Как найти среднюю линию трапеция: Средняя линия трапеции — как найти ее длину (формула) и каковы ее свойства

Найдите среднюю линию трапеции

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания связанные с трапецией. На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с площадью трапеции, а также с углами. Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии.  Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

Ответ: 23

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

Ответ: 38

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

Ответ: 10

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

Ответ: 4

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

Ответ: 20

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

Ответ: 9

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

Ответ: 14

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

При чём:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

Ответ: 12

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть  другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Ответ: 3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

28854.Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны √2.

В данном случае видно, что средняя линия трапеции равна трём диагоналям клетки. Диагональ одной клетки по теореме Пифагора будет равна:

Значит средняя линия равна 2∙3=6.

Конечно, есть и другой путь решения.

Если допустить мысль, что основания трапеции могут лежать по отношению к сетке под углом не 45 градусов, а например 30, или другим, то вполне применим следующий метод (таких задач на ЕГЭ не предвидится):

Вычисляем основания используя теорему Пифагора, а далее используем формулу средней линии.

Основание AD при данных условиях это диагональ в прямоугольном треугольнике с катетами равными 4 сторонам клетки, вычисляем:

Основание BC это диагональ в прямоугольном треугольнике катетами равными  2 сторонам клетки, вычисляем:

Средняя линия будет равна  (8+4)/2=6.

*То есть при данном подходе, как бы ни была построена трапеция всегда можно вычислить основания.

Ответ: 6

27853. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны √2.

Высота трапеции равна диагонали клетки. Вычисляем по теореме Пифагора:

Ответ: 2

27821. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Посмотреть решение

27838.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P,S: Расскажите о сайте в социальных сетях.

Трапеция, Средняя линия трапеции, треугольник

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны называются трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а те стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами. Если боковые стороны равны, то такая трапеция является равнобедренной. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя Линия Трапеции

Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной боковой стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит пополам вторую боковую сторону трапеции.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин её оснований

MN || AB || DC
AM = MD; BN = NC

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — боковые стороны

MN = (AB + DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин её оснований.

Основная задача: Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат в середине оснований трапеции.

Средняя Линия Треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Она параллельна третьей стороне и её длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема: Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC and BN = NC =>

MN || AB

MN = AB/2

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определённое количество равных частей.
Задача: Разделить отрезок AB на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p это случайный луч, у которого начало это точка А, и который не лежит на прямой AB. Мы последовательно откладываем 5 равных сегментов на p AA

1 = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅
Мы соединяем A₅ с B и проводим такие прямые через A₄, A₃, A₂ и A₁, которые параллельны A₅B. Они пересекают AB соответственно в точках B₄, B₃, B₂ и B₁. Эти точки делят отрезок AB на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB₃A₃A₅ мы видим, что BB₄ = B₄B₃. Таким же образом, из трапеции B₄B₂A₂A₄ получаем B₄B₃ = B₃B₂

В то время как из трапеции B₃B₁A₁A₃, B₃B₂ = B₂B₁.
Тогда из B₂

AA₂ следует, что B₂B₁ = B₁A. В заключении получаем :
AB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B
Ясно, что для разделения отрезка AB на другое количество равных частей, нам нужно проецировать то же самое количество равных сегментов на луч p. И далее продолжать вышеописанным способом.

Трапеция, средняя линия и средний сегмент трапеции и треугольника

Четырехугольник с двумя противоположными параллельными сторонами называется трапецией (трапецией) .

Параллельные стороны трапеции называются основаниями (AB и CD), а те, которые не параллельны, называются катетами (AD и BC).
Если катеты равны по длине, трапеция называется равнобедренной .
DE и CF — это высоты .

Средняя линия трапеции

Линия, соединяющая середины непараллельных сторон, называется средней линией (или средней линией) трапеции.

Линия MN является средней линией ABCD. А отрезок MN является средним отрезком ABCD.

AM = MD
BN = НЗ

Средняя линия трапеции параллельна ее сторонам.
В нашем случае — MN || АБ || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.

Теорема 1:

Если прямая, проходящая через середину катета трапеции, параллельна ее основаниям, затем линия проходит через середину другой ноги.

Теорема 2:

Средний сегмент трапеции равен половине длин двух параллельных сторон.

Другими словами:
$\overline{MN} = \frac{\overline{AB} + \overline{DC}}{2}$

Середина треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется серединой

треугольника.

Он параллелен третьей стороне и его длина вдвое меньше третьей стороны.

Теорема : Если отрезок пересекает середину одной стороны треугольника и параллелен другой стороне того же треугольника, то этот отрезок делит третью сторону пополам.

$\overline{AM} = \overline{MC}$ и $\overline{BN} = \overline{NC}$ =>

$ млн || AB$
$\overline{MN} = \frac{\overline{AB}}{2}$

Применение свойств средних сегментов

Разделите отрезок на равные отрезки, не измеряя.

Задание: Разделить заданный отрезок $\overline{AB}$ на 5 равных отрезков без измерения.

Решение:

Пусть p — произвольный луч с началом A, не лежащий на AB. Проводим последовательно пять равных отрезков на с.
$\overline{AA_1} = \overline{A_1A_2} = \overline{A_2A_3} = \overline{A_3A_4} = \overline{A_4A_5}$

Соединяем A ₅ с B и проводим линии через A ₄ , А ₃ , А ₂ и A ₁ , которые параллельны A ₅ B.

Они пересекают АВ в точках B ₄ , B ₃ , B ₂ и B ₁ соответственно. Эти точки делят отрезок $\overline{AB}$ на пять равных отрезков.

Действительно, из трапеции BB ₃ A ₃ A ₅ мы видим, что $\overline{BB_4} = \overline{B_4B_3}$. Таким же образом из трапеции В ₄ В ₂ А ₂ А ₄ , получаем $\overline{B_4B_3} = \overline{B_3B_2}$

А из трапеции B ₃ B ₁ A ₁ A ₃ ,
$\overline{B_3B_2} = \overline{B_2B_1}$.
Тогда из B ₂ AA ₂ следует, что $\overline{B_2B_1} = \overline{B_1A}$. В итоге получаем:

$\overline{AB_1} = \overline{B_1B_2} = \overline{B_2B_3} = \overline{B_3B_4} = \overline{B_4B}$

Ясно, что если AB нужно разделить на другое количество равных отрезков, мы должны спроецировать такое же количество равных отрезков на p. Дальше поступаем так же.

Средний сегмент трапеции Калькулятор

Создано Luciano Mino

Отзыв от Davide Borchia

Последнее обновление: 02 февраля 2023 г.

Содержание:

• Что такое медиана трапеции?
• Средняя часть трапеции формула
• Как найти среднюю часть трапеции?
• Другие полезные инструменты
• Часто задаваемые вопросы

Калькулятор среднего сегмента трапеции позволяет получить длину среднего сегмента или медианы трапеции. Медиана трапеции — это прямая, параллельная основаниям, расположенным посередине между ними. С помощью этого инструмента вы узнаете формулу средней части трапеции и узнаете, как найти среднюю часть любой трапеции.

Что такое медиана трапеции?

Медиана или середина трапеции — это линия, параллельная основаниям трапеции, которая проходит через середину между ними. Он простирается от одной непараллельной стороны к другой.

Трапеция со сторонами abcd.

Зная длину одного основания, вы можете использовать средний отрезок, чтобы найти длину другого. Давайте посмотрим на средний сегмент формулы трапеции, чтобы узнать, как это сделать.

Средняя часть трапеции формулы

Медиана или средний сегмент трапеции ABCD является прямой. Нам просто нужна длина каждого из оснований (ABABAB и CDCDCD), складываем их, а затем делим результат на два:

Midsegment=AB+CD2\text{Midsegment} = \frac{AB+CD}{2} Midsegment=2AB+CD​

Это то же самое, что и нахождение медианы или среднего значения между основаниями, отсюда и название. Если вы найдете какие-либо две переменные, вы можете легко получить другую, заменив значения в приведенном выше уравнении, или просто использовать средний сегмент калькулятора трапеций, и он сделает всю работу за вас 😉.

Как найти среднюю часть трапеции?

Чтобы найти среднюю часть трапеции:

1. Измерьте и запишите длину двух параллельных оснований.
2. Добавьте два числа.
3. Разделите результат на два. Это длина среднего сегмента.

Вы можете проверить результат с помощью среднего сегмента калькулятора трапеций или взглянуть на наш калькулятор трапеций, чтобы узнать больше.

Другие полезные инструменты

В этом тексте мы рассмотрели:

• Определение медианы трапеции;
• Медиана формулы трапеции; и
• Как найти середину трапеции.

Не стесняйтесь прочитать раздел часто задаваемых вопросов

или попробовать другие полезные инструменты, похожие на средний сегмент калькулятора трапеций:

• Калькулятор трапеций
• Калькулятор площади трапеции
• Калькулятор периметра трапеции
• Калькулятор стороны трапеции
• Калькулятор угла трапеции
• Калькулятор высоты трапеции
• Калькулятор равнобедренной трапеции
• Калькулятор площади равнобедренной трапеции
• Калькулятор правой трапеции
• Калькулятор площади правой трапеции
• Калькулятор площади неправильной трапеции

Часто задаваемые вопросы

Сколько средних сегментов у трапеции?

Трапеция имеет только один средний сегмент.