Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½: Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” прСзСнтация ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ:

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа Π² алгСбраичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

1. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия
ГСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
комплСксных чисСл
ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи
комплСксных чисСл
ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами
ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного
числа

2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΌ числом z Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
z a i b,
Π³Π΄Π΅ Π° ΠΈ b – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, i – мнимая Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°,
опрСдСляСмая равСнством:
i 1
i 2 1
Π° называСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ числа z,
b – ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π˜Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:
a Re z;
b Im z.
Если Π° = 0, Ρ‚ΠΎ число i b называСтся чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ.
Если b = 0, Ρ‚ΠΎ получаСтся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π°.
Π”Π²Π° комплСксных числа, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ
части, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ сопряТСнными:
z a i b,
z a i b,

3. ГСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл

ВсякоС комплСксноС число z a i b, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°
плоскости XOY Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A(a; b).
ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ комплСксныС числа,
Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
y
z
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ Π½Π° оси OX,
A(a; b)
b
ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
(b = 0), поэтому ось OX Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚
Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью.
a Ρ…
0
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ Π½Π° оси OY , ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ чисто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа
(a = 0), поэтому ось OY Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ осью.
Иногда ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ гСомСтричСским ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
комплСксного числа z Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ OA

4. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи комплСксных чисСл

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· r ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° OA , Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ο† ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ
Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ OA ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси OX.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто равСнства:
y
z
a r cos ; b r sin
A(a; b)
b
r
0
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, комплСксноС число z
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
Ο†
a Ρ…
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ
комплСксного
АргумСнт
2комплСксного
2
ВригономСтричСская
arg z arctg
r zчисла
aчисла
b
Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи
a
комплСксного
числа числа z считаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ссли
АргумСнт
комплСксного
ΠΎΠ½ отсчитываСтся ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния оси OX ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²
часовой стрСлки. ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ο† опрСдСляСтся Π½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ, Π°
с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ слагаСмого 2 k k Z.

5. ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами

1
РавСнство комплСксных чисСл.
Π”Π²Π° комплСксных числа z1 a1 i b1 ΠΈ z2 a2 i b2
Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ : z1 z2 , Ссли a1 a2 , b1 b2
КомплСксноС число z
Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° a 0,
2
a i b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ
b 0
Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΎΠΉ (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ) комплСксных чисСл z1 a1 i b1 ΠΈ
z2 a2 i b2 называСтся комплСксноС число, опрСдСляСмоС
равСнством:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2

6. ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅
комплСксных чисСл, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…
Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ производится ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ
слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ вычитания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:
y
z
z1
z1 β€” z2
0
3
z1 + z2
z2
Ρ…
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ комплСксных чисСл z1 a1 i b1 ΠΈ z2 a2
называСтся число, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ этих чисСл ΠΏΠΎ
ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, учитывая Ρ‡Ρ‚ΠΎ
i 2 1;
i 3 i ;
i 4 i i 1;
i5 i
ΠŸΡ€ΠΈ любом Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ k:
i 4k 1;
i 4k 1 i ;
i 4k 2 1;
i 4k 3 i
i b2

7.

ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числамиНа основании этого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
Если комплСксныС числа Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:
z1 r1(cos 1 i sin 1) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ сопряТСнных комплСксных чисСл:
2
2
2
2
a
(
i
b
)
a
b
z z ( a i b ) (a i b )
z z a b z
2
2
2

8. ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами

4
Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ z1 a1 i b1 Π½Π° z2 a2 i b2
Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° число, сопряТСнноС
Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ:
z1 a1 i b1
(a1 i b1 ) (a2 i b2 )
z2 a2 i b2 (a2 i b2 ) (a2 i b2 )
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) a1a2 b1b2
a2 b1 a1b2
i
2
2
2
2
a2 b2
a2 b2
a22 b22
Если комплСксныС числа Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:
z1 r1(cos 1 i sin 1)
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2

9.

ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числамиНайти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ частноС комплСксных чисСл:
z1 2 3i ,
z2 1 4i
= -1
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
2
2
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )
1 4
10 11
10 11i
2 3i 8i 12
i
17 17
17
17

10. ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами

5
Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ комплСксного числа.
ΠŸΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ комплСксного числа z r (cos i sin )
Π² Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ возводится Π² эту ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ,
Π° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ умноТаСтся Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°)
z n r n (cos n i sin n )
6
Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· комплСксного числа.
ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n – ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· комплСксного числа
z r (cos i sin ) находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:
n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
АрифмСтичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ·
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа r

11. ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами

n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
ΠŸΡ€ΠΈΠ΄Π°Π²Π°Ρ k значСния 0, 1, 2, …,n –1, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…
Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ корня.
Для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ k Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚
ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° число, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ 2Ο€, ΠΈ , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚
ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ значСния корня, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ с рассмотрСнными.
Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n – ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· комплСксного числа ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ n
Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n – ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ n
Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число – частный случай
комплСксного числа ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСно Π²
тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:
A A (cos 0 i sin0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)

12. ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами

Найти всС значСния кубичСского корня ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹
1 cos 0 i sin0
3
(r 1; 0)
0 2k
0 2k
2k
2k
1 cos
i sin
cos
i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1 cos 0 i sin 0 1
3
3
2
2
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
y
z
Π’
A
Ρ…
Π‘

13.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного Ρ‡ΠΈΡΠ»Π°ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ z x i y . Если Ρ… ΠΈ y – Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ
z называСтся комплСксной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Рассмотрим ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ комплСксной
ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ z.
w ez
ΠΈΠ»ΠΈ
w e x i y
ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ w ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:
e x i y e x (cos y i sin y )
z 2 i
ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:
e
2 i
4
(1)
4
e2 2
e2 2
e (cos i sin )
i
4
4
2
2
2

14. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа

Если Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (1) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ x = 0, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:
ei y cos y i sin y
(2)
Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° называСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·
тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
Π—Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (2) y Π½Π° – y:
e i y cos( y ) i sin( y ) e i y cos y i sin y (3)
Бкладывая ΠΈ вычитая равСнства (2) ΠΈ (3) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ :
e e
cos y
2
iy
iy
e iy e iy
sin y
2i

15. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ комплСксноС число z Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅::
z r (cos i sin )
По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°: cos i sin e i
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, всякоС комплСксноС число ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:
z r e i
ДСйствия Π½Π°Π΄ комплСксными числами Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
i 2
z
r
e
. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
z1 r1 e ; 2
2
i 1
z1 z2 r1 r2 e i 1 2 ;
z1 r1 i 1 2
e
;
z2 r2
zn r n ei n ;
n
z n r e
i
2 k
n
.

English     Русский ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

| Microsoft Learn

Twitter LinkedIn Facebook АдрСс элСктронной ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρ‹

  • Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ‚ шаблон complex класса ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡˆΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ‹.

ВрСбования

Π—Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΊ: <слоТный>

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½: std

КомплСксноС число β€” это упорядочСнная ΠΏΠ°Ρ€Π° Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’ чисто гСомСтричСских Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… комплСксная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ плоскости. ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ комплСксной плоскости ΠΎΡ‚ вСщСствСнной состоят Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ алгСбраичСская структура. Π£ этой структуры Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ основныС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.

  • Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ (a, b) + (c, d) = (ac + ,bd + )

  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ (a, b) * (c, d) = (acbd β€” , adbc + )

Набор слоТных чисСл с опСрациями слоТного слоТСния ΠΈ слоТного умноТСния β€” это ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π² стандартном алгСбраичСском смыслС:

  • ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈ умноТСния ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ ΠΈ ассоциативны, Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ распрСдСляСтся Π½Π°Π΄ слоТСниСм Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ для вСщСствСнного слоТСния ΠΈ умноТСния Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ вСщСствСнных чисСл.

  • КомплСксноС число (0, 0) прСдставляСт собой Π°Π΄Π΄ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€, Π° число (1, 0) β€” ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€.

  • АддитивноС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ для комплСксного числа (a, b) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (-a, β€”b), Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для всСх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… слоТных чисСл, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ (0, 0) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

    (a/(a2b2 + ), β€”b/(a2b2 + ))

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ комплСксноС число z = (a, b) Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ zabi + = , Π³Π΄Π΅

i2 = -1, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρƒ слоТных чисСл ΠΈ ΠΊ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ. НапримСр:

(1 + 2i) * (2 + 3i) = 1 * (2 + 3i) + 2i * (2 + 3i) = (2 + 3i) + (4i + 6i2) = (2 – 6) + (3 + 4)i = -4 + 7i

БистСма слоТных чисСл β€” это ΠΏΠΎΠ»Π΅, Π½ΠΎ это Π½Π΅ упорядочСнноС ΠΏΠΎΠ»Π΅. НСт порядка слоТных чисСл, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ для поля Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ Π΅Π³ΠΎ подмноТСств, поэтому нСравСнство Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΊ слоТным числам, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ относятся ΠΊ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам.

БущСствуСт Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ прСдставлСния комплСксного числа z:

Π’ этих стандартных прСдставлСниях комплСксных чисСл ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.

  • ВСщСствСнный ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ арифмСтичСского прСдставлСния ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ a.

  • ΠœΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ арифмСтичСского прСдставлСния ΠΈΠ»ΠΈ мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ

    b.

  • ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксного числа r.

  • АргумСнт ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ„Π°Π·Ρ‹ p Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

Если Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ нСсколько Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π° основного значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² большС -Ο€ ΠΈ мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ +Ο€, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ВсС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…, Π³Π΄Π΅ Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 2Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ (360 градусов).

Π§Π»Π΅Π½Ρ‹

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ИмяОписаниС
absВычисляСт ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа.
acos
acosh
argΠ˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ· комплСксного числа.
asin
asinh
atan
atanh
conjΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ комплСксно-ΡΠΎΠΏΡ€ΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ комплСксного числа.
cosΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ косинус комплСксного числа.
coshΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ гипСрболичСский косинус комплСксного числа.
expΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ комплСксного числа.
imagΠ˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа.
logΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ комплСксного числа.
log10Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ дСсятичный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ комплСксного числа.
normΠ˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΡƒ комплСксного числа.
polarΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ комплСксноС число, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ, Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.
powВычисляСт комплСксноС число, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ возвСдСния основания (комплСксноС число) Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ комплСксного числа.
proj
realΠ˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ комплСксного числа.
sinΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ синус комплСксного числа.
sinhΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ гипСрболичСский синус комплСксного числа.
sqrtΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ комплСксного числа.
tanΠ’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ тангСнс комплСксного числа.
Ρ‚Π°Π½Ρ…Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ гипСрболичСский тангСнс комплСксного числа.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹

ИмяОписаниС
operator!=ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ Π½Π° нСравСнство Π΄Π²Π° комплСксных числа, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ подмноТСству Ρ‚ΠΈΠΏΠ° для вСщСствСнной ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй.
operator*Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° комплСксных числа, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ подмноТСству Ρ‚ΠΈΠΏΠ° для вСщСствСнной ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй.
operator+Π‘ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° комплСксных числа, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ подмноТСству Ρ‚ΠΈΠΏΠ° для вСщСствСнной ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй.
operator-Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° комплСксных числа, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ подмноТСству Ρ‚ΠΈΠΏΠ° для вСщСствСнной ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй.
operator/
Π”Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΄Π²Π° комплСксных числа, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ подмноТСству Ρ‚ΠΈΠΏΠ° для вСщСствСнной ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй.
operator<<Ѐункция шаблона, Π²ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ комплСксноС число Π² ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°.
operator==ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ Π½Π° равСнство Π΄Π²Π° комплСксных числа, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊ подмноТСству Ρ‚ΠΈΠΏΠ° для вСщСствСнной ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ частСй.
operator>>Ѐункция шаблона, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ комплСксноС число ΠΈΠ· Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠ°.

ΠšΠ»Π°ΡΡΡ‹

nameОписаниС
complex<double>Π―Π²Π½ΠΎ спСциализированный шаблон класса описываСт ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ хранится упорядочСнная ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ²
double
, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ прСдставляСт Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ слоТного числа, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.
complex<float>Π―Π²Π½ΠΎ спСциализированный шаблон класса описываСт ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ хранится упорядочСнная ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² float, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ прСдставляСт Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ слоТного числа, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.
complex<long double>Π―Π²Π½ΠΎ спСциализированный шаблон класса описываСт ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ хранится упорядочСнная ΠΏΠ°Ρ€Π° ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² long double, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ прСдставляСт Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ слоТного числа, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.
complexΠ¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½ класса описываСт ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ для прСдставлСния комплСксной систСмы чисСл ΠΈ выполнСния слоТных арифмСтичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Π»Ρ‹

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ <> Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΊ опрСдСляСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠ΅ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Π»Ρ‹. Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Π»Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡŽΡ‚ комплСксноС число с Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ нуля ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ, которая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°.

ОбъявлСниСОписаниС
constexpr complex<long double> operator""il(long double d)
constexpr complex<long double> operator""il(unsigned long long d)
Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚: complex<long double>{0.0L, static_cast<long double>(d)}
constexpr complex<double> operator""i(long double d)
constexpr complex<double> operator""i(unsigned long long d)
Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ complex<double>{0. 0, static_cast<double>(d)}.
constexpr complex<float> operator""if(long double d)
constexpr complex<float> operator""if(unsigned long long d)
Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ complex<float>{0.0f, static_cast<float>(d)}.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°ΠΌ Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠ²
Π‘Π΅Π·ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠΎΠ² Π² стандартной Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ΅ C++

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°) комплСксного ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Поиск инструмСнта

Поиск инструмСнта Π² dCode ΠΏΠΎ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌ словам:

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ список инструмСнтов dCode

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° комплСксного числа

Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ для вычислСния значСния модуля/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ комплСксного числа |z| (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅): Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ комплСксной плоскости ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ z

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹

КомплСксноС число ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° β€” dCode

Π’Π΅Π³ΠΈ: АрифмСтика, ГСомСтрия

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

dCode ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° dCode бСсплатна, Π° Π΅Π΅ инструмСнты ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΏΠΎΡ€ΡŒΠ΅ΠΌ Π² ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, гСокэшингС, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь!
ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? обратная связь? Π–ΡƒΠΊ ? идСя ? Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Π² dCode !

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ модуля (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅)

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ z

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅: АргумСнт комплСксного числа

КомплСкс ΠΈΠ· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° модуля ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° $ r $ 9{i\pi} $ has for modulus $ 2 $

Как Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа?

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ) Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа эквивалСнтСн Π΅Π³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: $ |-3| = 3 $

Какими свойствами ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ?

Для комплСксных чисСл $ z, z_1, z_2 $ комплСксный ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами:

$$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$

$$ \слСва| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad z_2 \ne 0 $$

$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| $$

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ являСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ):

$$ |z| \ge 0 $$

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнного Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

$$ |\overline z|=|z| $$

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ΄

dCode сохраняСт Π·Π° собой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ собствСнности Π½Π° исходный ΠΊΠΎΠ΄ Β«Complex Number Modulus/MagnitudeΒ». Π—Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ явной Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΈ с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ исходным ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Creative Commons/бСсплатно), Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ числовой ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β», Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° (ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€, транслятор) ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ числовой ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β» (вычислСниС, ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄), написанныС Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ языкС (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab ΠΈ Ρ‚. Π΄.). ) ΠΈ всС Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, сцСнарии ΠΈΠ»ΠΈ доступ ΠΊ API для «КомплСксного числового модуля/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Β» Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ общСдоступными, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС для Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ использования Π½Π° ПК, ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… устройствах, ΠΏΠ»Π°Π½ΡˆΠ΅Ρ‚Π°Ρ…, iPhone ΠΈΠ»ΠΈ Π² прилоТСниях для Android!
НапоминаниС: dCode ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатно.

Π¦ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ dCode

ΠšΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ вставка страницы «КомплСксноС число ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β» ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΅Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ (Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² коммСрчСских цСлях) Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²Ρ‹ Ρ†ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ dCode!
БСсплатный экспорт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² Ρ„Π°ΠΉΠ» . csv ΠΈΠ»ΠΈ .txt осущСствляСтся Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΊΠ° export . 06-01, https://www.dcode.fr/complex-number-modulus

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°

  • ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ модуля (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния)
  • ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ комплСксов ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ
  • Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа? (ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅)
  • Как Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа?
  • Как Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа Π² ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅?
  • Как Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа?
  • ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ свойства модуля?

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ страницы

  • АргумСнт комплСксного числа
  • Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа
  • Аффикс комплСксного числа
  • Π’Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°
  • ВСкторная Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°
  • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°
  • ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ дСсятичноС число 901 13
  • БПИБОК Π˜ΠΠ‘Π’Π Π£ΠœΠ•ΠΠ’ΠžΠ’ DCODE

ΠŸΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠ°

  • Paypal
  • Patreon
  • ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅
 

Π€ΠΎΡ€ΡƒΠΌ/ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ

ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ слова

ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ,Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°,комплСкс,число,Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅,ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€

Бсылки


β–²

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°) ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° комплСксных чисСл

Поиск инструмСнта

Поиск инструмСнта Π² dCode ΠΏΠΎ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌ словам:

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ список инструмСнтов dCode

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° комплСксного числа

Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ для вычислСния значСния модуля/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ комплСксного числа |z| (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅): Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ комплСксной плоскости ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ z

Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹

КомплСксноС число ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° β€” dCode

Π’Π΅Π³ΠΈ: АрифмСтика, ГСомСтрия

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

dCode ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅

dCode бСсплатСн, Π° Π΅Π³ΠΎ инструмСнты ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΏΠΎΡ€ΡŒΠ΅ΠΌ Π² ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, гСокэшингС, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь!
ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? обратная связь? Π–ΡƒΠΊ ? идСя ? Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Π² dCode !

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ модуля (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅)

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ z

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅: АргумСнт комплСксного числа

КомплСкс ΠΈΠ· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° модуля ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° 9{i\pi} $ has for modulus $ 2 $

Как Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа?

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ) Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа эквивалСнтСн Π΅Π³ΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: $ |-3| = 3 $

Какими свойствами ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ?

Для комплСксных чисСл $ z, z_1, z_2 $ комплСксный ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами:

$$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$

$$ \слСва| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad z_2 \ne 0 $$

$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| $$

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ являСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ):

$$ |z| \ge 0 $$

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнного Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹:

$$ |\overline z|=|z| $$

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ΄

dCode сохраняСт Π·Π° собой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ собствСнности Π½Π° исходный ΠΊΠΎΠ΄ Β«Complex Number Modulus/MagnitudeΒ». Π—Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ явной Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΈ с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ исходным ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Creative Commons/бСсплатно), Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ числовой ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β», Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚Π° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° (ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€, транслятор) ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β«ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ числовой ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β» (вычислСниС, ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°/ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅/ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄), написанныС Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ языкС (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab ΠΈ Ρ‚. Π΄.). ) ΠΈ всС Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, сцСнарии ΠΈΠ»ΠΈ доступ ΠΊ API для «КомплСксного числового модуля/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹Β» Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ общСдоступными, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС для Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ использования Π½Π° ПК, ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… устройствах, ΠΏΠ»Π°Π½ΡˆΠ΅Ρ‚Π°Ρ…, iPhone ΠΈΠ»ΠΈ Π² прилоТСниях для Android!
НапоминаниС: dCode ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ бСсплатно.

Π¦ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ dCode

ΠšΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ вставка страницы «КомплСксноС число ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ/Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β» ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΅Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ (Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² коммСрчСских цСлях) Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²Ρ‹ Ρ†ΠΈΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ dCode!
БСсплатный экспорт Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² Ρ„Π°ΠΉΠ» .

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *