Таблица по алгебре с корнями: Таблица квадратных корней – алгебра 8 класс

что это такое в алгебре, как извлекать

Содержание:

• Извлечение корней при помощи таблицы
  • Квадратные корни
  • Кубические корни
• Особенности использования для квадратных и кубических корней
• Примеры с описанием
  • Поиск квадратных корней
  • Поиск кубических корней

Содержание

• Извлечение корней при помощи таблицы
  • Квадратные корни
  • Кубические корни
• Особенности использования для квадратных и кубических корней
• Примеры с описанием
  • Поиск квадратных корней
  • Поиск кубических корней

Извлечение корней при помощи таблицы

Квадратные корни

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — неотрицательное число t, квадрат которого равен числу а. 3=a\)

В отличие от квадратного корня, в решении корней кубических ответ всегда один. Если исходное число положительное, то и корень будет положительным. Если кубический корень извлечен из отрицательного числа, то и он сам будет отрицательным.

Для нахождения кубических корней тоже есть таблицы. Они бывают разных масштабов, но чаще всего используют стандартную для чисел от 0 до 99. В ней также десятки расположены в строках, а единицы — в столбцах.

Помимо таблиц корней второй и третьей степени существуют таблицы для более высоких степеней, но обычно при вычислениях ими не пользуются.

Примечание

В обеих таблицах не приведены абсолютно точные значения — все они округлены до пятого знака после запятой. Поэтому, если необходимы значения более высокой степени точности, следует воспользоваться калькулятором или другим вычислительным устройством. 

Особенности использования для квадратных и кубических корней

Таблицы квадратных и кубических корней используются по одному принципу. Однако, так как одна степень — четная, а другая нет, существуют различия в том, как решать выражения с этими корнями.

Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное число не может быть отрицательным. Это ввели для того, чтобы сделать понятие корня однозначным. Однако есть более широкое понятие алгебраического квадратного корня.

Алгебраический квадратный корень — корень второй степени, для которого не требуется извлечение из положительного числа и положительное значение самого корня. 

При работе с таблицей стоит учитывать, какой именно квадратный корень нужно найти — арифметический или алгебраический.

В первом случае достаточно взять значение из таблицы корней без дополнительных действий.

В задаче с алгебраическим корнем ответ зависит от того, какое число стоит под корнем. Если подкоренное число больше нуля, то корня будет два — положительный и отрицательный. Если возведенное в степень число отрицательно, то задача не имеет решения. Вторая степень является четной, поэтому нет такого числа, которое в квадрате дало бы отрицательное значение. 

Пример

\(\sqrt{47}=\pm\;6.85565\)
Число 47 больше нуля, поэтому корня два: 6.85565 и –6.85565

\( \sqrt{-35}\neq5.91608\\\sqrt{-35}\neq-5.91608\)

 –35 — число отрицательное, поэтому ответа нет.

Кубический корень — степень нечетная, поэтому подкоренное значение может быть и отрицательным, и положительным. Такое же значение будет иметь и ответ. То есть к результату из таблицы нужно лишь добавить минус, если искомый корень возведен в число меньше нуля. 

Примеры с описанием

Поиск квадратных корней

Задача № 1

Требуется найти \(\sqrt{84}.\)

В числе 84 количество десятков — 8, поэтому по таблице квадратов ищем строку, обозначенную слева цифрой 8. Нужное количеств единиц — 4, значит, нужен столбец с цифрой 4 наверху. Находим ячейку, где эти столбец и строка пересекаются. Там находится число 9.16515, оно и будет искомым ответом. Если требуется, его можно округлить до сотых (9.17) или десятых (9,2).

Задача № 2

 Нужно решить уравнение \(x=\sqrt{17}. \)

В таких случаях квадратный корень обычно принимается за алгебраический, поэтому смотрим на подкоренное число. Оно положительное, поэтому ответа будет два. Находим по таблице строку с количеством десятков, равным 1, и столбец, где число единиц — 7. В их пересечении находится ячейка с числом 4.12311. Для арифметического корня этого было бы достаточно, для алгебраического мы приводим два ответа: x=4.12311 и x=–4.12311. При необходимости округляем до сотых (4.12, –4.123) или десятых (4.1, –4.1). Оба этих числа при возведении в квадрат будут равны 17. 

Задача № 3

Дано выражение \(x=\sqrt{-23}.\)

Ищем по таблице ячейку, в которой пересекутся строка со значением 2 и столбец со значением 3. В ней указано число 4.79583. Однако обращаем внимание, что подкоренное число меньше нуля, поэтому найденный результат ответом не будет. В решении указываем:

\(\sqrt[{}]{-23}\neq4.79583\\\sqrt{-23}\neq-4.79583\)

Поиск кубических корней

Задача № 1

Нужно решить уравнение \(x=\sqrt[3]{55}\)

В таблице кубических корней ищем строку с десятками, равными 5, и столбец, где значение единиц — 5. Они пересекаются в ячейке с числом 3.80295. Так как подкоренное число положительное, то и ответ будет с таким же знаком. Искомое значение x — 3.80295 (или 3.8).

Задача № 2

Требуется найти переменную в выражении \(x=\sqrt[3]{-48}\)

Находим по таблице графу, где пересекаются строка с обозначением 4 и столбец с цифрой 8. В ней располагается число 3.63424. Смотрим на число, которое был возведено в куб, — оно отрицательное. Значит, и ответ будет с минусом. Таким образом, x=–3.63424.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.67 (Голосов: 3)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

квадратных и кубических. Как пользоваться таблицей, примеры

Содержание:

• Что такое корень в математике
• Таблица корней
  • Кубические корни
• Специфические характеристики применения таблицы квадратных и кубических корней
• Как пользоваться таблицей
• Примеры

Содержание

• Что такое корень в математике
• Таблица корней
  • Кубические корни
• Специфические характеристики применения таблицы квадратных и кубических корней
• Как пользоваться таблицей
• Примеры

Что такое корень в математике

Корень n-степени из определенного числа x характеризуется в качестве определенной величины y, то есть \(y^{n}=x\). В данном уравнении n является натуральной величиной, которая носит название степень корня (показатель, именно на эту величину необходимо совершать возведение в степень). Обычно величина степени корня эквивалентна 2 или же является величиной, что больше 2. Вариант, при котором n=1 не интересен для математического сообщества, результат не изменится.

Такой вариант написания часто используется в алгебре: \(y=\sqrt[n]{x}\). Обозначение в виде корневого знака \(\sqrt{}\) носит название радикала. Величина x является подкоренной величиной. Обычно данное число является либо комплексным, либо вещественным. Также возможно внесение под корень более сложных алгебраических явлений, например матриц, вычетов, операторов и других.

Вот такие математические действия можно совершать с величинами, которые являются корнями:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

• умножение;
• деление;
• возведение в степень.

Основные особенности корней:

1. Только положительная величина, которая точно определена, способна быть корнем нечетной степени, рассчитанным из положительного значения: \(\sqrt[n]{x}=y\), где \(x,y>0\), показатель n является нечетным значением. Приведем пример: \(\sqrt[3]{125}=5, \sqrt[5]{32}=2, \sqrt[15]{1}=1\).
2. Только отрицательная величина, которая точно определена, способна стать корнем нечетной степени, рассчитанным из отрицательного значения: \(\sqrt[n]{x}=y\), где x,y<0, показатель n является нечетным значением. Приведем пример: \(\sqrt[3]{-8}=-2\), \(\sqrt[5]{-243}=-3\), \(\sqrt[7]{-1}=-1\).
3. Две величины с двумя разными знаками получится, если рассчитывать корень четной степени из величины без отрицательного знака. Оба полученных значения несмотря на то, что будут разные по своему знаку, но будут эквиваленты по собственному модулю. \(\pm{\sqrt[n]{x}}=\pm{y},\) где \(x,y>0\), показатель n является четным значением. Приведем пример: \(\pm{\sqrt{4}}=\pm{2}\).
4. Невозможно извлечь корень из числа со знаком «минус» четной степени — такой величины просто нет в сфере вещественных величин, потому что в процессе возведения каждого вещественного значения в степень четной величины итогом можно считать только число без знака «минус». Но корни подобного типа возможно вычленять, но в системе, которая намного шире обычный корневой — множестве комплексных чисел. В таком случае величины корня будут являться комплексными значениями. \(\sqrt[n]{x}\) нельзя найти в сфере вещественных значений при условии x<0, показатель n является четным.
5. Стоит запомнить, что при вычислении корня всех натуральных степеней из нуля будет все равно ноль. \(\sqrt[0]{0}\).

Таблица корней

Математический корень в квадрате, рассчитанный из положительной величины x будет всегда положительной величиной y, квадратное значение которого будет эквивалентно значению x. Возможно выразить данное соотношение при помощи следующего выражения: \(y^{2}=x\)

Есть методы, используя которые возможно рассчитать корень положительной величины самостоятельно. К примеру, возможно разложить значение на разные множители в квадрате, а потом рассчитать корневые значения этих величин. Но стоит понимать, что подобный вариант решения задач не всегда справедлив для большого количества чисел — у некоторых значений корневой итог станет не натуральной величиной. Для таких случаев и пользуются либо таблицей корней, либо специальными вычислительными приборами, к примеру калькулятором.

Так выглядит калькулятор:

Источник: office-planet.ru

При помощи таблицы корней возможно рассчитать корень каждого значения, которое попадает в промежуток от 0 до 99. Заметьте, что в строчках у таблицы прописываются десятки, тогда как в столбиках таблицы прописывают единицы. Ячейка в таблице, в которой соприкасаются необходимые величины, будет считаться числом, которое требовалось найти по задаче.

Так выглядит таблица квадратных корней:

Источник: wiki.fenix.help

Кубические корни

Корень в кубической степени из величины x будет величиной y, что в процессе возведения в третью степень будет равняться x. {3}=x\).

Главная особенность корня в кубе (то есть в третьей степени) заключается в том, что в процессе вычленения значения из него получится только один вариант ответа. При условии положительности изначального значения корень также будет неотрицательным. При условии отрицательности изначального значения корень также будет отрицательным.

Для расчета корней в кубе существуют такие же таблицы, как и для квадратных корней. Вариантов очень много, но больше всего используют таблицы для чисел в промежутке от 0 до 99. В таблице кубических корней также в строчках находятся десятки, а в столбиках находятся единицы.

Так выглядит таблица кубических корней:

Источник: wiki.fenix.help

Кроме таблиц, в которых представлена только вторая и третья варианты степеней, есть таблицы, в которых представлены нестандартные значения — выше 2 и 3. Но часто математики не используют подобные таблицы.

Примечание 

В таблицах двух видов, которые приведены выше, можно заметить, что не отображается целых величин — все величины округляются вплоть до пятого знака после запятой. Из-за этого для уточнения вычислений необходимо использовать калькулятор или любой другой прибор для вычисления.

Специфические характеристики применения таблицы квадратных и кубических корней

Таблицы корней в кубе и в квадрате применяются совершенно одинаково. Но из-за того, что степени могут быть как четные, так и нечетные, появляются определенные отличия в расчете значений подобных корней.

Исходя из дефиниции термина «квадратный корень» получается, что число, которое находится под корнем, никогда не является неположительным числом. Данную особенность стали использовать потому, что требовалось привести к однозначности термин «корень в квадрате». Но существует расширенная дефиниция корня в квадрате в математике.

Согласно ей корень в квадрате является корнем, возведенным во вторую степень. Для подобного вида корня не нужно вычленять неотрицательное выражение, а также положительную величину непосредственно корня.

В процессе работы со всеми таблицами стоит понимать, что за корень в квадрате необходимо рассчитать — корень алгебраический или же корень арифметический. В случае арифметического корня необходимо нужно брать величину из корневой таблицы, не совершая никаких иных операций.

В случаях, когда совершаются операции с алгебраическим вариантом корня, итог будет основываться на величине, величине, которая находится под корнем. В случае, когда величина под корнем является величиной более нуля, тогда корней в результате получится два корня — один неотрицательный, а другой отрицательный. В случае, когда величина, которую возвели в степень, является неположительной, тогда у уравнения не будет никаких вариантов решения. Четной будет вторая степень, потому что не существует подобной величины, что при возведении в квадрат привело бы к неположительному значению.

Пример 

\(\sqrt{47}=\pm6.85565\)

Величина 47 является величиной, которая не равняется нулю, из-за этого корня будет два: 6.85565 и -6.85565. \(\sqrt{-35}\neq5.91608\), \(\sqrt{-35}\neq-5.91608\). -35 является величиной неположительной, из-за этого решения не будет. {2}=4\) не является эквивалентом a=?4.

Для того чтобы быстрее, точнее рассчитывать величины-ответы на задачи, изобрели корневую таблицу, в которой возможно найти рассчитанные ранее корни. В корневой таблице в строчке находятся единицы, в столбиках находятся десятки. Приведем пример использования таблицы: нужно рассчитать корень в квадрате величины 54. Для начала нужно взглянуть на столбики, ищем нужное нам число, то есть 5, потом необходимо взглянуть на строчку, найти там нужное число, то есть 4. После необходимо рассмотреть место, в котором эти цифры пересекаются. В этой ячейке располагается необходимый для задачи результат, то есть 6,7082.

Существует также таблица квадратов — ее нельзя сопоставлять с корневой таблицей. Таблица квадратов выглядит таким образом:

Источник: reshit.ru

Таблицей квадратов уместно пользоваться в тех случаях, когда необходимо рассчитать величину двухзначной величины, возведенной в квадрат. Приведем пример: необходимо возвести в двойную степень число 89. Нужно найти в данной таблице 8 в столбике, а 9 в строчке, находим ячейку, на которой они соприкасаются. Ответ будет 7921.  

Значения в таблице достаточно быстро запоминаются, поэтому возможно после продолжительного времени использования этой таблицы, перестать использовать ее.

Примеры

Приведем немного примеров расчета корней при помощи таблицы кубических и квадратных корней.

Задача 1

Необходимо рассчитать значение, которое получится после извлечения корня из значения 13824. \(\sqrt[3]{13824}\). Посмотрим на кубическую корневую таблицу:

Источник: wiki.fenix.help

В таблице необходимо найти данное число, рассматриваем, в какой строчке и в каком столбце они соприкасаются. Строчка — 4, столбик — 2. Получается, что значение будет — 24. Таким образом, ответ будет \(\sqrt[3]{13824}=24\).

Задача 2

Необходимо рассчитать значение, которое получится после извлечения корня из значения 5. \(\sqrt[3]{5}\). Посмотрим на кубическую корневую таблицу.

Источник: wiki.fenix.help

В таблице необходимо найти данное число, рассматриваем, в какой строчке и в каком столбце они соприкасаются. Строчка — 5, столбик — 0. Получается, что значение будет — 1,70998.

Ответ: \(\sqrt[3]{5}=1,70998.\)

Задача 3

Необходимо рассчитать значение, которое получится после извлечения корня из значения \(\sqrt{64}\). Посмотрим на квадратную корневую таблицу.

Источник: wiki.fenix.help

В таблице необходимо найти данное число, рассматриваем, в какой строчке и в каком столбце они соприкасаются. Строчка — 6, столбик — 4. Получается, что значение будет — 6,78233.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Таблица квадратных корней

Ниже приведена таблица квадратных корней, которую можно использовать в качестве быстрого справочника для проверки квадратного корня из чисел от 1 до 100. Это может быть очевидно, но ниже показано, как можно использовать таблицу для нахождения квадратного корня из числа.

Н	√Н	Н	√Н
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 9 0003 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 90 003 46 47 48 49 50	1 1,414 1,732 2 2,236 2,449 2,646 2,828 900 03 3 3. 162 3.317 3.464 3.606 3.742 3.873 9000 3 4 4,123 4,243 4,359 4,472 4,583 4,690 4,796 90 003 4,899 5 5,099 5,196 5,292 5,385 5,477 900 03 5,568 5,657 5,745 5,831 5,916 6 6,083 6,164 6,245 6,325 6,403 6,481 6,557 6,633 6,708 6,782 6,856 6,928 7 7,071	51 52 53 54 55 56 57 58 59 9000 3 60 61 62 63 64 65 66 67 9 0025 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 90 003 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 9 9 100	7. 141 7.211 7.280 7.348 7,416 7,483 7,550 7,616 7,681 7,746 7,810 90 003 7.874 7.937 8 8.062 8.124 8.185 8.246 900 03 8.307 8.367 8.426 8.485 8.544 8.602 8.660 8.718 8.775 8 .832 8.888 8.944 9 9,055 9,110 9,165 9,220 9,274 9,327 9,381 90 003 9,434 9,487 9,539 9,592 9,644 9,695 9,747 9,798 9,849 9,899 9,950 10

Как читать таблицу квадратных корней, чтобы найти квадратный корень.

Выше мы скопировали часть таблицы квадратных корней. Из таблицы хорошо видны следующие квадратные корни.

• Квадратный корень из 3 равен 1,732

• Квадратный корень из 6 равен 2,449

• Квадратный корень из 51 равен 7,141

9043 0

Квадратный корень из 55 равен 7,416

• Квадратный корень из 7 равно 2,646

• Квадратный корень из 53 равен 7,280

• Квадратный корень из 4 равен 2

• Квадратный корень из 78 равен 8,832 90 432

• Квадратный корень из 31 равен 5,568 

Краткий обзор того, что такое квадратный корень из числа.

Произведение двух одинаковых чисел равно другому числу. Одно из двух одинаковых чисел является квадратным корнем другого числа.

Например, произведение 11 на 11 — это другое число или 121.

11 — это квадратный корень из 121.

1. Теоретическая вероятность — определение, объяснение и примеры

   24, 23 апреля 07:02

   Узнайте, как вычислить правдоподобие или вероятность события с помощью формулы теоретической вероятности.

   Подробнее

2. Треугольник 30-60-90

   3 апреля, 23 17:08

   Что такое треугольник 30-60-90? Определение, доказательство, площадь и простые примеры из реальной жизни.

   Подробнее

Квадратные корни и логарифмы без калькулятора (часть 3) – Mean Green Math

John Quintanilla История, Предварительное исчисление 3 августа 2013 г. 27 июля 2013 г. 5 минут

Я нахожусь в середине серии сообщений об элементарной операции вычисления квадратного корня. Это такая элементарная операция, потому что почти у каждого калькулятора есть кнопка, и сегодняшние студенты привыкли быстро получать ответ, не задумываясь над тем, (1) что означает ответ или (2) какую магию калькулятор использует для нахождения квадратных корней. . Мне нравится показывать моим будущим учителям средней школы краткую историю по этой теме… отчасти для того, чтобы углубить их знания о том, что они, вероятно, считают простой концепцией, но также и для того, чтобы дать им немного уважения к старшим.

Сегодняшняя тема — использование таблиц журналов. Я предполагаю, что многие читатели либо забыли, как пользоваться таблицами журналов, либо их даже не учили, как их использовать. Показав, как логарифмические таблицы использовались в прошлом, я закончу некоторыми мыслями об их эффективности для обучения студентов логарифмам впервые.

Это будет довольно длинный пост о таблицах журналов. В следующем посте я расскажу, как можно использовать таблицы журналов для вычисления квадратных корней.

Для начала снова вернемся во времена до появления карманных калькуляторов… скажем, 1912.

До появления карманных калькуляторов у большинства профессиональных ученых и инженеров были математические таблицы для хранения значений логарифмов, тригонометрических функций и т.п. Следующие изображения взяты из одной из моих ценных вещей: College Mathematics, Kaj L. Nielsen (Barnes & Noble, New York, 1958). Какой-то святой дал мне эту книгу в детстве в конце 1970-х; поверьте мне, он был сильно изношен к тому времени, когда я поступил в колледж.

С появлением дешевых карманных калькуляторов математические таблицы ушли в прошлое. Единственное место, где какие-либо общепринятые математические таблицы появляются в современном использовании, — это учебники по статистике, в которых указаны площади и критические значения нормального распределения, распределения Стьюдента и тому подобного.

Тем не менее, математические таблицы не пережиток далекого прошлого. Когда я изучал логарифмы и тригонометрические функции в школе в начале 1980-х — одно поколение назад — я отчетливо помню, что в моем школьном учебнике были эти таблицы в конце книги.

И я твердо убежден, что в качестве упражнения по истории таблицы журналов все еще можно использовать сегодня, чтобы углубить навыки учащихся в логарифмах. В этом посте и в части 4 этой серии я обсуждаю, как можно использовать логарифмическую таблицу для вычисления логарифмов и (используя язык прошлых поколений) антилогарифмов без калькулятора. В части 5 я расскажу о своем мнении о педагогической пользе логарифмических таблиц, даже несмотря на то, что в наши дни логарифмы проще вычислять с помощью научных калькуляторов. В части 6 я вернусь к квадратным корням, а именно к тому, как можно использовать логарифмические таблицы для нахождения квадратных корней.

Как пользоваться таблицей, Часть 1. Как вы читаете эту таблицу? Крайний левый столбец показывает цифру единиц и цифру десятых, а верхний ряд показывает цифру сотых. Так, например, нижняя строка показывает десять различных логарифмов по основанию 10:

Таким образом, вместо того, чтобы вводить числа в калькулятор, для нахождения этих логарифмов использовалась таблица. Вы заметите, что эти значения с точностью до четырех знаков после запятой совпадают со значениями, найденными на современном калькуляторе.

Как пользоваться таблицей, часть 2. Что, если мы пытаемся возвести логарифм числа между и, которое имеет более двух знаков после запятой, например ? Из таблицы мы знаем, что значение должно лежать между

и

Таким образом, для оценки мы будем использовать линейную интерполяцию. Это причудливый способ сказать: «Найдите линию, соединяющую и , и найдите точку на линии с координатой . График $y = \log_{10} x$, конечно, не является прямой линией, но мы надеемся, что эта линейная интерполяция будет достаточно близка к правильному ответу.

Нахождение этой линии представляет собой простое упражнение в форме точки-наклона линии:

Помня, что эта логарифмическая таблица верна только до четырех значащих цифр, мы оцениваем .

Немного потренировавшись, можно относительно легко выполнять приведенные выше расчеты. Кроме того, во многих таблицах журналов прошлого был столбец под названием «пропорциональные части», который по существу заменял шаг линейной интерполяции, что значительно ускоряло использование таблицы.

Опять же, это соответствует результату современного калькулятора с точностью до четырех знаков после запятой:

Как пользоваться таблицей, Часть 3 . До сих пор мы обсуждали логарифмы чисел между и и антилогарифмы чисел между и . Давайте теперь рассмотрим, что произойдет, если мы выберем число за пределами этих интервалов.

Чтобы найти , заметим, что

Интуитивно мы знаем, что ответ должен лежать между и , поэтому ответ должен быть . Значение является необходимым.

Затем мы находим линейной интерполяцией. Из таблицы мы видим, что

и

Используя линейную интерполяцию, мы находим

Помня, что эта логарифмическая таблица верна только до четырех значащих цифр, мы оцениваем так что .

Опять же, это соответствует результату современного калькулятора с точностью до четырех знаков после запятой (в данном случае пяти значащих цифр):

Как пользоваться таблицей, Часть 4 .  А теперь посмотрим, что произойдет, если мы выберем положительное число меньше . Чтобы найти , заметим, что

Мы уже нашли линейной интерполяцией. Таким образом, мы заключаем, что . Опять же, это соответствует результату современного калькулятора с точностью до четырех знаков после запятой (в данном случае пяти значащих цифр):

Итак, вот как вычислять логарифмы без калькулятора: мы полагаемся на чью-то тяжелую работу, чтобы вычислить эти числа. логарифмы (которые поколение назад можно было найти в конце каждого учебника по математическому анализу), и мы умело используем законы логарифмов и линейной интерполяции.

Таблицы журнала, конечно, подвержены ошибкам округления. (Если на то пошло, то же самое можно сказать и о карманных калькуляторах, но округление происходит так глубоко в десятичном представлении — 12-й или 13-й цифре, — что учащиеся почти никогда не замечают ошибку округления и, таким образом, могут выработать досадную привычку думать, что результат калькулятора всегда точно правильный.)

Для двухстраничной таблицы, найденной в школьном учебнике, результаты обычно были точными до четырех значащих цифр.