Как найти матрицу а 1: Онлайн калькулятор. Обратная матрица.

Обратная матрица с помощью элементарных преобразований

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A-1 = A-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований:

  1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
  2. Дописываем справа единичную матрицу
  3. Делаем прямой ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей под ее главной диагонали.
  4. Делаем обратный ход. Обнуляем все элементы (с помощью элементарных преобразований) левой матрицы стоящей над ее главной диагонали.
  5. Элементы главной диагонали левой матрицы, преобразуем в единицы.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 8 обратная матрица существует.

Допишем к нашей матрице слева единичную матрицу.

Чтобы сделать нули под элементом a11, вычтем 1-ую строку из всех строк, что расположены ниже её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a11.

Чтобы сделать нули над элементом a33, вычтем 3-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a33.

Чтобы сделать нули над элементом a22, вычтем 2-ую строку с всех строк, что расположены выше её, при чём, для того, чтобы работать с меньшими числами, поделим каждую из этих строк на a22.

Поделим каждую строку на элемент, который стоит на главной диагонали.

Вот мы и нашли обратную матрицу.

Обратная матрица с помощью алгебраических дополнений

Для того что бы найти обратную матрицу можно использовать два метода: с помощью алгебраических дополнений (метод присоединённой (союзной) матрицы) или элементарных преобразований (метод Жордано-Гаусса). Рассмотрим как найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений.

Обратной матрицей называется матрицы A-1 при умножении на исходную матрицу A получается единичная матрица E.

A·A-1 = A-1 · A = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений:

  1. Найти определитель (детерминант) матрицы A. Если определитель ≠ 0, то обратная матрица существует. Если определитель = 0, то обратная матрица не существует.
  2. Найти матрицу миноров M.
  3. Из матрицы M найти матрицу алгебраических дополнений C*.
  4. Транспонировать матрицу (поменяем местами строки со столбцами) C*, получить матрицу C*T.
  5. По формуле найти обратную матрицу.

Пример

Рассмотрим данный метод на примере. Дана матрицы 3х3:

Найдем определитель (детерминант) матрицы, detA = 12 обратная матрица существует.

Найдем минор M11 и алгебраическое дополнение A11. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 1.

Найдем минор M12 и алгебраическое дополнение A12. В матрице А вычеркиваем строку 1 и столбец 2.

Остальные миноры и алгебраические дополнения находятся аналогично. В итоге получаем матрицу C*.

Найдем транспонированную союзную матрицу алгебраических дополнений C*T.

Найдем обратную матрицу. Ответ:

Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн Свойства определителя матрицы | Мозган калькулятор онлайн
  1. Определитель единичной матрицы равен единице: det(E) = 1. Единичная матрица — это квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице, а все остальные элементы равны 0.

  2. Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равен нулю.

  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.

  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю.

  5. Определитель матрицы равен нулю, если две или несколько строк или столбцов матрицы линейно зависимы.

  6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется: det(A) = det(AT).

  7. Определитель обратной матрицы: det(A-1) = det(A)-1.
  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить другую строку или столбец, умноженную на некоторое число.

  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке или столбцу прибавить линейную комбинации других строк или столбцов.
  10. Если поменять местами две строки или два столбца матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  11. Общий множитель в строке или столбце можно выносить за знак определителя:
  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в
    n
    -той степени: B = k·A => det(B) = kn·det(A), где A матрица n×n, k — число.
  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
  14. Определитель верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B).

Другой материал по теме


Матрицы: определение и основные понятия.

Навигация по странице:

Определение матрицы

Определение.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.


Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

A =  4  1  -7 
 -1  0  2 

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: An×m.


Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются aij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Пример.

Элементы матрицы A4×4:
A =  4  1  -7  2 
 -1  0  2  44 
 4  6  7  9 
 11  3  1  5 

a11 = 4

Определение.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:
 4  1  -7 

< не нулевая строка

 0  0  0 

< нулевая строка

 0  1  0 

< не нулевая строка

Определение.

Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых столбцов матрицы:
 0  1  -7 
 0  0  2 

^

^

^

не не нулевой столбец


Диагонали матрицы

Определение.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Определение.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Пример.

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:
 0  1  -7  — главнаяпобочная диагональ
 0  0  2 

 0  1  -7  — главнаяпобочная диагональ
 0  0  2 
 8  2  9 

Определение.

Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.

Обозначение.

След матрицы обозначается trA = a11 + a22 + … + ann.

Инверсия матрицы

Пожалуйста, сначала прочтите наше Введение в Матрицы.

Что такое обратная матрица?

Это обратное число :


Взаимное число

Обратная матрица — это та же самая идея , но мы пишем ее A -1

Почему не 1 / A ? Потому что мы не делим на матрицу! И в любом случае 1 / 8 также можно записать 8 -1

И есть другие сходства:

Когда мы умножаем число на его , обратное , мы получаем 1

Когда мы умножаем матрицу на ее обратное , мы получаем Identity Matrix (которая походит на «1» для матриц):

То же самое, когда на первом месте обратное:

Identity Matrix

Мы только что упомянули «Матрицу идентичности».Это матричный эквивалент числа «1»:


A 3×3 Identity Matrix

  • Это «квадрат» (имеет такое же количество строк, что и столбцы),
  • имеет 1 с по диагонали и 0 с по всему миру.
  • Его символом является заглавная буква I .

Матрица идентификации может иметь размер 2 × 2 или 3 × 3, 4 × 4 и т. Д.

Определение

Вот определение:

Обратное значение A — это A -1 , только когда:

A × A -1 = A -1 × A = I

Иногда обратного нет совсем.

2×2 Matrix

Хорошо, как мы вычисляем обратное?

Ну, для матрицы 2×2 обратное значение равно:

Другими словами: поменяйте местами на позиции a и d, поместите негативов перед b и c, а разделите на все по определителю (ad-bc).

Давайте попробуем пример:

Откуда мы знаем, что это правильный ответ?

Помните, что это должно быть правдой, что: A × A -1 = I

Итак, давайте проверим, что происходит, когда мы умножаем матрицу на ее обратное значение:

И, эй !, мы получаем Матрицу Идентичности! Так что это должно быть правильно.

Должно быть , а также : A -1 × A = I

Почему бы вам не умножить их? Посмотрите, получите ли вы также идентификационную матрицу:

Зачем нам нужно обратное?

Потому что с матрицами мы не делим ! Серьезно, нет понятия деления на матрицу.

Но мы можем умножить на обратное , что дает то же самое.

Представьте, что мы не можем делить на числа…

… и кто-то спрашивает «Как я могу поделиться 10 яблоками с 2 людьми?»

Но мы можем взять , равное из 2 (то есть 0,5), поэтому мы отвечаем:

10 × 0,5 = 5

Они получают по 5 яблок.

То же самое можно сделать с матрицами:

Скажем, мы хотим найти матрицу X, и мы знаем матрицы A и B:

XA = B

Было бы неплохо разделить обе стороны на A (чтобы получить X = B / A), но помните , мы не можем разделить .

Но что, если мы умножим обе стороны на A -1 ?

XAA -1 = BA -1

И мы знаем, что AA -1 = I, поэтому:

XI = BA -1

Мы можем удалить I (по той же причине мы можем удалить «1» из 1x = ab для чисел):

X = BA -1

И у нас есть наш ответ (при условии, что мы можем рассчитать A -1 )

В этом примере мы были очень осторожны, чтобы получить правильные умножения, потому что с матрицами порядок умножения имеет значение.AB почти никогда не равен BA.

Пример из реальной жизни: автобус и поезд

Группа отправилась в поездку на автобусе по цене 3 доллара США за ребенка и 3,20 доллара США за взрослого на общую сумму 118,40 доллара США.

Они сели на поезд по цене 3,50 долл. США за ребенка и 3,60 долл. США за взрослого на общую сумму 135,20 долл. США.

Сколько детей и сколько взрослых?

Во-первых, давайте настроим матрицы (будьте осторожны, чтобы строки и столбцы были правильными!):

Это как в примере выше:

XA = B

Итак, для ее решения нам нужно обратное значение «A»:

Теперь у нас есть обратное, которое мы можем решить используя:

X = BA -1

Было 16 детей и 22 взрослых!

Ответ кажется почти волшебным.Но это основано на хорошей математике.

Подобные вычисления (но с использованием гораздо более крупных матриц) помогают инженерам проектировать здания, используются в видеоиграх и компьютерных анимациях, чтобы заставить вещи выглядеть трехмерными, и во многих других местах.

Это также способ решения систем линейных уравнений.

Расчеты выполняются с помощью компьютера, но люди должны понимать формулы.

Заказ важен

Скажем, что мы пытаемся найти «X» в этом случае:

AX = B

Это отличается от примера выше! X теперь после A.

С матрицами порядок умножения обычно меняет ответ. Не думайте, что AB = BA, это почти никогда не соответствует действительности.

Так, как мы решаем это? Используя тот же метод, но поместите A -1 впереди:

A -1 AX = A -1 B

И мы знаем, что A -1 A = I, поэтому:

IX = A -1 B

Мы можем удалить I:

X = A -1 B

И у нас есть наш ответ (при условии, что мы можем рассчитать A -1 )

Почему бы нам не попробовать наш пример с автобусом и поездом, а с данными, настроенными таким образом.

Это может быть сделано таким образом, но мы должны быть осторожны, как мы это настроили.

Вот как это выглядит как AX = B:

Это выглядит так аккуратно! Я думаю, что предпочитаю это так.

Также обратите внимание, как строки и столбцы поменялись местами за
(«Транспонированный») по сравнению с предыдущим примером.

Для ее решения нам нужно обратное значение «A»:


Это похоже на обратное, что мы получили раньше, но
транспонировано (строки и столбцы поменялись местами).

Теперь мы можем решить, используя:

X = A -1 B

Тот же ответ: 16 детей и 22 взрослых.

Матрицы — это мощные вещи, но их нужно правильно настроить!

Обратного не может существовать

Прежде всего, чтобы иметь обратную, матрица должна быть «квадратной» (такое же количество строк и столбцов).

Но также определитель не может быть нулем (или мы в конечном итоге делим на ноль). Как насчет этого:

24-24? Это равно 0, а 1/0 не определено .
Мы не можем идти дальше! Эта матрица не имеет обратного.

Такая матрица называется «Сингулярная», что происходит только тогда, когда определитель равен нулю.

И это имеет смысл … посмотрите на цифры: вторая строка просто удваивает первую строку, и не добавляет никакой новой информации .

И детерминант позволяет нам знать этот факт.

(Представьте себе в нашем примере с автобусом и поездом, что цены на поезд были ровно на 50% выше, чем на автобусе: теперь мы не можем определить разницу между взрослыми и детьми.Там должно быть что-то, чтобы отделить их.)

большие матрицы

Инверсия 2×2 — это , легкая … по сравнению с более крупными матрицами (такими как 3×3, 4×4 и т. Д.).

Для этих больших матриц есть три основных метода для обратного:

Заключение

  • Обратное значение A — это A -1 , только когда A × A -1 = A -1 × A = I
  • Чтобы найти обратную матрицу 2×2: поменяйте местами на позиции a и d, поместите негативов перед b и c, а разделите на все по определителю (ad-bc).
  • Иногда нет совсем обратного

,

Матрицы

Матрица — это массив чисел:


Матрица
(у этого есть 2 ряда и 3 столбца)

Мы говорим об одной матрице или нескольких матрицах .

Есть много вещей, которые мы можем сделать с ними …

Добавление

Чтобы добавить две матрицы: добавьте числа в соответствующих позициях:

Это расчеты:

3 + 4 = 7 8 + 0 = 8
4 + 1 = 5 6−9 = −3

Две матрицы должны быть одинакового размера, т.е.е. строки должны соответствовать по размеру, а столбцы должны соответствовать по размеру.

Пример: матрица с , 3 строки и , 5 столбцов , может быть добавлена ​​к другой матрице из , 3 строки и , 5 столбцов .

Но его нельзя добавить в матрицу с , 3 строки и , 4 столбца (столбцы не совпадают по размеру)

Отрицательный

Отрицание матрицы также просто:

Это расчеты:

— (2) = — 2 — (- 4) = + 4
— (7) = — 7 — (10) = — 10

Вычитание

Чтобы вычесть две матрицы: вычтите числа в совпадающих позициях:

Это расчеты:

3−4 = −1 8−0 = 8
4−1 = 3 6 — (- 9) = 15

Примечание: вычитание фактически определяется как сложение отрицательной матрицы: A + (-B)

умножить на константу

Мы можем умножить матрицу на константу (в данном случае значение 2) :

Это расчеты:

2 × 4 = 8 2 × 0 = 0
2 × 1 = 2 2 × −9 = −18

Мы называем константу скаляр , поэтому официально это называется «скалярное умножение».

Умножение на другую матрицу

Для умножить две матрицы вместе немного сложнее … прочитайте Матрицы умножения, чтобы узнать, как это сделать.

Деление

А как насчет деления? Ну, мы , а не на самом деле делим матрицы, мы делаем это так:

A / B = A × (1 / B) = A × B -1

, где B -1 означает «обратный» B.

Таким образом, мы не делим, мы умножаем на обратное .

И есть особые способы найти Обратное, узнайте больше в Обратном из Матрицы.

Транспонирование

Чтобы «транспонировать» матрицу, поменяйте местами строки и столбцы.

Мы ставим букву «Т» в верхнем правом углу, чтобы обозначить транспонирование:

Обозначение

Матрица обычно обозначается заглавной буквой (например, A или B)

Каждая запись (или «элемент») показана строчной буквой с «нижним индексом» строки , столбец :

Ряды и колонны

Итак, какая строка и какая колонка?

  • Строки идут влево-вправо
  • Колонны идут вверх-вниз

Чтобы запомнить, что строки располагаются перед столбцами, используйте слово «дуга» :

а р, с


Пример:

B =

Вот несколько примеров записей:

b 1,1 = 6 (запись в строке 1, столбец 1 — 6)

b 1,3 = 24 (запись в строке 1, столбец 3 — 24)

b 2,3 = 8 (запись в строке 2, столбец 3 — 8)

,

Найти Матрицу Обратного

В этом уроке мы покажем, как найти обратный из матрица для двоих особые случаи: диагональная матрица и матрица 2 х 2. На следующем уроке мы покажем как найти обратную для любой матрицы.

Как найти обратную диагональную матрицу

Диагональная матрица Матрица — это особый вид из симметричная матрица.Это симметричная матрица с нулями в недиагональные элементы. Две диагональные матрицы показаны ниже.

Обратите внимание, что диагональ матрицы относится к элементам которые бегут от верхнего левого угла до нижнего правого угла.

Обратная диагональная матрица получается путем замены каждого элемент по диагонали с обратным, как показано ниже для матрицы C .

Легко подтвердить, что C -1 является обратная C , начиная с

C C -1 = C -1 C = I

, где I является единичная матрица.

Этот подход будет работать для любой диагональной матрицы, пока ни один из диагональные элементы равны нулю.Если какой-либо из диагональных элементов равны нулю, матрица будет меньше полный ранг, и матрица не будет иметь обратную.

Как найти обратную матрицу 2 x 2

Предположим, A является невырожденная матрица 2 х 2 матрицы. Затем можно вычислить обратное значение A . от до , как показано ниже.

A 2 2 / | A | A 1 2 / | A |
A 2 1 / | A | A 1 1 / | A |
A А -1

, где определитель А это | A | = A 1 1 A 2 2 A 1 2 A 2 1 .

Чтобы проиллюстрировать, как это работает, давайте найдем обратную матрицу B , который появляется ниже.

Сначала вычислим определитель матрицы B .

| B | = B 1 1 B 2 2 B 1 2 B 2 1 = 2 * 4 — 1 * 4 = 8 — 4 = 4

Затем мы можем найти обратное, как показано ниже.

B -1 =
B 2 2 / | B | B 1 2 / | B |
B 2 1 / | B | B 1 1 / | B |

B -1 = =

Предупреждение: Если определитель матрицы равным нулю, то матрица не имеет обратной.

Проверьте свое понимание

Задача 1

Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.

Решение

Это был вопрос с подвохом. Матрица — это диагональная матрица с нулевым элементом в его диагональ. Следовательно, матрица A является единственной, и не имеет обратного.


Задача 2

Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.

Решение

Обратная диагональная матрица получается путем замены каждого элемента в диагонали с обратной, как показано ниже.


Задача 3

Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.

Решение

Сначала давайте вычислим определитель матрицы A .

| A | = A 1 1 A 2 2 A 1 2 A 2 1 = 3 * 4 — 1 * 9 = 12 — 9 = 3

Затем мы можем найти обратное, как показано ниже.

A -1 =
A 2 2 / | A | A 1 2 / | A |
A 2 1 / | A | A 1 1 / | A |

A -1 = =
,

Нахождение обратной матрицы

Матрица Обращение:
Поиск обратной матрицы
(страница 1 из 2)


Для матриц есть нет такой вещи, как разделение. Можете добавить, вычесть и умножить матрицы, но вы не можете разделить их.Есть связанная концепция, хотя, который называется «инверсия». Сначала я расскажу, почему инверсия полезно, а потом я покажу вам, как сделать это.


Вспомни, когда ты впервые узнал о том, как решить линейные уравнения. Если вам дали что-то вроде «3 x = 6 «, вы бы решить, разделив обе стороны на 3. С умножением на 1/3 так же, как деление на 3, Вы также можете умножить обе стороны на 1/3 чтобы получить тот же ответ: x = 2.Если вам нужно решить что-то вроде «(3/2) x = 6 «, вы могли бы все еще разделить обе стороны на 3/2, но, вероятно, было легче умножить обе стороны на 2/3. Взаимная дробь 2/3 это обратное 3/2 потому что, если вы умножаете две фракции, вы получите 1, который в этом контексте называется (мультипликативной) идентичностью: 1 называется личность, потому что умножение чего-то на 1 не меняет своего значения.

Эта терминология и эти факты очень важны для матриц. Если вам дано матричное уравнение как AX = C , где вы даны А и С и говорят, чтобы выяснить, X , Вы хотели бы «разделить» матрицу на . Но вы не можете делать деление с матрицами.С другой стороны, что если вы может найти обратное A , что-то похожее на поиск обратной дроби выше? Обратное А , записывается как « A 1 » и произносится « A обратный «, позволит вам отменить A из матричного уравнения, а затем решить для X .

Как это « A 1 AX » в левой части уравнения превратить в « X »? Вспомните природу инверсий для обычных чисел.Если у вас есть число (например, 3/2) и его обратное (в данном случае 2/3) и вы умножаете их, вы получаете 1. И 1 это личность, так называемая, потому что 1 x = x для любого номера х Это работает так же для матриц. Если вы умножаете матрицу (например, A ) и его обратное (в данном случае
A 1 ), вы получаете личность матрица и .И смысл единичной матрицы в том, что IX = X для любой матрицы X (имеется в виду «любая матрица правильного размера», конечно).

Следует отметить, что порядок в умножении Выше важно и вовсе не произвольно. Напомним, что для матриц умножение не коммутативно. То есть AB почти никогда не равен BA .Таким образом, умножив матричное уравнение «слева» (получим A 1 AX ) совсем не то же самое, что умножение «справа» ( получите AXA 1 ). И нельзя сказать, что продукт AXA 1 равен A 1 AX , потому что вы не можете переключать порядок в умножении. Вместо, Вы должны умножить A 1 слева, поместив его прямо рядом с A в исходном матричном уравнении.И так как вы должны сделать то же самое с обеих сторон уравнения, когда вы решаете, вы должны умножить «слева» в правой части уравнения, а также, в результате A 1 C . Вы не можете быть случайным с вашим размещением матриц; Ты должен быть точный, правильный и последовательный. Это единственный способ успешно отменить A и решить матричное уравнение.


As Вы видели выше, обратные матрицы могут быть очень полезны для решения матрицы уравнения. Но, учитывая матрицу, как вы ее инвертируете? Как вы находите обратный? Техника инвертирования матриц довольно умна. Для заданная матрица A и его обратное A 1 , мы знаем, что у нас есть A 1 A = I .Собирались использовать единичную матрицу I в процесс обращения матрицы.

  • Найти обратное следующая матрица.

    Сначала я записываю записи матрицы A , но я пишу их в матрице двойной ширины:

    В другой половине двойной шириной, я пишу единичную матрицу:

    сейчас сделаю матрицу строковые операции преобразовать левую часть двойной ширины в тождество.(Как всегда с операциями со строками, не существует единственного «правильного» способа сделать это. Далее следуют только шаги, которые произошли с меня. Ваши расчеты могут легко выглядеть совсем иначе.)

    Теперь, когда левая сторона двойной ширины содержит тождество, правая часть содержит обратное. То есть обратная матрица выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что мы можем подтвердить что эта матрица обратна A умножив две матрицы и подтвердив, что мы получаем идентичность: Авторское право Элизабет Stapel 2003-2011 Все права защищены

Имейте в виду, что в «реальном жизнь «, обратная сторона редко представляет собой матрицу, наполненную красивым аккуратным целым числа как это.Хотя, если повезет, особенно если вы делаете инверс вручную, вам будут даны хорошие, как это сделать.

Топ | 1 | 2 | Возвращение Индексировать Далее >>

Цитировать эту статью как:

Stapel, Елизавета. «Обращение матрицы: поиск обратной матрицы.» Purplemath . Доступно с
https://www.purplemath.com/modules/mtrxinvr.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.