Как найти область определения дробно рациональной функции: НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

2+bx+c$ является полиномом второго порядка, ее коэффициенты — числа $c,b,a$.

На языке линейной алгебры это определение означает, что $P(x)$ является линейной комбинацией конечного набора целых степеней переменной $x$. Ключевой здесь является конечность этого набора.

Полиномы обладают рядом важных свойств.

1. Полиномы определены при всех $x \in \mathbb{R}$ и являются бесконечно-дифференцируемыми функциями при всех $x$.

2. Сумма и произведение любого конечного числа полиномов является полиномом.

3. Производная любого порядка от полинома является полиномом.

4. Суперпозиция полиномов является полиномом: если $P(x)$, $Q(t)$ — полиномы переменных $x$ и $t$ соответственно, то $Q(P(x))$ является полиномом переменной $x$.

Аналогичным образом можно определить и полиномы от нескольких переменных. Полиномы от пескольких переменных также обладают описанными выше свойствами. Степень определяется как максимальная суммарная (по всем переменным) степень одночлена.

3$ является полиномом от переменных $x,y$ причем степень этого полинома равна 2+3=5.

8.1.2 Дробно-рациональные функции, основные свойства

Определение. Пусть $P(x)$, $Q(x)$ — полиномы переменной $x$. Тогда выражение

\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \]

называется дробно-рациональной функцией переменной $x$ (или, короче, рациональной функцией).

Опишем свойства дробно-рациональных функций.

1. Они определены при всех $x$, отличных от нулей знаменателя, и являются в этой области определения бесконечно-дифференцируемыми функциями.

2. Сумма и произведение любого конечного числа дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией.

3. Производная любого порядка от дробно-рациональной функции является дробно-рациональной функцией.

4. Суперпозиция дробно-рациональных функций является дробно-рациональной функцией: если $R(x)$, $S(t)$ — дробно-рациональные функции переменных $x$ и $t$ соответственно, то $S(R(x))$ является дробно-рациональной функцией переменной $x$.

Можно определить и дробно-рациональные функции нескольких переменных. Они также обладают описанными выше свойствами (при уточняющей формулировке).

8.1.3 Выделение целой части и разложение на простейшие для дробно-рациональных функций

Теория дробно-рациональных функций во многом подобна теории рациональных чисел. Напомним, что рациональное число $r=p/q>0$ ($p$ и $q$ — целые положительные числа) называется правильным, если $p \ q$. Неправильное рациональное число можно представить в виде $r=n+s/q$, где $n$ — целое число (называется целой частью $r$, а $s/q$ — правильное рациональное число. Обычно это представление получают делением нацело $p$ на $q$, при этом $n$ — результат этого деления, а $s$ — остаток.

Определение.

Дробно-рациональная функция $R(x)=P(x)/Q(x)$ ($P(x),Q(x)$ — полиномы переменной $x$) называется правильной, если $degP(x)

Теорема. Любую дробно-рациональную функцию $R(x)$ можно представить в виде суммы полинома $T(x)$ и правильной дробно-рациональной функции,

\[ R(x)=T(x)+\frac{S(x)}{Q(x)}, \]

$degS(x)

На практике это представление находят с помощью процедуры, носящей название «деление уголком». {1-k}}{1-k}+C, k=2,3,4,… \end{array} \right. \]

Теорема. Любая правильная дробно-рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробно-рациональных функций.

Пример.

Разложим в сумму простейших дробно-рациональную функцию \[ R(x)=\frac{x+2}{(x-1)(x+1)}. \]

В знаменателе присутствуют $(x-1)$ и $(x+1)$ в первой степени. Соответственно, полагаем

\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha }{x-1}+\frac{\beta}{x+1}, \]

где в знаменателе стоят соответственно первые степени $(x-1)$ и $(x+1)$, а параметры $\alpha$, $\beta $ подлежат определению. Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

\[ \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}=\frac{\alpha (x+1)+\beta (x-1)}{(x-1)(x+1)}. \]

Приравнивая числители, находим:

\[ x+2=\alpha (x+1)+\beta(x-1). 4-1}. \]

8.2 Интегралы от тригонометрических функций

1) Дробно-рациональные функции, числитель которой представлен в виде многочлена второй степени.

Базовые функции:

1) a (x)=x+1/x;

2) b (x)=x-1/x.

2) Дробно-рациональные функции, знаменатель которой представлен в виде мрогочлена второй степени.

3) Дробно-рациональные функции, числитель и знаменатель которой представлен в виде многочлена второй степени.

Параграф 5. Взимнообратные функции.

Определение 1. Функция называется обратимой, если равенство

Замечание 1. Если функция чётная или периодическая, или нечётная, но переодическая, то эта функция не является обратимой.

Определение 2. Пусть функция y=f (x) задана на множестве X является обратимой функцией, и Y — множество её значений. Тогда на множестве Y может быть задана функция x=g (y) такая, что каждому значению y, принадлежащему Y, ставится в соответствие вполне определённое значение x из множества X, которое служит корнем уравнения y=f (x).

В этом случае функцию x=g (y) называют обратной функцией к фкнкции y=f (x).

Теорема 1. Всякая строоо монотонная функция обратима.

Следствие 1. Всякая сторого монотонная функция имеет себе обратную.

Замечание 2. Ошибочно считать, что только строго монотонные функции имеют себе обратную.

Теорема 2. Функция обратная к возрастающей является возрастающей функцией.

Теорема 3. Функция обратная к убывающей является убывающей.

Теорема 4. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Параграф 6 . Алгебраическая функция. Иррациональные функции.

Пусть задана целая рациональная функция. Зависимость между x, y обозначим P (x, y).

Определение 1. Уравеение вида P (x, y)=0 назовём алгебраическим. Оно определяет алгебраическую функциональную зависимость между x, y.

Определение 2. Если функция y=f (x) в некотором числовом промежутке удовлетвопяет алгебраическому уравнению, то она нащывается алгебраической функцией.

Алгебраические функции:

1. Целая рациональная функция является алгебраической.

2. Дробно-рациональная функция так же является алгебраической:

Теорема 1. Всякая дробно-рациональная функция является алгебраической.

Определение 3. Всякая алгебраическая функция, которая не является рациональной, называется иррациональной функцией.

3. Иррациональные функции являются алгебраическими.

Базовые иррациональные функции.

Параграф 7. Показательная функция.

Так как каждому значению х соответствует единственное значение у, то f является функцией, которую мы будем называть показательной.

Рассмотрим свойства функции на множестве рационаььных чисел.

1. Для a> 1:

2. Для 0 <a <1

Показательная функция на множестве действительных чисел.

Было показано, что функция показательная определена и имеет значения в каждой точке-рациональное число.

Необходимо доопределить функцию и найти её значение в каждой токе-иррациональное число.

Теорема. Если функция f (x), заданная в некоторой окрестности точки c, непрерывна в самой точке c, то значения функции в этой функции могут быт вычисленны, если известны, значения функции в каждой точке последовательности, которая имеет своим пределом точку c.

Чтобы все войства рассмотреть для показателя спенени в виде иррационаьного числа, нужно выполнить предельный переход, изображённый в теореме.

Изобразим график этой функции.

Исследуем функцию на выпуклость на всей области действительных чисел.

Параграф 8. Логарифмическая функция.

Определение 1. Логарифмом положительного числа b по основанию a,где a больше нуля и отлично от единице, называется показатель степени, при возведении в который число a получаем число b.

Основное логарифмическое тождество:

Теорема 1 (о существовании логарифма). Если a больше нуля и не равно единице, то существует единственное действительное число альфа такое, что a в степени альфа равно N, где N — наперёд заданное положительное число.

Доказательство.

Замечание 1. Логарифм нуля или отрицательного действительного числа не определяется, так как в основе понятия логарифма числа лежит значение показательной функции, которое только положительно.

Замечание 2. Логарифм с отрицательным основанием рассматриваться не будет в силу неоднозначности следующей операции:

Замечание 3.

Соотношение, которое получается на основе основного логарифмического тождества, является тождеством только для положительных x:

Свойства логарифма:

Определение 2. Логарифмической называют функцию, заданную формулой

Свойства логарифмической функции:

Параграф 10. Тригонометрические функции.

1. Основные тригонометрические функции.

Известно, что каждому числу х соответствует единственная точка на единичной окружности, получаемая поворотом точки (1, 0) на угол х радиан. Для этого угла определены sin x, cos x, тем самым каждому действительному числу х поставлено в соответствии числа sin x, cos x, то есть на множестве всех действительных чисел определены функции y=sin x, y=cos x. Областью определения будет всё множество действительных чисел.

Рассмотрим мнлжество значений.

Областью определения функции y=tg x является множество чисел

2. Чётность и нечётность, периодичность триоонометрических функций.

Каждая из функций sin x, cos x определена на множестве действительных чисел и для любого значния хверно равенство

Определение 1. Функцию f (x) называют периодичесткой, если существует такое число Т, отличное от нуля, что для любого х из области определения этой функции, выполняется равенство

Число Т называется периодом функции.

Следствие. Если х принадлежит области определения функции, то числа х+Тn, х-Тn также принадлежат области определения этой функции, где n принадлежит множеству целых значений.

3. Свойства функции y=cos x.

Функция y=cos x определена на множестве действительных чисел и областью значений является отрезок [-1,1]. Следовательно, график этой функции ограничен и лежит в полосе, между прямыми у=1, у=-1.

Так как эта функции имеет период 2П, то достаточно постоить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2П.

Пострьив график функции на отрезке 0, 2П, мы можем построить график функции при помощи сдвигов на 2Пn, n принадлежит Z.

Функция является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси Оу.

Для того, чтобы построить график на отрезке 0, 2П, достаточно построить его на отрезке 0, П, а затем симметрично отразить егь относительнт оси Ох.

Функция убывает на отрезке 0, П.

При повороте точки с координатами 1, 0 вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до П абсцис точки, то cos x1 уменьшается от 1 до -1, поэтому если

,

то cos x1 > cos x2. Это означает, что функция убывает на отрезке от 0 до П.

4. Функция у=sin x.

Определена на всей числовой прямой, явьяется нечётной и периодической.

График функции можно получить при помощи параллельного переноса вправо на п/2.

График такой функции называется синусоидой.

Основные свойства функции y=sin x:

5. Свойства функции y=tg x.

Определена на всей числовой прямой, кроме х=п/2+2Пn, является нечётной и пертодической с периодом П. Поэтому достаточно построить её график на промежутке 0, п/2, затем отразить его симметрично относительно начала координат, получив график на промежутке -п/2, п/2, используя периодичность, построить на всей области определения.

Основные свойства функции:

6. Обратные тригонометрические функции.

Вспомним некоторые сведения из математического анализа.

Пусть функция y=f (x) задана на промежутке [a, b] и непрерывна на нём, тогда, опираясь на теоремы Больцано и Вейерштрасса, имеем следующие выводы:

1. Теорема Вейерштрасса. Для y=f (x) достигает в каких-то точках отрезка [a, b] своего наименьшего значения A и своего наибольшего значения B, где максимальное значение функции равно B и минимальное равно A, значения аргумента функции в этих точках принадлежат данному отрезку.

2. Теоремс Блльцано. Функция y=f (x) на отрезке [a, b] принимает, и, возможно, неоднократно, некоторое любое значение C, заключённое между значениями A, B. Тогда каково бы не было значение y из данного отрезка [A, B], уравнение y=f (x) имеет по крайней мере один корень x из отрезка [a, b].

Теперь сопоставим с каждым значением y из отрезка [A, B] все те значения x, которые служат корнями уравнения y=f (x), получаем обратную функцию x=g (y).

Рассмотрим функцию sin x, которая задана на промежутке от 0 до 2П, где функция непрерывна, значит достигает своего наибольшего и наименьшего значения в интервале от -1 до 1.

Некоторые значения функция принимает неоднократно.

Найдём корни уравнения y=sin x.

x1=arcsin y, x2=П-arcsin y. Теперь каждому значению у из интервала -1, 1 поставим в соответствие те значения х, которые стали корнями уравнения. Получим обратную тригонометрическую функцию x=arcsin y.

Теорема. Если функция y=f (x) строго монотонная и непрерывна на [a, b], то обратная функция x=g (y) однозначна строго монотонна в том же направлении и непрерывна на промежутке [A, B], где f (a)=A, f (b)=B.

Используя вывод этой теоремы, рассмотрим функцию y=sin x на промежутке о -П/2 до П/2, где она непрерывна и строго возрастает. Тогда существует, и при том только одна, одиночная обратная функция.

Определение 1. Arcsin x, x из [-1, 1], называется такое действительное число y из [-П/2, П/2], sin которого равен x.

График функции y=arcsin x получается из графика функции y=sin x. Надо провести прямую y=x и отразить от этой прямой часть синусоиды.

Свойства функции y=arcsin x:

Определение 2. Arccos x, x из [-1, 1], называется такое действительное число y из [0, П], cos которого равен x.

Свойства:

Определение 3. Arctan x называется такое действительное число y из [-П/2, П/2], tan которого равен x.

Свойства:

Определение 4. Arccot x называется такое действительное число y из [0, П], cot которого равен x.

Свойства:

Тригонометрические функции связаны между собой большим количеством формул. Обратные тригонометрические функции чрезвычайно обогащают форменный аппарат тригонометрии, но пользоваться соотношениями , содержащие обратные функции, приходится, на самом деле, не очень часто. Математическая практика указывает , какие формулы заслуживают внимания:

1. х, где а> 0 и отлично от 1, является трансцендентной функцией.

Доказательство:

Требуется показать, что показательная функция не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению.

Допустим обратное.

Теорема 2. Логарифмическая функция с основание больше нуля и отличным от 1 является трансцендертной.

Доказательство:

Предположим, что функция у=log_a (x) является алгебраической функцией. Значит она удовлетворяет алгебраическому уравнению P (x, y)=0 в промежутке (0, +беск), где многочлен отличен от нуля.

Воспользуемся определением логарифма:

Теорема 3. Тригонометрические функции числового аргумента являются трансцендентными функциями.

Доказательство:

Было показано, что основные тригонометрические функции числового аргумента, пеииодические функции. Значит, одно и тоже значение c эти функции принимают в бесконечном ряде различных точек. Предположим, что эти функции алгебраические, то есть каждая из них в некотором промежутке (область определения функции) удовлетворяет некотооому алгебраическому уравнению P (x, y)=0. Степень алгебраического уравнения относительно переменной у определяется степенью вхождения переменной у в запись уравнения — это конкретное целое число.

Тогда уравнение P (x, c)=0 будет иметь бесконечное число решений, но алгебраическое уравнение имеет конечное число решений, равное высшей степени этого уравнения. Мы получили противоречие, которое отвергает наше допущение.

Следовательно, основные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями.

Параграф 12. Алгебра графиков.

1. Сложение и вычитание графиков.

1. Если необходимо построить график суммы двух функций, то нужно построить графики этих функций на одном чертеже, потом при каждом x сложить ординаты двух функций.

2. Если необходимо построить график разности двух функций, то этот случай сводится к построению суммы y=f (x)+(-g (x)). Причём график функции y=-g (x) получается из графика функции y=g (x) путём симметричного отражения отражения относительно оси Ох.

В случае, когда вторая функция постоянна, то графическое сложение означает сдвиг графика первой функции по вертикали на эту постоянную.

2. Произведение графиков.

В плоскости Оху выполнить построение каждого графика на общей части их областей определения. При умножении графиков при фиксированной абсциссе точки перемножаются ординаты этой точки.

Полезно обращать внимание на характерные точки обоих графиков.

3. Отношение графиков.

В плоскоти координат построить график данных функций. В тех точках, где функция, являющаяся делителем, принимает значения, равные нулю, мы будем иметь вертикальные асимптоты для данного графика.

4. Построение сложных функций.

Построить график внутренней функции. Дальнейшее построение вести по характерным точкам.

Объяснение урока: Область определения и область значений рациональной функции

В этом объяснении мы узнаем, как найти область определения и область значений рациональной функции либо из его графика, либо из его определяющего правила.

Прежде чем мы начнем искать область определения и область значений рациональных функций, давайте напомнить себе, что мы имеем в виду, когда говорим о домене и диапазоне функции.

Если мы подумаем о функции как об отображении, которое переводит вход в выход, домен будет набор входов и диапазон набор выходов. Рассмотрим следующее отображение схема:

Мы видим входы слева и выходы справа. Здесь домен представляет собой набор {1, 2, 3, 4}, а диапазон — это набор {2, 4, 6, 8}. Если мы рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=3𝑥+2 с доменом {3, 5, 7, 9}, то мы можем вычислить диапазон по подставляя каждое из значений области определения в функцию: 3(3)+2=11,3(5)+2=17,3(7)+2=23,3(9)+2=29.

Таким образом, диапазон равен набору {11, 17, 23, 29}.

Прежде чем двигаться дальше, напомним, что

• ℕ — это набор натуральных чисел.
• ℤ — набор целых чисел.
• ℚ — множество рациональных чисел.
• ℝ — набор действительных чисел.
• ℂ — набор комплексных чисел.

Если мы рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=4𝑥−2 с областью определения 𝑥∈ℝ (что означает, что 𝑥 принадлежит множеству действительных чисел), при размышлении о диапазоне функции может быть полезно рассмотреть ее график.

Здесь мы видим, что график представляет собой прямую линию, и каждое введенное действительное число имеет действительное число. вывод, а поскольку линия бесконечно продолжается в обоих направлениях, вывод любого действительного числа возможный. Следовательно, диапазон — это все действительные числа.

Если мы посмотрим на квадратичную функцию, например, 𝑓(𝑥)=𝑥, область определения которой действительные числа, и если мы посмотрим на график 𝑦=𝑓(𝑥), мы можем использовать это для определения диапазона.

Мы видим, что для любого входа выход положительный, поэтому диапазон Функция — это любое действительное число, большее или равное нулю.

Теперь, учитывая этот обзор, давайте введем понятие рациональных функций. Как правило, мы склонны определить область определения и диапазон функций над действительными числами, и мы будем делать то же самое здесь. Мы по-другому подходим к определению областей и диапазонов рационального функций, так как не всегда легко начертить их графики. Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=2𝑥+3.

Обратите внимание, при вводе -3 мы получаем 20.

Любое деление на ноль не определено, поэтому мы имеем, что функция не определена на данный момент. Однако любой ненулевой вход будет иметь соответствующий выход в действительных числах, поэтому мы можем заявить, что домен — это действительные числа, исключая -3, записанные ℝ−{−3}.

Рассматривая природу функции, мы также видим, что любое действительное число может быть выведено. достигается за исключением нуля: по мере того, как 𝑥 становится все больше в величина, выход становится все меньше; однако выход никогда не может достичь нуль. Следовательно, диапазон функции равен ℝ−{0}.

В общем, чтобы вычислить область определения рациональной функции, нам нужно идентифицировать любую точку где функция не определена, то есть любая точка, которая дала бы знаменатель, равный равен нулю. Чтобы найти область значений рациональной функции, нам нужно определить любую точку, которая не может быть достигнуто ни от какого входа; их обычно можно найти, рассматривая пределы функция, поскольку величина входных данных становится очень большой. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Нахождение области определения и области значений рациональной функции с одним неизвестным в Знаменатель

Найдите область определения и диапазон функции 𝑓(𝑥)=−1𝑥−5.

Ответ

Судя по графику, домен равен ℝ−{5}, а диапазон равен ℝ−{0}. Однако мы должны также проверить это алгебраически.

Мы знаем, что рациональная функция не определена для любых входных данных, которые приводят к нулю знаменатель. Мы можем приравнять знаменатель функции к нулю, чтобы найти неопределенное точка. У нас есть 𝑥−5=0, что дает решение 𝑥=5.

Это подтверждает, что домен ℝ−{5}. К подтвердите диапазон, который нам нужен, чтобы определить все значения, которые не могут быть достигнуты с учетом домена. По мере того, как 𝑥 становится все больше по величине, выход стремится к нулю но никогда не достигнет нуля. Поэтому диапазон действительно ℝ−{0}.

Давайте теперь рассмотрим пример, где нам не дан график и мы должны приблизиться к вопрос алгебраически.

Пример 2. Алгебраическое определение области определения и области значений рациональной функции с одним неизвестным в знаменатель

Определить домен и диапазон функции 𝑓(𝑥)=1𝑥−2.

Ответ

Помните, что выражение 10 не определена, и отсюда мы можем определить, что рациональная функция не определена ни для какого ввод, который приводит к нулевому знаменателю. Мы можем приравнять знаменатель функции к ноль, чтобы найти неопределенную точку. У нас есть 𝑥−2=0, что дает решение 𝑥=2.

Следовательно, мы можем указать домен как ℝ−{2}. К найти диапазон, нам нужно определить все значения, которые не могут быть достигнуты с учетом домена. По мере того, как 𝑥 становится все больше по величине, выход становится прогрессивно приближается к нулю, но фактически никогда не достигнет нуля. Следовательно, диапазон ℝ−{0}.

Теперь рассмотрим пример нахождения области определения и области значений функции с неизвестным вверху и внизу выражения.

Пример 3. Нахождение области определения и области значений рациональной функции алгебраически с неизвестным в Числитель и знаменатель

Определить функцию действительных чисел как 𝑓(𝑥)=2𝑥+34𝑥+5.

1. Какова область определения функции?
2. Найдите единственное значение, которое 𝑓(𝑥) не может принимать.
3. Каков диапазон функции?

Ответ

Часть 1

Чтобы найти область определения функции, нам нужно установить, существуют ли значения 𝑥 для который 𝑓(𝑥) не определен. Поскольку это рациональная функция, она будет undefined, когда его знаменатель принимает нулевое значение. Поэтому график функции будет иметь асимптоту, когда 4𝑥+5=0. Если мы вычтем из каждой части уравнения по 5, а затем разделим на 4, получим, что асимптота имеет уравнение 𝑥=−54. Следовательно, домен функция представляет собой все действительные числа, кроме −54, обозначенные ℝ−−54.

Часть 2

Чтобы определить значение, которое не может принимать 𝑓(𝑥), нам нужно исследовать предел функции. То есть, что происходит, когда 𝑥 получает большой. Чтобы упростить этот процесс, полезно разделить верхнюю и нижнюю часть используйте 𝑥, чтобы получить 𝑓(𝑥)=2+4+.

Отсюда мы можем видеть, что по мере того, как 𝑥 становится все больше, 3𝑥 и 5𝑥 все ближе и ближе ноль, и, следовательно, функция становится все ближе и ближе к 12, но никогда на самом деле не достичь его.

Часть 3

Из решения части 2 видно, что весь диапазон функции реален числа, кроме 12, обозначаются ℝ−12.

Давайте теперь рассмотрим пару более сложных примеров. Во-первых, вопрос, где рациональная функция представлена ​​как сумма двух функций, и, во-вторых, рациональная функция числитель и доминатор которого нелинейны.

Пример 4. Нахождение области определения суммы рациональных выражений

Определить область определения функции 𝑓(𝑥)=3𝑥−3+1𝑥+4.

Ответ

Напомним, что рациональные функции определены, когда их знаменатели отличны от нуля. Из функции, записанной в таком виде, мы можем видеть, что есть две точки, в которых функция не определено: когда 𝑥−3=0 и когда 𝑥+4=0. Это означает что функция не определена, когда 𝑥=−4 и 𝑥=3. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме −4 и 3, обозначается ℝ−{−4,3}.

В качестве дополнительной информации, если бы мы пытались найти диапазон этого функции, хотя каждое из суммируемых рациональных выражений не может принимать значение ноль, существует вход 𝑥, который отображается в ноль, что равно 𝑥=−94. Следовательно, диапазон этой функции на самом деле целые действительные числа (ℝ).

Пример 5. Нахождение области определения более сложного рационального выражения

Нахождение области определения вещественной функции 𝑓(𝑥)=𝑥−1610𝑥+70𝑥.

Ответ

Помните, что рациональная функция определена только тогда, когда ее знаменатель отличен от нуля. Следовательно, для нахождения области необходимо найти нули уравнения 10𝑥+70𝑥=0. Чтобы решить это, мы можем факторизовать из 𝑥 получить 𝑥10𝑥+70=0.

Отсюда мы можем видеть, что у нас есть ноль, когда 𝑥=0. квадратичный Однако 10𝑥+70 не имеет настоящих корней. Поэтому единственный ноль знаменатель 𝑥=0. Таким образом, областью определения являются все действительные числа, кроме 0, обозначается ℝ-{0}.

Ключевые точки

Чтобы найти область определения и область значений рациональных функций, запомните следующие шаги:

• привести к знаменателю нуля.
• Чтобы найти диапазон рациональной функции, нам нужно идентифицировать все значения, которые функция не может принять. Часто бывает полезно взглянуть на пределы функции, чтобы помочь нам в этом процессе.
• Может быть полезно рассмотреть график функции, чтобы помочь в процессе определение области и области действия функции.

Домен и диапазон рациональной функции (3 ключевые идеи) – JDM Educational

Когда мы работаем с рациональными функциями, нам часто нужно найти домен и диапазон. Это помогает нам построить график функции, включая любые горизонтальные и вертикальные асимптоты.

Итак, каковы область определения и область значений рациональной функции? Область определения рациональной функции — это множество всех действительных чисел, кроме тех, у которых знаменатель равен нулю. Диапазон рациональной функции — это набор возможных выходных значений, который часто находится при анализе графика или нахождении области определения обратной функции.

Конечно, мы должны уметь пользоваться различными методами разложения на множители (включая разность квадратов, совершенные квадратные трехчлены и т. д.), чтобы иметь возможность находить нули знаменателя рациональной функции.

В этой статье мы поговорим о том, как найти область определения и область значений рациональной функции как с помощью алгебры, так и по графикам.

Начнем.

Домен и диапазон рациональной функции

Во-первых, важно определить ключевые термины. Помните, что рациональная функция есть частное двух многочленов.

То есть рациональная функция R(x) имеет вид P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) — многочлены.

Рациональная функция представляет собой частное полиномов и может иметь как горизонтальные, так и вертикальные асимптоты (иногда более одной каждой).

Многочлен представляет собой сумму членов вида a _n x ⁿ , где a _n — коэффициент, а x ⁿ — переменная, возведенная в n-ю степень. For example, the following are polynomials:

Uses Of Trig Functions

Please enable JavaScript

Uses Of Trig Functions

• 5
• 2x + 5
• x ² + 5
• х ² + 3х + 5
• x ³ – 4x ² + 2x – 7
• …и т. д.

Рациональная функция — это просто частное полиномов, подобных приведенным выше. Например, рациональными функциями являются:

• 5 / (х + 1)
• (х — 4) / (х ² — 9)
• — 2 + ^{5) / (x 3 – 4x 2 + 3x – 8)}
• … и т. д.

Теперь, когда мы знаем, что такое рациональная функция, мы можем найти ее область определения и область значений.

Проще говоря:

• Область рациональной функции представляет собой набор входных данных (значений x), которые не приводят к нулевому знаменателю. Например, областью определения f(x) = 1/x являются все действительные числа, кроме x = 0, часто обозначаемые как R – {0}.
• Диапазон рациональной функции представляет собой набор всех возможных выходных значений (y-значений). Например, диапазон g(x) = 1/x ² — все положительные действительные числа, часто обозначаемые как R ⁺ .

Лучший способ проанализировать рациональную функцию — найти область определения путем проверки нулевых знаменателей (чтобы найти область определения), а затем найти возможный набор выходных значений (чтобы найти диапазон).

Графики также могут помочь с обоими этими шагами.

Давайте сначала посмотрим, как найти область определения рациональной функции, а затем мы посмотрим, как найти диапазон.

Как найти область определения рациональной функции

Чтобы найти область определения рациональной функции, нам нужно найти входные данные (значения x), при которых знаменатель равен нулю, и исключить их из области определения.

Итак, допустим, что наша рациональная функция есть f(x) = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) — многочлены. Вот шаги, чтобы найти домен:

1. Во-первых, возьмите многочлен знаменателя и установите его равным нулю; то есть Q(x) = 0,
2. Затем полностью разложите Q(x), используя необходимые методы факторизации (такие как разность квадратов, разложение на множители, трехчлены с совершенными квадратами и т. д.)
3. Затем, после полного разложения Q(x) на множители, выпишите решения уравнения Q(x) = 0.
4. Наконец, запишите домен как действительные числа, исключая решения на шаге 3.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как это работает.

Пример 1. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = 1 / x.

Вы можете увидеть график функции ниже.

Это график рациональной функции f(x) = 1/x. Это также называется обратной функцией. Он является обратным сам себе и имеет горизонтальную асимптоту при x = 0 и вертикальную асимптоту при y = 0,9.0002 Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x = 0.

Наш второй шаг — полностью разложить Q(x) на множители. Это уже сделано, так как x неприводим.

Наш третий шаг — записать решения для Q(x) = 0. Это дает единственное решение x = 0.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как R – {0} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение двух множеств: (-∞, 0)u(0, ∞).]

Пример 2. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x + 2) / (x ² – 9).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x + 2) / (x ² – 9) имеет вертикальные асимптоты при x = -3 и x = 3 с горизонтальной асимптотой при y = 0.

Знаменатель представляет собой многочлен Q(x) = x ² – 9.

Наш первый шаг – приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ² – 9 = 0.

Наш второй шаг – полностью факторизовать Q(x). Заметим, что x ² – 9 – это разность квадратов, которая умножается как (x + 3)(x – 3).

Наш третий шаг — выписать решения для Q(x) = 0. Для (x + 3)(x – 3) = 0 два решения равны x = -3 и x = 3.

Наш четвертый шаг состоит в том, чтобы записать домен f(x) как R – {-3, 3} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение трех множеств: (-∞, -3)u(-3, 3)u(3, ∞).

Пример 3. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x ² + 3) / (x ³ + 3x ² + 2x).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x ² + 3) / (x ³ + 3x ² + 2x), имеющей вертикальные асимптоты при x = -2, x = -1, и x = 0, а также горизонтальную асимптоту при y = 0.

Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x ³ + 3x ² + 2x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ³ + 3x ² + 2x = 0.

Наш второй шаг — полностью разложить Q(x) на множители. Мы замечаем, что мы можем выделить GCF (наибольший общий множитель) x, а затем перейти от этого:

x(x ² + 3x + 2) = 0   [вычесть GCF x]

x(x+ 1)(x + 2) = 0

Наш третий шаг — выписать решения Q(x) = 0. Для x(x + 1)(x + 2) = 0 , три решения: x = 0, x = -1 и x = -2.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как R – {-2, -1, 0} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение четырех множеств: (-∞, -2)u(-2, -1)u(-1, 0)u(0, ∞).

Пример 4. Найдите область определения рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = (x ³ + 7x + 1) / (x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x).

Вы можете увидеть график функции ниже.

График рациональной функции f(x) = (x ³ + 7x + 1) / (x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x), имеющей вертикальные асимптоты при x = — 2, -1, 0 и 1, с горизонтальной асимптотой при y = 0.

Знаменатель представляет собой полином Q(x) = x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x.

Наш первый шаг — приравнять Q(x) к нулю: это дает нам уравнение x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x = 0.

Наш второй шаг – полностью факторизовать Q(x). Попробуем разложить по группам, глядя на пары термов:

• x ⁴ + 2x ³ – x ² – 2x = 0   [Q(x) = 0]
5 (x 9 ⁴ + 2x ³ ) – (x ² + 2x) = 0   [сгруппировать пары терминов, чтобы помочь коэффициенту]
• x ³ (x + 2) – x(x + 2) = 0   [вынести GCF из каждой пары]
• (x ³ – x)(x + 2) = 0
• x(x ² – 1)(x + 2) = 0 [вычесть GCF x из x ³ – x ² ]
• x(x + 1)(x – 1)(x + 2) = 0   [множитель x ² – 1 как разность квадратов]

Наш третий шаг: чтобы выписать решения Q (x) = 0. Для x (x + 1) (x – 1) (x + 2) = 0 четыре решения: x = -2, x = -1, x = 0 , и x = 1.

Наш четвертый шаг — записать область определения f(x) как Р — {-2, -1, 0, 1} .

Обратите внимание, что мы могли бы также записать домен как объединение пяти множеств: (-∞, -2)u(-2, -1)u(-1, 0)u(0, 1)u(1, ∞ ).

Как найти диапазон рациональной функции

Чтобы найти диапазон рациональной функции, мы можем воспользоваться несколькими подходами.

Один из способов найти обратную функцию и взять ее область определения, которая является диапазоном исходной функции.

Другой метод — построить график функции и использовать его, чтобы помочь нам найти диапазон (используя горизонтальные асимптоты).

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, как это работает.

Пример 1. Найдите область значений рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = 1/x.

Поскольку эта функция обратима в области определения (x не равен нулю), мы можем найти обратную и использовать тот факт, что область значений функции f(x) является областью определения ее обратной функции f ^-1 (x) .

Итак, у нас есть функция f(x) = 1/x. Мы используем стандартные шаги, чтобы найти обратную функцию:

• f(x) = 1/x   [исходная функция]
• y = 1/x   [заменить f(x) на y]
• x = 1/y 9014 x и y [переключить переменные]
• xy = 1   [умножить на y с обеих сторон]
• y = 1/x   [разделить на x с обеих сторон]
• f ^-1 (x) = 14/4 [заменим y на f ^-1 (x)]

Итак, наша обратная функция: f ^-1 (x) = 1/x. Мы можем видеть, что эта рациональная функция имеет знаменатель x, который равен нулю, когда x = 0.

Итак, домен f ^-1 (x) равен R – {0} . Это означает, что диапазон f(x) равен 90 143 R – {0} 90 144 . Мы можем убедиться в этом с помощью графика функции, показанного ниже.

График рациональной функции f(x) = 1/x, у которого область значений x не равна нулю, а диапазон значений y не равен нулю.

Пример 2. Найдите область значений рациональной функции

Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = 1 / (x ³ – 8).

Поскольку эта функция обратима в области определения (x не равно 2), мы можем найти обратную и использовать тот факт, что областью значений функции f(x) является область определения ее обратной функции f ^-1 (x) .

Итак, у нас есть функция f(x) = 1 / (x ³ – 8). Мы используем стандартные шаги, чтобы найти обратную функцию:

• f(x) = 1 / (x ³ – 8)   [исходная функция]
• y = 1 / (x ³ – 8)   [заменить f(x) на y]
• x = 1/(y ³ – 8)     [переставить переменные x и y]
• x(y ³ – 8) = 1   [умножить на y ³ – 8 с обеих сторон]
• y ³ – 8 = 1/x   [разделить на x с обеих сторон]
• 6
  = (1/x) + 8)   [добавьте 8 к обеим сторонам]
  • y ³ = (8x + 1)/x   [общий знаменатель 8]
  • y = ^{6 √ 3 (8x + 1)/x)}   [извлечь кубический корень из обеих частей]

  Итак, наша обратная функция: f ^-1 (x) = ³ √((8x + 1)/8). Обратите внимание, что знаменатель подкоренной дроби не может быть равен нулю. Итак, х не равен нулю.

  Обратите внимание, что здесь у нас может быть отрицательное подкоренное число, поскольку мы берем кубический, а не квадратный корень.

  Итак, домен f ^-1 (x) равен R – {0} . Это означает, что диапазон f(x) равен 90 143 R – {0} 90 144 . Мы можем убедиться в этом с помощью графика функции, показанного ниже.

  Это график рациональной функции f(x) = 1 / (x ³ – 8), которая имеет вертикальную асимптоту при x = 2 и горизонтальную асимптоту при y = 0.

  Пример 3: Найдите диапазон рациональной функции

  Допустим, у нас есть рациональная функция f(x) = x / (x – 1).

  Так как эта функция обратима на области определения (x не равно 1), мы можем найти обратную и использовать тот факт, что областью значений функции f(x) является область определения ее обратной функции f ^-1 ( х) .

  Итак, у нас есть функция f(x) = x / (x – 1). Мы используем стандартные шаги, чтобы найти обратную функцию:

  • f(x) = x / (x – 1)   [исходная функция]
  • y = x / (x – 1)   [заменить f(x) на y]
  • x = y / (y – 1)   [переставить переменные x и y]
  • x(y– 1) = y   [умножить на y – 1 с обеих сторон]
  • xy – x = y   [распределить через круглые скобки]
  • xy – y = x [изолировать y слева]
  y(x 901 – 1) = x   [вынести y]
  • y = x / (x – 1)   [разделить на x – 1 с обеих сторон]

  Итак, наша обратная функция равна f ^-1 (х) = х / (х — 1). Знаменатель x – 1 не может быть равен нулю, поэтому область определения f ^-1 (x) равна R – {1} .

  Это означает, что диапазон f(x) равен R – {1} . Мы можем убедиться в этом с помощью графика функции, показанного ниже.

  No related posts.