ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° β ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
ΠΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π·Π΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ:
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
1. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΡΠΈΡΠ»Π°
2. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ z Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:z a i b,
Π³Π΄Π΅ Π° ΠΈ b β Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, i β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°,
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ:
i 1
i 2 1
Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° z,
b β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ. ΠΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
a Re z;
b Im z.
ΠΡΠ»ΠΈ Π° = 0, ΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ i b Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ.

ΠΡΠ»ΠΈ b = 0, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π°.
ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ
ΡΠ°ΡΡΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ:
z a i b,
z a i b,
3. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z a i b, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ XOY Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A(a; b).
ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°,
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
y
z
Π’ΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΎΡΠΈ OX,
A(a; b)
b
ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
(b = 0), ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΡΡ OX Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ
Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ.
a Ρ
0
Π’ΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΎΡΠΈ OY , ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
(a = 0), ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΡΡ OY Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ.
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ OA
4. Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· r ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° OA , ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Ο ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ OA ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ OX.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°:
y
z
a r cos ; b r sin
A(a; b)
b
r
0
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
Ο
a Ρ
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ
2ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
2
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ
arg z arctg
r zΡΠΈΡΠ»Π°
aΡΠΈΡΠ»Π°
b
ΡΠΎΡΠΌΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ
a
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΈΡΠ»Π° z ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ
ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ
ΠΎΠ½ ΠΎΡΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΈ OX ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²
ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ.

Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ 2 k k Z.
5. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
1Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° z1 a1 i b1 ΠΈ z2 a2 i b2
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ : z1 z2 , Π΅ΡΠ»ΠΈ a1 a2 , b1 b2
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z
ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° a 0,
2
a i b ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ , ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ
b 0
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π‘ΡΠΌΠΌΠΎΠΉ (ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡΡ) ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» z1 a1 i b1 ΠΈ
z2 a2 i b2 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅
ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
6. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ
ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
y
z
z1
z1 β z2
0
3
z1 + z2
z2
Ρ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» z1 a1 i b1 ΠΈ z2 a2
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎ
ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΡΡΠ»Π΅Π½Ρ, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠΎ
i 2 1;
i 3 i ;
i 4 i i 1;
i5 i
ΠΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ k:
i 4k 1;
i 4k 1 i ;
i 4k 2 1;
i 4k 3 i
i b2
7.

z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
z1 r1(cos 1 i sin 1) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»:
2
2
2
2
a
(
i
b
)
a
b
z z ( a i b ) (a i b )
z z a b z
2
2
2
8. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
4ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ z1 a1 i b1 Π½Π° z2 a2 i b2
Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅
Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
z1 a1 i b1
(a1 i b1 ) (a2 i b2 )
z2 a2 i b2 (a2 i b2 ) (a2 i b2 )
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) a1a2 b1b2
a2 b1 a1b2
i
2
2
2
2
a2 b2
a2 b2
a22 b22
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
z1 r1(cos 1 i sin 1)
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2
9.

z1 2 3i ,
z2 1 4i
= -1
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
2
2
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )
1 4
10 11
10 11i
2 3i 8i 12
i
17 17
17
17
10. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
5ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z r (cos i sin )
Π² ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ,
Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΡΠ°Π²ΡΠ°)
z n r n (cos n i sin n )
6
ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠΎΡΠ΅Π½Ρ n β ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
z r (cos i sin ) Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ·
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° r
11. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
nz r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
ΠΡΠΈΠ΄Π°Π²Π°Ρ k Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ 0, 1, 2, β¦,n β1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ n ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ.

ΠΠ»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ k Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ 2Ο, ΠΈ , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΠ΅ Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ n β ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ n
ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΠΎΡΠ΅Π½Ρ n β ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ n
Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ β ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π²
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
A A (cos 0 i sin0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)
12. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ1 cos 0 i sin0
3
(r 1; 0)
0 2k
0 2k
2k
2k
1 cos
i sin
cos
i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1 cos 0 i sin 0 1
3
3
2
2
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
y
z
Π
A
Ρ
Π‘
13.

z Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z.
w ez
ΠΈΠ»ΠΈ
w e x i y
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ w ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
e x i y e x (cos y i sin y )
z 2 i
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
e
2 i
4
(1)
4
e2 2
e2 2
e (cos i sin )
i
4
4
2
2
2
14. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (1) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ x = 0, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:ei y cos y i sin y
(2)
ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ°Ρ
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π·
ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (2) y Π½Π° β y:
e i y cos( y ) i sin( y ) e i y cos y i sin y (3)
Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Ρ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (2) ΠΈ (3) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ :
e e
cos y
2
iy
iy
e iy e iy
sin y
2i
15. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅::z r (cos i sin )
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°: cos i sin e i
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²ΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
z r e i
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅:
ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
i 2
z
r
e
.

z1 r1 e ; 2
2
i 1
z1 z2 r1 r2 e i 1 2 ;
z1 r1 i 1 2
e
;
z2 r2
zn r n ei n ;
z n r e
i
2 k
n
.
English Π ΡΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
| Microsoft Learn
Twitter LinkedIn Facebook ΠΠ΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΡ- Π‘ΡΠ°ΡΡΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½ complex
ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΉΠ½Π΅ΡΠ° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ.
Π’ΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
ΠΠ°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΊ: <ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ>
ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½: std
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ β ΡΡΠΎ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π ΡΠΈΡΡΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡΠΎΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π΅Π΅ Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ°. Π£ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ.
ΠΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ (a, b) + (c, d) = (ac + ,bd + )
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ (a, b) * (c, d) = (acbd β , adbc + )
ΠΠ°Π±ΠΎΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅:
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Ρ ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½Ρ, Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°Π΄ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (0, 0) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π°Π΄Π΄ΠΈΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡ, Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (1, 0) β ΠΌΡΠ»ΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΎΡ.
ΠΠ΄Π΄ΠΈΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° (a, b) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ (-a, βb), Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ (0, 0) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
(a/(a2b2 + ), βb/(a2b2 + ))
ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z = (a, b) Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ zabi + = , Π³Π΄Π΅
i2 = -1, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄Π»Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΊ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:(1 + 2i) * (2 + 3i) = 1 * (2 + 3i) + 2i * (2 + 3i) = (2 + 3i) + (4i + 6i2) = (2 β 6) + (3 + 4)i = -4 + 7i
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» β ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅. ΠΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ², ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ.
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z:
Π ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ a.
ΠΠ½ΠΈΠΌΡΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° r.
ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΡΠ°Π·Ρ p Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ .
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡΠ΅Π±ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ -Ο ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ +Ο, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Ρ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ , Π³Π΄Π΅ Π² ΠΊΡΡΠ³Π΅ Π΅ΡΡΡ 2Ο ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ (360 Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ²).
Π§Π»Π΅Π½Ρ
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠΌΡ | ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ |
---|---|
abs | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
acos | |
acosh | |
arg | ΠΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.![]() |
asin | |
asinh | |
atan | |
atanh | |
conj | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
cos | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
cosh | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
exp | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
imag | ΠΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
log | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
log10 | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
norm | ΠΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π½ΠΎΡΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
polar | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ, Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.![]() |
pow | ΠΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
proj | |
real | ΠΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
sin | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
sinh | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
sqrt | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
tan | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
ΡΠ°Π½Ρ | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠ±ΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. |
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΡ
ΠΠΌΡ | ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ |
---|---|
operator!= | ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Ρ Π½Π° Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠΈΠΏΠ° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.![]() |
operator* | Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠΈΠΏΠ° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ. |
operator+ | Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠΈΠΏΠ° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ. |
operator- | ΠΡΡΠΈΡΠ°Π΅Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠΈΠΏΠ° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ. |
operator/ | |
operator<< | Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π°, Π²ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΠΏΠΎΡΠΎΠΊ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π°. |
operator== | ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Ρ Π½Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ
ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΡΠΈΠΏΠ° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.![]() |
operator>> | Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π°, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΈΠ· Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ°. |
ΠΠ»Π°ΡΡΡ
name | ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ |
---|---|
complex<double> | Π―Π²Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Ρ
ΡΠ°Π½ΠΈΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
ΡΠΈΠΏΠΎΠ² double , Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ. |
complex<float> | Π―Π²Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Ρ
ΡΠ°Π½ΠΈΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
ΡΠΈΠΏΠΎΠ² float , Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ. |
complex<long double> | Π―Π²Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Ρ
ΡΠ°Π½ΠΈΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
ΡΠΈΠΏΠΎΠ² long double , Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ β ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ.![]() |
complex | Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ. |
ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°Π»Ρ
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ <> Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠΈΠ΅ Π»ΠΈΡΠ΅ΡΠ°Π»Ρ. ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°Π»Ρ ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°.
ΠΠ±ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ | ΠΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ |
---|---|
constexpr complex<long double> operator""il(long double d) constexpr complex<long double> operator""il(unsigned long long d) | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ: complex<long double>{0.0L, static_cast<long double>(d)} |
constexpr complex<double> operator""i(long double d) constexpr complex<double> operator""i(unsigned long long d) | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ complex<double>{0. . |
constexpr complex<float> operator""if(long double d) constexpr complex<float> operator""if(unsigned long long d) | ΠΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ complex<float>{0.0f, static_cast<float>(d)} . |
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»
Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΠΉΠ»Π°ΠΌ Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠ²
ΠΠ΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠΎΠ² Π² ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡΠ΅ΠΊΠ΅ C++
ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°) ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½
ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°
ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π² dCode ΠΏΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌ:ΠΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² dCode
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° |z| (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅): Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ z
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° β dCode
Π’Π΅Π³ΠΈ: ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°, ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡΡ
dCode ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅
ΠΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° dCode Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½Π°, Π° Π΅Π΅ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΈΠ³ΡΠ°Ρ
, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, Π³Π΅ΠΎΠΊΡΡΠΈΠ½Π³Π΅, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΊΠ°Ρ
ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ
, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ!
ΠΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ? ΠΡΠΊ ? ΠΈΠ΄Π΅Ρ ? ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ Π² dCode !
ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅)
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ z Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅: ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° $ r $ 9{i\pi} $ has for modulus $ 2 $ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°?
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ΅Π½ Π΅Π³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: $ |-3| = 3 $
ΠΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ?
ΠΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» $ z, z_1, z_2 $ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ:
$$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$
$$ \ΡΠ»Π΅Π²Π°| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad z_2 \ne 0 $$
$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| $$
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ):
$$ |z| \ge 0 $$
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ:
$$ |\overline z|=|z| $$
ΠΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ΄
dCode ΡΠΎΡ
ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π° ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ΄ Β«Complex Number Modulus/MagnitudeΒ». ΠΠ° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΠΈ Ρ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΠΌ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Creative Commons/Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΠΎ), Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°Β», Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅ΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° (ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΎΡ, ΡΡΠ°Π½ΡΠ»ΡΡΠΎΡ) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°Β» (Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄), Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab ΠΈ Ρ. Π΄.). ) ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π·Π°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
, ΡΡΠ΅Π½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏ ΠΊ API Π΄Π»Ρ Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΡΒ» Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ Π°Π²ΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΠ, ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ
, ΠΏΠ»Π°Π½ΡΠ΅ΡΠ°Ρ
, iPhone ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ
Π΄Π»Ρ Android!
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅: dCode ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΠΎ.
Π¦ΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ dCode
ΠΠΎΠΏΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°Β» ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΡΡ
Π΅Π΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎ (Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ΅Π»ΡΡ
) Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ
ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²Ρ ΡΠΈΡΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅ dCode!
ΠΠ΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°ΠΉΠ» . csv ΠΈΠ»ΠΈ .txt ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΡΠΊΠ° export . 06-01, https://www.dcode.fr/complex-number-modulus
Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°
- ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ)
- ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ
- Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°? (ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅)
- ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°?
- ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅?
- ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°?
- ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ?
ΠΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ
- ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
- ΠΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
- ΠΡΡΠΈΠΊΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
- Π’ΡΠΎΠΉΠΊΠ° ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°
- ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°
- ΠΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 901 13
- Π‘ΠΠΠ‘ΠΠ ΠΠΠ‘Π’Π Π£ΠΠΠΠ’ΠΠ DCODE
ΠΠΎΠ΄Π΄Π΅ΡΠΆΠΊΠ°
- Paypal
- Patreon
- ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π΅Π΅
Π€ΠΎΡΡΠΌ/ΠΠΎΠΌΠΎΡΡ
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°
ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ,Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°,ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ,ΡΠΈΡΠ»ΠΎ,Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ,ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ
Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ
β²
ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°) ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°
ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π² dCode ΠΏΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌ:ΠΡΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ ΡΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² dCode
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° |z| (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅): Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ z
Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° β dCode
Π’Π΅Π³ΠΈ: ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΊΠ°, ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
ΠΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡΡ
dCode ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅
dCode Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ΅Π½, Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΠΈΠ³ΡΠ°Ρ
, ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅, Π³Π΅ΠΎΠΊΡΡΠΈΠ½Π³Π΅, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΊΠ°Ρ
ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ
Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π΄Π΅Π½Ρ!
ΠΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ? ΠΡΠΊ ? ΠΈΠ΄Π΅Ρ ? ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ Π² dCode !
ΠΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅)
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ z Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅: ΠΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ ΠΈΠ· ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° 9{i\pi} $ has for modulus $ 2 $
ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°?
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ΅Π½ Π΅Π³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: $ |-3| = 3 $
ΠΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ?
ΠΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» $ z, z_1, z_2 $ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ:
$$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$
$$ \ΡΠ»Π΅Π²Π°| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad z_2 \ne 0 $$
$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| $$
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ):
$$ |z| \ge 0 $$
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ:
$$ |\overline z|=|z| $$
ΠΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ΄
dCode ΡΠΎΡ
ΡΠ°Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π° ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ΄ Β«Complex Number Modulus/MagnitudeΒ». ΠΠ° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π·ΠΈΠΈ Ρ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΠΌ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Creative Commons/Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΠΎ), Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°Β», Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅ΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° (ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»Ρ, ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΎΡ, ΡΡΠ°Π½ΡΠ»ΡΡΠΎΡ) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°Β» (Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄), Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠ΅ (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab ΠΈ Ρ. Π΄.). ) ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π·Π°Π³ΡΡΠ·ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ
, ΡΡΠ΅Π½Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏ ΠΊ API Π΄Π»Ρ Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΡΒ» Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ Π°Π²ΡΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΠ, ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΡΡΠΎΠΉΡΡΠ²Π°Ρ
, ΠΏΠ»Π°Π½ΡΠ΅ΡΠ°Ρ
, iPhone ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ
Π΄Π»Ρ Android!
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅: dCode ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π±Π΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΠΎ.
Π¦ΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ dCode
ΠΠΎΠΏΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΡΡΠ°Π²ΠΊΠ° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Β«ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ/Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°Β» ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΡΡ
Π΅Π΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎ (Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
ΡΠ΅Π»ΡΡ
) Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ
ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²Ρ ΡΠΈΡΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅ dCode!
ΠΠ΅ΡΠΏΠ»Π°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΡΠΏΠΎΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°ΠΉΠ» .