Как найти в алгебре вероятность: Классическое определение вероятности — урок. Алгебра, 9 класс.

Алгебра. Урок 9. Статистика, вероятности

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Оглавление страницы:

• Статистика:

Среднее арифметическое
Медиана
Размах
Мода

• Вероятности

Случайное событие
Частота случайного события
Благоприятные/неблагоприятные исходы
Вероятность случайного события
Противоположное событие
Вероятность противоположного события

• Теоремы о вероятностных событиях

Несовместные и совместные события
Теорема сложения вероятностей
Независимые и зависимые события
Теорема умножения вероятностей

• Симметричная монета

• Симметричная игральная кость

 

Статистика. Числовые характеристики ряда чисел

Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству.

Другими словами, среднее арифметическое – это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а взнаменателе – их количество.

Пример:

• Вычислить среднее арифметическое данных чисел:  6, 10, 16, 20.

Среднее арифметрическое: (6+10+16+20)4=524=13

 

Медиана ряда чисел – это число, стоящее посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду нечётное.

Пример:

• Найти медиану ряда чисел:  12, 2, 11, 3, 7, 10, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):  2, 3, 3,  7, 10, 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоит число 7.

 

Медиана ряда чисел – это полусумма двух стоящих посередине упорядоченного ряда чисел, если количество чисел в ряду чётное.

Пример:

• Найти медиану ряда чисел:  8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Сперва упорядочим этот ряд (расположим числа в порядке возрастания, от меньшего к большему):   2, 3, 7,10, 11, 12

Посередине данного упорядоченного ряда стоят два числа: 7 и 10.

Их полусумма равна: 7+102=172=8,5

 

Размах ряда чисел – это разность между наибольшим и наименьшим числом.

Пример:

• Найти размах ряда чисел: 8, 3, 10, 1, 16, 2, 3

Для удобства упорядочим этот ряд: 1, 2, 3, 3, 8, 10, 16

Наибольшее значение ряда: 16. Наименьшее значение ряда: 1.

Размах:  16−1=15

 

Мода ряда чисел – наиболее часто встречающееся число в этом ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды, а может вообще не иметь моды.

Примеры:

1. Найти моду ряда: 1, 5, 6, 3,10, 32, 4, 3

Число, встречающееся в этом ряду чаще всех: 3.

Данный ряд имеет моду: 3.

1. Найти моду ряда: 5, 2, 3, 4, 1, 0, 8

Каждое число в данном ряде встречается одинаковое количество раз (один раз).

Данный ряд не имеет моды.

1. Найти моду ряда: 9,1,4,10,17,1,33,6,9,8,5,5

Числа 1,5,9  встречаются в этом ряде наибольшее количество раз (по два раза).

Данный ряд имеет три моды: 1,5,9.

 

Случайное событие – это событие, которое может произойти, а может не произойти.

Мы называем событие случайным, если нельзя утверждать, что это событие в данных обстоятельствах непременно произойдёт.

События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Частота случайного события A в серии опытов – это отношение числа тех опытов, в которых событие A произошло, к общему числу проведенных опытов.

Примеры:

1. Какова частота события «выпал орёл», если в серии опытов из 20бросков монеты решка выпала 8раз?

Если решка выпала 8 раз, то орёл выпал 20−8=12 раз.

Частота: 1220=610=0,6

1. Какова частота события «выпало чётное число очков» в серии опытов из восьми бросков кубика, если результаты представлены в виде числового ряда: 3, 2, 3, 5, 1, 1, 6, 4

Как мы видим, чётных чисел выпало три штуки.

Частота: 38=0,375

 

Каждое случайное событие делится на несколько элементарных исходов.  Они делятся на благоприятные исходы и неблагоприятные исходы.

Например, для события «выпало четное число очков» при броске кубика:

• Благоприятные исходы:

«выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков»

• Неблагоприятные исходы:

«выпало одно очко», «выпало три очка», «выпало пять очков»

Все возможные исходы = благоприятные исходы + неблагоприятные исходы.

 

Вероятность случайного события P(A) – это отношение благоприятных исходов m к общему числу исходов n.P(A)=mn

Вероятность случайного события лежит в пределах от 0 до 1.0≤P(A)≤1

Сумма вероятностей всех элементарных исходов случайного эксперимента равна 1.

Примеры:

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, белого кролика?

Число благоприятных исходов: m=0, так как ни одного кролика нет.

Число всех возможных исходов: n=3, так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать кролика», посчитаем вероятность этого события. P(A)=mn=03=0

 

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара, синий шар?

Число благоприятных исходов: m=3, так как каждый из трех шариков синий, каждый подходит.

Число всех возможных исходов: n=3, так как есть три объекта, которые можно достать из шляпы.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P(A)=mn=33=1

 

1. Какова вероятность вытащить из шляпы, в которой лежат три синих шара и девять красных шаров, синий шар?

Число благоприятных исходов: m=3, так как всего синих шаров в шляпе три.

Число всех возможных исходов: n=3+9=12, так как всего в шляпе 12 объектов, которые можно достать.

A=«достать синий шар», посчитаем вероятность этого события. P(A)=mn=312=0,25

 

Событие A¯называется противоположным событию A, если событие A¯ происходит тогда, когда событие A не происходит (то есть вместо события A происходит событие A¯ ).

Примеры противоположных событий:

1. A: «купить молоко», A¯: «не купить молоко»

1. A: «прибор исправен», A¯: «прибор неисправен»

1. A: «выпал орёл», A¯: «выпала решка»

1. A: «на игральной кости выпало нечетное число», A¯: «на игральной кости выпало чётное число»

Вероятность противоположного события определяется по формуле: P(A¯)=1−P(A)

Примеры:

1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,28. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Пусть событие A: «ручка пишет плохо».

Противоположное событие: A¯: «ручка пишет хорошо»

P(A)=0,28. Найдём вероятность противоположного события по формуле:

P(A¯)=1−P(A)=1−0,28=0,72

 

1. В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 8 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Пусть событие A: «фонарик неисправен»

Противоположное событие A¯: «фонарик исправен»

P(A)=8100=0,08

P(A¯)=1−P(A)=1−0,08=0,92

Ответ: 0,92

Два события называются несовместными, если они не могут произойти одновременно, то есть если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными.

Примеры несовместных событий:

• Выпадение 1, выпадение 5, выпадение 6 при бросании кости

За один бросок может выпасть либо 1, либо 5, либо 6. Одновременно два или три значения выпасть не могут, только одно.

• Выпадение орла, выпадение решки при броске монеты

За один бросок может выпасить либо орёл, либо решка, одновременно орёл и решка выпасть не могут.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух (или более) несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B)

Примеры:

1. Паша на экзамене вытягивает билет. Все билеты относятся к одной из трех тем: «углы», «треугольники», «четырехугольники». Вероятность того, что Паше попадется билет по теме «треугольники» равна 0,22, вероятность того, что ему попадется билет по теме «четырехугольники» равна 0,31, вероятность того, что ему попадется билет по теме «углы» равна 0,47. Паша знает тему «углы» и тему «треугольники», но «четырехугольники» вызывают у него затруднения. Найдите вероятность того, что ему попадется билет по теме «треугольники» или по теме «углы».

Решение:

Событие A= «вытащить билет по теме углы» и событие B= «вытащить билет по теме треугольники» – несовместные.

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)

P(A+B)=0,47+0,22=0,69

Ответ: 0,69

1. Макар играет в лотерею. Вероятность выиграть стиральную машину равна 0,001, вероятность выиграть денежный приз 0,013, вероятность выиграть сувенир 0,04. Найдите вероятность того, что лотерейный билет принесёт Макару какой-нибудь приз.

Решение:

Событие A= «выиграть машину», событие B= «выиграть денежный приз» и событие C= «выиграть сувенир» несовместные.

Вероятность появления одного из трех несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(A+B+C)=0,001+0,013+0,04=0,054

Ответ: 0,054

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. В противном случает события называются зависимыми.

Примеры независимых событий:

• Игральный кубик бросают два раза. Выпадение трех очков при первом броске и выпадение четырех очков при втором броске являются независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадания трех очков равна 16, при втором броске вероятность выпадания четырех очков снова равна 16. Не смотря на то, что кубик кидают два раза, у него по-прежнему остаётся шесть граней, при каждом новом броске может выпасть одно из шести чисел с той же самой вероятностью 16, вне зависимости от того, что выпадало до этого.

• Монету бросают три раза. Выпадение орла при первом броске, выпадение орла при втором броске, выпадение орла при третье броске явлюятся независимыми событиями.

При первом броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при втором броске вероятность выпадения орла равна 0,5, при третьем броске вероятность выпадения орла равна 0,5. Не смотря на то, что монету кидают несколько раз, при каждом новом броске может выпасть орёл или решка с той же самой вероятностью 0,5, вне зависимости от того, что выпадало до этого.

Примеры зависимых событий:

• В шляпе лежат три синих шара и два красных. Последовательно извлекются два шара. Извлечь в первый раз синий шар и извлечь во второй раз синий шар – два зависимых события.

Почему же они зависимые? Потому что первоначально вероятность вытащить синий шар равна 35 (всего шаров 5, синих 3). После того, как один синий шар вытащили, количество благоприятных исходов изменилась, общее количество шаров изменилось. При следующем вынимании шара из шляпы вероятность вытащить синий шар равна 24=12 (всего шаров 4, синих 2). Таким образом наступление первого события влияет на вероятность наступления второго.

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность появления двух (или более) независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

Примеры:

1. В первой шляпе лежит один синий шар и один красный, во второй шляпе лежит 1 синий шар и 4 красных. Из каждой шляпы извлекли по одному шару. Найдите вероятность того, что оба шара красные.

Решение:

Событие A: «извлечь красный шар из первой шляпы».

Событие B: «извлечь красный шар из второй шляпы».

Оба этих события независимы друг от друга, так как при извлечении шпара из первой шляпы, вторая остаётся нетронутой. Найдём вероятности этих событий.

P(A)=12    (всего шаров два, красных – один).

P(B)=45    (всего шаров пять, красных четыре).

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)

P(A⋅B)=12⋅45=0,4

Ответ: 0,4

1. Стрелок 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.

Решение:

Событие A: «попадание», событие B: «промах». По условию P(A)=0,9. Найдём вероятность промаха, она равна

P(B)=1−P(A)=1−0,9=0,1

Каждый из выстрелов – событие, не зависящее от предыдущих или последующих выстрелов, то есть все три события – независимые. Вероятность появления трех независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

P(A⋅A⋅B)=P(A)⋅P(A)⋅P(B)

P(A⋅A⋅B)=0,9⋅0,9⋅0,1=0,081

Ответ: 0,081

Математическая монета, которая используется в теории вероятности, лишена многих качеств бычной моенты: цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платёжным средством. Монета имеет две стороны, одна из которых орёл (О), а другая решка (Р). Монету бросают и она падает одной стороной вверх. Никаких других свойств у монеты нет. Рассмотрим различные опыты с монетой

Бросание одной монеты

Возможные исходы:
О
Р
Всего два исхода. Вероятность каждого исхода из двух возможных равна 12=0,5

Бросание двух монет (бросание одной монеты два раза подряд)

Возможные исходы:
О О
О Р
Р О
Р Р
Всего четыре исхода. Вероятность каждого исхода из четырех возможных равна 14=0,25

Бросание трех монет (бросание одной монеты три раза подряд)

Возможные исходы:
О О О
О О Р
О Р О
О Р Р
Р О О
Р О Р
Р Р О
Р Р Р
Всего восемь исходов. Вероятность каждого исхода из восьми возможных равна 18=0,125

Бросание четырех монет (бросание одной монеты четыре раза подряд)

Возможные исходы:
О О О О
О О О Р
О О Р О
О О Р Р
О Р О О
О Р О Р
О Р Р О
О Р Р Р
Р О О О
Р О О Р
Р О Р О
Р О Р Р
Р Р О О
Р Р О Р
Р Р Р О
Р Р Р Р
Всего шестнадцать исходов. Вероятность каждого исхода из шестнадцати возможных равна 116=0,0625

Примеры:

1. Симметричную монету бросают три раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет ровно один раз?

Решение:

Всего восемь различных исходов (см. опыт с бросанием трех монет). Исходов, в которых решка выпала ровно один раз, три.

P=38=0,375

Ответ: 0,375

 

1. Cимметричную монету бросают четыре раза подряд. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы два раза.

Решение:

В опыте с бросанием четырех монет всего шестнадцать различных исходов. Благоприятные исходы – те, в которых выпало два, три или четыре орла. Таких исходов всего одиннадцать.

P=1116=0,6875

Ответ: 0,6875

 

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности, это правильная кость, у которой шансы на выпадение каждой грани равны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера. Ни веса, ни иых материальных качеств. Рассмотрим различные опыты с игральной костью.

Бросание одной кости

Возможные исходы: 1,2,3,4,5,6. Всего шесть исходов. Вероятность каждого исхода из шести возможных равна 16.

Бросание двух костей (бросание одной кости два раза подряд)

Для того, чтобы перебрать все возможные варианты, составим таблицу:

Первое число в паре – количество очков, выпавших на первом кубике. Второе число в паре – количество очков, выпавших на втором кубике. Всего возможно тридцать шесть различных исходов.

Такую таблицу не составит труда нарисовать на экзамене, если попадётся задача на бросание двух кубиков. Сумма чисел в ячейке – сумма выпавших очков.

Примеры:

1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет равна 7?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятных вариантов – когда сумма очков будет равна семи – всего 6.

P=636=16

Ответ: 16

 

1. Какова вероятность, что сумма очков при бросании двух кубиков, будет меньше десяти?

Решение:

Как видно из таблицы, всего 36 различных вариантов выпадания очков на двух кубиках. Благоприятные варианты – когда сумма очков будет равна 1,2,3,4,5,6,7,8, или 9. Таких ячеек в таблице 30.

P=3036=56

Ответ: 56

 

Задачи по алгебре на тему » Теория вероятности» ( 9 класс)

Задачи  по теории вероятности

Задача 1.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение

События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит,  вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: 0,35+0,2=0,55.

Ответ: 0,55.

Задача 2.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:

Ситуация 1:

Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает произведение вероятностей каждого из событий:

0,7*0,01=0,007

Ситуация 2:

Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3) и оно бракованное (вероятность события 0,03):

0,3*0,03=0,009

Посколько при покупке стекла мы оказываемся в ситуации 1 или (сумма)в ситуации 2, то по формуле суммы вероятностей  несовместных событий получаем:

0,007+0,009=0,016

Ответ: 0,016.

 

 

Задача 3.

В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:

Вероятность события А: «кофе закончится в первом автомате» P(A) равна 0,3.

Вероятность события В: «кофе закончится во втором автомате» P(B) равна 0,3.

 

Задача 4.

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,12 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

Оба автомата неисправны с вероятностью 0,12*0,12=0,0144

Хотя бы один автомат исправен (исправен+неисправен, неисправен+исправен, исправен+исправен)– это событие, противоположное событию «оба автомата неисправны», поэтому его вероятность есть 1-0,0144=0,9856

Ответ: 0,9856.

 

 

Задача 5.

Биатлонист 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,85. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:

Задача 6.

Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,92. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

 

Задача 7.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,07. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Задача 8.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 90% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 60% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение:

Задача 9.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение:

 

Задача 10.

Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше 12 задач, равна 0,78. Вероятность того, что У. верно решит больше 11 задач, равна 0,88. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 12 задач.

Решение:

Задача 11.

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

3августа:                                                            Х

4 августа:                             Х                                                            О

5 августа:               Х                            О                              Х                      О

6 августа:        Х            О              Х          О                  Х         О          Х         О

 

Интересующие нас события (отличная погода  6 сентября):

ХХХО

ХХОО

ХОХО

ХООО

Так как произойдёт одно из этих событий (учитывая, что погода завтра будет такой же, как и сегодня с вероятностью 0,8; значит, вероятность того, что погода поменяется 1 – 0,8 = 0,2), получаем искомую вероятность:

0,8*0,8*0,2 + 0,8*0,2*0,8 + 0,2*0,2*0,2 + 0,2*0,8*0,8 = 0,392

 

 

 

Задача 12.

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

 

Задача 13.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что у 6% пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат. Найдите вероятность того, что пациент, поступивший с подозрением на гепатит, действительно болен гепатитом. Ответ округлите до тысячных.

Решение: 

 

Задача 14.

При ар­тил­ле­рий­ской стрель­бе ав­то­ма­ти­че­ская си­сте­ма де­ла­ет вы­стрел по цели.

Если цель не уни­что­же­на, то си­сте­ма де­ла­ет по­втор­ный вы­стрел. Вы­стре­лы по­вто­ря­ют­ся до тех пор, пока цель не будет уни­что­же­на. Ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния не­ко­то­рой цели при пер­вом вы­стре­ле равна 0,4, а при каж­дом по­сле­ду­ю­щем — 0,6. Сколь­ко вы­стре­лов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уни­что­же­ния цели была не менее 0,98?

Решение:

Задача 15 Чтобы пройти в следующий круг соревнований футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. если команда выиграет она получает 3 очка а в следующей ничьей 1 очко, если проиграет 0 очков. найдите вероятность того что команде удастся выйти в следующий круг совернований. считайте что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0.4

Решение: выигрыш, проигрыш и ничья – дополнительные события. Поэтому вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4=0,2

Для рассмотрения всех возможных случаев удобно построить графы.

 

1 игра                            В                                  П                                    Н

 

2 игра               В           П       Н           В           П       Н            В           П       Н    

4 очка можно набрать в трёх случаях:

В и В  или  В и Н  или  Н и В

Зная вероятность всех возможных событий находим вероятность того что команде удастся выйти в следующий круг соревнований.

0,4*0,4 + 0,4*0,2 + 0,2*0,4 = 0,32

 

 Задача 16 На собеседовании при приёме на работу соискателю задают вопросы, касающиеся образования, опыта работы, полученных навыков и знаний, владения иностранными языками. Чтобы претендовать на должность руководителя отдела, соискатель должен набрать на собеседовании не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, опыт работы и полученные знания и навыки. Чтобы претендовать на должность референта, нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх блоков вопросов — образование, полученные знания и навыки, владение иностранными языками. Вероятность того, что соискатель М. получит не менее 70 баллов по блоку «образование», равна 0,6, по блоку «опыт работы» — 0,8, по блоку «знания и навыки» — 0,7 и по блоку «иностранные языки» — 0,5. Найдите вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей.

Решение:

Соискатель  будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей, если

·        Наберёт нужные быллы и по блоку «образование»,  и по блоку «знания и навыки»  по блоку «опыт работы» и и по блоку «иностранные языки».

или

·        Наберёт нужные быллы и по блоку «образование», и  по блоку «знания и навыки»  и по блоку «опыт работы», но не наберёт по блоку «иностранные языки.

или

·        Наберёт нужные быллы и по блоку «образование», и  по блоку «знания и навыки»  и по блоку«иностранные языки», но не наберёт по блоку «опыт работы».

Событие «не наберёт», дополнительное для события «наберёт»

Находим вероятность того, что соискатель М. будет принят хотя бы на одну из двух упомянутых должностей:

0,6*0,7*0,8*0,5+0,6*0,7*0,8*0,5+0,6*0,7*0,5*0,2 =0,378

 

 

 

 

Расчет вероятности — Алгебра II

Все ресурсы по Алгебре II

10 Диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →

Алгебра II Помощь » Вероятность » Расчет вероятности

Подбрасывается смещенная монета. Вероятность выпадения орла равна , а вероятность выпадения решки равна . Какова вероятность того, что подряд выпадут три решки, а затем одна решка?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Каждый бросок монеты является независимым событием, то есть результат одного броска не влияет на результат других бросков. Чтобы найти общую вероятность, перемножьте вероятности каждого броска вместе:

Сообщить об ошибке

Мешок с шариками содержит 4 золотых и 6 синих шариков. Какова вероятность того, что сначала вы вытащите синий шарик, а затем золотой? Предположим, что первый вытащенный шарик не вернулся в мешок.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Выбор определенной последовательности шариков из мешка без замены является зависимой или условной вероятностью. Если вы успешно вытащите синий шарик, это повлияет на шансы впоследствии вытащить золотой шарик.

В обозначении вероятности мы можем назвать вероятность извлечения синего шарика  и вероятность извлечения золотого шарика .

Если бы мы заменили первый вытащенный нами шарик, мы просто умножили бы число раз, но, поскольку мы этого не делаем, мы хотим знать или, вероятность B, учитывая A.

 

Таким образом, вероятность A и B равно:

 

Другими словами, у вас есть шесть шансов из десяти вытащить синий шарик. Если вы успешно это сделаете, у вас будет шанс четыре из девяти вытащить золотой шарик. Перемножьте эти шансы вместе и уменьшите дробь, и вы получите вероятность четыре из пятнадцати.

Сообщить об ошибке

50 старшеклассников спросили об их планах после выпуска. 20 человек планировали поступить в государственный колледж. 12 человек планировали поступить в колледж за пределами штата. 8 не планировали поступать в колледж, а 10 не определились.

Какой процент этой группы пожилых людей не планирует посещать государственный колледж?

Возможные ответы:

16%

40%

60%

20%

30%

Правильный ответ:

60%

Объяснение:

Сначала подсчитайте количество студентов , не планирующих посещать государственный колледж.

Либо вычтите из общего числа тех, кто планирует поступать в государственный колледж…

50 — 20 = 30

…или сложите все остальные категории.

12 + 8 + 10 = 30

Затем разделите на общее количество студентов.

30/50 = 60%

Сообщить об ошибке

Предположим, что загруженных монет выпадают орлом раз.

Какова вероятность того, что монета приземлится HTTH?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вероятность подбрасывания монеты в этом конкретном порядке рассчитывается путем умножения вероятностей каждого хода друг на друга. Поскольку у нас есть «заряженная» монета, вероятности следующие:

.

Тогда упростите:

.

Эта дробь имеет простейшую форму.

Сообщить об ошибке

Какова вероятность того, что из стандартной колоды игральных карт вытянут 2 туза, если первая карта не заменена?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

В колоде из 52 игральных карт 4 туза.

После удаления 1 туза остается 3 туза и 51 карта:

Чтобы определить вероятность обоих событий, умножьте вероятность выпадения каждой карты:

Сообщить об ошибке

В выборке из 100 старшеклассников 65 учащихся занимались спортом. У 48 студентов есть собака в качестве домашнего питомца. Какова вероятность того, что у случайно выбранного ученика есть собака и он занимается спортом?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Занятия спортом, которые мы можем назвать P(A), и владение собакой, которые мы можем назвать P(B), являются чертами, которые мы можем считать независимыми. Вероятность одного не влияет на вероятность другого.

Итак, P(A и B) = P(A) * P(B)

Подставьте вероятности, указанные в этом уравнении.

P(A и B) = (0,65) * (0,48) = 0,312 = 31,2% быть 0,22. Вероятность того, что автомобиль будет синим ИЛИ зеленым, оказалась равной 0,33. Какова вероятность того, что машина из этого гаража будет зеленой? (Предположим, что машина может быть только одного цвета.)

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Вероятность найти синюю машину (A) или зеленую машину (B) записывается как
P(A или B).

Этот тип вероятности можно найти с помощью уравнения:

P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)

Нам нужно решить это уравнение для P(B ).

Два члена даны в подсказке:

P(A или B) = 0,33

P(A) = 0,22

Можно сделать вывод о третьем, P(A и B). Поскольку автомобиль может быть только одного цвета,
P(A и B) = 0

Таким образом,

0,33 = 0,22 + P(B) — 0

P(B) = 0,11

Сообщить об ошибке

In стандартная колода карт, какова вероятность того, что выпадет лицевая или красная карта?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вероятность вытягивания лицевой карты P(A) или красной карты P(B) может быть записана как P(A или B) и рассчитана по формуле:

P(A или B) = P(A) + P(B) — P(A и B)

Первые два члена в правой части уравнения довольно просты. Поскольку мы будем складывать и вычитать дроби, я оставлю знаменатель прежним и не буду сокращать дроби до конца.

P(A) = 12/52

P(B) = 26/52 = 1/2

Третий, P(A и B), можно рассчитать, используя:

P(A и B) = P(A) * P(B)

P(A и B) = 12/52 * 1/2 = 12/104 = 6/52

12 лицевых карт в колоде из 52 карт, половина из которых [6] красные. )

Вернемся к исходному уравнению!

P(A или B) = 12/52 + 26/52 — 6/52

= 32/52 = 8/13

Сообщить об ошибке

В ресторане подают яблочный и вишневый пироги. В среднем 60% покупателей выбирают яблочный пирог. Если следующие 4 покупателя закажут пирог, какова вероятность того, что трое из них закажут вишневый пирог?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Биномиальная вероятность

Сообщить об ошибке

Если есть десять шариков только двух цветов, а шесть из них красные, какова вероятность того, что вы вытащите один шарик красного цвета?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

В мешке десять шариков только двух цветов. Один из цветов красный и их шесть.

Поскольку он просит красный цвет, мы пишем дробь.

Верхняя часть дроби представляет содержание вопроса, а нижняя — общее количество возможных результатов.

Итак, наш ответ 

.

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по Algebra II

10 диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Узнать по концепции

Вероятность | Колледж Алгебра

Результаты обучения

• Построение вероятностных моделей.
• Вычислить вероятности равновероятных исходов.
• Вычислить вероятности объединения двух событий.
• Используйте правило дополнения, чтобы найти вероятности.
• Вычисление вероятности с использованием теории счета.

Жители юго-востока США слишком хорошо знакомы с диаграммами, известными как модели спагетти, такими как приведенная выше. ^[1] Они объединяют набор данных о погоде, чтобы предсказать наиболее вероятный путь урагана. Каждая цветная линия представляет один возможный путь. Группа волнистых линий может начать напоминать нити спагетти, отсюда и название. В этом разделе мы исследуем методы создания таких типов прогнозов.

Пример «модели спагетти», которую можно использовать для прогнозирования возможных траекторий тропического шторма.

Построение вероятностных моделей

Предположим, мы бросаем шестигранный числовой куб. Бросание числового куба является примером эксперимента или действия с наблюдаемым результатом. Числа на кубе — это возможные результаты, или исходов этого эксперимента. Набор всех возможных результатов эксперимента называется выборочным пространством эксперимента. Пример пространства для этого эксперимента: [латекс]\левый\{1,2,3,4,5,6\правый\}[/латекс]. Событие — любое подмножество выборочного пространства.

Вероятность события известна как вероятность . Вероятность события [latex]p[/latex] — это число, которое всегда удовлетворяет условию [latex]0\le p\le 1[/latex], где 0 означает невозможное событие, а 1 — определенное событие. Вероятностная модель представляет собой математическое описание эксперимента, в котором перечислены все возможные исходы и связанные с ними вероятности. Например, если есть 1% шанс выиграть лотерею и 9Вероятность проигрыша в розыгрыше составляет 9%, вероятностная модель будет очень похожа на таблицу ниже.

Исход	Вероятность
Выигрыш в лотерее	1%
Проигрыш в розыгрыше	99%

Сумма вероятностей, перечисленных в вероятностной модели, должна равняться 1 или 100%.

Как: Имея вероятностное событие, где каждое событие равновероятно, построить вероятностную модель.

1. Определите каждый результат.
2. Определите общее количество возможных исходов.
3. Сравните каждый исход с общим количеством возможных исходов.

Пример: построение вероятностной модели

Постройте вероятностную модель для броска единственного игрального кубика, где событием является число, выпавшее на кубике.

Показать решение

Вопросы и ответы

Всегда ли вероятности должны быть выражены в дробях?

Нет. Вероятности могут быть выражены дробями, десятичными знаками или процентами. Вероятность всегда должна быть числом от 0 до 1, включая 0 и 1.

Попробуйте

Постройте модель вероятности подбрасывания правильной монеты.

Показать решение

Вычисление вероятностей равновероятных исходов

Пусть [latex]S[/latex] будет образцом пространства для эксперимента. При исследовании вероятности событием является любое подмножество [latex]S[/latex]. Когда все результаты эксперимента равновероятны, мы можем найти вероятность события, разделив количество результатов в событии на общее количество результатов в [latex]S[/latex]. Предположим, выпал кубик, и нас интересует вероятность события «выпадение числа, меньшего или равного 4». В событии 4 возможных исхода и 6 возможных исходов в [latex]S[/latex], поэтому вероятность события равна [latex]\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[ /латекс].

Общее примечание: вычисление вероятности события с равновероятными исходами

Вероятность события [latex]E[/latex] в эксперименте с выборочным пространством [latex]S[/latex] с равновероятными исходами определяется как

[латекс] P \ влево (E \ вправо) = \ dfrac {\ text {количество элементов в} E} {\ text {количество элементов в} S} = \ dfrac {n \ влево (E \ right)}{n\left(S\right)}[/latex]

[latex]E[/latex] является подмножеством [latex]S[/latex], поэтому всегда верно, что [latex]0 \le P\left(E\right)\le 1[/латекс].

Пример: вычисление вероятности события с равновероятными исходами

Выпал куб с числами. Найдите вероятность выпадения нечетного числа.

Показать решение

Попробуй

Выпал числовой куб. Найдите вероятность того, что выпадет число больше 2.

Показать решение

Вероятность нескольких событий

Нас часто интересует вероятность того, что произойдет одно из нескольких событий. Предположим, мы играем в карточную игру и выиграем, если следующей вытянутой картой будет либо черва, либо король. Нам было бы интересно найти вероятность того, что следующей картой будет черва или король. объединение двух событий [латекс]E\text{ и }F,\text{написано }E\cup F[/latex] — это событие, которое происходит, если одно или оба события происходят.

[латекс]P\левый(E\чашка F\правый)=P\левый(E\правый)+P\левый(F\правый)-P\левый(E\колпачок F\правый)[/латекс]

Предположим, вращается спиннер внизу. Мы хотим найти вероятность вращения апельсина или [латекс]б[/латекс].

Всего 6 секций, 3 из них оранжевые. Таким образом, вероятность вращения оранжевого цвета равна [латекс]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex]. Всего 6 секций, 2 из них имеют [латекс]б[/латекс]. Таким образом, вероятность вращения [латекс]b[/латекс] равна [латекс]\frac{2}{6}=\frac{1}{3}[/latex]. Если бы мы сложили эти две вероятности, мы бы дважды учитывали сектор, который является одновременно оранжевым и [латекс]b[/латекс]. Чтобы найти вероятность вращения апельсина или [латекса]b[/латекса], нам нужно вычесть вероятность того, что сектор одновременно оранжевый и содержит [латекс]b[/латекс].

[латекс]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{3}[/latex]

Вероятность вращения оранжевый или [латекс]b[/латекс] — это [латекс]\dfrac{2}{3}[/латекс].

Общее примечание: вероятность объединения двух событий

Вероятность объединения двух событий [латекс]Е[/латекс] и [латекс]F[/латекс] (пишется [латекс]Е\чашка F[ /latex] ) равно сумме вероятности [latex]E[/latex] и вероятности [latex]F[/latex] за вычетом вероятности [latex]E[/latex] и [latex]F[/ латекс], встречающиеся вместе [латекс]\текст{(}[/латекс], который называется пересечение [латекс]E[/латекс] и [латекс]F[/латекс] и записывается как [латекс]Е\заглавная буква F[/латекс] ).
[латекс]P\левый(E\чашка F\правый)=P\левый(E\правый)+P\левый(F\правый)-P\левый(E\колпачок F\правый)[/латекс]

Пример: вычисление вероятности объединения двух событий

Из стандартной колоды вытягивается карта. Найдите вероятность того, что выпадет сердце или цифра 7.

Показать решение

Попробуйте

Карта вытягивается из стандартной колоды. Найдите вероятность того, что выпадет красная карточка или туз.

Показать решение

Вычисление вероятности взаимоисключающих событий

Предположим, что спиннер снова вращается, но на этот раз нас интересует вероятность вращения апельсина или [латекса]d[/латекса]. Не существует секторов, которые одновременно оранжевые и содержат [латекс]d[/латекс], поэтому эти два события не имеют общих результатов. События называются взаимоисключающими, если они не имеют общих исходов. Поскольку перекрытия нет, вычитать нечего, поэтому общая формула равна 9. 0005

[latex]P\left(E\cup F\right)=P\left(E\right)+P\left(F\right)[/latex]

Обратите внимание, что при взаимоисключающих событиях пересечение [latex]E[/latex] и [latex]F[/latex] — пустой набор. Вероятность вращения апельсина равна [латекс]\frac{3}{6}=\frac{1}{2}[/latex], а вероятность вращения [латекса]d[/латекс] равна [латекс]\ гидроразрыв{1}{6}[/латекс]. Мы можем найти вероятность вращения апельсина или [латекса]d[/латекса], просто сложив две вероятности.

[латекс]\begin{align}P\left(E\cup F\right)&=P\left(E\right)+P\left(F\right) \\ &=\frac{1}{ 2}+\frac{1}{6} \\ &=\frac{2}{3} \end{align}[/latex]

Вероятность вращения апельсина или [латекса]d[/латекса] равна [латекс]\dfrac{2}{3}[/латекс].

Общее примечание: вероятность объединения взаимоисключающих событий

Вероятность объединения двух взаимоисключающих событий [latex]E[/latex] и [latex]F[/latex] определяется как

[latex]P\left(E\cup F\right)=P\left(E\right)+P\left(F\right)[/latex]

Как: Для заданного набора событий вычислить вероятность объединения взаимоисключающих событий.

1. Определить общее количество исходов для первого события.
2. Найдите вероятность первого события.
3. Определите общее количество исходов для второго события.
4. Найдите вероятность второго события.
5. Сложите вероятности.

Пример: вычисление вероятности объединения взаимоисключающих событий

Из стандартной колоды вытягивается карта. Найдите вероятность того, что выпадет черва или пика.

Показать решение

Попробуйте

Карта вытягивается из стандартной колоды. Найдите вероятность того, что выпадет туз или король.

Показать решение

Найти вероятность того, что событие не произойдет

Мы обсудили, как вычислить вероятность того, что событие произойдет. Иногда нас интересует вероятность того, что событие произойдет , а не . Дополнение события [latex]E[/latex], обозначаемое [latex]{E}^{\prime}[/latex], представляет собой набор результатов в выборочном пространстве, которых нет в [latex]E [/латекс]. Например, предположим, что нас интересует вероятность того, что лошадь проиграет скачки. Если событием [latex]W[/latex] является лошадь, выигравшая скачки, то дополнением события [latex]W[/latex] является лошадь, проигравшая скачки. 9{\prime}\right)=1-P\left(E\right)[/latex]

Вероятность выигрыша лошади, прибавленная к вероятности проигрыша лошади, должна быть равна 1. Следовательно, если вероятность лошадь, выигравшая гонку, равна [latex]\frac{1}{9}[/latex], вероятность того, что лошадь проиграет гонку, равна просто

[latex]1-\dfrac{1}{9}=\dfrac {8}{9}[/latex]

Общее примечание: Правило дополнения

Вероятность того, что произойдет дополнение к событию , равна 9{\prime}\right)=1-P\left(E\right)[/latex]

Пример: Использование правила дополнения для вычисления вероятностей

Брошены два шестигранных числовых куба.

1. Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел меньше или равна 3.
2. Найдите вероятность того, что сумма выпавших чисел больше 3.

Показать решение

Попробуй

Брошены два числовых кубика. Используйте правило дополнения, чтобы найти вероятность того, что сумма меньше 10.

Показать решение

Вычисление вероятности с помощью теории счета

Многие интересные задачи на вероятность связаны с принципами счета, перестановками и комбинациями. В этих задачах мы будем использовать перестановки и комбинации, чтобы найти количество элементов в событиях и выборочных пространствах. Эти задачи могут быть сложными, но их можно упростить, разбив их на более мелкие задачи на счет.

Предположим, например, что в магазине есть 8 сотовых телефонов, и 3 из них неисправны. Мы можем захотеть найти вероятность того, что пара, купившая 2 телефона, получит 2 исправных телефона. Для решения этой задачи нам нужно рассчитать все способы выбора 2-х телефонов, которые не являются бракованными, а также все способы выбора 2-х телефонов. Есть 5 исправных телефонов, поэтому есть [latex]C\left(5,2\right)[/latex] способы выбрать 2 исправных телефона. Есть 8 телефонов, поэтому есть [latex]C\left(8,2\right)[/latex] способы выбрать 2 телефона. Вероятность выбора 2 исправных телефонов:

[латекс]\begin{align}\frac{\text{способы выбора 2 исправных телефонов}}{\text{способы выбора 2 телефонов}}&=\frac{C\left(5,2 \right)}{C\left(8,2\right)} \\[1мм] &=\frac{10}{28} \\[1mm] &=\frac{5}{14} \end{align }[/latex]

Пример: вычисление вероятности с использованием теории счета

Ребенок случайным образом выбирает 5 игрушек из корзины, в которой находятся 3 кролика, 5 собак и 6 медведей.

1. Найти вероятность того, что выбраны только медведи.
2. Найдите вероятность того, что выбраны 2 медведя и 3 собаки.
3. Найдите вероятность того, что выбрано не менее двух собак.

Показать решение

Попробуй

Ребенок случайным образом выбирает 3 жевательных резинки из контейнера, в котором находятся 4 фиолетовых, 8 желтых и 2 зеленых жевательных резинки.

1. Найдите вероятность того, что все 3 выбранных жевательных резинки фиолетовые.
2. Найдите вероятность того, что желтые жевательные резинки не выбраны.
3. Найдите вероятность того, что будет выбран хотя бы 1 желтый шарик жвачки.

Показать решение

 

Ключевые уравнения

вероятность события с равновероятными исходами	[латекс] P \ влево (E \ вправо) = \ dfrac {n \ влево (E \ вправо)} {n \ влево (S \ вправо)} [/ латекс]
вероятность объединения двух событий	[латекс]P\левый(E\чашка F\правый)=P\левый(E\правый)+P\левый(F\правый)-P\левый(E\колпачок F\правый)[/латекс]
вероятность объединения взаимоисключающих событий	[латекс]P\левый(E\чашка F\правый)=P\левый(E\правый)+P\левый(F\правый)[/латекс]
вероятность дополнения события	[латекс]P\влево(E\текст{‘}\вправо)=1-P\влево(E\вправо)[/латекс]

Ключевые понятия

• Вероятность всегда представляет собой число от 0 до 1, где 0 означает, что событие невозможно, а 1 означает, что событие обязательно.

  No related posts.