Комплексные числа — презентация онлайн
Похожие презентации:
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
Комплексные числа
Действия над комплексными числами в алгебраической форме
Комплексные числа в алгебраической форме
1. Комплексные числа
Основные понятияГеометрическое изображение
комплексных чисел
Тригонометрическая форма записи
комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного
числа
2. Основные понятия
Комплексным числом z называют выражение:z a i b,
где а и b – действительные числа, i – мнимая единица,
определяемая равенством:
i 1
i 2 1
а называется действительной частью числа z,
b – мнимой частью. Их обозначают так:
a Re z;
b Im z.
Если а = 0, то число i b называется чисто мнимым.
Если b = 0, то получается действительное число а.
Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой
части, называются сопряженными:
z a i b,
z a i b,
3. Геометрическое изображение комплексных чисел
Всякое комплексное число z a i b, можно изобразить наплоскости XOY в виде точки A(a; b).
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называют плоскостью комплексной переменной.
y
z
Точкам, лежащим на оси OX,
A(a; b)
b
соответствуют действительные числа
(b = 0), поэтому ось OX называют
действительной осью.
a х
0
Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа
(a = 0), поэтому ось OY называют мнимой осью.
Иногда удобно считать геометрическим изображением
комплексного числа z вектор OA
4. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Обозначим через r модуль вектора OA , через φ угол междувектором OA и положительным направлением оси OX.
Тогда имеют место равенства:
y
z
a r cos ; b r sin
A(a; b)
b
r
0
Следовательно, комплексное число z
можно представить в виде:
φ
a х
a i b r cos i r sin
z r (cos i sin )
b
Модуль
комплексного
Аргумент
2комплексного
2
Тригонометрическая
arg z arctg
r zчисла
aчисла
b
форма записи
a
комплексного
числа числа z считается положительным, если
Аргумент
комплексного
он отсчитывается от положительного направления оси OX против
часовой стрелки.
Очевидно, что φ определяется не однозначно, ас точностью до слагаемого 2 k k Z.
5. Действия над комплексными числами
1Равенство комплексных чисел.
Два комплексных числа z1 a1 i b1 и z2 a2 i b2
называются равными : z1 z2 , если a1 a2 , b1 b2
Комплексное число z
тогда, когда a 0,
2
a i b равно нулю , тогда и только
b 0
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Суммой (разностью) комплексных чисел z1 a1 i b1 и
z2 a2 i b2 называется комплексное число, определяемое
равенством:
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
z1 z2 a1 i b1 a2 i b2 a1 a2 i b1 b2
6. Действия над комплексными числами
Сложение и вычитаниекомплексных чисел, изображенных
векторами производится по правилу
сложения или вычитания векторов:
y
z
z1
z1 — z2
0
3
z1 + z2
z2
х
Умножение комплексных чисел.
Умножением комплексных чисел z1 a1 i b1 и z2 a2
называется число, получаемое при умножении этих чисел по
правилам алгебры как двучлены, учитывая что
i 2 1;
i 3 i ;
i 4 i i 1;
i5 i
При любом целом k:
i 4k 1;
i 4k 1 i ;
i 4k 2 1;
i 4k 3 i
i b2
7.
Действия над комплексными числамиНа основании этого правила получим:z1 z2 a1 i b1 a2 i b2
a1 a2 i b1 a2 i b2 a1 i 2 b1 b2
z1 z2 a1 a2 b1 b2 i b1 a2 b2 a1
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1) z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
тогда произведение находится по формуле:
z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
Произведение сопряженных комплексных чисел:
2
2
2
2
a
(
i
b
)
a
b
z z ( a i b ) (a i b )
z z a b z
2
2
2
8. Действия над комплексными числами
4Деление комплексных чисел.
Чтобы разделить z1 a1 i b1 на z2 a2 i b2
необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное
делителю:
z1 a1 i b1
(a1 i b1 ) (a2 i b2 )
z2 a2 i b2 (a2 i b2 ) (a2 i b2 )
(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 ) a1a2 b1b2
a2 b1 a1b2
i
2
2
2
2
a2 b2
a2 b2
a22 b22
Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
z1 r1(cos 1 i sin 1)
z2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1
(cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ))
z2 r2
9.
Действия над комплексными числамиНайти произведение и частное комплексных чисел:z1 2 3i ,
z2 1 4i
= -1
z1 z2 2 3i 1 4i 2 3i 8i 12i 2
2 3i 8i 12 14 5i
z1 2 3i
(2 3i ) (1 4i ) 2 3i 8i 12i 2
2
2
z2 1 4 i
(1 4i ) (1 4i )
1 4
10 11
10 11i
2 3i 8i 12
i
17 17
17
17
10. Действия над комплексными числами
5Возведение в степень комплексного числа.
При возведении комплексного числа z r (cos i sin )
в целую положительную степень модуль возводится в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра)
z n r n (cos n i sin n )
6
Извлечение корня из комплексного числа.
Корень n – ой степени из комплексного числа
z r (cos i sin ) находится по формуле:
n
z r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Арифметическое значение корня из
положительного числа r
11. Действия над комплексными числами
nz r (cos
n
2k
n
i sin
2k
n
)
Придавая k значения 0, 1, 2, …,n –1, получим n различных
значений корня.
Для других значений k аргументы будут отличаться от
полученных на число, кратное 2π, и , следовательно будут
получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными.
Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n
различных значений.
Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n
значений, так как действительное число – частный случай
комплексного числа и может быть представлено в
тригонометрической форме:
A A (cos 0 i sin0) ( A 0)
A A (cos i sin ) ( A 0)
12. Действия над комплексными числами
Найти все значения кубического корня из единицы1 cos 0 i sin0
3
(r 1; 0)
0 2k
0 2k
2k
2k
1 cos
i sin
cos
i sin
3
3
3
3
k 0
k 1
k 2
1 cos 0 i sin 0 1
3
3
2
2
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
3
4
4
1
3
1 cos
i sin
i
3
3
2
2
y
z
В
A
х
С
13.
Показательная форма комплексного числаПусть z x i y . Если х и y – действительные переменные, тоz называется комплексной переменной.
Рассмотрим показательную функцию от комплексной
переменной z.
w ez
или
w e x i y
Комплексные значения функции w определяются по формуле:
e x i y e x (cos y i sin y )
z 2 i
Пример:
e
2 i
4
(1)
4
e2 2
e2 2
e (cos i sin )
i
4
4
2
2
2
14. Показательная форма комплексного числа
Если в формуле (1) положим x = 0, то получим:ei y cos y i sin y
(2)
Эта формула называется формулой Эйлера, выражающая
показательную функцию с мнимым показателем через
тригонометрические функции.
Заменим в формуле (2) y на – y:
e i y cos( y ) i sin( y ) e i y cos y i sin y (3)
Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :
e e
cos y
2
iy
iy
e iy e iy
sin y
2i
15. Показательная форма комплексного числа
Представим комплексное число z в тригонометрической форме::z r (cos i sin )
По формуле Эйлера: cos i sin e i
Следовательно, всякое комплексное число можно представить в
показательной форме:
z r e i
Действия над комплексными числами в показательной форме:
Пусть имеем:
i 2
z
r
e
.
Тогда:z1 r1 e ; 2
2
i 1
z1 z2 r1 r2 e i 1 2 ;
z1 r1 i 1 2
e
;
z2 r2
zn r n ei n ;
z n r e
i
2 k
n
.
English Русский Правила
| Microsoft Learn
Twitter LinkedIn Facebook Адрес электронной почты- Статья
Определяет шаблон complex класса контейнера и его вспомогательные шаблоны.
Требования
Заголовок: <сложный>
Пространство имен: std
Комплексное число — это упорядоченная пара реальных чисел. В чисто геометрических терминах комплексная плоскость является реальной двумерной плоскости. Отличия комплексной плоскости от вещественной состоят в том, что у нее есть дополнительная алгебраическая структура. У этой структуры есть две основные операции.
Добавление, определенное как (a, b) + (c, d) = (ac + ,bd + )
Умножение, определенное как (a, b) * (c, d) = (acbd — , adbc + )
Набор сложных чисел с операциями сложного сложения и сложного умножения — это поле в стандартном алгебраическом смысле:
Операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны, а умножение распределяется над сложением точно так же, как для вещественного сложения и умножения в поле вещественных чисел.
Комплексное число (0, 0) представляет собой аддитивный идентификатор, а число (1, 0) — мультипликативный идентификатор.
Аддитивное обратное для комплексного числа (a, b) равно (-a, —b), а умножение для всех таких сложных чисел, кроме (0, 0) равно
(a/(a2b2 + ), —b/(a2b2 + ))
Представляя комплексное число z = (a, b) в форме zabi + = , где
i2 = -1, правила для алгебры набора реальных чисел можно применять к набору сложных чисел и к их компонентам. Например:(1 + 2i) * (2 + 3i) = 1 * (2 + 3i) + 2i * (2 + 3i) = (2 + 3i) + (4i + 6i2) = (2 – 6) + (3 + 4)i = -4 + 7i
Система сложных чисел — это поле, но это не упорядоченное поле. Нет порядка сложных чисел, так как для поля реальных чисел и его подмножеств, поэтому неравенство не может быть применено к сложным числам, так как они относятся к реальным числам.
Существует три общие формы представления комплексного числа z:
В этих стандартных представлениях комплексных чисел используются следующие термины.
Вещественный компонент арифметического представления или действительная часть a.
Мнимый компонент арифметического представления или мнимая часть
Модуль или абсолютное значение комплексного числа r.
Аргумент или угол фазы p в радианах.
Если не указано иное, функции, которые могут возвращать несколько значений, требуются для возврата основного значения аргументов больше -π и меньше или равно +π, чтобы сохранить одно значение. Все углы должны быть выражены в радианах, где в круге есть 2π радианы (360 градусов).
Члены
Функции
| Имя | Описание |
|---|---|
abs | Вычисляет модуль комплексного числа. |
acos | |
acosh | |
arg | Извлекает аргумент из комплексного числа. |
asin | |
asinh | |
atan | |
atanh | |
conj | Возвращает комплексно-сопряженную величину комплексного числа. |
cos | Возвращает косинус комплексного числа. |
cosh | Возвращает гиперболический косинус комплексного числа. |
exp | Возвращает экспоненциальную функцию комплексного числа. |
imag | Извлекает мнимую часть комплексного числа. |
log | Возвращает натуральный логарифм комплексного числа. |
log10 | Возвращает десятичный логарифм комплексного числа. |
norm | Извлекает норму комплексного числа. |
polar | Возвращает комплексное число, соответствующее указанному модулю и аргументу, в декартовой форме. |
pow | Вычисляет комплексное число, получаемое в результате возведения основания (комплексное число) в степень другого комплексного числа. |
proj | |
real | Извлекает вещественную часть комплексного числа. |
sin | Возвращает синус комплексного числа. |
sinh | Возвращает гиперболический синус комплексного числа. |
sqrt | Возвращает квадратный корень комплексного числа. |
tan | Возвращает тангенс комплексного числа. |
| танх | Возвращает гиперболический тангенс комплексного числа. |
Операторы
| Имя | Описание |
|---|---|
operator!= | Проверяет на неравенство два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей. |
operator* | Умножает два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей. |
operator+ | Складывает два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей. |
operator- | Вычитает два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей. |
operator/ | |
operator<< | Функция шаблона, вставляющая комплексное число в поток вывода. |
operator== | Проверяет на равенство два комплексных числа, по крайней мере одно из которых может принадлежать к подмножеству типа для вещественной и мнимой частей. |
operator>> | Функция шаблона, извлекающая комплексное число из входного потока. |
Классы
| name | Описание |
|---|---|
complex<double> | Явно специализированный шаблон класса описывает объект, в котором хранится упорядоченная пара объектов обоих типов double, где первый представляет реальную часть сложного числа, а второй — мнимую часть. |
complex<float> | Явно специализированный шаблон класса описывает объект, в котором хранится упорядоченная пара объектов обоих типов float, где первый представляет реальную часть сложного числа, а второй — мнимую часть. |
complex<long double> | Явно специализированный шаблон класса описывает объект, в котором хранится упорядоченная пара объектов обоих типов long double, где первый представляет реальную часть сложного числа, а второй — мнимую часть. |
complex | Шаблон класса описывает объект, используемый для представления комплексной системы чисел и выполнения сложных арифметических операций. |
Литералы
Сложный <> заголовок определяет следующие пользовательские литералы. Литералы создают комплексное число с реальной частью нуля и мнимой частью, которая имеет значение входного параметра.
| Объявление | Описание |
|---|---|
constexpr complex<long double> operator""il(long double d)constexpr complex<long double> operator""il(unsigned long long d) | Возвращаемый результат: complex<long double>{0.0L, static_cast<long double>(d)} |
constexpr complex<double> operator""i(long double d)constexpr complex<double> operator""i(unsigned long long d) | Возвращает complex<double>{0.. |
constexpr complex<float> operator""if(long double d)constexpr complex<float> operator""if(unsigned long long d) | Возвращает complex<float>{0.0f, static_cast<float>(d)}. |
0, static_cast<double>(d)}См. также раздел
Справочник по файлам заголовков
Безопасность потоков в стандартной библиотеке C++
Абсолютное значение (модуль/величина) комплексного калькулятора онлайн
Поиск инструмента
Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:Просмотрите полный список инструментов dCode
Модуль/величина комплексного числа
Инструмент для вычисления значения модуля/величины комплексного числа |z| (абсолютное значение): длина отрезка между начальной точкой комплексной плоскости и точкой z
Результаты
Комплексное число Модуль/величина — dCode
Теги: Арифметика, Геометрия
Поделиться
dCode и многое другое
Программа dCode бесплатна, а ее инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Калькулятор модуля (абсолютное значение)
Комплексный номер z См.
также: Аргумент комплексного числа
Комплекс из калькулятора модуля и аргумента
Модуль/величина $ r $ 9{i\pi} $ has for modulus $ 2 $Как вычислить модуль действительного числа?
Модуль (или модуль) действительного числа эквивалентен его абсолютному значению.
Пример: $ |-3| = 3 $
Какими свойствами обладает модуль?
Для комплексных чисел $ z, z_1, z_2 $ комплексный модуль обладает следующими свойствами:
$$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$
$$ \слева| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad z_2 \ne 0 $$
$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| $$
Модуль является абсолютной величиной, поэтому обязательно положителен (или равен нулю):
$$ |z| \ge 0 $$
Модуль комплексного числа и модуль его сопряженного равны:
$$ |\overline z|=|z| $$
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Complex Number Modulus/Magnitude».
За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Комплексный числовой модуль/величина», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, дешифратор, транслятор) или функции «Комплексный числовой модуль/величина» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.). ) и все загрузки данных, сценарии или доступ к API для «Комплексного числового модуля/величины» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.
Цитировать dCode
Копирование и вставка страницы «Комплексное число модуль/величина» или любых ее результатов разрешено (даже в коммерческих целях) до тех пор, пока вы цитируете dCode!
Бесплатный экспорт результатов в файл .
csv или .txt осуществляется нажатием значка export . 06-01, https://www.dcode.fr/complex-number-modulus
Сводка
- Калькулятор модуля (абсолютного значения)
- Калькулятор комплексов по модулю и аргументам
- Что такое модуль комплексного числа? (Определение)
- Как вычислить модуль комплексного числа?
- Как вычислить модуль комплексного числа в экспоненциальной форме?
- Как вычислить модуль действительного числа?
- Каковы свойства модуля?
Похожие страницы
- Аргумент комплексного числа
- Экспоненциальная форма комплексного числа
- Аффикс комплексного числа
- Тройка Пифагора
- Векторная норма
- Квадратичная формула
- Отрицательное десятичное число 901 13
- СПИСОК ИНСТРУМЕНТОВ DCODE
Поддержка
- Paypal
- Patreon
- Подробнее
Форум/Помощь
Ключевые слова
модуль,величина,комплекс,число,значение,плоскость,калькулятор
Ссылки
▲
Абсолютное значение (модуль/величина) онлайн-калькулятора комплексных чисел
Поиск инструмента
Поиск инструмента в dCode по ключевым словам:Просмотрите полный список инструментов dCode
Модуль/величина комплексного числа
Инструмент для вычисления значения модуля/величины комплексного числа |z| (абсолютное значение): длина отрезка между начальной точкой комплексной плоскости и точкой z
Результаты
Комплексное число Модуль/величина — dCode
Теги: Арифметика, Геометрия
Поделиться
dCode и многое другое
dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и решениях задач каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Калькулятор модуля (абсолютное значение)
Комплексный номер z См.
также: Аргумент комплексного числа
Комплекс из калькулятора модуля и аргумента 9{i\pi} $ has for modulus $ 2 $
Как вычислить модуль действительного числа?
Модуль (или модуль) действительного числа эквивалентен его абсолютному значению.
Пример: $ |-3| = 3 $
Какими свойствами обладает модуль?
Для комплексных чисел $ z, z_1, z_2 $ комплексный модуль обладает следующими свойствами:
$$ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $$
$$ \слева| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \quad z_2 \ne 0 $$
$$ |z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2| $$
Модуль является абсолютной величиной, поэтому обязательно положителен (или равен нулю):
$$ |z| \ge 0 $$
Модуль комплексного числа и модуль его сопряженного равны:
$$ |\overline z|=|z| $$
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Complex Number Modulus/Magnitude».
За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Комплексный числовой модуль/величина», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, дешифратор, транслятор) или функции «Комплексный числовой модуль/величина» (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.). ) и все загрузки данных, сценарии или доступ к API для «Комплексного числового модуля/величины» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.
Цитировать dCode
Копирование и вставка страницы «Комплексное число модуль/величина» или любых ее результатов разрешено (даже в коммерческих целях) до тех пор, пока вы цитируете dCode!
Бесплатный экспорт результатов в файл .