Как найти минор матрицы 4х4: Как вычислить определитель матрицы 4х4

Содержание

Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила

Определение 1

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n.

|А|, ∆, det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Пример 1

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

А=1-231.

Решение:

det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

правило треугольника;
правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 2

А=13402115-1

Решение:

det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

дописать слева от определителя два первых столбца;
перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

А=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

разложением по элементам строки;
разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin

Разложение матрицы по элементам столбца:

det A=а1i×А1i+а2i×А2i+. ..+аni×Аni

Замечание

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Пример 5

А=01-132100-24513210

Решение:

раскладываем по 2-ой строке:

А=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

раскладываем по 4-му столбцу:

А=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

Свойства определителя

Свойства определителя:

если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А=134021005

Решение:

det А=134021005=1×5×2=10

Замечание

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Линейная алгебра на Python. [Урок 4]. Определитель матрицы

Четвертый урок из цикла “Линейная алгебра на Python“, посвящен понятию определителя матрицы и его свойствам.

Определитель матрицы

Определитель матрицы размера (n-го порядка) является одной из ее численных характеристик. Определитель матрицы A обозначается как |A| или det(A), его также называют детерминантом. Рассмотрим квадратную матрицу 2×2 в общем виде:

Определитель такой матрицы вычисляется следующим образом:

➣ Численный пример

Перед тем, как привести методику расчета определителя в общем виде, введем понятие минора элемента определителя. Минор элемента определителя – это определитель, полученный из данного, путем вычеркивания всех элементов строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Для матрицы 3×3 следующего вида:

Минор M₂₃ будет выглядеть так:

Введем еще одно понятие – алгебраическое дополнение элемента определителя – это минор этого элемента, взятый со знаком плюс или минус:

В общем виде вычислить определитель матрицы можно через разложение определителя по элементам строки или столбца. Суть в том, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Для матрицы 3×3 это правило будет выполняться следующим образом:

Это правило распространяется на матрицы любой размерности.

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

На Python определитель посчитать очень просто. Создадим матрицу A размера 3×3 из приведенного выше численного примера:

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

Для вычисления определителя этой матрицы воспользуемся функцией

det() из пакета linalg.

>>> np.linalg.det(A)
-14.000000000000009

Мы уже говорили про особенность работы Python с числами с плавающей точкой, поэтому можете полученное значение округлить до -14.

Свойства определителя матрицы.

Свойство 1. Определитель матрицы остается неизменным при ее транспонировании:

➤Пример на Python

Для округления чисел будем использовать функцию round().

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> print(A.T)
[[-4 10 8]
[-1 4 3]
[ 2 -1 1]]

>>> det_A = round(np.linalg.det(A), 3)
>>> det_A_t = round(np.linalg.det(A.T), 3)
>>> print(det_A)
-14.0
>>> print(det_A_t)
-14.0

Свойство 2. Если у матрицы есть строка или столбец, состоящие из нулей, то определитель такой матрицы равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np. matrix('-4 -1 2; 0 0 0; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[ 0 0 0]
[ 8 3 1]]
>>> np.linalg.det(A)
0.0

Свойство 3. При перестановке строк матрицы знак ее определителя меняется на противоположный:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> B = np.matrix('10 4 -1; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> print(B)
[[10 4 -1]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]

>>> round(np.linalg.det(A), 3)
-14.0
>>> round(np.linalg.det(B), 3)
14.0

Свойство 4. Если у матрицы есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]
>>> np. linalg.det(A)
0.0

Свойство 5. Если все элементы строки или столбца матрицы умножить на какое-то число, то и определитель будет умножен на это число:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> k = 2
>>> B = A.copy()
>>> B[2, :] = k * B[2, :]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[16 6 2]]

>>> det_A = round(np.linalg.det(A), 3)
>>> det_B = round(np.linalg.det(B), 3)

>>> det_A * k
-28.0
>>> det_B
-28.0

Свойство 6. Если все элементы строки или столбца можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен сумме определителей двух соответствующих матриц:

➤ Пример на Python

>>> A = np. matrix('-4 -1 2; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> B = np.matrix('-4 -1 2; 8 3 2; 8 3 1')
>>> C = A.copy()
>>> C[1, :] += B[1, :]
>>> print(C)
[[-4 -1 2]
[ 4 2 4]
[ 8 3 1]]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[ 8 3 2]
[ 8 3 1]]
>>> round(np.linalg.det(C), 3)
4.0
>>> round(np.linalg.det(A), 3) + round(np.linalg.det(B), 3)
4.0

Свойство 7. Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменится:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> k = 2
>>> B = A.copy()
>>> B[1, :] = B[1, :] + k * B[0, :]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[ 2 2 3]
[ 8 3 1]]
>>> round(np. linalg.det(A), 3)
-14.0
>>> round(np.linalg.det(B), 3)
-14.0

Свойство 8. Если строка или столбец матрицы является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель такой матрицы равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> k = 2
>>> A[1, :] = A[0, :] + k * A[2, :]
>>> round(np.linalg.det(A), 3)
0.0

Свойство 9. Если матрица содержит пропорциональные строки, то ее определитель равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> k = 2
>>> A[1, :] = k * A[0, :]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-8 -2 4]
[ 8 3 1]]
>>> round(np. linalg.det(A), 3)
0.0

P.S.

Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

теоремы и примеры нахождения определителей

Содержание:

В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:

$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$

Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$

Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Слишком сложно?

Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.

Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$

$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$

Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. {1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$

Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$

$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. {2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$
$$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$
Ответ. $\Delta=-80$

Теорема Лапласа
Теорема
Пусть $\Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.
Пример
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
$$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$
$$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$
$$=-23+128+90=195$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$
Читать дальше: обратная матрица.
как найти минор матрицы 4х4
Вы искали как найти минор матрицы 4х4? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и минор 4 порядка, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти минор матрицы 4х4».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти минор матрицы 4х4,минор 4 порядка,минор порядка 3. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти минор матрицы 4х4. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, минор порядка 3).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти минор матрицы 4х4 Онлайн?
Решить задачу как найти минор матрицы 4х4 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Вычислить определитель матрицы 4х4 онлайн.
Данное решение сделано калькулятором, представленным на сайте.
Вычислим det A используя элементарные преобразования определителя.
det A = 1 1 -1 -1 =
2 18 -2 2
3 3 18 -3
4 5 6 -4
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -3. подробнее
1 1 -1 -1
2 18 -2 2
3 + 1 * ( -3) 3 + 1 * ( -3) 18 + ( -1) * ( -3) -3 + ( -1) * ( -3)
4 5 6 -4
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 1 1 -1 -1 =
2 18 -2 2
0 0 21 0
4 5 6 -4
Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее
1 1 -1 -1
2 18 -2 2
0 0 21 0
4 5 6 -4
Номер строки 3
Номер столбца 1 Элемент Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
( -1) ^{3 + 1} * 0 *
1 1 -1 -1
2 18 -2 2
0 0 21 0
4 5 6 -4
Номер строки 3
Номер столбца 2 Элемент Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
( -1) ^{3 + 2} * 0 *
1 1 -1 -1
2 18 -2 2
0 0 21 0
4 5 6 -4
Номер строки 3
Номер столбца 3 Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) ^{3 + 3} * 21 *
1 1 -1 -1
2 18 -2 2
0 0 21 0
4 5 6 -4
Номер строки 3
Номер столбца 4 Элемент Строку 3 и столбец 4
вычеркнули
( -1) ^{3 + 4} * 0 *
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= ( -1) ^{3 + 3} * 21 * 1 1 -1 =
2 18 2
4 5 -4
= 21 * 1 1 -1 =
2 18 2
4 5 -4
К элементам строки 3 прибавляем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -4. подробнее
1 1 -1
2 18 2
4 + 1 * ( -4) 5 + 1 * ( -4) -4 + ( -1) * ( -4)
Данное элементарное преобразование не изменит значение определителя.
= 21 * 1 1 -1 =
2 18 2
0 1 0
Разложим определитель по элементам строки 3. подробнее
Номер строки 3
Номер столбца 1 Элемент Строку 3 и столбец 1
вычеркнули
( -1) ^{3 + 1} * 0 *
Номер строки 3
Номер столбца 2 Элемент Строку 3 и столбец 2
вычеркнули
( -1) ^{3 + 2} * 1 *
Номер строки 3
Номер столбца 3 Элемент Строку 3 и столбец 3
вычеркнули
( -1) ^{3 + 3} * 0 *
Произведения суммируются. Если элемент равен нулю, то и произведение тоже равно нулю.
= 21 * ( -1) ^{3 + 2} * 1 * 1 -1 =
2 2
= — 21 * ( 1 * 2 — ( -1) * 2 ) =
= -84
ЛА. Определитель матрицы. Вычисление определителей
Теоретический минимум
Определитель (детерминант) возникает во многих разделах математики естественным образом. Вводится он обычно в рамках алгебры.
Например, можно начинать с систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для простоты ограничимся случаем двух уравнений с
двумя переменными:
.
Решить эту систему легко, например, выражая одну из переменных через другую и выполняя подстановку во второе уравнение.

Решение удобно представить в другом виде, для чего вводится следующее обозначение:
.
Так вводится определитель второго порядка. В таких обозначениях получим из (1)
.
Это частный случай формул Крамера, предназначенных для решения СЛАУ, число уравнений в которых совпадает с числом переменных.
Мы не останавливаемся здесь подробно на вопросе решения СЛАУ. Заметим только, что понятие определителя обобщается для большего
количества элементов.
Обобщение такое может быть сделано не одним способом. Возможен индуктивный метод, когда определитель третьего порядка
вводится через определитель второго порядка, определитель четвёртого порядка — через определитель третьего порядка и т.д.
Например, для определителя третьего порядка вводится следующее правило:
.
Сформулировать правило можно следующим образом. Берётся первый элемент первой строки, вычёркивается строка и столбец, которым
этот элемент принадлежит — остаётся определитель второго порядка. Следующий элемент первой строки берётся со знаком минус, снова
вычёркивается строка и столбец, которым принадлежит элемент, остаётся определитель. Наконец, третий элемент первой строки берётся со
знаком плюс, опять вычёркиваются содержащие его строка и столбец. Соответственно, правило легко обобщить на определитель любого порядка.
Последовательно берутся элементы первой строки, причём знаки, с которыми они входят в определитель, должны чередоваться. Затем
вычёркивается строка и столбец, в которые входит выбранный элемент, остаётся определитель на единицу меньшего порядка.
С точки зрения вычислений этот метод введения определителя не так плох, но для доказательств свойств детерминанта это определение
неудобно, поэтому используется другое определение. Чтобы прийти к нему, выпишем явно определитель третьего порядка.

Обратите внимание: все слагаемые можно записать в общем виде . Индексы могут принимать
значения 1, 2 или 3. Фактически мы перебираем все возможных варианты расстановки трёх чисел. Таких вариантов шесть: 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Слагаемых в определителе тоже шесть. Как определить знак, с которым войдёт в определитель слагаемое при данной расстановке индексов?
Возьмём за отправную точку слагаемое, в котором вторые индексы образуют последовательность 123 (элемент ).
Этот элемент входит со знаком плюс. Поменяем местами два вторых индекса, чтобы они образовали последовательность 213. Соответствующее
слагаемое входит в определитель со знаком минус. Если же мы в последовательности 123 дважды поменяем
местами индексы: , то получим слагаемое , входящее в определитель со знаком
плюс. Отсюда можно прийти к идее составления определителя на основе произведений его элементов, которые входят со знаком, определяемым
расстановкой индексов элементов в данном слагаемом. Сформулируем эту идею в общем виде для определителя порядка . Он будет состоять
из слагаемых вида , где индексы принимают значения от 1 до .
Вводится понятие перестановки индексов. Так называют упорядоченный набор чисел из чисел от 1 до без пропусков и повторений.
Два элемента перестановки образуют порядок, если при . В противном случае эти два элемента образуют инверсию.
Если в перестановке имеется чётное число инверсий, то она называется чётной, в противном случае — нечётной. Если мы меняем местами любые
два элемента перестановки, то это называется транспозицией. При транспозиции перестановка меняет свою чётность.
Теперь мы можем дать общее определение детерминанта. Введём в рассмотрение таблицу чисел (матрицу)
.
По определению её детерминантом называется число
,
где суммирование ведётся по всевозможным перестановкам , а — это число инверсий в перестановке .
Пример.
Определим, с каким знаком войдёт в определитель пятого порядка слагаемое .
Согласно общему определению нужно найти число инверсий в перестановке 34152. Удобнее всего делать это приведением перестановки к виду 12345,
считая при этом число транспозиций:
— 2 транспозиции
— 3 транспозиции
Итого 5 транспозиций, следовательно, перестановка была нечётная, и рассматриваемое слагаемое должно войти в определитель с минусом.
Переходим к свойствам определителя. Отметим, что здесь мы не останавливаемся на свойствах определителя, связанных с операциями над матрицами:
эти свойства обсудим позже.
1. При перестановке двух строк или столбцов определителя он меняет знак.
2. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
3. Если к строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец) определителя, умноженную на отличное от нуля число,
то определитель не изменится.
4. Из строки (столбца) определителя можно выносить множитель за знак определителя.
Следующие свойства приведут нас к тому определению детерминанта, с которого мы начали. Сначала введём терминологию. Минором
элемента называется определитель, полученный вычёркиванием из исходного определителя строки и столбца, содержащих элемент .
Алгебраическое дополнение элемента
.
Существует теорема разложения определителя по строке и по столбцу. Согласно этой теореме определитель равен сумме элементов одной строки
(одного столбца), умноженных на их алгебраические дополнения. Например,
.
Видно, что это и есть то индуктивное определение детерминанта, которое приводилось выше. Однако теорема о разложении определителя позволяет
вычислять детерминант разложение не только по первой строке, а по любой строке или любому столбцу — как удобнее.
Другое следствие теоремы о разложении определителя — теорема об определителе верхнетреугольной матрицы, т.е. матрицы вида
.
Детерминант такой матрицы равен произведению её диагональных элементов. Отсюда следует способ вычисления определителей высоких порядков.
Нужно допустимыми преобразованиями привести матрицу к верхнетреугольному виду и перемножить диагональные элементы. К преобразованиям
относится прибавление к строкам и столбцам определителя других строк и столбцов, умноженных на соответствующие числа. Проиллюстрируем это примерами.
Примеры вычисления определителей
Пример 1. Вычисление определителей матриц прямым разложением по строкам и столбцам.
Вычислить определитель
Один раз покажем вычисление по теореме разложения, однако на практике обычно лучше не применять такой способ к вычислению
определителей выше третьего порядка (если только в определителе нет большого количества нулей).
Во втором столбце есть два нуля, поэтому разложение проводим по второму столбцу:

Первый определитель третьего порядка вычисляем разложением по первой строке (впрочем, этот вариант ничем не лучше разложений по другим
строкам или столбцам). Второй определитель раскладываем по второй строке: там есть один нуль (с тем же успехом можно было раскладывать по
второму столбцу):

Пример 2. Простой пример вычисления определителя методом преобразований.
Вычислить определитель
.
В общем, ничто не мешает применить совсем простую формулу для определителя второго порядка, но хотелось бы сделать вычисления проще.
Для этого вычтем из второго столбца первый, вынесем из второго столбца 100:
.
Пример 3. Вычисление определителей матриц методом преобразований.
Вычислим тот же определитель, что и в первом примере, но с помощью допустимых преобразований. Совершённые преобразования будут
указываться после их проведения.

Из второй и четвёртой строк вычли первую строку, из третьей строки вычли первую, умноженную на 2. Затем вынесли из второй строки двойку.
Умножили вторую строку на 5, четвёртую строку — на 2. Чтобы определитель не изменился, разделили его на 10. Этими действиями мы приводим
определитель к ступенчатому виду.

Внесли дробь перед определителем во вторую строку, третью строку умножили на 12, четвёртую — на 7; прибавили к четвёртой строке третью,
разделили третью строку на 12. Домножения и деления строк определителя сопровождались изменением множителя перед определителем.
Перемножение диагональных элементов и деление результата на 7 приводит к ответу 46 — в согласии с результатом вычислений в первом примере.
Может показаться, что мы ничего не выгадали по сравнению с первым примером, пользуясь методом преобразований. Иногда, действительно, вычисления
и тем, и другим способами примерно одинаковы по сложности. Разница становится очевидна при вычислении определителей бòльших порядков
или при отсутствии нулей среди элементов матрицы (см. далее).
Пример 4. Определитель матрицы без нулевых элементов.
Вычислить определитель
Применяем метод преобразований.

Умножили вторую, третью, четвёртую строки на 3 и вычли из них первую строку; вынесли из второй, третьей и четвёртой строк 2.

Умножили третью и четвёртую строки на 4, вычли из них вторую строку; вынесли из третьей и четвёртой строк 3.

Четвёртую строку умножили на 5 и вычли из неё третью строку.
Вычисление расписано очень детально, поэтому может показаться, что оно очень длинно. Между тем непосредственное разложение по строке
не будет короче и к тому же может быть связано с чисто арифметическими вычислительными ошибками.
Пример 5. Вычисление определителя пятого порядка.
Вычислить определитель
.
Хотелось бы сразу пояснить, что раскладывать этот определитель по строкам или столбцам — значит иметь дело с слагаемыми.
Поэтому будем преобразовывать определитель. Выкладки не будут столь детальны, как прежде. Рекомендуется проделать вычисления самостоятельно,
а ответ сравнить с полученным здесь:

Нужно подчеркнуть, что показанный метод, конечно же, не единственный возможный. Необязательно упорно приводить матрицу к ступенчатому
виду. Можно комбинировать метод преобразований с разложением по строкам и столбцам, получая нули там, где это удобнее для вычислений.
Здесь продемонстрирован метод последовательного приведения к ступенчатому виду матрицы.
Замечания.
1. В высшей алгебре приводится ещё один способ определения детерминанта, имеющий значительные преимущества по сравнению с приведёнными здесь. Он основан на использовании т.н. внешних произведений.
2. Теорема разложения имеет очень сильное обобщение — теорему Лапласа. Она заключается в возможности разложения определителя не только по строке, но и по минорам. Мы здесь не останавливаемся
на этой теореме.
Вычисление определителя матрицы в EXCEL. Примеры и описание
Вычислим определитель (детерминант) матрицы с помощью функции МОПРЕД() или англ. MDETERM, разложением по строке/столбцу (для 3 х 3) и по определению (до 6 порядка).
Определитель матрицы (det) можно вычислить только для квадратных матриц, т. е. у которых количество строк равно количеству столбцов.
Для вычисления определителя в MS EXCEL есть специальная функция МОПРЕД() . В аргументе функции необходимо указать ссылку на диапазон ячеек (массив), содержащий элементы матрицы (см. файл примера ).
Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например A7:B8 , но и как массив констант , например =МОПРЕД({5;4:3;2}) . Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.
Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .
Для матриц порядка 2 можно определитель можно вычислить без использования функции МОПРЕД() . Например, для вышеуказанной матрицы выражение =A7*B8-B7*A8 вернет тот же результат.
Для матрицы порядка 3, например размещенной в диапазоне A16:C18 , выражение усложняется =A16*(B17*C18-C17*B18)-B16*(A17*C18-C17*A18)+C16*(A17*B18-B17*A18) (разложение по строке).
В файле примера для матрицы 3 х 3 определитель также вычислен через разложение по столбцу и по правилу Саррюса.
Свойства определителя
Теперь о некоторых свойствах определителя (см. файл примера ):
Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
Если в матрице все элементы хотя бы одной из строк (или столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю
Если переставить местами две любые строки (столбца), то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак)
Если все элементы одной из строк (столбца) умножить на одно и тоже число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k
Если матрица содержит строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель =0
det(А)=1/det(А ^-1 ), где А ^-1 — матрица обратная матрице А (А — квадратная невырожденная матрица).
Вычисление определителя матрицы по определению (до 6 порядка включительно)

СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОПРЕД() .
Как было показано выше для вычисления матриц порядка 2 и 3 существуют достаточно простые формулы и правила. Для вычисления определителя матриц более высокого порядка (без использования функции МОПРЕД() ) придется вспомнить определение:
Определителем квадратной матрицы порядка n х n является сумма, содержащая n! слагаемых ( =ФАКТР(n) ). Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А . Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1) , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.
где ( α ₁ , α ₂ ,…, α _n ) — перестановка чисел от 1 до n , N( α ₁ , α ₂ ,…, α _n ) — число инверсий в перестановке , суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n .
Попытаемся разобраться в этом непростом определении на примере матрицы 3х3.
Для матрицы 3 х 3, согласно определения, число слагаемых равно 3!=6, а каждое слагаемое состоит из произведения 3-х элементов матрицы. Ниже приведены все 6 слагаемых, необходимых для вычисления определителя матрицы 3х3:
а21*а12*а33
а21*а32*а13
а11*а32*а23
а11*а22*а33
а31*а22*а13
а31*а12*а23
а21, а12 и т. д. — это элементы матрицы. Теперь поясним, как были сформированы индексы у элементов, т.е. почему, например, есть слагаемое а11*а22*а33, а нет а11*а22*а13.
Посмотрим на формулу выше (см. определение). Предположим, что второй индекс у каждого элемента матрицы (от 1 до n) соответствует номеру столбца матрицы (хотя это может быть номер строки (это не важно т.к. определители матрицы и ее транспонированной матрицы равны). Таким образом, второй индекс у первого элемента в произведении всегда равен 1, у второго — 2, у третьего 3. Тогда первые индексы у элементов соответствуют номеру строки и, в соответствии с определением, должны определяться из перестановок чисел от 1 до 3, т.е. из перестановок множества (1, 2, 3).
Теперь понятно, почему среди слагаемых нет а11*а22*а13, т.к. согласно определения ( в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А ), а в нашем слагаемом нет элемента из строки 3.
Примечание : Перестановкой из n чисел множества (без повторов) называется любое упорядочивание данного множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Например, дано множество их 3-х чисел: 1, 2, 3. Из этих чисел можно составить 6 разных перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). См. статью Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL
Число перестановок множества из 3-х чисел =3!=6 (что, конечно, равно числу слагаемых в выражении для расчета определителя, т.к. каждому слагаемому соответствует своя перестановка). Для матрицы 3х3 все перестановки приведены в примечании выше. Можно убедиться, что в каждом слагаемом первые индексы у элементов равны соответствующим числам в перестановке. Например, для слагаемого а21*а12*а33 использована перестановка (2, 1, 3).
СОВЕТ : Для матрицы 4 порядка существует 4! перестановок, т.е. 26, что соответствует 26 слагаемым, каждое из которых является произведением различных 4-х элементов матрицы. Все 26 перестановок можно найти в статье Перебор всех возможных Перестановок в MS EXCEL .
Теперь, когда разобрались со слагаемыми, определим множитель перед каждым слагаемым (он может быть +1 или -1). Множитель определяется через четность числа инверсий соответствующей перестановки.
Примечание : Об инверсиях перестановок (и четности числа инверсий) можно почитать, например, в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL
Например, первому слагаемому соответствует перестановка (2, 1, 3), у которой 1 инверсия (нечетное число) и, соответственно, -1 в степени 1 равно -1. Второму слагаемому соответствует перестановка (2, 3, 1), у которой 2 инверсии (четное число) и, соответственно, -1 в степени 2 равно 1 и т. д.
Сложив все слагаемые: (-1)*(а21*а12*а33)+(+1)*(а21*а32*а13)+(-1)*(а11*а32*а23)+(+1)*(а11*а22*а33)+(-1)*(а31*а22*а13)+(+1)*(а31*а12*а23) получим значение определителя.
В файле примера на листе 4+, и зменяя порядок матрицы с помощью элемента управления Счетчик , можно вычислить определитель матрицы до 6 порядка включительно.
Следует учитывать, что при вычислении матрицы 6-го порядка в выражении используется уже 720 слагаемых (6!). Для 7-го порядка пришлось бы сделать таблицу для 5040 перестановок и, соответственно, вычислить 5040 слагаемых! Т.е. без использования МОПРЕД() не обойтись (ну, или можно вычислить определитель вручную методом Гаусса).
Миноров матричного калькулятора
Поиск инструмента
Младшие в матрице
Инструмент для вычисления миноров матрицы, то есть значений определителей ее квадратных подматриц (удаление одной строки и одного столбца исходной матрицы).
Результаты
Миноры матрицы — dCode
Тэги: Matrix
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Младший калькулятор матрицы NxN
Ответы на вопросы (FAQ)
Что такое матричный минор? (Определение)
Миноры квадратной матрицы $ M = m_ {i, j} $ размера $ n $ — это определители квадратных подматриц, полученных удалением строки $ i $ и столбца $ j $ из $ M $.
Иногда второстепенные элементы определяются путем удаления противоположных строк и столбцов (например, строки $ n-i $ и столбца $ n-j $).
Как рассчитать матрицу миноров?
Для квадратной матрицы порядка 2 поиск миноров — это вычисление матрицы сомножителей без коэффициентов.
Для больших матриц, таких как 3×3, вычислите детерминанты каждой подматрицы.
Пример: $$ M = \ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} $$
Определитель подматрицы, полученной путем удаления первой строки и первого столбца: $ ei-fh $$, сделайте то же самое для всех комбинаций строк и столбцов.
В чем разница между второстепенным и сомножителем?
Для квадратной матрицы минор идентичен сомножителю, за исключением знака (действительно, сомножители могут иметь знак — в зависимости от их положения в матрице). Несовершеннолетние не принимают этот знак минус.
Задайте новый вопрос
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Незначительные элементы матрицы». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любых алгоритмов, апплетов или фрагментов «Незначительные части матрицы» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любые другие. Незначительные функции Матрицы (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)), и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Незначительных элементов матрицы» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
Вопросы / комментарии
Сводка
Похожие страницы
Поддержка
Форум / Справка
Ключевые слова
минор, матрица, определитель, квадрат
Ссылки

Источник: https: // www.dcode. fr/matrix-minors
© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.
Незначительный и сомножитель | Суперпроф
В этой статье мы обсудим, как вычислить миноры и сомножители матриц. Итак, начнем с минора матрицы.
Минор матрицы
Чтобы найти минор матрицы, мы берем определитель каждой меньшей матрицы, полученный путем удаления соответствующих строк и столбцов каждого элемента в матрице.Поскольку в больших матрицах есть много строк и столбцов с несколькими элементами, мы можем сделать много миноров из этих матриц. Мы маркируем этих несовершеннолетних в соответствии со строкой и столбцом, к которым они принадлежат.
Мы знаем, что квадратная матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов. Он может иметь форму 2×2 или 3×3. У каждого элемента квадратной матрицы есть минор.
Например, рассмотрим следующую простую квадратную матрицу:
Чтобы найти минор каждого элемента, мы удалим соответствующую строку и столбец каждого элемента и запишем миноры в обозначении матрицы.
После записи матрицы в приведенной выше форме мы найдем определитель каждой матрицы, чтобы вычислить минор матрицы.
Лучшие преподаватели по математике
Первый урок бесплатно
Пример 1
Вычислите минор следующей матрицы:
Решение
Запишите матрицу в следующей форме. Приведенная ниже матрица получается путем исключения соответствующей строки и столбца каждого элемента.
Теперь мы вычислим определитель каждой меньшей квадратной матрицы. Мы знаем, что определитель квадратной матрицы
обозначается и рассчитывается следующим образом:
Результирующая матрица будет:
Пример 2
Вычислить младшие элементы следующей матрицы:
Решение
Удалите соответствующую строку и столбец каждого элемента, чтобы записать матрицу в следующей форме:
Теперь найдите определитель квадратной матрицы меньшего размера, чтобы найти миноры всех элементов в матрице:
Кофактор
Кофактор матрицы связан с ее второстепенным. После вычисления младшего
мы складываем два числа a и b. Число, полученное в результате сложения этих двух чисел, становится значением степени -1. Он обозначается как:
Здесь
является второстепенным и представляет собой сомножитель.
Еще один более простой способ понять кофактор матрицы 3×3 — это рассмотреть следующее правило.
После нахождения минора матрицы мы меняем знаки в соответствии с этим правилом, чтобы получить кофактор матрицы:
Помните, что это правило действует для матрицы 3×3.
Мы вычислим сомножители матриц в примерах 1 и 2.
Кофактор из примера 1
В примере 1 нам дана следующая матрица:
Мы нашли ее второстепенные, исключив соответствующие строки и столбцы каждого элемента. Результирующие миноры полученной матрицы были:
Теперь мы применим это правило
, чтобы изменить знак каждого элемента в приведенной выше матрице.
Вышеупомянутая матрица является кофактором матрицы
.
Кофактор из примера 2
В примере 2 нам была дана следующая матрица:
Миноры элементов, полученные после исключения соответствующей строки и столбца каждого элемента, были ниже:
Теперь применим это правило
. Использование этого правила для изменения знаков элементов матрицы дает сомножители.
Следовательно, указанная выше матрица является кофактором матрицы.
Отношения младших и сомножителей с другими матричными концепциями
Вам может быть интересно, какой толк от этой громоздкой процедуры нахождения младших и сомножителей матриц. Что ж, эти две концепции относятся к другим концепциям матриц. Кофакторы и миноры используются для вычисления сопряженных и обратных матриц. Сопряженная матрица вычисляется путем транспонирования сомножителей матрицы.Они также упрощают процедуру нахождения определителей больших матриц, например, матрицы порядка 4×4.
Обратное правило
Мы используем следующее правило для вычисления обратной матрицы с использованием ее определителя и сомножителей:
Здесь
представляет собой обратную матрицу
представляет собой определитель матрицы
представляет матрицу кофакторов
представляет собой транспонированную матрицу кофакторов.Транспонирование матрицы кофакторов называется дополнением матрицы.
Это правило гласит, что обратная матрица равна умножению обратной величины ее определителя на адъюгат A.
PANCHAKOT MAHAVIDYALAYA Система управления электронным обучением
PANCHAKOT MAHAVIDYALAYA Система управления электронным обучением
Система управления электронным обучением
Вернуться на панчакотмв.com | Вход администратора
Ботаника Бенгальский Торговля
Химия Английский ENVS — Искусство / Наука / Торговля
Компьютерные науки Хинди БИБЛИОТЕКА (онлайн)
География История ВСТРЕЧА / ВЕБИНАР
Математика Философия ОНЛАЙН КЛАСС
Физика Политология
Зоология Санскрит
Сантали
линейная алгебра — Помогите найти определитель матрицы 4×4?
Извините за отсутствие обозначений, но за работой должно быть легко следить, если вы знаете, что делаете. Хорошо, моя проблема в том, что в книге говорится, что это можно сделать, расширив любой столбец или строку, но единственный способ получить то, что книга делает в их практическом примере, — это выбрать строку, которую они выбрали. Меня это беспокоит. Поскольку я должен уметь делать это так, как считаю нужным. Я опубликую свою работу, и кто-нибудь укажет на проблему в моей работе. Матрица выглядит следующим образом:
$$ A = \ left ( \ begin {matrix} 5 и -7 и 2 и 2 \\ 0 и 3 и 0 и -4 \\ -5 & -8 & 0 & 3 \\ 0 и 5 и 0 и -6 \\ \ end {matrix} \ right)
$
Я решил развернуть строку по первой и вычеркнуть столбцы, когда нашел несовершеннолетних.2 = 1 $. Это должно быть умножено на детерминант несовершеннолетнего. Теперь найдя определитель, я сделал:
3 раза $$ \ begin {pmatrix} 0 и 3 \\ 0 & -6 \\ \ end {pmatrix} $$ что дает $ 3 (0-0) = 0 $ затем:
0 раз $$ \ begin {pmatrix} -8 & 3 \\ 5 & -6 \\ \ end {pmatrix}
$
дает 0 (48-15) = 0
Тогда: 4 раза $$ \ begin {pmatrix} -8 & 0 \\ 5 & 0 \\ \ end {pmatrix} $$ что дает 4 доллара (0-0) = 0 долларов складывая определители, получаем $ 0 + 0 + 0 = 0 $ Итак, det M1 $ = 0 (1) = 0 $
M2 -> M (1,2) —> $ -1 ^ 1 + 2 = -1 ^ 3 = -1 $
$$ \ begin {pmatrix} 0 & 0 & -4 \\ -5 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ \ end {pmatrix}
$
о * $$ \ begin {pmatrix} 0 и 3 \\ 0 & -6 \\ \ end {pmatrix} $$ что дает 0 (0-0) = 0
$
, очевидно, следующая матрица будет выглядеть так же, как верхний член во втором столбце — ноль, поэтому определитель для этого будет $ 0 $. 4 = 1 9000 долларов США. 3
$$ \ begin {pmatrix} 0 и 3 и -4 \\ -5 и -8 и 3 \\ 0 и 5 и -6 \\ \ end {pmatrix}
$
для определителя:
0 раз $$ \ begin {pmatrix} -8 & 3 \\ 5 & -6 \\ \ end {pmatrix} $$ что дает $ 0 (48-15) = 0 $
-3 раза $$ \ begin {pmatrix} -5 & 3 \\ 0 & -6 \\ \ end {pmatrix}
$
, что дает -3 (30-0) = -90 $
излишне продолжать, потому что после окончательного вычисления для этого второстепенного значения я получаю -100 и в результате получаю det M3 = -190 и получаю определитель нулей для следующего определителя M4.что дает: $ 0 (5) + 0 (-7) + (-90) (2) + (0) (2) $, что дает Det Ax $ = -380. $ В книге указано, что это 20 долларов, и когда я сделал это в калькуляторе, они получили 20, но проблема в том, что и книга, и калькулятор расширяются по строке с наибольшим количеством нулей, но теоретически НЕ ВАЖНО, КАКАЯ строка или столбец, который вы выбрали для расширения, должны получить тот же ответ. Так что это? Мои вычисления неверны или я ошибаюсь в предположении, что вы можете расширить любую строку или столбец? Разве это не важно, только если определитель не равен нулю? или имеет ли значение точное значение в более сложных случаях?
Математика — Матричная алгебра — Определители
Определитель — это скалярное число, которое вычисляется из матрицы.Это число может определить, разрешима ли система линейных уравнений, другими словами, можно ли инвертировать матрицу.
Расчет определителя
Формула для определителя показана здесь:
Обозначение
Это скалярное число представлено матрицей с вертикальными линиями с каждой стороны: | M |
Альтернативные подходы
Как и многие математические концепции, есть разные способы понимания детерминантов:
Решение линейных уравнений
Если у нас есть n уравнений с n неизвестными, то мы можем решить эти уравнения при условии, что все эти уравнения независимы, если они не являются, тогда одно уравнение выводится из другого и, следовательно, не предоставляет никакой дополнительной информации.
Геометрическая интерпретация
Детерминанты, возможно, наиболее часто связаны с матрицами, но у него есть геометрическая интерпретация, которая полностью не зависит от матриц (эта геометрическая интерпретация обсуждается на этой странице).
Независимость векторов (ортогональность)
Возможно, мы получили ключ к этой геометрической интерпретации, когда посмотрели на вращения, чистые вращения всегда имеют детерминант, равный единице.Это связано с ситуацией, когда у нас есть набор единичных векторов, которые взаимно отклонены, определитель матрицы, сформированной из этих векторов, равен единице.
Объем, заключенный в векторы
| М | — объем, заключенный между векторами. Однако знак имеет значение, он может быть отрицательным, если нечетное количество координат инвертируется, «объем» будет отрицательным.
Это связано с трехвектором трехмерной алгебры Клиффорда.
Используется для вычисления обратной матрицы
Формула для вычисления обратной матрицы [M] включает умножение на скалярный множитель 1 / | M | так что если | M | = 0 все компоненты обратного будут равны бесконечности, что в этом случае указывает на то, что [M] не имеет обратного.
Оценка детерминантов с помощью рекурсии
Мы можем вычислить определитель n × n из матрицы (n-1) × (n-1) и так далее, пока определитель матрицы 1 × 1 не будет сам по себе.Этот рекурсивный метод также известен как расширение по младшим.
Сначала немного терминологии: если мы удалим одну строку и один столбец, оставшийся определитель называется второстепенным, а элемент на пересечении удаляемых строк и столбцов известен как кофактор.
м11 м12 м13
м21 м22 м23
м31 м32 м33
где:
Для рекурсивной оценки определителя мы сначала выбираем любую строку или столбец, а затем превращаем каждый член в строке или столбце в кофактор.
Определитель вычисляется как сумма младших элементов, умноженная на связанные с ними сомножители (чередующиеся знаки), взятые для выбранной строки или столбца.
| A | = ∑ aij · Cij
где:
aij = младший элемент A (строка i и столбец j удалены)
Cij = сомножитель (со знаком) = (−1) ^{i + j} · mij
mij = элемент в строке i и столбце j
Пример матрицы 3×3
Определитель:
м11 м12 м13
м21 м22 м23
м31 м32 м33
рассчитывается из
первый семестр второй семестр третий срок
знак + – +
кофактор м11 м12 м13
второстепенный (удалить термины с желтым фоном)
м11 м12 м13
м21 м22 м23
м31 м32 м33
м11 м12 м13
м21 м22 м23
м31 м32 м33
м11 м12 м13
м21 м22 м23
м31 м32 м33
, получаем
m11 м12 м13
м21 м22 м23
м31 м32 м33
= m11 — м12 + м13
и переход на следующий уровень дает:
| М | = m11 m22 m33 + m12 m23 m31 + m13 m21 m32 — m11 m23 m32 — m12 m 21 m33 — м13 м22 м31
Расширение Лапласа
Мы можем развернуться по любому столбцу (j = 1,2. . п):
n
дет (М) = Σ M _ij C _ij
я = 1
или любой ряд (j = 1,2 .. n):
n
дет (М) = Σ M _ji C _ji
я = 1
где:
M _ij = вспомогательный элемент ij
C _ji = сомножители элемента ij = (-1) ^{i + j} M _ij
Свойства детерминантов
Все матрицы вращения имеют определители 1
Например | R | = cos (a) ² + sin (a) ² = 1
Использование определителей для решения одновременных уравнений
Для 3 неизвестных
x
-лет
z
-1
m01 кв. м. v0
м11 м12 v1
м21 м22 v2
m00 кв.м. v0
м10 м12 v1
м20 м22 v2
m00 m01 v0
м10 м11 v1
м20 кв.м 21 v2
m00 m01 кв.м.
м10 м11 м12
м20 кв. м 21 м22
Определители и алгебра Клиффорда
= A / \ B = псевдоскалярный множитель
Детерминанты и алгебра Клиффорда обсуждаются на этой странице.(i-1) * a1i * определитель (Minor [1] [i], n-1) } возврат d Калькулятор матрицы кофакторов
— eMathHelp
Калькулятор найдет матрицу сомножителей данной квадратной матрицы с указанными шагами.
Ваш ввод
Найдите матрицу кофакторов $$$ \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \ end {array } \ right] $$$.{3 + 3} \ left | \ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 4 & 5 \ end {array} \ right | = -3 $$$ (шаги см. В калькуляторе определителя).
Таким образом, матрица кофакторов равна $$$ \ left [\ begin {array} {ccc} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ — 3 & 6 & -3 \ end {array } \ right] $$$.
Ответ
Матрица кофакторов: $$$ \ left [\ begin {array} {ccc} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ — 3 & 6 & -3 \ конец {массив} \ right] $$$ A.
Детерминанты и правило Крамера | Безграничная алгебра
Определители квадратных матриц 2 на 2
Определитель квадратной матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс] — это математическая конструкция, используемая при решении задач, которая находится по специальной формуле.
Цели обучения
Попрактикуйтесь в нахождении определителя матрицы [латекс] 2 \ умножить на 2 [/ латекс]
Основные выводы
Ключевые моменты
Определитель [latex] 2 \ times 2 [/ latex] матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [ /латекс].
Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений.
Любая матрица имеет уникальную обратную, если ее определитель отличен от нуля.
Ключевые термины
определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является распределительной по матричному умножению, полилинейна по строкам и столбцам и принимает значение 1 для единичной матрицы. Его аббревиатура — «[латекс] \ det [/ latex]».
Что такое определитель?
Матрица часто используется для представления коэффициентов в системе линейных уравнений, а определитель может использоваться для решения этих уравнений.Использование определителей в исчислении включает определитель Якоби в правило замены переменных для интегралов от функций нескольких переменных. Определители также используются для определения характеристического полинома матрицы, что важно для задач на собственные значения в линейной алгебре. В аналитической геометрии детерминанты выражают подписанные [латекс] n [/ латекс] -мерные объемы [латекс] n [/ латекс] -мерных параллелепипедов. Иногда детерминанты используются просто как компактная запись для выражений, которые в противном случае было бы неудобно записывать.
Можно доказать, что любая матрица имеет единственную обратную матрицу, если ее определитель отличен от нуля. Также могут быть доказаны различные другие теоремы, в том числе то, что определитель произведения матриц всегда равен произведению определителей; и определитель эрмитовой матрицы всегда действительный.
Определитель матрицы [латекс] [A] [/ латекс] обозначается [латекс] \ det (A) [/ latex], [латекс] \ det \ A [/ latex] или [латекс] \ left | А \ правый | [/ латекс]. В случае, когда элементы матрицы записаны полностью, определитель обозначается путем окружения элементов матрицы вертикальными чертами вместо скобок или круглых скобок матрицы.
Например, определитель матрицы [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ d & e \ end {bmatrix} [/ latex] записывается [latex] \ begin {vmatrix} a & b \\ d & e \ end {vmatrix} [/ латекс].
Определитель матрицы 2 на 2
В линейной алгебре определитель — это значение, связанное с квадратной матрицей. Его можно вычислить из элементов матрицы с помощью определенного арифметического выражения, показанного ниже:
Для матрицы [latex] 2 \ times 2 [/ latex], [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ latex],
определитель [латекс] \ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix} [/ latex] определяется как [latex] ad-bc [/ latex].
Пример 1. Найдите определитель следующей матрицы:
[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {bmatrix} [/ latex]
Определитель [латекс] \ begin {vmatrix} 4 & -2 \\ 7 & 5 \ end {vmatrix} [/ latex]:
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} (4 \ cdot 5) — (-2 \ cdot 7) & = 20 — (-14) \\ & = 34 \ end {align} [/ latex]
Кофакторы, второстепенные и другие детерминанты
Кофактор записи [latex] (i, j) [/ latex] матрицы [latex] A [/ latex] является минорным знаком этой матрицы.
Цели обучения
Объясните, как использовать вспомогательные матрицы и матрицы сомножителей для вычисления определителей
Основные выводы
Ключевые моменты
Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] — целое число с [latex] 0 [Латекс] k \ times k [/ latex] минор [latex] A [/ latex] является определителем матрицы [latex] k \ times k [/ latex], полученной из [latex] A [/ latex] посредством удаление строк [latex] mk [/ latex] и столбцов [latex] nk [/ latex].{i + j} M_ {ij} [/ латекс].
Ключевые термины
кофактор : минор со знаком записи матрицы.
второстепенный : определитель некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из матрицы [latex] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов.
Кофактор и младший: определения
Кофактор
В линейной алгебре сомножитель (иногда называемый дополнительным) описывает конкретную конструкцию, которая полезна для вычисления как определителя, так и обратного значения квадратных матриц.{i + j} M_ {ij} [/ латекс]
Незначительный
Чтобы узнать, что такое минор со знаком, нам нужно знать, что такое минор матрицы. В линейной алгебре минор матрицы [latex] A [/ latex] является определителем некоторой меньшей квадратной матрицы, вырезанной из [latex] A [/ latex] путем удаления одной или нескольких ее строк или столбцов. Миноры, полученные путем удаления только одной строки и одного столбца из квадратных матриц (первые миноры), необходимы для вычисления сомножителей матрицы .
Пусть [latex] A [/ latex] представляет собой матрицу [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] k [/ latex] — целое число с [latex] 0
Вычислить определитель
Определитель любой матрицы можно найти с помощью миноров со знаком. Определитель — это сумма минорных значений со знаком любой строки или столбца матрицы, масштабируемая элементами в этой строке или столбце.
Вычисление несовершеннолетних
Для нахождения определителя заданного минора матрицы A используются следующие шаги:
Выберите запись [latex] a_ {ij} [/ latex] из матрицы.
Вычеркните записи, которые лежат в соответствующей строке [latex] i [/ latex] и столбце [latex] j [/ latex].
Перепишите матрицу без отмеченных записей.
Получите определитель этой новой матрицы.
[латекс] M_ {ij} [/ latex] называется второстепенным для входа [latex] a_ {ij} [/ latex].
Примечание. Если [latex] i + j [/ latex] — четное число, кофактор совпадает со своим младшим числом: [latex] C_ {ij} = M_ {ij} [/ latex]. В противном случае он равен аддитивной инверсии своего минорного значения: [latex] C_ {ij} = — M_ {ij} [/ latex]
Расчет определителя
Мы найдем определитель следующей матрицы A, вычислив определители ее сомножителей для третьего, крайнего правого столбца, а затем умножив их на элементы этого столбца.
[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 & 11 \\ \ end {bmatrix} [/ latex]
В качестве примера мы вычислим определитель второстепенного [латекса] M_ {23} [/ latex], который является определителем матрицы [латекс] 2 \ times 2 [/ latex], образованной удалением [латекса] 2 [/ latex] ряд и [latex] 3 [/ latex] столбец. Черная точка представляет собой удаляемый элемент.
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ begin {vmatrix} 1 & 4 & \ bullet \\ \ bullet & \ bullet & \ bullet \\ -1 & 9 & \ bullet \ end {vmatrix} & = \ begin {vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \ end {vmatrix} \\ & = (9 — (- 4)) \\ & = 13 \ end {align} [/ latex]
Поскольку [latex] i + j = 5 [/ latex] является нечетным числом, кофактор является аддитивным, обратным его второстепенному значению: [latex] — (13) = — 13 [/ latex]
Умножаем это число на [latex] a_ {23} = 5 [/ latex], получая [latex] -65 [/ latex].
Тот же процесс выполняется для нахождения детерминантов [латекс] C_ {13} [/ latex] и [latex] C_ {33} [/ latex], которые затем умножаются на [латекс] a_ {13} [/ латекс] и [латекс] а_ {33} [/ латекс] соответственно. Затем определитель находится путем суммирования всего этого:
[латекс] \ begin {align} \ det {A} & = a_ {13} \ det {C_ {13}} + a_ {23} \ det {C_ {23}} + a_ {33} \ det {C_ {33}} \\ & = 7 \ cdot27-5 \ cdot13 + 11 \ cdot-12 \\ & = — 8 \ end {align} [/ latex]
Правило Крамера
Правило Крамера использует определители для решения уравнения [латекс] Ax = b [/ latex], когда [latex] A [/ latex] представляет собой квадратную матрицу.
Цели обучения
Используйте правило Крамера, чтобы найти единственную переменную в системе линейных уравнений
Основные выводы
Ключевые моменты
Правило Крамера работает только с квадратными матрицами, которые имеют ненулевой определитель и уникальное решение.
Рассмотрим линейную систему [латекс] \ left \ {\ begin {matrix} ax + by & = {\ color {Red} e} \\ cx + dy & = {\ color {Red} f} \ end {matrix} \ right. [/ latex], который в формате матрицы имеет вид [latex] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex]. Предположим, что определитель не равен нулю. Затем [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера: [latex] x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex] и [latex] y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix }} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ латекс ].
Правило Крамера эффективно для решения небольших систем и может быть вычислено довольно быстро; однако по мере роста системы вычисление новых детерминантов может быть утомительным.
Ключевые термины
определитель : Уникальная скалярная функция над квадратными матрицами, которая является распределительной по матричному умножению, полилинейна по строкам и столбцам и принимает значение [latex] 1 [/ latex] для единичной матрицы. Его аббревиатура — «[латекс] \ det [/ latex]».
квадратная матрица : матрица, имеющая такое же количество строк, как и столбцов.
«Правило Крамера» — еще один способ решения системы линейных уравнений с матрицами.Он использует формулу для вычисления решения системы с использованием определения определителей.
Правило Крамера: определение
Правило Крамера — это явная формула для решения системы линейных уравнений с таким же количеством уравнений, сколько и неизвестных, то есть квадратная матрица, действительная во всех случаях, когда система имеет уникальное решение. Он выражает решение в терминах определителей (квадратной) матрицы коэффициентов и матриц, полученных из нее путем замены одного столбца вектором правых частей уравнений.
Правило Крамера: формула
Правила для [латексной] 2 \ умноженной на 2 [/ латексной] матрицы
Рассмотрим линейную систему:
[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color {Red} e} \\ {\ color {Red} f} \ end {bmatrix} [/ latex]
Предположим, что определитель не равен нулю. Тогда [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] можно найти по правилу Крамера:
[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} [/ latex]
А:
[латекс] \ displaystyle y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \ \ c & d \ end {vmatrix}} = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} [/ latex]
Правила для [латексной] 3 \ умноженной на 3 [/ латексной] матрицы
Дано:
[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} {\ color { Красный} j} \\ {\ color {Red} k} \\ {\ color {Red} l} \ end {bmatrix} [/ latex]
Тогда значения [латекс] x [/ латекс], [латекс] y [/ латекс] и [латекс] z [/ латекс] могут быть найдены следующим образом:
[латекс] \ displaystyle x = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} j} & b & c \\ {\ color {Red} k} & e & f \\ {\ color {Red} l} & h & i \ end { vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad y = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} j} & c \\ d & {\ color {Red} k} & f \\ g & {\ color {Red} l} & i \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} \ quad z = \ frac { \ begin {vmatrix} a & b & {\ color {Red} j} \\ d & e & {\ color {Red} k} \\ g & h & {\ color {Red} l} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b & c \ \ d & e & f \\ g & h & i \ end {vmatrix}} [/ латекс]
Использование правила Крамера
Пример 1.
Решите систему, используя правило Крамера:
[латекс] \ displaystyle \ left \ {\ begin {matrix} 3x + 2y & = 10 \\ -6x + 4y & = 4 \ end {matrix} \ right.[/ латекс]
В матричном формате:
[латекс] \ displaystyle \ begin {bmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 10 \\ 4 \ end {bmatrix} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} {\ color {Red} e} & b \\ {\ color {Red} f} & d \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {{\ color {Red} e} db {\ color {Red} f}} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {\ begin {vmatrix} 10 & 2 \\ 4 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {10 \ cdot 4-2 \ cdot 4} {(3 \ cdot 4) — [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {32} {24} = \ frac {4 } {3} \ end {align} [/ latex]
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} a & {\ color {Red} e} \\ c & {\ color {Red} f} \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} \\ & = \ frac {a {\ color {Red} f} — {\ color {Red} e} c} {ad-bc} \ end {align} [/ латекс]
[латекс] \ displaystyle \ begin {align} y & = \ frac {\ begin {vmatrix} 3 & 10 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} {\ begin {vmatrix} 3 & 2 \\ — 6 & 4 \ end {vmatrix}} \ \ & = \ frac {(3 \ cdot 4) — [10 \ cdot (-6)]} {(3 \ cdot 4) — [2 \ cdot (-6)]} \\ & = \ frac {72} {24} = 3 \ end {align} [/ latex]
Решение системы — [latex] (\ frac {4} {3}, 3) [/ latex].
No related posts.