Простые числа
Математика
Любое число делится само на себя и на 1. Но если числа, которые других делителей, кроме этих двух, не имеют. Таким свойством обладают, например, числа 7, 13, 29, 41. Эти числа играют в арифметике особую роль, и учёные с глубокой древности и до наших дней стараются открыть их тайны.
Число, которое имеет только два делителя — самого себя и 1, называются простым числом.
Первыми простыми числами в порядке возрастания являются числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … .
Наименьшее простое число — это число 2. Это единственное чётное простое число, все остальные простые числа нетётные.
Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называются составлными числами.
Например, число 6 — составное: оно делится не только на 1 и на 6, но и на 2, и на 3.
Число 1 имеет только один делитель — само это число. Поэтому оно не является ни простым, ни составным числом.
Всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, или, как говорят, разложит на простые множители.
Разложим на простые множители числ 90:
90 = 2 * 45 = 2 * 3 * 15 = 2 * 3 * 3 * 5.
Произведение одинаковых множителей обычно заменяют степенью, поэтому разложение числ 90 на простые множители выглядят так:
90 = 2 * 32 * 5.
Таким образом, какое бы натуральное число (кроме числа 1) мы ни взяли, оно либо является простым, либо может быть разложено на простые множители.
Простые числа — это как бы кирпичики, из которых с помощью умножения могут быть «построены» все остальные натуральные числа.
Часто бывает сложно определить, простым или составным является число. Поэтому еще с древнейших времён математики составляли специальные таблицы простых чисел.
Таблица простых чисел (до 1000)Интересный способ составления списка простых чисел придумал древнегреческий математик Эратосфен (III в. до н.э.).
Эратосфен писал на восковых табличках специальной палочкой, а составленные числа выкапывал острым концом, после чего табличка напоминала решето.
С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена.
С тех пор его способ отыскания простых чисел называют решетом Эратосфена.Применим его для поиска всех простых чисел, меньших 50.
- Выпишите все натуральные числа от 1 до 50.
- Зачеркните число 1 — оно не простое.
- Число 2 простое; обведите его кружочком и зачеркните все числа, кратные 2, т.е. 4, 6, 8, ….
- Первое незачёркнутое число — это 3. Оно простое. Обведите его кружочком и вычеркните все оставшиеся числа, кратные 3, то, есть 9, 15, ….
- Первое незачёркнутое число — это 5. Оно простое. Обведите его кружочком и вычеркните все числа, кратные 5. И т.д.
Числа которые останутся незачёркнутыми, и есть простые числа.
В настоящее время составление таблиц простых чисел можно поручить компьютеру; с его помощь уже получены огромные простые числа, которые вручную, наверное, никогда бы не были найдены. И возникает такой естественный вопрос: можно ли построить, хотя бы в далёком будущем, такой мощный компьютер, чтобы он нашёл все простые числа? Оказывается, что ответ на этот вопрос был найден… больше двух тысяч лет назад.
Еще великий математик Древней Греции Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, так что полный их список составить просто невозможно. Можно сказать так: среди простых чисел самого большого числа нет.
Используемая литература:
- Источник: Математика. Арифметика. Геометрия. Учебник. 5 класс. Бунемович Е.А., Дорофеев Г.В. Суворова С.Б и др.
5 класс
Другие статьи по теме
Математика
Простые и Составные Числа
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Числа бывают натуральные целые, простые и составные — и это то, что очень нам пригодится при решении разных задач. Этим и займемся: просто и без воды.
Основные определения
Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.
Например:
- 11, 13, 17, 19 — список простых чисел.
- 11 — делится только на 1 и 11.
- 13 — делится на 1 и 13.
- 17 — делится на 1 и 17.
Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.
Например:
- 9, 10, 12, 14 — примеры из списка составных чисел.
- 10 — делится на 1, на 2, на 5 и на 10.
- 12 — делится на 1, на 2, 3, 4, 6 и на 12.
Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные. Число 4 — первое наименьшее составное число. |
Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.
А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Таблица простых чисел до 1000
| 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 |
| 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 |
| 67 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | |
| 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
| 157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 |
| 199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 |
| 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 |
| 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
| 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 | 419 |
| 421 | 431 | 433 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | |
| 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 |
| 541 | 547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 |
| 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 |
| 647 | 653 | 659 | 661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 |
| 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 |
| 769 | 773 | 787 | 797 | 809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
| 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 877 | 881 | 883 | |
| 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 | 947 | 953 |
| 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
К предыдущей статье
137.9K
Признаки делимости чисел
К следующей статье
Развертка прямоугольного параллелепипеда
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Простые числа – Элементарная математика
Значение
Неофициальный смысл
Построение чисел из меньших строительных блоков: Любое счетное число, кроме 1, может быть построено путем сложения двух или более меньших счетных чисел. Но только некоторые счетных чисел могут быть составлены путем умножения на два или более меньших счетных числа.
Простые и составные числа: Мы можем построить 36 из 9 и 4 путем умножения; или мы можем построить его из 6 и 6; или с 18 и 2; или даже путем умножения 2 × 2 × 3 × 3. Такие числа, как 10, 36 и 49что могут быть составлены из как произведения меньших счетных чисел, называются составными числами.
Некоторые числа нельзя составить таким образом из более мелких частей. Например, он единственный способ построить 7 , умножив и используя только считая числа 7 × 1. Чтобы «построить» 7, мы должны использовать 7! Так что на самом деле мы не собираем его из более мелких строительных блоков; нам это нужно для начала. Такие числа называются простых чисел.
Неофициально простые числа — это числа, которые нельзя получить путем умножения других чисел. Это хорошо передает идею, но не является достаточно хорошим определением, потому что в нем слишком много лазеек. Число 7 может быть составлено как произведение других чисел: например, это 2 × 3.
Чтобы уловить идею о том, что «7 не делится на 2», мы должны четко указать, что мы ограничиваем числа, включающие только счетные числа: 1, 2, 3….
Формальное определение
Простое число — это положительное целое число, имеющее ровно два различных целочисленных множителя (или делителя), а именно 1 и само число.
Разъяснение двух распространенных заблуждений
Два распространенных заблуждения:
- Число 1 равно , а не простому.
- Число 2 является простым . (Это единственное четное простое число.)
Что ж, определение исключает это. Там написано «два разных целочисленных множителей», и единственный способ записать 1 как произведение целых чисел — это 1 × 1, в котором множителей — это одинаковых друг с другом, то есть не различных. Даже неформальная идея исключает это: его нельзя построить путем умножения на другие (целых) чисел.
Но зачем исключать?! Студенты иногда утверждают, что 1 «ведет себя» так же, как и все остальные простые числа: его нельзя «разорвать на части». И часть неформального представления о простом — мы не можем
Математика не произвольна. Чтобы понять, почему из полезно исключить 1 из , рассмотрим вопрос «Сколькими способами можно записать 12 в виде произведения, используя только простые числа?» Вот несколько способов записать 12 как произведение, но они не ограничиваются простыми числами.
- 3 × 4
- 4 × 3
- 1 × 12
- 1 х 1 х 12
- 2 × 6
- 1 × 1 × 1 × 2 × 6
Использование 4, 6 и 12 явно нарушает ограничение «использование только простых чисел». Но как насчет этих?
- 3 × 2 × 2
- 2 × 3 × 2
- 1 × 2 × 3 × 2
- 2 × 2 × 3 × 1 × 1 × 1 × 1
Ну, если мы включим 1, есть бесконечно много способов записать 12 как произведение простых чисел.
На самом деле, если мы назовем 1 простым числом, то существует бесконечно много способов записать 9.0027 любое число как произведение простых чисел. Включение 1 упрощает вопрос. При его исключении остаются только эти случаи:
- 3 × 2 × 2
- 2 × 3 × 2
- 2 × 2 × 3
Это гораздо более полезный результат, чем представление каждого числа в виде произведения простых чисел бесконечным числом способов, поэтому мы определяем простое таким образом, что оно исключает 1.
Число 2 — это простых чисел. Почему?
Студенты иногда считают, что все простые числа нечетные. Если кто-то работает только с «шаблонами», это легко сделать, так как 2 — это
Еще один распространенный вопрос: «Все четные числа делятся на 2, значит, они не простые; 2 четно, так как же оно может быть простым?» Каждое целое число делится само на себя и на 1; все они делятся на что-то .
Но если число делится на только на само по себе и на 1, то оно простое. Итак, поскольку все других четных чисел делятся сами на себя, на 1, и на 2, , все они составные (точно так же, как все положительные числа, кратные 3, кроме самого 3, составные).
Математическая основа
Уникальная факторизация простых чисел и деревья множителей
Вопрос «Сколькими способами можно записать число в виде произведения, используя только простые числа?» (посмотрите, почему 1 не простое число) становится даже еще интересно, если мы спросим себя, достаточно ли различны 3 × 2 × 2 и 2 × 2 × 3, чтобы рассматривать их как « различных способов». Если мы рассмотрим только набор используемых чисел — другими словами, если мы проигнорируем то, как эти числа устроены, — мы придем к замечательному и очень полезному факту (доказуемому).
- Каждое целое число больше 1 можно разложить на уникальный набор простых чисел. Для любого целого числа существует только один набор простых множителей из .
Простые числа и прямоугольники
12 квадратных плиток можно разложить на три отдельных прямоугольника.
Семь квадратных плиток можно сложить разными способами, но только одна из них образует прямоугольник.
Сколько существует простых чисел?
От 1 до 10 есть 4 простых числа: 2, 3, 5 и 7.
От 11 до 20 снова 4 простых числа: 11, 13, 17 и 19.
От 21 до 30 есть только 2 простых числа: 23 и 29.
От 31 до 40 снова только 2 простых числа: 31 и 37.
От 91 до 100 только одно простое число: 97.
Похоже, они редеют. Кажется, это даже имеет смысл; по мере того, как числа становятся больше, появляется больше маленьких строительных блоков, из которых они могут быть сделаны.
Останавливаются ли когда-нибудь простые числа? Предположим на мгновение, что они в конце концов остановятся. Другими словами, предположим, что — это «наибольшего простого числа» — назовем его p 9.
0028 . Итак, если бы мы перемножили вместе все известные нам простые числа (все от 2 до p ), а затем добавили 1 к этому произведению, мы бы получили новое число — назовем его q — которое не делится ни на одно из известных нам простых чисел. (Деление на любое из этих простых чисел даст в остатке 1.) Таким образом, либо q само является простым числом (и, безусловно, больше, чем p ), либо оно делится на какое-то простое число, которое мы еще не перечислили (что, следовательно, , также должно быть больше стр. ). В любом случае, предположение о существовании наибольшего простого числа — p якобы было нашим наибольшим простым числом — приводит к противоречию! Так что это предположение должно быть неверным: — это , а не «наибольшее простое число»; простые числа никогда не останавливаются.
Предположим, что 11 — это самое большое простое число.
- 2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 = 2311 — Прайм!
- Никакое число (кроме 1) не делит 2311 с нулевым остатком, поэтому 11 не является самым большим простым числом.
Предположим, что 13 — самое большое простое число.
- 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 — Не простое число!
- Но 59 × 509 = 30031, и 59, и 509 — простые числа, и оба больше 13, поэтому 13 — не самое большое простое число.
Простые числа – Делимость и простые числа – Матигон
При вычислении этих пар множителей может случиться так, что число не имеет делителей, кроме первой пары. Одним из примеров является число 13 — его единственными делителями являются 1 и само 13. Эти специальные числа называются Простые числа . Их нельзя разложить на произведения меньших чисел, что в некотором роде делает их «атомами чисел».
Обратите внимание, что 1 сама по себе , а не простое число, поэтому первые несколько простых чисел это 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Любое не простое число может быть записано как произведение простого числа числа: мы просто продолжаем делить его на большее количество частей, пока все множители не станут простыми.
Например,
84 | ||||||||
2 | × | 42 | ||||||
2 | × | 21 | ||||||
3 | × | 7 | ||||||
84 | = | 2 | × | 2 | × | 902 54× | 7 | |
Теперь 2, 3 и 7 являются простыми числами и не могут делиться дальше. Произведение 2 × 2 × 3 × 7 называется простой факторизацией числа 84, а 2, 3 и 7 — его простых множителей . Обратите внимание, что некоторые простые числа, например 2 в данном случае, могут встречаться несколько раз в простой факторизации.
Каждое целое число можно разложить на простые множители, и никакие два целых числа не имеют одинаковых простых разложений.
Кроме того, существует только один способ записать любое число в виде произведения простых чисел, если только мы не считаем разные порядки простых чисел. Это называется Основная теорема арифметики (FTA).
Использование FTA может значительно упростить многие задачи по математике: мы делим числа на их простые множители, решаем задачу для отдельных простых чисел, что часто может быть намного проще, а затем объединяем эти результаты для решения исходной задачи.
Решето Эратосфена
Определить, является ли число простым, оказалось довольно сложно: всегда нужно было найти все его простых множителей, что становится все сложнее по мере увеличения чисел. Вместо этого греческий математик Эратосфен из Кирены придумал простой алгоритм для нахождения всех простых чисел до 100: Сито Эратосфена .
1
2
3
4
5
6
7
8
900 06 910
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2 5
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38 90 013
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
5 5
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
90 006 7071
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86 9 0013
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Сначала мы нужно записать все числа до 100.
Мы знаем, что 1 не простое число, поэтому удаляем его .
Наименьшее простое число 2 . Любое число, кратное 2, не может быть простым, так как оно имеет множитель 2. Поэтому мы можем вычеркнуть все числа, кратные 2.
Следующее число в нашем списке — 3 — снова простое число. Все числа, кратные 3, не могут быть простыми, так как у них есть множитель 3. Поэтому мы можем вычеркнуть и их.
Следующее число, 4, уже зачеркнуто, поэтому мы переходим к 5 : это простое число, и снова мы зачеркиваем все числа, кратные 5.
Следующее простое число должно быть , так как 6 зачеркнуто . Еще раз вычеркнем все его кратные.
Следующее простое число . Обратите внимание, однако, что все его кратные . То же самое на самом деле верно для всех остальных оставшихся чисел. Следовательно, все эти оставшиеся числа должны быть простыми.
Теперь мы можем подсчитать, что всего простых чисел меньше 100.
Сколько существует простых чисел?
Конечно, мы также можем использовать решето Эратосфена, чтобы найти большие простые числа.
Есть 21 простое число от 100 до 200, 16 простых чисел от 200 до 300, 17 простых чисел от 400 до 500 и только 11 простых чисел от 10 000 до 10 100.
Простые числа, кажется, становятся все более и более рассредоточенными, но останавливаются ли они когда-нибудь? Существует ли самое большое или последнее простое число?
Древнегреческий математик Евклид Александрийский впервые доказал, что существует бесконечно много простых чисел, используя следующий аргумент:
- Предположим, что существует только конечное число простых чисел.
P , P , P , P , P
- Перемножим их все вместе, чтобы получить очень большое число, которое мы назовем N .
N = P × P × P × P × P
- Теперь давайте подумаем о N 9 0010 + 1. Любое простое число, которое делит N , не может также делиться N + 1. А поскольку все найденные нами простые числа делят N , ни одно из них не может также делить N + 1. Р ,
П
Н
П , П , П , П ,
P
N + 1
- Из основной теоремы арифметики мы знаем, что N + 1, должен иметь простой делитель. Либо N + 1 само является простым, или есть какое-то другое простое число P’ , которое делит N + 1.
P’ N + 1
- новый простого числа нет в нашем первоначальном списке, но мы предположили, что все простых чисел были в этом списке.
- Очевидно, что-то пошло не так! Но поскольку шаги 2–4 были определенно верны, единственная возможность состоит в том, что наше первоначальное предположение в 1 было неверным. Это означает, что на самом деле должно быть бесконечно много простых чисел.
А поскольку все найденные нами простые числа делят N , ни одно из них не может также делить N + 1. Р ,