Как составить обратную матрицу: Обратная матрица онлайн

Содержание

3. Обратная матрица

3.1 Понятие обратной матрицы. Единственность обратной матрицы

В теории чисел наряду с числом определяют число, противоположное ему ( ) такое, что , и число, обратное ему такое, что . Например, для числа 5 противоположным будет число

(– 5), а обратным будет число . Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А). Обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства

, (1)

где Е – единичная матрица порядка n.

Сразу же отметим, что обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A ≠ 0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной (особенной).

Отметим, что невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу .

Докажем это утверждение.

Пусть для матрицы А существует две обратные матрицы , , то есть

и .

Тогда = ּ= ּ( ) =

= ( ּ ) = = = .

Что и требовалось доказать.

Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.

= 1 .

Делаем вывод, что определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.

3.2 Алгоритм построения обратной матрицы свойства обратной матрицы

Покажем, что, если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.

Пусть

А= , .

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

Транспонируя ее, получим так называемую присоединенную матрицу:

Найдем произведение ּ. С учетом теоремы Лапласа и теоремы аннулирования:

ּ = =

= .

Делаем вывод:

. (2)

Алгоритм построения обратной матрицы.

Вычислить определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.
Если определитель матрицы не равен нулю, то составить из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А матрицу .

Транспонируя матрицу , получить присоединенную матрицу .
По формуле (2) составить обратную матрицу .
По формуле (1) проверить вычисления.

Пример. Найти обратную матрицу.

а). Пусть А= . Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то определитель матрицы равен нулю. Следовательно, матрица вырожденная, и для нее не существует обратной матрицы.

б). Пусть А= .

Вычислим определитель матрицы

обратная матрица существует.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

= = ;

транспонируя матрицу , получим присоединенную матрицу

;

по формуле (2) найдем обратную матрицу

= = .

Проверим правильность вычислений

= .

Следовательно обратная матрица построена верна.

Свойства обратной матрицы

1. ;

2. ;

3. .

Литература

Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.- 384 с.
Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: Тетрасистемс, 1998.- 288 с.
Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999. – 208 с.
Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 140 с.
Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие.-Мн.: ЧИУП, 2003. – 32 с.

Обратная матрица. Матричный способ решения линейной системы уравнений. Формулы Крамера

Лекция №2.
Обратная матрица.
Матричный способ
решения линейной
системы уравнений.
Формулы Крамера.

2. Квадратная матрица A-1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы A, если A·A-1=A-1·A=E(единичная матрица)

Если Δ≠0, то матрица A A11, A12, …, Ann алгебраические
неособенная
дополнения
(невырожденная).
Если Δ=0, то матрица A соответствующих
элементов матрицы.
особенная
(вырожденная).
Всякая неособенная
A11 A21 … An1
матрица A имеет
1 A12 A22 … An 2
-1
обратную матрицу A = … … … …
A
1n
A2 n
…
Ann

3. Найти матрицу A-1, если

1
2
0
0
3
1 1
0
1
2
3
1
1
2
0
2
0
1
2
0
2
0
3
1
3
1
1
2
1 2 0
A 0 3 1 .
0 1 2
5 0
=> матрица A невырожденная и имеет обратную матрицу A-1.
A11
3
1
5 A21
2 0
1
1 2
1
0 1
A
A12
0 22
0
0 2
A13
0
3
0
1
0A
23
2
0
2
4
A31
2 A32
1
2
0
1
A 1
2 0
3 1
1
0
1
5
1
0
5
0
2
A33
4
2
1
0
1
1
1
2
0
3
3.

1
2
1 0
3
0
4
5
2
5
1
5
2
5
1
.
5
3
5
a11 x1 a12 x2 … a1n x1 b1 ,
a x a x … a x b ,
21 1 22 2
2
2n 2
……………………………………….
an1 x1 an 2 x2 … ann xn bn .
A·X=B
A-1·(A·X)=A-1·B
(A-1·A)·X=A-1·B
E·X=A-1·B
Матричный способ
решения линейной
системы уравнений.
a11 a12
a22
a
A 21
… …
a
n1 an 2
x1
A11
x2 1 A12
… …
x
A
n
1n
… a1n
x1
… a2 n
x2
X
…
… …
x
… ann
n
b1
b
B 2
…
b
n
A1n b1
… A2 n b2
… …
…
… Ann bn
A21 …
A22
…
A2 n
X=A-1·B
x1
x
2
…
x
n
A11b1 A21b2 … An1bn
A
b
A
b
…
A
b
22 2
n2 n
12 1
…………………………………
A1n b1 A2 n b2 .

.. Annbn

5. Матричный способ решения линейной системы уравнений.

a11 x1 a12 x2 … a1n x1 b1 ,
a x a x … a x b ,
21 1
22 2
2n 2
2
……………………………………….
an1 x1 an 2 x2 … ann xn bn .
A11b1 A21b2 An1bn
x1
x2
A12b1 A22b2 An 2bn
………………………………………………
xn
A1nb1 A2 nb2 Annbn

6. Решить матричным способом систему уравнений

Решить матричным способом
x 2 y z 4,
систему уравнений
2 x y 2z 3,
3x y 2z 2.
1
2
2 1
3
A
1
1
1
2
1
0 5
2 0 5
2
A11
1
A12
A13
A 1
1
3
A 21
A 22
A 23
1
2
A 31
A 32 .
A 33
5
0 5
1
10 5 0 .
25
5 5 5
1
1
3 2
A11
25 0
1
2
1
2
2
2
0,
1
1 2
x
4
A 2 1 2 , X y , B 3 .
3 1 2
z
2
A 21
2
1
5,
A 31
2
1
5,
1 2
1 2
1 1
1 1
A12
10, A 22
5, A 32
0,
3 2
3 2
2 2
2 1
1 2
1 2
A13
5,
A 23
5, A 33
5.

3 1
3 1
2 1
5 4
x
0 5
25 1
1
1
10 5 0 3
25 1
y
25
25
z
5 5 5 2
25 1
x 1, y 1, z 1.

7. Формулы Крамера.

a11 x1 a12 x2 … a1n x1 b1 ,
a x a x … a x b ,
21 1 22 2
2n 2
2
……………………………………….
an1 x1 an 2 x2 … ann xn bn .
Формулы Крамера.
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2 n
…
… … …
an1 an 2 … ann
x1
b1
a12 … a1n
b2
a22 … a2 n
…
…
bn
an 2 … ann
x1
…
x1
…
a11 a12 … b1
a11 b1 … a1n
x2
a21 b2 … a2 n
…
… …
…
an1 bn … ann
x2
x2
…
…
xn
a21 a22 … b2
…
… … …
an1 an 2 … bn
xn
xn

8. Решить по формулам Крамера систему уравнений

Решить по формулам Крамера систему
x 1 4x 2 9,
5x 1 x 2 3.
уравнений
1
4
5 1
21.
X1
9
4
X2
1
9
5
3
3 1
21
42
x1
x2
X1
X2
21 1
21
42
2
21
Ранг матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли.
Метод Гаусса.

10. Квадратная матрица A-1 порядка n – обратная матрица для данной матрицы A, если A-1 = A-1 A=E – единичная матрица

Если Δ≠0, то матрица A неособенная
(невырожденная).
Если Δ=0, то матрица A особенная
(вырожденная).
Всякая неособенная матрица A
имеет обратную матрицу A-1=
A11
1 A
12
…
A
1n
A21
…
A22
…
…
…
A2 n
…
An1
An 2
…
Ann

11. Выделить в матрице k строк и k столбцов (k≤min(m,n)) Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов составить

a11
a21
A
…
a
m1
a12
a22
…
am 2
… a1n
… a2 n
… …
… amn
Выделить в матрице k строк и k столбцов (k≤min(m,n))
Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и
столбцов составить определитель k-го порядка.
Ранг матрицы r(A) – наибольший из порядков миноров данной
матрицы, отличных от нуля.

0≤r(A)≤min(m;n)
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы – базисный.
Свойства ранга матрицы
При транспонировании матрицы её ранг
не меняется
Если вычеркнуть из матрицы нулевой
ряд, то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы не изменится при
элементарных преобразованиях матрицы.
Система, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Система, имеющая только одно решение,
называется определённой.
Система, имеющая более одного решения
называется неопределённой.
Система, не имеющая ни одного решения
называется несовместной.
a11 x1 a12 x2 … a1n x1 b1 ,
a x a x … a x b ,
21 1 22 2
2n 2
2
……………………………………….
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm .
a11
~ a
A 21
…
a
m1
a12
… a1n
a22
… a2 n
…
…
…
am 2 … amn
b1
b2 расширенная
…
матрица
bm
Теорема Кронекера-Капели: система линейных
алгебраических уравнений совместна тогда и только
тогда, когда ранг расширенной матрицы системы
равен рангу основной матрицы.

Теорема: Если ранг совместной системы равен числу
неизвестных, то система имеет единственное
решение.
Теорема: Если ранг совместной системы меньше
числа неизвестных, то система имеет бесчисленное
множество решений.

16. Правило решения произвольной системы линейных уравнений.

Найти ранг основной и расширенной матриц системы. Если
r(Ã)≠r(A), то система несовместна.
Если r(Ã)=r(A)=r, то система совместна. Найти какой-либо
базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов
которых составлен базисный минор. Неизвестные, коэффициенты
которых входят в базисный минор, называют главными и
оставляют слева, а остальные n-r неизвестных называют
свободными и переносят в правые части уравнений.
Найти выражения главных неизвестных через свободные.
Получить общее решение системы (множество всех решений).
Придавая свободным неизвестным произвольные значения,
получим соответствующие значения главных неизвестных.
Таким образом можно найти частные решения исходной системы
уравнений.

Метод Гаусса
a11 x1 a12 x2 … a1n x1 b1 ,
a x a x … a x b ,
21 1 22 2
2n 2
2
……………………………………….
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm .
Исключим с помощью первого
уравнения неизвестную x1 из
остальных уравнений:
a1n
a12
b1
a11
a x1 a x2 … a xn a ,
11
11
11
11
a
a
a11
a22
a12
b
a21
x1
x1
x2
x2 … 2 n xn 1n xn 2 ,
a11
a21
a11
a21
a11
a21
a21
…………………………………………………………………………..
a11k xk …
am 2
amn
a1n
bm
a11
a12
am1
a x1 a x1 a x2 a x2 … a xn a xn a .
11
m1
11
m1
11
m1
m1
1
x1 a12
x2 … a11n xn b11 ,
1
1
1
a22 x2 … a2 n xn b2 ,
……………………………………….
a1 x … a1 x b1 .
mn n
m
m1 2
Получим:
Аналогично исключим с помощью
второго уравнения неизвестную x2
из остальных уравнений и т.

д.
Получим:
1
x1 a12
x2 … a11k xk … a11n xn b11 ,
2
2
2
x2 … a2 k xk … a2 n xn b2 ,
……………………………………….
x … a k x b k .
kn n
k
k
a11 x1 a12 x2 … a1n x1 b1 ,
Если a21 x1 a22 x2 … a2 n x2 b2 ,
m n ……………………………………….
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm , то
1
1
x1 a12
x1 a12
x2 … a11k xk … a11n xn b11 ,
x2 … a11n xn b11 ,
2
2
2
2
2
x2 … a2 k xk … a2 n xn b2 ,
x2 … a2 n xn b2 ,
……………………………………….
……………………….
k
k
x … a x b .
x bn .
kn n
k
n
k
n
И тогда: xn=bnn . Подставляя это значение в
предпоследнее уравнение системы найти
xn-1. Подставляя найденные значения в
предыдущие уравнения системы найти xn-2
и т. д. Итак, система будет иметь
единственное решение.
переносим
a11 x1 a12 x2 .

.. a1n x1 b1 , слагаемые
a x a x … a x b ,
Если 21 1 22 2
в _ правую
2n 2
2
m n ……………………………………….
часть
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm , уравнений,
получим :
1
x1 a12
x2 … a11k xk … a11n xn b11 ,
2
2
2
x2 … a2 k xk … a2 n xn b2 ,
……………………………………….
x … a k x b k .
kn n
k
k
1
x1 a12
x2 … a11k xk b11 a11k 1 xk 1… a11n xn ,
2
2
2
2
2
x2 … a2 k xk … a2 n xn b2 a2 k 1 xk 1 … a2 n xn ,
……………………………………….
x … a k x b k a k x … a k x .
kn n
k
kk 1 k 1
kn n
k
Значения x1, x2, …, xk выражаются через значения
неизвестных xk+1, …, x . Такая система имеет
бесконечно много решений.

matlab — Как точно вычислить обратную матрицу?

спросил 6 лет, 10 месяцев назад

Изменено 2 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

Я пытаюсь вычислить обратную матрицу P , но если я умножу inv(P)*P , MATLAB не вернет единичную матрицу. Это почти тождество (недиагональные значения порядка 9(-12) ). Однако в моем приложении мне нужна большая точность.

Что я могу сделать в этой ситуации?

matlab
матрица
линейная алгебра
обратная матрица

Только если вам явно нужна обратная матрица, которую вы используете inv() 11 вы просто используете back .

В документации по inv() явно указано:

х = А\б вычисляется иначе, чем x = inv(A)*b , и рекомендуется для решения систем линейных уравнений.

Это связано с тем, что оператор обратной косой черты или mldivide() использует любой метод, наиболее подходящий для вашей конкретной матрицы:

x = A\B решает систему линейных уравнений A*x = B . Матрицы A и B должны иметь одинаковое количество строк. MATLAB® отображает предупреждающее сообщение, если

плохо масштабируется или почти одинаков, но все равно выполняет вычисления.

Просто чтобы вы знали, какой алгоритм MATLAB выбирает в зависимости от ваших входных матриц, вот полная блок-схема алгоритма, представленная в их документации

Универсальность mldivide при решении линейных систем проистекает из его способности использовать преимущества симметрии в задаче путем диспетчеризации к соответствующему решателю. Этот подход направлен на минимизацию времени вычислений. Первое различие, которое делает функция, — это полные (также называемые «плотными») и разреженные входные массивы. 9(-12) , помимо упомянутой выше неточности функции inv() , есть точность с плавающей запятой. Этот пост о проблемах MATLAB довольно проницателен, а здесь есть более общий пост по информатике. По сути, если вы вычисляете числа, не беспокойтесь (по крайней мере, слишком сильно) об ошибках на 12 порядков меньше.

0
У вас так называемая плохо обусловленная матрица. Рискованно пытаться взять обратную такую матрицу. В общем, брать обратную матрицу, кроме самых маленьких (таких, как те, что вы видите во введении в учебник по линейной алгебре), рискованно. Если вам нужно, вы можете попробовать использовать псевдоинверсию Мура-Пенроуза (см. Википедию), но даже это не является надежным.
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Найти обратную матрицу
В этом уроке мы покажем, как найти обратный из матрица на двоих особые случаи: а диагональная матрица и матрица 2×2. На следующем уроке мы покажем как найти обратную для любой матрицы.
Как найти обратную диагональную матрицу
Диагональная матрица Матрица особого вида из симметричная матрица. Это симметричная матрица с нулями в недиагональные элементы. Ниже показаны две диагональные матрицы.

А =
1 0
0 3
В =
5 0 0
0 3 0
0 0 1
Обратите внимание, что диагональ матрицы относится к элементам которые идут из левого верхнего угла в правый нижний угол.

Обратная диагональная матрица получается заменой каждой элемент на диагонали со своим обратным, как показано ниже для матрицы C .
С =
2 0
0 4
С ^-1 =
1/2 0
0 1/4
Легко убедиться, что C ^-1 является инверсия C , начиная с
С С ^-1 = С ^-1 С = I
, где I единичная матрица.
Этот подход будет работать для любой диагональной матрицы, пока ни одна из диагональные элементы равны нулю. Если любой из диагональных элементов равны нулю, матрица будет меньше полный ранг, и матрица не будет иметь обратной.
Как найти обратную матрицу 2 x 2
Предположим, — это невырожденная матрица Матрица 2 х 2. Затем можно вычислить обратное число A . от до , как показано ниже.
А ₁ ₁ А ₁ ₂
А ₂ ₁ А ₂ ₂

А ₂ ₂ /| А | — А ₁ ₂ /| А |
— А ₂ ₁ /| А | А ₁ ₁ /| А |
А А ^-1
где определитель из А есть | А | = A ₁ ₁ A ₂ ₂ — A ₁ ₂ A ₂ ₁.
Чтобы проиллюстрировать, как это работает, давайте найдем обратную матрицу B , который указан ниже.
Б =
2 1
4 4
Сначала вычислим определитель матрицы B .
| Б | = Б ₁ ₁ Б ₂ ₂ — Б ₁ ₂ Б ₂ ₁ = 2*4 — 1*4 = 8 — 4 = 4
Затем мы можем найти обратное, как показано ниже.
Б ^-1 =
В ₂ ₂ /| Б | — В ₁ ₂ /| Б |
— В ₂ ₁ /| Б | В ₁ ₁ /| Б |

Б ^-1 =
4/4 -1/4
-4/4 2/4
    =
1 -1/4
-1 1/2
Предупреждение: Если определитель матрицы равна нулю, то матрица не имеет обратной.
Проверьте свои знания
Задача 1
Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.
А =
2 0
0 0
Решение
Это был вопрос с подвохом. Матрица A — диагональная матрица с нулевым элементом в его диагональ. Следовательно, матрица A вырождена, и не имеет обратного.
Задача 2
Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.
А =
2 0
0 8
Решение
Обратная диагональная матрица получается заменой каждого элемента по диагонали с обратной ей, как показано ниже.
А ^-1 =
1/2 0
0 1/8
Задача 3
Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.
А =
3 1
9 4
Решение
Сначала вычислим определитель матрицы A .
No related posts.