos(a + b)

Проверка разложения формулы cos(a+b) может быть выполнена геометрически. Рассмотрим пошаговый вывод формулы косинуса тригонометрической функции суммы двух углов в этом разделе. При геометрическом доказательстве формулы cos(a+b) сначала предположим, что a, b и (a+b) — положительные острые углы, такие, что (a+b) < 90. Но эта формула, вообще говоря, верна для любых положительных или отрицательных значений a и b.

Чтобы доказать: cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b

Построение: Предположим, что вращающаяся линия OX вращается вокруг O против часовой стрелки до тех пор, пока она не достигнет Y. OX образует острый угол с Y, заданным как ∠XOY = a, от начального положения до его конечного положения. Опять же, эта линия вращается дальше в том же направлении и, начиная с положения OY, пока не достигнет Z, таким образом образуя острый угол, равный ∠YOZ = b. ∠XOZ = а + b < 90°.

На граничной линии составного угла (a + b) возьмем точку P на OZ и проведем перпендикуляры PQ и PR к OX и OY соответственно. Опять же, из R провести перпендикуляры RS и RT на OX и PQ соответственно.

Теперь из прямоугольного треугольника PQO получаем
cos (a + b) = OQ/OP
= (ОС — СК)/OP
= ОС/ОП — СК/ОП
= ОС/ОП — ТР/ОП
= ОС/ИЛИ ∙ ИЛИ/ОП + ТР/ПР ∙ ПР/ОП
= cos a cos b — sin ∠TPR sin b
= cos a cos b — sin a sin b, (так как мы знаем, ∠TPR = a)

Следовательно, cos ( a + b) = cos a cos b — sin a sin б.

Как применить Cos(a + b)?

Разложение cos(a + b) можно использовать для нахождения значения тригонометрической функции косинуса для углов, которые можно представить как сумму стандартных углов в тригонометрии. Мы можем выполнить шаги, указанные ниже, чтобы научиться применять идентичность cos (a + b). Давайте оценим cos(30º + 60º), чтобы лучше понять это.

Шаг 1: Сравните выражение cos(a + b) с данным выражением, чтобы определить углы ‘a’ и ‘b’. Здесь a = 30º и b = 60º.
Шаг 2: Мы знаем, cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b.
⇒ cos(30° + 60°) = cos 30°cos 60° — sin 30°sin 60°
поскольку sin 60º = √3/2, sin 30º = 1/2, cos 60º = 1/2, cos 30º = √3/2
⇒ cos(30° + 60°) = (√3/2)(1/2) — (1/2)(√3/2) = √3/4 — √3/4 = 0
Кроме того, мы знаем, что cos 90º = 0. Следовательно, результат проверен.

☛ Связанные темы по Cos (a + b):

Вот некоторые темы, которые могут вас заинтересовать при чтении о cos(a+b).

Закон синусов
грех кост загар
Тригонометрическая таблица
Тригонометрические функции

Давайте рассмотрим несколько решенных примеров, чтобы лучше понять формулу cos(a+b).

Часто задаваемые вопросы по Cos(a + b)

Что такое Cos(a + b)?

Cos(a+b) — одно из важных тригонометрических тождеств, также называемое в тригонометрии формулой сложения косинусов. Cos(a+b) можно представить как cos(a + b) = cos a cos b — sin a sin b, где ‘a’ и ‘b’ — углы.

Что такое формула Cos(a + b)?

Формула cos(a+b) используется для выражения формулы составного угла cos через синус и косинус отдельных углов. Формула cos(a+b) в тригонометрии может быть представлена как cos(a + b) = cos a cos b — sin a sin b.

Что такое расширение cos(a + b)

Расширение cos(a+b) задается как cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b. Здесь a и b — меры углов.

Как доказать формулу Cos (a + b)?

Доказательство формулы cos(a + b) может быть дано методом геометрического построения. Первоначально мы предполагаем, что ‘a’, ‘b’ и (a+b) являются положительными острыми углами, так что (a+b) < 90. Щелкните здесь, чтобы понять пошаговый метод получения формулы cos(a+b).

Каковы применения формулы Cos (a + b)?

Cos(a+b) можно использовать для нахождения значения функции косинуса для углов, которые могут быть представлены в виде суммы стандартных или более простых углов. Таким образом, упрощается вывод при вычислении значений триггерных функций. Его также можно использовать для нахождения расширения других формул двойного и кратного угла.

Как найти значение Cos 15º, используя тождество Cos (a + b).

Значение cos 15° с использованием тождества (a + b) можно вычислить, сначала записав его как cos[(45°+(-30°)] и затем применив тождество cos(a+b) и используя тригонометрическую таблицу.
⇒ cos[(45°+(-30°)] = cos 45°cos(-30)° — sin(-30)°sin 45° = (1/√2)(√3/2) — (-1/2)(1/ √2) = (√3/2√2) + (1/2√2) = (√3+1)/2√2 = (√6+√2)/4

Как найти Cos(a + b + c) используя Cos (a + b)?

Мы можем выразить cos(a+b+c) как cos((a+b)+c) и расширить, используя cos(a+b) и sin(a+ б) формула как, cos(a+b+c) = cos(a+b).