Привести уравнение второго порядка к каноническому виду и построить кривую: Приведение кривой второго порядка к каноническому виду онлайн

Приведение к каноническому виду уравнения кривой второго порядка

Если кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением то, применяя преобразования поворота осей координат и переноса начала координат, можно привести это уравнение к каноническому виду.

1. Приведение к каноническому виду уравнения центральной кривой

Пусть дано уравнение, определяющее центральную кривую второго порядка:

а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя выражение в уравнение

, получим

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим

+

В уравнении коэффициенты при приравниваем нулю.

Получим систему уравнений относительно

которая определяет координаты центра исходной кривой. Решим эту систему и найдем координаты центра . Подставим полученные значения в уравнение. В новой системе координат в уравнении коэффициенты равны нулю и уравнение примет упрощенный вид

Отметим, что при параллельном переносе начала координат старшие коэффициенты не изменяются.

б) Если то дальнейшее упрощение уравнения достигается при помощи поворота осей координат на угол

При повороте осей координат на угол координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координат в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя в уравнение кривой, получим

Раскроем скобки:

+

+

Приводя подобные члены, получим уравнение

Выберем угол такой, что в уравнении коэффициент при произведении равен нулю:

Это требование эквивалентно уравнению

.

После поворота на угол , удовлетворяющий условию

, уравнение

Не будет содержать слагаемое с произведением , то есть в новой системе координат уравнение примет вид

Выведем следующие обозначения для коэффициентов:

Получим уравнение

Соответствующее одному из канонических уравнений (см. «Теорему 1»).

Замечание 1.

Корни квадратичного уравнения соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям (так как по теореме Виета Поэтому вибирая вместо , мы только меняем ролями оси

Замечание 2.

Значения выражаются через по формулам

Замечание 3.

Угол можно так же выбрать из условия которое следует из равенства .

Исследование кривой второго порядка.

(1)

от параметра с помощью инвариантов

Решение. Для уравнения (1) имеем:

В соответствии с классификацией кривых второго порядка:

1. Если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но , следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа.

Но при этом , следовательно, если , то уравнение (1) определяет параболу.

2. Если , то данная кривая – центральная. Следовательно, при данная кривая – центральная.

1. Если , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического вида.

Но при этом , и в соответствии с

признаком кривых второго порядка ( ; получим: если ), то уравнение (1) определяет эллипс.

2. Если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

а) Если , и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если , и , то данная кривая – гипербола. Но , при всех

, за исключением точки

Следовательно, если ), то уравнение (1)определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу: ­­­­­­­­

Значение параметра
Тип кривой	Эллипс	Парабола	Гипербола	Две пересекающие прямые	Гипербола

(2)

Требуется:

1. Определить тип кривой с помощью инвариантов.

2. Решить характеристическое уравнение, записать каноническое уравнение и определить расположение кривой.

3. Построить каноническую систему координат и кривую в общей системе координат.

4. Привести уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

1.Определим тип кривой (2) с помощью инвариантов. Для уравнения кривой второго порядка (2) имеем:

Вычислим инварианты кривой

Так как то данная кривая – центральная.

В соответствии с классификацией кривых второго порядка, так как то данная кривая – гипербола.

2a) Определим расположение данной кривой. Расположение гиперболы, относительно начальной системы координат будет известно, если будут известны координаты центра и угловой коэффициент вещественной оси гиперболы.

Уравнения для определения координат центра данной кривой имеют вид:

(3)

Решив данную систему, получим координаты центра данной кривой: Следовательно, точка – центр данной кривой.

Угловой коэффициент оси – вещественной оси гиперболы в соответствии с

3. Напишем уравнение осей новой системы координат в исходной системе координат

Так как система – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой – точке проходят через точку .

В пункте 2 установлено, что угловой коэффициент оси Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом имеет вид Следовательно, ось в системе координат задана уравнением

Так как ось перпендикулярна оси то ее угловой коэффициент Следовательно, ось задана уравнением или

Используя полученную информацию, построим каноническую систему координат и данную гиперболу в исходной системе координат

4. Приведем уравнение кривой (2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем методику к каноническому виду для уравнения центральной кривой.

1. Совершим параллельный перенос начала координат в точку При этом координаты произвольной точки М плоскости в системе координат и координат в новой системе координат связаны соотношениями

Подставляя эти выражения в уравнение (2), получим:

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение

координат :

(3)

б) Так как то дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координатных произвольной точки М плоскости в системе координат и координаты X,Y в новой системе координат связаны соотношениями

(4)

Подставляя (4) в уравнение кривой (3), получим:

Раскроем скобки:

Приводя подобные члены, получим уравнение

(5)

Выберем угол такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении XY равен нулю:

(6)

Это требование эквивалентно уравнению

(7)

Решая уравнение (7), получим

В пункте 2 установлено, что угловой коэффициент вещественной оси к оси Ox (а следовательно, и к оси равен ее угловому коэффициенту ( , то угол поворота выберем такой, что Тогда согласно (7. 1) получим:

Подставляя эти значения в уравнение (6), получим

т.е. преобразованное уравнение будет иметь вид

и, соответственно, уравнение

— это каноническое уравнение исходной гиперболы.

Используя преобразования параллельного переноса, привести уравнение ли…

Ответы

Решение: У Вас есть кривая 5x^2 + 10*x +9y^2 — 4 = 0, приводим её к каноническому виду:  5 (x^2 + 2*5*x +25 — 25) + 9y^2 — 4 = 0 5 (x + 5)^2 — 125 + 9y^2 — 4 = 0 5 (x + 5)^2 + 9y^2 = 129 (5/129) * (x + 5)^2 + (9/129) * y^2 = 1 используем параллельный перенос: x = x1 — 5, y = y1, получаем: (5/129) * x1^2 + (9/129)* y1^2 = 1 (получили канонический вид, соответствующий эллипсу). 2 = 129/9. 02.09.14

Михаил Александров Читать ответы

Соломович Артур Читать ответы

Евгений Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука

Похожие вопросы

Как с помощью 9-ти и 12-ти минутных песочных часов определить промежуток времени продолжительностью 15

Автомобиль за 3 дня проехал980 км. в пятницу и субботу он проехал 725км.сколько км проезжав автомобиль в каждый из этих дней,если в субботу он проехал,больше чем в воскресенье на

вещество имеет следующий состав: 25,27%…

Интегральная оценка

Решено

Помогите пожалуйста выполнить задание

Пользуйтесь нашим приложением

python — Как я могу сделать 3D-график в matplotlib эллипсоида, определяемого квадратным уравнением?

Примечание: у вас есть не самое общее уравнение для трехмерного эллипсоида. Ваше уравнение можно переписать как

 A*x**2 + C*y**2 + D*x + E*y + B*x*y = - G*z**2 - F,
 

, что означает, что фактически для каждого значения z вы получаете другой уровень 2d-эллипса, а срезы симметричны относительно плоскости z = 0 . Это показывает, что ваш эллипсоид не является общим, и помогает проверить результаты, чтобы убедиться, что то, что мы получаем, имеет смысл.

Предположим, что мы берем общую точку r0 = [x0, y0, z0] , у вас есть

 r0 @ M @ r0 + b0 @ r0 + c0 == 0
 

где

 М = [А В/2 0
     Б/2 С 0
      0 0 Г],
b0 = [D, E, 0],
с0 = F
 

, где @ обозначает матрично-векторное или векторно-векторное произведение.

Вы можете взять свою функцию и построить ее изоповерхность, но это будет неоптимально: вам потребуется аппроксимация с координатной сеткой для вашей функции, что очень дорого сделать для достаточного разрешения, и вам придется разумно выбирать область для этой выборки .

Вместо этого вы можете выполнить преобразование главной оси ваших данных, чтобы обобщить параметрический график канонического эллипсоида, который вы сами связали.

Первый шаг — диагонализировать M как M = V @ D @ V.T , где D — диагональ. Поскольку это настоящая симметричная матрица, это всегда возможно, и V ортогональны. Тогда имеем

 r0@V@[email protected]@r0+b0@r0+c0==0
 

, которые мы можем перегруппировать как

 (V.T @ r0) @ D @ (V.T @ r0) + b0 @ V @ (V.T @ r0) + c0 == 0
 

что мотивирует определение вспомогательных координат r1 = V.T @ r0 и вектора b1 = b0 @ V , для которого получаем

 r1 @ D @ r1 + b1 @ r1 + c0 == 0.
 

Так как D является симметричной матрицей с собственными значениями d1, d2, d3 по диагонали, вышеприведенное уравнение

 d1 * x1**2 + d2 * x2**2 + d3 * x3** 3 + b11 * x1 + b12 * x2 + b13 * x3 + c0 == 0
 

, где r1 = [x1, x2, x3] и b1 = [b11, b12, b13] .

Осталось переключиться с r1 на r2 так, чтобы убрать линейные члены:

 d1 * (x1 + b11/(2*d1))**2 + d2 * (x2 + b12/( 2*d2))**2 + d3 * (x3 + b13/(2*d3))**2 - b11**2/(4*d1) - b12**2/(4*d2) - b13* *2/(4*d3) + с0 == 0
 

Итак, мы определяем

 r2 = [x2, y2, z2]
х2 = х1 + b11/(2*d1)
у2 = у1 + b12/(2*d2)
z2 = z1 + b13/(2*d3)
c2 = b11**2/(4*d1) b12**2/(4*d2) b13**2/(4*d3) - c0. 
 

Для них мы, наконец, имеем

 d1 * x2**2 + d2 * y2**2 + d3 * z2**2 == c2,
d1/c2 * x2**2 + d2/c2 * y2**2 + d3/c2 * z2**2 == 1
 

— каноническая форма поверхности второго порядка. Чтобы это осмысленно соответствовало эллипсоиду, мы должны гарантировать, что d1 , d2 , d3 и c2 строго положительны. Если это гарантировано, то большие полуоси канонической формы равны sqrt(c2/d1) , sqrt(c2/d2) и sqrt(c2/d3) .

Итак, что мы делаем:

1. убеждаемся, что параметры соответствуют эллипсоиду
2. создать тета- и фи-сетку для полярных и азимутальных углов
3. вычислить преобразованные координаты [x2, y2, z2]
4. сдвигаем их обратно (на r2 - r1 ), чтобы получить [x1, y1, z1]
5. преобразовать координаты обратно на V , чтобы получить r0 , фактическое [x, y, z] координаты, которые нас интересуют.

Вот как я бы это реализовал:

 импортировать numpy как np
импортировать matplotlib.pyplot как plt
из mpl_toolkits.mplot3d импортировать Axes3D
def get_transforms(A, B, C, D, E, F, G):
    """ Получить матрицу преобразования и сдвиг для трехмерного эллипсоида
    Предположим, что A*x**2 + C*y**2 + D*x + E*y + B*x*y + F + G*z**2 = 0,
    используйте преобразование главной оси и убедитесь, что входные данные
    соответствуют эллипсоиду.
    Возвращает: (d, V, s) кортеж массивов
        d: форма (3,) больших полуосей в канонической форме
           (X/d1)**2 + (Y/d2)**2 + (Z/d3)**2 = 1
        V: форма (3,3) собственной системы
        s: форма (3,) сдвиг от линейных членов
    """
    # построить исходную матрицу
    M = np.массив([[А, В/2, 0],
                  [В/2, С, 0],
                  [0, 0, Г]])
    # построить исходный вектор линейных коэффициентов
    b0 = np.массив ([D, E, 0])
    # постоянный член
    с0 = F
    # вычислить собственную систему
    D, V = np. linalg.eig(M)
    если (D <= 0).любой():
        поднять ValueError("Матрица параметров не является положительно определенной!")
    # преобразовать смену
    b1 = b0 @ V
    # вычисляем окончательный вектор сдвига
    с = b1 / (2 * D)
    # вычислить окончательный постоянный член, также должен быть положительным
    c2 = (b1**2 / (4 * D)).сумма() - c0
    если с2 <= 0:
        печать (b1, D, c0, c2)
        поднять ValueError("Константа в канонической форме не положительна!")
    # вычисляем большие полуоси
    d = np.sqrt (c2 / D)
    возврат д, в, с
def get_ellipsoid_coordinates(A, B, C, D, E, F, G, n_theta=20, n_phi=40):
    """Вычисление координат эллипсоида на эллипсоидальной сетке
    Возвращает: массивы x, y, z формы (n_theta, n_phi)
    """
    # получить каноническую сетку
    theta,phi = np.mgrid[0:np.pi:n_theta*1j, 0:2*np.pi:n_phi*1j]
    r2 = np.array ([np.sin (тета) * np.cos (фи),
                   np.sin(тета) * np.sin(фи),
                   np.cos(theta)]) # форма (3, n_theta, n_phi)
    # получить данные преобразования
    d, V, s = get_transforms(A, B, C, D, E, F, G) # наверное может быть *args
    # сдвигаем и преобразовываем обратно координаты
    r1 = d[:,None,None]*r2 - s[:,None,None] # транслируем по первой из трех осей
    r0 = (V @ r1. reshape(3, -1)).reshape(r1.shape) # форма (3, n_theta, n_phi)
    return r0 # распаковывается в x, y, z формы (n_theta, n_phi)
 

Вот пример с эллипсоидом и доказательством того, что он работает:

 A,B,C,D,E,F,G = args = 2, -1, 2, 3, -4, -3, 4
х, у, г = get_ellipsoid_coordinates (*аргументы)
print(np.allclose(A*x**2 + C*y**2 + D*x + E*y + B*x*y + F + G*z**2, 0)) # Верно
 

Фактический график здесь тривиален. Используя взлом 3D-масштабирования из этого ответа, чтобы сохранить равные оси:

 # создать 3D-оси
рис = plt.figure()
топор = fig.add_subplot(111, проекция='3d')
# построить данные
ax.plot_wireframe (х, у, г)
ax.set_xlabel('х')
ax.set_ylabel('у')
ax.set_zlabel('z')
# взлом масштабирования
bbox_min = np.min([x, y, z])
bbox_max = np.max([x, y, z])
ax.auto_scale_xyz([bbox_min, bbox_max], [bbox_min, bbox_max], [bbox_min, bbox_max])
plt.show()
 

Вот как выглядит результат:

Вращая его, хорошо видно, что поверхность действительно отражательно-симметрична относительно плоскости z = 0 , что видно из уравнения.

Вы можете изменить аргументы ключевого слова n_theta и n_phi на функцию для создания сетки с другой сеткой. Самое интересное, что вы можете взять 90 149 любых 90 150 разбросанных точек, лежащих на единичной сфере, и подставить их в определение числа 9.0007 r2 в функции get_ellipsoid_coordinates (пока этот массив имеет первое измерение размера 3), и выходные координаты будут иметь ту же форму, но они будут преобразованы в реальный эллипсоид.

Вы также можете использовать другие библиотеки для визуализации поверхности, например, mayavi, где вы можете либо построить поверхность, которую мы только что вычислили, либо сравнить ее со встроенной изоповерхностью.

Нахождение канонической формы кривой в системе координат ортогональна, определите кривую. Если фокусы и вершины существуют, найти их координаты в исходной системе. 92−40x + 30y = 0

Рекомендуемый AI ответ:

Чтобы найти каноническую форму кривой, нам нужно найти координаты фокусов и вершин. Для этого нужно найти уравнение кривой в ортогональной системе координат. Мы можем сделать это, решив уравнение для x и y. x = 9 и y = 16

---

Видеорекомендация лучшего совпадения:

Решено проверенным экспертом 9{2}=0,09$$

Рекомендуемые видео

Стенограмма

Я думаю, мой подход к этой проблеме будет иметь смысл, потому что я знаю, что многим учащимся нравятся десятичные дроби, но я бы предпочел видеть девять сотен, то есть именно то, что я хочу. Я хотел бы, чтобы правая сторона была равна единице, потому что ночи так часто отменяются. Я должен был бы добавить это здесь. Больше 9. Девятки сокращаются первыми, так что у меня будет 100 X в квадрате, а затем 400 больше девятки. Я не знаю, что это такое, но я бы переписал это еще раз, потому что это квадратные числа, и это то же самое, что деление на число. Этот у в квадрате будет разделен на девять на 400. Мы знаем, что у нас есть форма, которая находится в центре этого места. Он сосредоточен в начале координат, потому что это 9более 400. Девять делились на 400. Это примерно 0,05, а один делился на 100,01. Это равно девяти больше 400, и это мое значение в квадрате. Я знаю, когда извлекаю корень из каждой части, которую получаю. Наши взлеты и падения — это мой график. Это другой больше 100. Один квадрат до 10 будет 10, если вы возьмете квадратный корень. Я не хочу называть это v um, но это лево и право. 1/10. Я написал плюс-минус, но забыл. Вспомним ноль. Кривая не такая резкая. Я не должен делать это так радикально. Когда я соединяю эти точки, я рекламирую их вверх и вниз, но я не думаю, что это принято в математическом мире, я слышал, что кто-то раньше называл их скрытыми задницами. Они хотели знать, можно ли использовать эту формулу, чтобы вернуться к синим 2, 4 на 400, если B в квадрате больше 100. Причина, по которой я получил бы тот же знаменатель, заключается в том, что в квадрате девять больше 400. Я получаю пять больше 400. если я вычту четыре. Я бы расположился вдоль большой оси плюс-минус квадрат до пяти, что немного больше, чем два, но в квадрате.